2023-2024学年山东省高三高考数学押题模拟试题(二模)含解析

2023-2024学年山东省高三高考数学押题模拟试题(二模)

一、单选题

1.“。=0且6=1”是“复数z=a+6i(a,beR)是纯虚数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件及纯虚数的定义判断即可.

【详解】若。=0且6=1,则复数z=a+bi=i是纯虚数，故充分性成立；

若复数z=a+bi(a,beR)是纯虚数，则。=()且/,片0,故必要性不成立，

故"。=0且6=1”是“复数z=a+bi(a,beR)是纯虚数”的充分不必要条件.

故选：A

2.已知集合/={(x,y)3=/},集合2={(尤,y),=1-卜|},则集合NcB的真子集个数为

()

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】C

y=X2

【分析】解方程组-，I1可得集合进而可求得集合/C8的真子集个数.

卜=1一国

【详解】联立国可得/+国-1=0,因为国20,解得国=痔1,

V5-11-75

2X=--------x=-----

V=X2或，2

所以，方程组•,,I的解为

3-V53-V5'

尸了

所以,/n8=<

所以，集合的真子集个数为”-1=3.

故选：C.

3.某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并

制作出如下等高条形图.根据图中(35岁以上含35岁)的信息，关于该样本的结论不一定

正确的是()

LO

9

O.8

O.7

O.6

O,5

O.4

O.3

O.2

O.1

O.0

35岁以上35岁以下男性女性

匚二］力性■女住口"岁以卜岁以上

A.男性比女性更关注地铁建设

B.关注地铁建设的女性多数是35岁以上

C.35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多

D.35岁以上的人对地铁建设关注度更高

【正确答案】C

【分析】由等高条形图一一分析即可.

【详解】由等高条形图可得：

对于A：由左图知，样本中男性数量多于女性数量，

从而男性比女性更关注地铁建设，故A正确；

对于B:由右图知女性中35岁以上的占多数，从而样本中多数女性是35岁以上，

从而得到关注地铁建设的女性多数是35岁以上，故B正确；

对于C：由左图知男性人数大于女性人数，由右图知35岁以下的男性占男性人数比35岁以

上的女性占女性人数的比例少，无法判断35岁以下的男性人数与35岁以上的女性人数的多

少，故C不一定正确；

对于D：由右图知样本中35岁以上的人对地铁建设关注度更高，故D正确.

故选：C.

4.将函数/(x)=3sinx+Gcosx的图象向右平移。(0>0)个单位长度后的函数图象关于原

点对称，则实数。的最小值为()

7171-兀兀

A.-B.—C.—D.一

6432

【正确答案】A

【分析】利用三角恒等变换化简函数/(x)的解析式，利用三角函数图象变换求出平移后所

得函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可求出。的表达式，即可求得。的最小值.

【详解】因为/（x）=3sinx+百COSX=273sin^x+-^-j,

将函数/（X）的图象向右平移9（9>0）个单位长度可得到函数了=263!1、+e-9）的图象，

由题意可知，函数尸27^山口+・-，的图象关于原点对称，

JTJT

所以，——0二左兀（左EZ）,所以，9=——左兀（左EZ）,

66

jr

因为夕>0,故当上=0时，。取最小值

6

故选：A.

5.已知随机变量J〜N（2,〃），且尸（JWl）=尸仔2。+2）,则J——」（x>0）的最大值

为（）

A.3+2A/3B.3-2百

C.2+6D.2-V3

【正确答案】D

【分析】根据正态分布的性质求出。的值，则」--「丁=J—-」，令

1+ax1+31l+xl+3x

/（'）="--」，尤e（0,+8）,则〃」=I利用基本不等式求出3x+^+4的最

1+xl+3x3x+-+4X

x

小值，即可得解.

【详解】因为随机变量4〜N（2,/）,且尸合Vl）=尸化Za+2）,

所以尸(JW1)=P《W3),即a+2=3,所以〃=1,

111

所以

1+axl+3x1+xl+3x

1

令/(x)=-------------,XG(0,+00),

v71+xl+3x

所以/（”）=占一11+3x—1—x2x2

l+3x(l+x)(l+3x)l+4x+3x23X+1+4,

x

14=26+4,当且仅当3x=,，即x=YI时取等号,

X3x+-+4>2J3x--+

xXx3

22

所以“x）=<■=2-出

2G+4

3rx+—1+4)

x

即上一£口＞°）的最大值为2-6

故选：D.

