浙教版七年级数学下册专题02平行线的性质压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)

专题02平行线的性质压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1考点一两直线平行，同位角相等 1考点二两直线平行，内错角相等 3考点三两直线平行，同旁内角互补 4考点四根据平行线的性质与判定求角度 6考点五平行线的性质在生活中的应用 8考点六平行线的性质与判定综合应用 10【过关检测】 13【典型例题】考点一两直线平行，同位角相等例题：（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）如图，．，则的度数为（

）A．58° B．112° C．120° D．132°【变式训练】1．（2023·吉林·九年级阶段练习）如图，直线．直线与、分别交于、两点．若，则的大小为_____度．2．（2020·吉林·东北师大附中明珠学校七年级期末）如图，D为中延长线上一点，，若，，则_____．考点二两直线平行，内错角相等例题：（2022·湖南·长沙市立信中学九年级阶段练习）如图，直线a，b被c所截，，若，则的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【变式训练】1．（2022·广西大学附属中学九年级阶段练习）如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（

）A．20° B．40° C．50° D．140°2．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）如图，，，则的度数为（

）A．160 B．140 C．50 D．40考点三两直线平行，同旁内角互补例题：（2022·辽宁·沈阳市培英中学七年级期中）如图，ABCD，射线AE交CD于点F，若∠1＝114°，则∠2的度数等于_____°．【变式训练】1．（2022·上海理工大学附属中学七年级期末）如图直线、被直线所截，且，已知比大，则______．2．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，直线，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b与点C，若，则的度数为________．考点四根据平行线的性质与判定求角度例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习）如图，已知：，，(1)说明：．(2)求的度数．【变式训练】1．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）如图，已知，，，求：(1)(2)的度数．2．（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且，∠1＝∠2．(1)求证：；(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．考点五平行线的性质在生活中的应用例题：（2022·山东青岛·七年级期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．【变式训练】1．（2022·山东·菏泽市牡丹区第二十二初级中学七年级期中）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，则∠2＝______．2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．考点六平行线的性质与判定综合应用例题：（2021·浙江·绍兴市锡麟中学八年级阶段练习）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为

；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为；请选择其中一种情况说明理由．②由①得出一个真命题（用文字叙述）：

．(2)应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．【变式训练】1．（2022·甘肃·金昌市第五中学七年级期中）如图，已知AMBN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．(1)∠ABN的度数是；(2)求∠CBD的度数；(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．【过关检测】一、选择题1．（2022秋·广东湛江·七年级校考期末）如图，两条直线a、b被第三条直线l所截，如果a∥b，∠1＝55°，那么∠2的度数为（）A．125° B．105° C．65° D．55°2．（2022春·广东深圳·八年级统考期末）如图，已知平分，是延长线上一点，则的度数是（

）A． B． C． D．3．（2021春·陕西商洛·八年级统考期末）将一副直角三角尺如图所示放置，已知，则的度数是（

）A． B． C． D．4．（2022春·八年级单元测试）如图，，直线交于点，交于点，平分，交于点，，则等于（

）A． B． C． D．5．（2022秋·河北石家庄·七年级统考期中）有一道题目“一副直角三角尺如图所示叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动180°，在旋转的过程中，当三角尺ABC的边BC与三角尺ADE的边平行时，求∠BAD．”嘉嘉的结果是∠BAD为60°或105°；淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠BAD还有另一个不同的值．”下列判断正确的是（

