备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题17导数综合问题证明不等式恒成立问题零点问题

专题17导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题【考点预测】一、证明不等式常用的方法和思路作差构造函数，转化为最值问题二、不等式恒成立问题常用的方法和思路(1)直接法(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；三、零点问题常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【典例例题】题型一：证明不等式1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）证明：当时，．【解析】由题设，要证，只需证即可，令，则，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；故，即在上恒成立，∴，得证．2．（2023春·广东广州·高二校考阶段练习）求证：．【解析】证明：令，则当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增则在时求得最小值，即在上恒成立，即在上恒成立3．（2023·全国·高三专题练习）讨论函数的单调性，并证明当时，.【解析】由已知得，.因为，所以.因为当时，，所以在上单调递增;所以当时，，即.题型二：恒成立问题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中.(1)求函数的单调区间；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为①当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为②当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为综上所述：当时，函数的增区间为，减区间为；当时，函数的增区间为，减区间为（2）在恒成立，则在恒成立即在恒成立令令，，，，则在上恒成立在上单调递增，在单调递增，在恒成立，则的范围是.5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.【解析】（1）当时，，∴，，∴切线方程为，即（2）∵，∴原条件等价于：在上，恒成立.化为令，则令，则在上，，∴在上，故在上，；在上，∴的最小值为，∴6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求的图象在处的切线方程；(2)当时，恒成立，求的取值范围.【解析】（1）函数，切点为，，∴，∴的图象在处的切线方程为：，即.（2）令，.，设，，∵，∴，在上单调递增，即在上单调递增，，当时，，∴在上单调递增，∴，∴当时，恒成立.当时，，∵函数在上存在唯一的零点，∴函数在区间上单调递减，，不符合题意，舍去.综上可得：的取值范围是.题型三：零点问题7．（2023·四川·高三统考）已知a，b为实数，是定义在R上的奇函数．(1)求a，b的值；(2)证明：函数有唯一零点．【解析】（1）因函数是定义在R上的奇函数，则，，因此，恒成立，所以.（2）由（1）知，，，在上单调递增，则函数至多有一个零点，又，所以函数有唯一零点．8．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)设，求在区间上的最值；(2)讨论的零点个数.【解析】（1）因为，所以在区间上单调递减，所以当时，取最大值；当时，取最小值.（2）先讨论在上的零点个数，由（1）可知，在上递减，，所以在上递减，因为，所以在上有唯一零点，又因为，所以是偶函数，所以在上有两个零点.9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)讨论函数在区间内的单调性；(2)若函数在区间内无零点，求的取值范围．【解析】(1)，（Ⅰ）当，即时，，在单调递减（Ⅱ）当，即时，，在单调递增（Ⅲ）当，即时，当时，，单调递增；当时，，单调递减综上所述，（Ⅰ）当时，在单调递减（Ⅱ）当时，在单调递增（Ⅲ）当时，在单调递增，在单调递减(2)由（1）知：当时，即，在无零点当时，即，在无零点当时，在单调递增，在单调递减，只需即可即，综上所述，【过关测试】一、单选题1．（2023·北京石景山·高一统考期末）已知函数，则的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】的定义域为，由题意可得，因为单调递增且当时，当时，所以存在唯一一点使得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以至多有两个零点，又因为，，所以有2个零点，故选：C2．（2023·山东潍坊·高三统考期中）函数与的图像有且只有一个公共点，则实数的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或或【答案】C【解析】∵过定点，且在上，又∵，则，∴在处的切线斜率为，结合图象可得：当时，与的图像有且只有一个公共点，则符合题意；当时，与的图像有两个公共点，则不符合题意；当时，与的图像有且只有一个公共点，则符合题意；当时，与的图像有两个公共点，则不符合题意；综上所述：实数的取值范围为或.故选：C.3．（2023·全国·高三对口高考）设函数，则（

）A．在区间，内均有零点B．在区间，内均无零点C．在区间内有零点，在区间内无零点D．在区间内无零点，在区间内有零点【答案】D【解析】由题得，令解得；令解得；所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在点处有极小值；又，，，即，，所以在区间内无零点，在区间内有零点.故选：D．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在恒成立.当，记，所以在单调递增，，故故，所以，故选：C5．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式，对恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为不等式，对恒成立，当时，显然成立，当，恒成立，令，则，令，则在上成立，所以在上递减，则，所以在上成立，所以在上递减，所以，所以，故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）函数有三个零点，则实数的取值范围是（