6.正四棱柱48co-4耳G2中，AB=2,P为底面44G2的中心，w是棱48的中点,

正四棱柱的高〃e[3,2拒],点M到平面尸CD的距离的最大值为（）

A.巫B.»C.晅D.卫

3339

【正确答案】C

【分析】设底面四边形48co的中心为O,连接PO,则PO=〃，设点M到平面尸CD的距

离为d,利用等体积法求解即可.

【详解】设底面四边形48co的中心为O,连接尸O,则尸。=〃，设点M到平面尸CD的距

离为d,oc=OD=C，PC=PD=」2+林，

则PC。中，CD边上的高为也+上_1=后¥，

则S.—2xM=ks2=；x2x2=2,

Vp-MCD，

得§xSPCDxd=—xSMCDxh，

128

由片[0,2亚],得/e[2,8],则1+^e苫,]则;7T*3?9

L」h.X/.1+F

匚―「2旗47r

所以d£--,§

即点M到平面PCO的距离的取值范围是半，孚

所以点W到平面尸CD的距离的最大值为逑.

3

故选：c.

22

7.已知双曲线£:餐-}=l（a>0,6>0）的右焦点为尸，O为坐标原点，0是双曲线£右支

cOFOQ“

上一点，且2<函<4,则双曲线的离心率为（）

A.2B.V5C.3D.2G

【正确答案】A

【分析】首先表示出焦点坐标与渐近线方程，依题意可得正在而方向的投影的取值范围

为（2,4],当。在右顶点投影取最大值，即可求出c,在取临界位置得到赤在渐近线夕=±2'

a

方向上的投影为2,即可求出6,从而求出。，即可得解.

22E

【详解】双曲线比》-2=1（°>0,6>0）的右焦点为尸（。,0）,渐近线为y=±;x,

cOFOQ._.

因为。是双曲线E右支上一点，且2<函，4,所以正在方向的投影的取值范围

为（2,4],

当。在右顶点时砺在丽方向的投影最大，最大值为口毛卜c,即。=4,

当。在无限远处，此时历在而方向的投影近似而在渐近线y=±2x方向上的投影，但

a

是不能取等号，

所以赤在渐近线夕=±2》方向上的投影为2,则尸（4,0）到渐近线^=±2尤的距离

aa

d="-22=26，

即4=产="=2百,所以6=26，则a=V?^=2,所以离心率e=£=2.

yla2+b2ca

故选：A

8.已知函数/'(x),g(x)的定义域均为R,且满足/(x)-g(2-x)=4,g(x)+/(x-4)=6,

30

g(3-x)+g(x+l)=0,则Z/(〃)=()

n=\

A.-456B.-345C.345D.456

【正确答案】B

【分析】根据递推关系可得/'(-x)+〃x)=8且/'(x)=/(x+2)+2,进而有

/(x)+x=/(x+2)+x+2,构造〃。)=/。)+工易知刀(X)是周期为2,分别求得〃0)=4、

/⑴=3,再求力(0)、〃⑴，根据周期性求八也最后求和.

【详解】由-g(2-x)=4,贝U/(r)-g(x+2)=4,即g(x+2)=/(-x)-4,

由g(x)+/(x-4)=6,贝|g(x+2)+〃x-2)=6,即g(x+2)=6-”工—2),

又g(x)+/(x-4)=6,则g(x+l)+/(x-3)=6,

〃x)-g(2-x)=4,贝1]/(%-1)-8(3-%)=4,

又g(3-x)+g(x+l)=0,

所以g(x+l)+/(x-3)-[/(x-l)-g(3-x)]