）A．淇洪说的对，且∠BAD的另一个值为15°B．嘉嘉的结果完全正确C．嘉嘉求的结果不对，∠BAD为30°或105°D．两人都不对，∠BAD应5有个不同的值二、填空题6．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，，和互余，则的度数为___________．7．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）如图，快艇从处向正北航行到处时，向右转航行到处，再向左转继续航行，此时的航行方向为北偏西______°．8．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条按图所示方向旋转的度数至少是__．9．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．10．（2022秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°，则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POB＝∠DOF；④∠POE＝∠BOF．其中正确的个数有______．（填序号）三、解答题11．（2022春·广东河源·八年级期末）如图，，平分交于点E．若，求的度数．12．（2022春·八年级单元测试）如图，点在上，点分别在上，且，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．13．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知，于点F，于点B，点E，D，C在同一条直线上．(1)求证：；(2)若，求的度数．14．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）如图，，分别交于、于E，F，平分，平分．求证：．请在括号里填写适当的根据．证明：∵（已知）∴（____________________）∵平分，平分（_____________）∴，，（____________________）∵∴∴____________（____________________）∴（____________________）15．（2022春·八年级单元测试）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点，，．(1)求证：；(2)试判断与之间的数量关系，并说明理由；(3)若求的度数．16．（2022春·全国·八年级专题练习）如图，在中，于点，点在上，且，点在直线上，交直线于点．(1)当点在线段的延长线上时，判断与的大小关系，并说明理由．(2)当点在射线上，且时，请直接写出的度数．专题02平行线的性质压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1考点一两直线平行，同位角相等 1考点二两直线平行，内错角相等 3考点三两直线平行，同旁内角互补 4考点四根据平行线的性质与判定求角度 6考点五平行线的性质在生活中的应用 8考点六平行线的性质与判定综合应用 10【过关检测】 13【典型例题】考点一两直线平行，同位角相等例题：（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）如图，．，则的度数为（

）A．58° B．112° C．120° D．132°【答案】A【分析】根据平行线性质得出，根据对顶角相等即可得出答案．【详解】解：如图，∵，，∴，∴，故A正确．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等．【变式训练】1．（2023·吉林·九年级阶段练习）如图，直线．直线与、分别交于、两点．若，则的大小为_____度．【答案】【分析】根据邻补角的定义和平行线的性质即可得到结论．【详解】解：如图，∵，∴，∵直线，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角的应用，解此题的关键是求出的度数，注意：两直线平行，同位角相等．2．（2020·吉林·东北师大附中明珠学校七年级期末）如图，D为中延长线上一点，，若，，则_____．【答案】72【分析】由，，求出，，，由得，即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题主要考查了平行线性质，熟练掌握平行线性质是解题的关键．考点二两直线平行，内错角相等例题：（2022·湖南·长沙市立信中学九年级阶段练习）如图，直线a，b被c所截，，若，则的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】根据两直线平行，内错角相等可以判断，即可求出的度数．【详解】解：∵，，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行内错角相等得出，是解答本题的关键．【变式训练】1．（2022·广西大学附属中学九年级阶段练习）如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（

）A．20° B．40° C．50° D．140°【答案】B【分析】根据两直线平行内错角相等可得出答案．【详解】解：∵，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解本题的关键．2．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）如图，，，则的度数为（

）A．160 B．140 C．50 D．40【答案】B【分析】利用平行线的性质先求解，再利用邻补角的性质求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴，故选B．【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．考点三两直线平行，同旁内角互补例题：（2022·辽宁·沈阳市培英中学七年级期中）如图，ABCD，射线AE交CD于点F，若∠1＝114°，则∠2的度数等于_____°．【答案】66【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．【详解】∵ABCD，∴∠1+∠AFD=180°．∵∠1=114°，∴∠AFD=66°．∵∠2和∠AFD是对顶角，∴∠2=∠AFD=66°．故答案为66．【点睛】本题考查了平行线，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．【变式训练】1．（2022·上海理工大学附属中学七年级期末）如图直线、被直线所截，且，已知比大，则______．【答案】65【分析】根据题意可得，然后利用平行线的性质可得，进行计算即可解答．【详解】解：比大，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，直线，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b与点C，若，则的度数为________．【答案】##63度【分析】根据，可得，即可求出的度数．【详解】解：∵，，，∴（两直线平行，同旁内角互补），∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补正确找出是解答本题的关键．考点四根据平行线的性质与判定求角度例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习）如图，已知：，，(1)说明：．(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据对顶角相等得到，再利用平行线的判定即可证明；（2）根据平行线的性质求出即可．（1）解：∵，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．【变式训练】1．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）如图，已知，，，求：(1)(2)的度数．【答案】(1)见解析；(2)100°．【分析】（1）根据平行线的性质和判定方法即可得到结论；（2）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解．（1）解：∵，∴．∵，∴．∴．（2）解：∵∴．∵，∴【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握两只线平行同旁内角互补是关键．2．（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且，∠1＝∠2．(1)求证：；(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ADG＝40°【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；（2）先求出∠C，再根据两直线平行，同位角相等，即可得解．（1）证明：∵，∴∠1＝∠DBC．又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DBC，∴．（2）∵EF⊥AC，∴∠CEF＝90°．∵∠2＝∠1＝50°，∴∠C＝90°－50°＝40°．∵，∴∠ADG＝∠C＝40°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．考点五平行线的性质在生活中的应用例题：（2022·山东青岛·七年级期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．【答案】120【分析】过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．【详解】解：过点B作BF∥CD，如图，由题意可知，∠ABF=90°，∵∠ABC=150°，∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，∵BF∥CD，∴∠FBC+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．故答案为：120．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．【变式训练】1．（2022·山东·菏泽市牡丹区第二十二初级中学七年级期中）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，则∠2＝______．【答案】48°##48度【分析】根据平行线的性质解答即可．【详解】解：如图，∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3=180°，又∠1＝132°，∴∠3=180°-∠1=48°，∵水中的两条折射光线是平行的，∴∠2=∠3=48°，故答案为：48°．【点睛】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．【答案】##60度【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图所示，过点O作，∵光线，都是水平线，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．考点六平行线的性质与判定综合应用例题：（2021·浙江·绍兴市锡麟中学八年级阶段练习）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为