）A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【答案】A【解析】由题意，函数，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，要使得函数有三个零点，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A．7．（2023·全国·高三专题练习）已知a∈R，则函数零点的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．与a有关【答案】A【解析】令，得.令，，只需看两个图像的交点的个数.所以在R上单调递增.当时，；当时，；所以与有且只有一个交点.故选：A8．（2023·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】存在，不等式成立，则，能成立，即对于，成立，令，，则，令，所以当，单调递增，当，单调递减，又，所以f(x)>-3，所以.故选：C二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则实数的值可以是（

）A． B． C．0 D．1【答案】AD【解析】令，则有，令，则有，所以在上单减，在上单增，当时，，，当时，故有唯一零点即或.故选：AD10．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数存在三个不同的零点B．函数既存在极大值又存在极小值C．若时，，则t的最小值为2D．当时，方程有且只有两个实根【答案】BD【解析】，令，解得或，当或时，，故函数在，上单调递减，当时，，故函数在上单调递增，且函数有极小值，有极大值，当趋近负无穷大时，趋近正无穷大，当趋近正无穷大时，趋近于零，故作函数草图如下，由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．故选：BD．11．（2023·全国·高三专题练习）下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【解析】A：构造新函数，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，最大值为：，即，因此本选项不等式成立；B：构造新函数，所以，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，最小值为：，即，因此本选项不等式成立；C：设，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，最小值为：，即，因此本选项不等式成立；D：设，因为，所以单调递减，所以当时，有，即，因此本选项不等式成立，故选：ABCD12．（2023·全国·高三专题练习）若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为A．2 B．1 C．0 D．【答案】BCD【解析】函数的导数为；所以过原点的切线的斜率为；则过原点的切线的方程为：；所以当时，函数与的图象恰有一个公共点；故选：BCD三、填空题13．（2023·湖南岳阳·高二统考期末），若关于x的方程在上有根，则实数m的取值范围是_____．【答案】．【解析】若关于x的方程在上有根，即在上有根，令，则，时，，时，，则在上单调递增，在上单调递减，，，所以，若使在上有根，则．故答案为：．14．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】有解，即，令，，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以的值域为，故的取值范围为．故答案为：．15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，，，使不等式成立，则的取值范围是______.【答案】【解析】因为对，，使不等式成立，所以，当时，，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为在上单调递减，所以，所以，即.故答案为：.16．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】根据题意，当时，分离参数，得恒成立．令，∴时，恒成立．令，则，当时，，∴函数在上是减函数．则，∴．∴实数的取值范围是．故答案为：四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)求证：函数有唯一的零点，并求出此零点；(2)求曲线过点的切线方程．【解析】(1)函数的定义域为，，令，而，故在上单调递减，在单调递增．所以，，即．故在上是单调递增的．又因为，因此，函数有唯一的零点，零点为0．(2)（2）显然，点不在函数图像上，不妨设切点坐标为．又，即，消去得，由（1）知，则，，故所求的切线方程为：．18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)若在时取得极小值，求实数k的值；(2)若过点可以作出函数的两条切线，求证：【解析】(1)∴，∴当时，令，得∴在单调递减，在单调递增，所以在时取得极小值，∴(2)证明：设切点为，∴切线为，又切线过点，∴∴，(*)设则∴在单词递减，在单调递增.∵过点可作的两条切线，∴方程(*)有两解∴，由，得∴，即.19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若恰有一个零点，求a的值．【解析】（1），令，得．因为，则，即原方程有两根设为，所以（舍去），．则当时，，当时，在上是减函数，在上是增函数．（2）由（1）可知．①若，则，即，可得，设，在上单调递减所以至多有一解且，则，代入解得．②若，则，即，可得，结合①可得，因为，，所以在存在一个零点．当时，，所以在存在一个零点．因此存在两个零点，不合题意综上所述：．20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；(2)讨论f（x）的单调性.【解析】(1)若a＝1，则f（x）＝x3﹣3lnx，x＞0，，令f′（x）＝0，可得x＝1，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝1处取得极小值，也是最小值，最小值为f（1）＝1，故f（x）≥1.(2)f（x）＝ax3﹣3lnx，x＞0，（x＞0），当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令f′（x）＞0，得x，令f′（x）＜0，得0＜x，所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若在上为单调函数，求实数a的取值范围；(2)记的两个极值点为，，求证：.【解析】（1）的定义域为，，又单调，∴对恒成立，即()恒成立，而，当且仅当时取等号，∴.（2）由（1）知：，是的两个根，则，，且，∴，故，，而，∴，得证.22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．（1）若，求函数在区间上的最大值；（2）若函数有三个零点，求实数的取