=g(x+l)+/(x-3)-/(x-l)+g(3-x)=2,

BP/(x-3)-/(x-l)=2,

即〃x)=〃x+2)+2,

所以-2)=〃x)+2,故g(x+2)=6-4-/(X),

综上/(T)-4=4-/(X),则/(f)+/(x)=8,故上x)关于(0,4)对称,

且有/(x)+X=/(x+2)+x+2,

令/?(x)=/(x)+x,则力(x)=〃(x+2),即%(x)的周期为2,

由g(3-x)+g(x+l)=0知g(x)关于(2,0)对称且g⑵=0,

所以〃0)-g(2)=4,即〃0)=4,则〃(0)=/(0)+。=4,

[/(-1)+/(1)=8

由[二]，、c，可得/⑴=3,则力⑴=〃1)+1=4,

所以A(0)=〃(2)=/(2)+2=4则/(2)=2；

力(1)=耿3)=〃3)+3=4则〃3)=1,

依次类推可得"4)=0,/(5)=-1,……,f(n)=4-n,则/(30)=4-30=-26,

所以£/(«)=/⑴+7(2)+...+/(30)=30*丁6)=_345.

n=l2

故选：B

关键点点睛：根据递推式得/'(-xHA尤)=8且/(x)=/(x+2)+2,构造〃(x)=〃x)+x并确

定其周期，依据周期性求”叽

二、多选题

9.下列说法正确的是()

A.[a+b^-c=a-c+b-c

B.非零向量力和B，满足p|<W且£和右同向，则。〈力

c.非零向量Z和B满足B+刃卜卜一阳则£,否

D.已知2=(2,9,3=(1,6),贝壮在右的投影向量的坐标为:，罟

(22)

【正确答案】AC

【分析】根据数量积的运算律判断A、C,根据向量的定义判断B,根据投影向量的定义判

断D.

【详解】对于A：根据数量积的运算律可知+=故A正确；

对于B：向量不可以比较大小，故B错误；

对于C：非零向量工和[满足卜+,=卜_阳则(r+q,

即/2a务b2=a-2ab片，所以。%=0,则。。，故C正确；

对于D：因为“=(2,A/^),b=,所以0=1x2+>/§=5,|S|=^l2=2,

a-bb51/,rr\(55百、

所以。在后的投影向量为W(N3)=K，MJ,故D错误；

故选：AC

10.平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图(1).它的画法是

这样的：正方形/BCD的边长为4,取正方形/BCD各边的四等分点E,F,G,X作第二

个正方形，然后再取正方形斯G"各边的四等分点M,N,P,。作第三个正方形，以此方

法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形边长为生,后续各正方形边长

依次为外，%，.•・，。,，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为4,后续各

直角三角形面积依次为仇，仇，…，b.则（）

B.从正方形N3C。开始，连续3个正方形的面积之和为32

C.使得不等式〃成立的"的最大值为3

D.数列也,｝的前〃项和S“<4

【正确答案】ACD

【分析】根据题意，｛%｝,也｝都是等比数列，从而可求｛%,｝,也｝的通项公式，再对选项

逐个判断即可得到答案.

【详解】对于A选项，由题意知，却“

所以%包=乎%,又因为q=4,

所以数列｛%｝是以4为首项，回为公比的等比数列，故A正确；

4

对于B选项，由上知，=4x，%=4,a2=V10,。3='1，

所以a；+q；+〃；=4?+可+。苧故B错误;

对于C选项，b“，x%x2=

244

1

易知也｝是单调递减数列，且“=<-，

2

故使得不等式成立的的最大值为3,故C正确;

35

1-

对于选项，因为$

D=25，且〃£N*,

U4

8

5

所以0<1-<1,所以邑<4,故D正确;

故选：ACD.

11.如图，在矩形4EFC中，/石=2仃，跖=4,8为后尸的中点，现分别沿/8、3。将ABE、

△5CV翻折，使点£、尸重合，记为点P,翻折后得到三棱锥尸-/BC,贝I(

A.PBLAC

B.三棱锥尸-N3C的体积为位

3

C.三棱锥尸-4BC外接球的半径为运

2

D.直线尸N与3C所成角的余弦值为1

6

【正确答案】ACD

【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；求

出48C的外接圆半径，结合尸3,平面融C,可求出三棱锥尸-/8C的外接球半径，可判

断C选项；利用空间向量法可求出直线E4与BC所成角的余弦值，可判断D选项.