；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为；请选择其中一种情况说明理由．②由①得出一个真命题（用文字叙述）：

．(2)应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．【答案】(1)①∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF，理由见解析；②如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补(2)30°，30°或70°和110°【分析】（1）①根据平行线的性质，即可求解；②根据①写出结论，即可求解；（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，由（1）的结论可得x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，即可求解．（1）解：①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．理由：如图1中，∵，∴∠DPB＝∠DEF，∵，∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∵，∴∠DPC＝∠DEF，∵，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（2）解：设两个角分别为x和2x﹣30°，由（1）得：x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解得x＝30°或x＝70°，∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，理解如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补是解答关键．【变式训练】1．（2022·甘肃·金昌市第五中学七年级期中）如图，已知AMBN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．(1)∠ABN的度数是；(2)求∠CBD的度数；(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．【答案】(1)116°(2)58°(3)不变，∠APB＝2∠ADB，理由见解析【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补即可求解；（2）根据角平分线的定义，结合（1）的结论即可求解；（3）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据角平分线的定义可得∠PBN＝2∠DBN，即可求解．（1）解：∵AMBN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，故答案为116°；（2）∵AMBN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，∴∠ABP+∠PBN＝116°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；（3）不变，∠APB＝2∠ADB，理由如下：∵AMBN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB＝2∠ADB．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2022秋·广东湛江·七年级校考期末）如图，两条直线a、b被第三条直线l所截，如果a∥b，∠1＝55°，那么∠2的度数为（）A．125° B．105° C．65° D．55°【答案】A【分析】先利用两直线平行，同位角相等求出∠2的邻补角，再根据邻补角定义即可求出．【详解】解：如图，∵ab，∴∠3＝∠1＝55°，又∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣55°＝125°．故选：A．【点睛】本题重点考查了平行线的性质及邻补角的定义，求出∠3＝55°是解答本题的关键．2．（2022春·广东深圳·八年级统考期末）如图，已知平分，是延长线上一点，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，推出，，在根据平分得，即可求出答案．【详解】解：∵，，∴，，又∵平分，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线得定义，难度不大，熟练掌握平行线的性质是关键．3．（2021春·陕西商洛·八年级统考期末）将一副直角三角尺如图所示放置，已知，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的性质及三角形内角定理解答．【详解】解：由三角板的性质可知．∵，∴，∴．∴．故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，平行线的性质：两直线平行同位角相等，同旁内角互补．三角形内角和定理：三角形的内角和等于．4．（2022春·八年级单元测试）如图，，直线交于点，交于点，平分，交于点，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由平分，求得的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数．【详解】解：，，，，平分，，，故选：C．【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用．5．（2022秋·河北石家庄·七年级统考期中）有一道题目“一副直角三角尺如图所示叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动180°，在旋转的过程中，当三角尺ABC的边BC与三角尺ADE的边平行时，求∠BAD．”嘉嘉的结果是∠BAD为60°或105°；淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠BAD还有另一个不同的值．”下列判断正确的是（

