向量专题之平面向量与三角函数（2）-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习向量专题之平面向量与三角函数②教学目标能够解决三角函数与平面向量结合（主要是数量积），判断三角形性质或结合正、余弦定理求值.知识梳理正弦定理：(为外接圆半径)余弦定理：面积公式：向量的加减法运算：实数与向量的积：向量数量积：向量的模：向量平行(共线)的充要条件：＝0向量垂直的充要条件：特别地.典例精讲例1.（★★★）设0≤θ≤2π时，eq\o(OP1,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ)，eq\o(OP2,\s\up6(→))＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|的最大值是（）A．eq\r(2) B．eq\r(3) C．3eq\r(2) D．2eq\r(3)解：当=-1的时候取最大值，为2eq\r(3)答案：D例2.（★★★）已知向量，若t是实数，且eq\o(→,u)＝＋t，则|eq\o(→,u)|的最小值为（）A．eq\r(2) B．1 C．eq\f(eq\r(2),2) D．eq\f(1,2)解：答案：C例3.（★★★）在中，记(角的单位是弧度制)，的面积为S，且．(1)求的取值范围；(2)就(1)中的取值范围，求函数的最大值、最小值．解(1)∵，，又，∴，即．∴所求的的取值范围是.(2)∵，∴，.∴.巩固练习（★★★）已知令（Ⅰ）求的单调增区间；（Ⅱ）若时，恒成立，求的取值范围.（Ⅰ）由，得从而，的单调增区间为（Ⅱ）由题意可知，在上恒成立当时，所以例5.（★★★）在中，角的对边分别为，．求；（2）若，且，求．解：（1），,又，解得：，，是锐角，．（2），，，又，，，，．例6．（★★★）如图，已知点和单位圆上半部分上的动点．

⑴若，求向量；⑵求的最大值． 解：依题意，（不含1个或2个端点也对），（写出1个即可）因为，所以，即解得，所以.⑵当时，取得最大值.巩固练习如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），，四边形OAQP的面积为S．（1）求的最大值及此时θ的值θ0；（2）设点B的坐标为，∠AOB=α，在（1）的条件下求cos（α+θ0）．解：（1），故的最大值是，此时．（2）∴．课堂检测1.（★★★）若向量＝(cos,sin)，＝(cos,sin)，则与一定满足 （）A．与的夹角等于－B．⊥C．∥ D．(＋)⊥(－)答案：D2.（★★★）把函数y＝sin2x的图象按向量eq\o(→,a)＝(－eq\f(,6)，－3)平移后，得到函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，||<eq\f(,2))的图象，则和B的值依次为 （）A．eq\f(,12)，－3 B．eq\f(,3)，3 C．eq\f(,3)，－3 D．－eq\f(,12)，3解：由平移向量知向量平移公式eq\b\lc\{(\s(,,))eq\s(x＝x－eq\f(,6),y＝y－3)，即eq\b\lc\{(\s(,,))eq\s(x＝x＋eq\f(,6),y＝y＋3)，代入y＝sin2x得y＋3＝sin2(x＋eq\f(,6))，即到y＝sin(2x＋EQ\f(π,3))－3，由此知＝eq\f(,3)，B＝－3，故选C.3.（★★★）已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量eq\o(→,p)＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量eq\o(→,q)＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋coseq\f(C－3B,2)的最大值.解：（Ⅰ）∵eq\o(→,p)、eq\o(→,q)共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则sin2A＝eq\f(3,4)，又A为锐角，所以sinA＝eq\f(eq\r(3),2)，则A＝eq\f(,3).（Ⅱ）y＝2sin2B＋coseq\f(C－3B,2)＝2sin2B＋coseq\f((π－eq\f(,3)－B)－3B,2)＝2sin2B＋cos(eq\f(,3)－2B)＝1－cos2B＋eq\f(1,2)cos2B＋eq\f(eq\r(3),2)sin2B＝eq\f(eq\r(3),2)sin2B－eq\f(1,2)cos2B＋1＝sin(2B－eq\f(,6))＋1.∵B∈(0，eq\f(,2))，∴2B－eq\f(,6)∈(－eq\f(,6)，eq\f(5,6))，∴2B－eq\f(,6)＝eq\f(,2)，解得B＝eq\f(,3)，ymax＝2.【评析】根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化，列出等式求解。4.（★★★）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角。解：（=1\*ROMANI）因为函数图像过点，所以即因为，所以.（=2\*ROMANII）由函数及其图像，得所以从而，故.5.（★★★）已知向量，（1）求的最大值．（2）若不等式对恒成立，求实数λ的取值范围．解：（1）=coscos﹣sinsin=cos2x=2cos2x﹣1，||2=2+2+2=1+2cos2x+1=2+2（2cos2x﹣1）=4cos2x，，cosx＞0，||=2cosx．=cosx﹣，令t=cosx，则y=t﹣，在t∈[，1]上是增函数，当t=1时，y取得最大值．（2）若不等式即为λcos2x﹣cosx+λ﹣1≤0．λ（1+cos2x）≤1+cosx，，，1+cos2x＞0，∴λ≤=．令t=cosx，则g（t）=，g′（t）=﹣﹣＜0，∴g（t）在t∈[，1]上是减函数，当t=1时，取得最小值1，所以λ≤1．点评： 本题考查向量的运算，三角函数公式的应用，函数的性质，不等式恒成立问题，考查换元法、分离参数法、利用导数求函数最值．6.