【详解】对于A选项，翻折前/ELBE,CF1BF,

翻折后，则有PB±PC,

因为尸/CPC=尸，PA、PCu平面上4C,

所以AP_L平面P4C,故A对;

对于B选项，在△取（?中，PA=PC=25/C边上的高为,（26）2-22=2心,

所以/TBC=%,4C=!X；X4X2^X2=^，故B错；

对于C选项，因为尸/=尸。=2&,AC=4,

士工m-T4BP^2+PC2-AC212+12-161

由余弦定理，可得cos乙4尸C=-----------------------=---------------=-,

2PA-PC2x123

则sinZAPC=71-cog2ZAPC='1=-^~,

AC43后

所以△上4c的外接圆的半径一2sinNN尸C-4行一2

—

设三棱锥2-Z3C外接球的半径为R,

因为5尸，平面力C,所以及2=r+（工.丫=2+1=11,所以及=立1,

（2J222

即三棱锥尸-NBC外接球的半径为11,故C对;

2

12+12-161

对于D选项，在中,cosZAPC=

2x26x26~3）

BC=^PC2+PB2=J12+4=4，

/一►一PA.RC莎•（左一丽）莎.左-2.而

则cos（尸4BC）=E^

'/附附2>/3x4-86

2^/3X2A/3x6

-8G6

所以直线尸4与直线3C所成角的余弦值为由，故D对.

6

故选：ACD.

12.在平面直角坐标系xOy的第一象限内随机取一个整数点（x,y）（x,y=1,2,3,eN）

若用随机变量〃表示从这二个点中随机取出的一个点的横、纵坐标之和，尸偌=x,Z7=b）表

示&=x,〃=b同时发生的概率，则（）

A.当〃=3时，P（〃=3怛=2）=；

B.当〃=4时，尸（J+〃=8）=上

C.当〃=5时，〃的均值为6

D.当〃=左（左22且左eN*）时，尸监=左,〃=2左）==

【正确答案】ACD

【分析】利用条件概率公式可判断A选项；列举出满足J+〃=8的点的坐标，利用古典概率

公式可判断B选项；利用离散型随机变量的期望公式可判断C选项；列举出满足4=左，

1=2k的点的坐标，利用古典概型的概率公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，当〃=3时，整数点共9个，则尸（J=2）=g,

由]=x+y=3得。=1，即满足4=2，〃=3的点的坐标为（2,1），

/,、尸（J=2,〃=3）11

所以，P（〃=3,=2）=p（.=2）=产，人对；

对于B选项，当〃=4时，整数点共16个，

O1

满足4+〃=2工+/=8的整数点为（2,4）,（3,2）,则P（J+〃=8）==1B错;

71T6o

对于C选项，当〃=5时，

〃的可能取值有2、3、4、5、6、7、8、9、10,此时，样本点共25个，

满足〃=x+y=2的点为(1,1),贝i]p(〃=2)=《，

满足〃=x+y=3的点为（1,2）、（2,1）,贝|]尸（〃=3）=（，

满足〃=x+y=4的点为（1,3）、（2,2）、（3,1）,则尸（〃=4）=5，

满足〃=x+y=5的点为（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1）,则P5=5）=[,

满足〃=x+y=6的点为（1,5）、（2,4）、（3,3）、（4,2）、（5,1）,贝i]=6）=5=（

满足〃=%+了=7的点为（2,5）、（3,4）、（4,3）、（5,2）,贝”（〃=7）=（,

a

满足〃=彳+了=8的点为（3,5）、（4,4）、（5,3）,贝i]=8）=2，

满足〃=彳+）=9的点为（4,5）、（5,4）,则尸（〃=9）=1,

满足〃=x+〉=10的点为（5,5）,则尸（〃=10）=4,

故当〃=5时,

123414321

£（〃）=2x----i-3x----i-4x----i-5x----i-6x—+7x----i-8x----i-9x----FlOx——=6,C对;

v725252525525252525

对于D选项，满足理解为［一'则尸（"32力记,D对.

故选：ACD.

三、填空题

13.（x+2y丫展开式中二项式系数最大的项的系数为.

【正确答案】160

【分析】利用二项式系数的单调性结合二项式定理可求得展开式中二项式系数最大的项的系

数.

【详解】由二项式系数的基本性质可知（x+2y丫展开式中二项式系数最大的项为

33

7；=C^-x-（27）=160xy.

因此，展开式中二项式系数最大的项的系数为160.

故答案为.160

14.已知直线/过圆（X-1『+/=1的圆心，且与圆相交于A,8两点，尸为椭圆一+?=1上

9o

一个动点，则也.而的最大值与最小值之和为______.