）A．淇洪说的对，且∠BAD的另一个值为15°B．嘉嘉的结果完全正确C．嘉嘉求的结果不对，∠BAD为30°或105°D．两人都不对，∠BAD应5有个不同的值【答案】A【分析】分三种情况：若，若，若，由平行线的性质可得出答案．【详解】解：若，∴∠CFE=∠E=90°，又∵∠C=30°，∴，∴∠DAB=45°-30°=15°；若，；若，，．综上所述，为或或．故选：．【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，正确画出图形是解题的关键．二、填空题6．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，，和互余，则的度数为___________．【答案】##度【分析】利用平行线的性质证明，再利用余角的含义求解，从而可得答案．【详解】解：∵，∴，∵和互余，∴，∴，∴故答案为：【点睛】本题考查的是平行线的性质，互为余角的含义，证明是解本题的关键．7．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）如图，快艇从处向正北航行到处时，向右转航行到处，再向左转继续航行，此时的航行方向为北偏西______°．【答案】【分析】根据平行线的性质与方位角的定义即可求解．【详解】解：如图，∵，，∴，∴，此时的航行方向为：北偏西；故答案为：．【点睛】此题主要考查方位角，解题的关键是熟知方位角的定义及平行线的性质．8．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条按图所示方向旋转的度数至少是__．【答案】30°【分析】根据同位角相等，两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．【详解】解：如图：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA//b，即a//b，∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是80°﹣50°＝30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．9．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．【答案】22°##22度【分析】延长CE，交AD与点F，根据平行的性质有∠2=∠DFE，再根据∠1+∠DFE=90°，即可求出∠DFE，则问题得解．【详解】延长CE，交AD与点F，如图，根据题意有：，∠DEC=90°，∴∠2=∠DFE，∠DEF=∠DEC=90°，∴△DEF是直角三角形，即∠1+∠DFE=90°，∵∠1=68°，∴∠DFE=90°-∠1=22°，∴∠2=22°，故答案为：22°．【点睛】本题考查了由平行线的性质探究角的关系；掌握两直线平行内错角相等是解题关键．10．（2022秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°，则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POB＝∠DOF；④∠POE＝∠BOF．其中正确的个数有______．（填序号）【答案】①②④【分析】根据垂直定义、角平分线的定义，求出∠POE、∠BOF、∠BOD、∠BOE、∠DOF等角的度数，即可对①②③④进行判断．【详解】解：∵，∴∠BOD=∠ABO=a°，∴∠COB=180°-∠ABO=180°﹣a°=（180﹣a）°，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠EOC=∠COB=（180﹣a）°．故①正确；∵OF⊥OE，∴∠EOF=90°，∴∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°﹣（180﹣a）°=a°，∴∠BOF=∠BOD，∴OF平分∠BOD．故②正确；∵OP⊥CD，∴∠COP=90°，∴∠POE=90°﹣∠EOC=a°，∴∠POE=∠BOF．故④正确；∴∠POB=90°﹣a°，而∠DOF=a°，故③错误．故答案为①②④．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义；解答此题要注意将垂直、平行、角平分线的定义结合应用，弄清图中角的关系，再进行解答．三、解答题11．（2022春·广东河源·八年级期末）如图，，平分交于点E．若，求的度数．【答案】【分析】欲求，需求，因为平分，欲求，即求．根据邻补角的定义，由，得．【详解】证明：∵，∴，又∵平分，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查平行线的性质、邻补角的定义以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质、平角的定义以及角平分线的定义是解决本题的关键．12．（2022春·八年级单元测试）如图，点在上，点分别在上，且，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论；（2）根据垂直定义和平行线的判定与性质即可求出结果．【详解】（1）证明：，，，，；（2）解：，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．13．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知，