【正确答案】18

【分析】求出圆的圆心。（1,0）,根据题意可得前=-0Q、a-c<\^o\<a+c,利用平面

向量的线性运算可得9•丽=|西即可求解.

【详解】圆（工一咪+丁=1，圆心。（1,0）,半径厂=1,

因为直线/过圆（x-lj+_/=1的圆心，且与圆相交于A,B两点,

所以布=一切，又椭圆口+『=1,贝h=3,c=l,右焦点为（1,0）,

所以西.丽=（的+丽）.（西+可§）

2

二（西+西.（西_西=西2—即2=西|I-1.

Xa-c<|pq|<cz+c,gp2<|pq|<4,所以西『一1415,

即3V苏•丽V15，所以莎.丽的最大值为15,最小值为3.

则莎•方的最大值与最小值之和为18.

15.从1,2,3,4,5,6,7,8中依次取出4个不同的数，分别记作。,6,c,d,若a+b和c+d

的奇偶性相同，则。,6,cS的取法共有种（用数字作答）.

【正确答案】912

【分析】分类讨论两组数的奇偶性即可.

【详解】若6和c+d都是奇数，贝!I。,6为一奇一偶，c/也一奇一偶，

有2C；-C；x2C；C=576种取法；

若6和c+d都是偶数，则有以下两种情况：

①a,6两奇（偶）数，c,d两奇（偶）数，有2A；x2=48种取法；

②a,6两奇（偶）数，c”两偶（奇）数，有2A>A：=288种取法；

共计576+48+288=912种取法.

故912

16.已知不等式x+alnx-x"+gwO对任意xe（l,+s）恒成立，则实数。的最小值是.

【正确答案】-e

【分析】将已知不等式变形为er—IneT^x"—Inx"，构造函数/(x)=x-ln无，利用导数分

析函数/(X)的单调性，考虑”为负数的情形，可得出/We-3分参后可得a2利用

Inx

导数求出g(x)=-高在(1,+⑹上的最大值，即可得出实数。的最小值.

【详解】由、。%-+与20可得x+才“2£-alnx=£-ln£，We-x-lne-x>xa-inxa，

e

i_i

构造函数/■(尤)=x-lnx,其中x>0,则/(无)=1_上=Y^.

XX

当0<x<l时，r(x)<0,此时函数/(x)单调递减，

当x>l时，/(x)〉o,此时函数/'(X)单调递增，

因为尤>1,贝！J-xc-l,则0<尸<1,

e

要求实数”的最小值，考虑。<0,贝Ijo<x"<l,

由e"—lne一工之£—Inx〃可得f(片、)/(一),

因为函数/'(x)在(0,1)上单调递减，则x"2eT,

不等式x">e-x两边取自然对数可得aInX2-X,

x

因为x>l,则lnx〉0,可得一,

mx

x“、1-lnx

令g(x)=-嬴，其中X>1,贝IJg(小市了，

当l<x<e时，g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增，

当X>e时，g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减，

所以，函数g(x)在(1,+8)上的最大值为g(e)=-e,所以，心一e.

因此，实数。的最小值为-e.

故答案为.一e

结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：

(1)VxeD,m<f(x)<^m<f(x)m.n；

(2)VxeD,m>/(x)<=>m>f(x)max；

(3)3xeD,7M</(x)om</(x)max；

(4)3XED,7M>/(x)-»m>/(x)min.

四、解答题

17.已知两个正项数列｛叫，色｝满足(%-“应=1,-=477

a〃〃十］

(1)求｛。"｝,也｝的通项公式；

(2)若数列｛的｝满足cn=&+。,用］+%其中［司表示不超过x的最大整数，求｛c“｝的前”项和

S,.

【正确答案】(I)%,b=n

nit

(2)5"

【分析】⑴依题意可得%，=〃2+l,anbn=\+b；,即可求出6.、an

(2)根据高斯函数先推出［%+%+」的解析式，再运用等差数列求和公式计算可得.

【详解】⑴由一点I，得3"+1,

由(。"一幻”=1,得a也=1+%：.£=/，因为｛，｝是正项数列，

n2+\1

----------=7Z+—;

b,n

4,“=1

(2)因为[%+4+i〃+4+"+i+-L=2〃+1

nn+1nn+2〃+1,〃22’

5,n=1

所以，]+〃

3〃+1,“22’

所以当“22时S“=5+7+10+…+(3〃+1)

…(7+3〃+l)(〃-1)」加+5〃+2

2

当〃=1时耳=5满足与

所以S.

18.在45C中，内角A、B、。所对的边分别为。、b、c,已知65出14+1卜45吊8=0.

⑴求角A；

DQ

⑵若。为边8C上一点(不包含端点)，且满足N4D8=2//C8,求二的取值范围.

【正确答案】(1)/=5

⑵（°』）

【分析】(1)利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan/的值，结合角A的取值

范围可得出角A的值；

27r7T

(2)分析可得4D=C。，B=--C,ZBAD=--C,求出角C的取值范围，由正弦定理

可得出型一1,结合正切函数的基本性质可求得处的取值范围.

CDV3+tanCCD

【详解】(1)解：由6sin]/+m]-asinB=。结合正弦定理可得：

(16161)

sin8—sinAH---cosA-sin^4sin5=0,则sinB——cosA——sinA=0,

2222

V7\7

因为A、Be（0,7i）,则sin5>0,所以，百cosZ=sin/>0,

可得tan4=6，故力=三.

（2）解：由ZADB=2ZACB可得NG4D=ZADB—ZACB=ZACB,所以，AD=CD,

TT

所以，C</BAC,故0<C<§,

BDCD

由正弦定理可得;ql1pm(;一°，

所以叽SMEfcoscTsinC.tanC：2己1

，CDsin停-c］且cosC+2sinC百tanC«+tanC，

因为Ce［o（］,贝！］0<tanC<6,所以，竺——le（0,1）.

ICDV3+tanC''

所以，器的取值范围是（°」）.

19.如图，在四棱锥尸—48CD中，尸/平面/BCD,ABIICD,ABJ.BC,PA=AB=BC=2,

CD=4.

(1)证明：ADA.PC；

(2)若M为线段必的靠近B点的四等分点，判断直线与平面PDC是否相交？如果相交,

求出尸到交点H的距离，如果不相交，说明理由.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)相交，PH=6

【分析】(1)依题意可得NC=2后，ZBAC=ZDCA=45°,利用余弦定理求出4D,即可

得到/C_L/D,在由线面垂直得到尸/_L4D,即可得到4D_L平面HC,从而得证；

(2)过点尸作直线连接并延长交/于点反，即可证明点”为直线与平面

尸。。的交点，再利用三角形相似求出阳\

【详解】(1)连接NC,因为/3//CD,AB1BC,PA=AB=BC=2,CD=4,

所以43C为等腰直角三角形，

-,-AC=242,NB4C=NDCA=45。,

•在△D/C中，由余弦定理得4D?u/cz+DCZ-Z/CMCcosN/CZ),

即/加=(2应『+42-2X20X4X¥，所以AD=2也，

AC2+AD2=DC2,/.ACVAD.

又尸/_L平面48cD,4Du平面48C£>,

PALAD.

又ZCnPN=4/C,P/u平面融C,

AD±平面PAC,

：尸。<=平面上4。，

/.ADVPC.

(2)过点尸作直线〃/48,连接/M并延长交/于点7/,

因为PHHAB,豆ABHDC,

所以PH//CD,所以P、H、C、。四点共面，

所以点尸e平面尸DC,

所以点H为直线与平面PDC的交点，

易知AMBsHMP,M为线段的靠近8点的四等分点,

*2PHPM,

所以一=——=3,

ABMB

所以P"=348=6.

20.《周易》包括《经》和《传》两个部分，《经》主要是六十四卦和三百八十四爻，它反映

了中国古代的二进制计数的思想方法可以解释为：把阳爻“一”当做数字“1”，把阴爻

”当做数字“0”，则六十四卦代表的数表示如下:

卦名符号表示的二进制数表示的十进制数

坤三~0000000

hI

miI

剥I0000011

比二ZZ0000102

例如,成语“否极泰来”包含了“否”卦三和“泰”卦=H,“否”卦所表示的二进制数为

000111,转化为十进制数是0x25+0x24+0x23+1x22+1x21+1x2°=7,“泰”卦所表示的二

进制数为111000,转化为十进制数是1x25+1x24+1x23+0x22+0x21+0x2°=56.

(1)若某卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和；

(2)在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻均相邻，则记3分；若只有两

个阳爻相邻，则记2分；若三个阳爻互不相邻，贝！I记1分，设任取一卦后的得分为随机变量X,

求X的分布列和数学期望E(X).

【正确答案】(1)315

(2)分布列答案见解析，E(X)=2

【分析】(1)列举出所有满足条件的二进制数，结合等比数列的求和公式可求得所有这些卦

表示的十进制数的和；

(2)分析可知随机X的所有可能取值有1、2、3,计算出随机变量X在不同取值下的概率,

可得出随机变量X的分布列，进而可求得E(X)的值.

【详解】(1)解：因为该卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，

所以该卦所表示的二进制数共有C；=6个，分别为111110、111101、111011、

HOUK10111K011111,

这6个数中，每个位置可是5次1,1次0,

所以，所有这些卦表示的十进制数的和为5x(25+24+23+22+21+2°)=g^^=315.

(2)解：由题意可知，随机变量X的所有可能取值有1、2、3,

则尸(X=l)=4=LP(^=2)=4=—尸(X=3)=g=L

、C：5、,仁205、C：5

所以，随机变量X的分布列如下表所示:

LOnn

H010

131

所以，£,（X）=lx-+2x-+lx-=2.

21.已知抛物线氏了2=2/（。>0）,过点（-1,0）的两条直线4、4分别交E于A、8两点和

c、。两点.当4的斜率为g时，恒却=2而.

（1）求E的标准方程；

（2）设G为直线AD与3C的交点，证明：点G在定直线上.

【正确答案】（l）/=2x

⑵证明见解析

【分析】（1）当直线4的斜率为十时，写出直线4的方程，设点/（尤”乃）、双马,%）,将直

线4的方程与抛物线E的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于。的方程，结

合A>0可求出P的值，即可得出抛物线E的标准方程；

（2）分析可知直线4、4都不与x轴重合，设直线的方程为了=冲-1,将该直线的方程

与抛物线的方程联立，设/［1/J、台］］，%］，由韦达定理可得=2,同理可得出

%”=2,写出直线的方程，求出这两条直线的交点G的横坐标，即可证得结论

成立.

【详解】（1）解：当直线4的斜率为3时，直线4的方程为y=#x+l）,设点/（和必）、

5（9，%），

y2=2px

联立<I,可得12+2（l—4夕）x+l=O,

A=4(1-4^)2-4=4(16/-8/?)>0,因为p>0,可得p>g,

由韦达定理可得石+工2=8〃-2,x,x2=1,

耳+毛J一4大王=-^8p-^2-4=i/^0,

\AB\=

整理可得2P2_°_i=o,解得p=l或。=一;（舍去）,

因此，抛物线E的方程为必=2x.

（2）证明：当直线4与x轴重合时，直线4与抛物线E只有一个交点，不合乎题意,

所以，直线4不与x轴重合，同理可知直线4也不与x轴重合,

x=my-1

设直线NB的方程为尤=7町-1联立可得V-2加y+2=0,

y2=2x

则A=4m2一4〉0可得加2>1,

设点/［［，乂；由韦达定理可得X%=2,

设直线CD的方程为》=町-1,设点c［；,为）同理可得为乂=2,

直线/。的方程为了一为=±^［尤-9）,即夕=二一》+上二，

%%'）必+为弘+”

2

化简可得2尤-（乂+%）了+%%=0,

同理可知，直线的方程为2》-包+%）夕+，2%=°，

因为点（T,。）在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知,

交点G必在垂直于x轴的直线上，所以只需证明点G的横坐标为定值即可,

2x-(yl+y4)y+y1y4=0

由，消去九

?.x-(y2+y3)y+y2y3=Q'

因为直线4D与8c相交，则乂+为H%+%,

铲徂=%%(弘+%)-%%(%+%)=%%%+为%乂一%一%力乂

牛学2[(%+%)一(耳+%)]2[包+为卜包+以]

_2%+2%-2%-2y4=1

2[(%+%)-(凹+%)]'

所以，点G的横坐标为1,因此，直线/。与8c的交点G必在定直线x=l上.

方法点睛：利用韦达定理法解