浙江省丽水湖州衢州三市高三年级下册二模数学试卷

丽水、湖州、衢州2024年4月三地市高三教学质量检测试卷

数学试题卷

L本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上

3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处

用橡皮擦净.

4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用

2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.掷两枚质地均匀的骰子，设/="第一枚出现奇数点"，8=“第二枚出现偶数点”，则A与3的关系为

（）.

A.互斥B.互为对立

C.相互独立D,相等

【答案】C

【解析】

【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可.

【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设2="第一枚出现奇数点"，8=“第二枚出现偶数点”，

事件A与3能同时发生，故事件A与B既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A,B错误；

P⑻U，p（^）=|x|=r。⑷"⑷二义卜?

因为尸（Z）•尸（8）=尸（48）,所以A与8独立，故选项C正确；

事件A与3不相等，故选项D错误.

故选：C.

2.双曲线——]=1（加〉o）的渐近线方程为＞=±2x,则加=（）

m

A.yB.也C.41D.2

-2

【答案】D

【解析】

【分析】借助渐近线的定义计算即可得.

【详解】由题意可得国=2,又加＞0,故加=2.

1

故选：D.

3.复数z满足问=1(i为虚数单位)，则|z-4+3i|的最小值是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的几何意义及两点间的距离公式即可求解.

【详解】设z=x+jd,(x/£R),则

所以iz=i(x+yi)=xi^i2=-y+xi9

|回=|-J+刈=m+㈠)2=^x2+y2

又问=1,

所以尸万=1，gPx2+j2=l,

所以z对应的点(xj)在以原点为圆心，1为半径的圆上，

|z—4+3i|=|x+yi—4+3i|=J(x-4『+(y+3『表示复平面内的点(xj)到点(4,-3)的距离,

22

所以|z—4+3i|的最小值是^(4-0)+(-3-0)-1=4.

故选：B.

4.已知平面向量£、否满足恸=2卜|=2,若。_1_(4+否)，则[与否的夹角为()

7C571712兀

A.-B.—C.—D.—

6633

【答案】D

【解析】

【分析】依题意可得鼠(£+3)=0,根据数量积的运算律求出£石，再由夹角公式计算可得.

【详解】因为国=2“=2,且+所以a.(a+B)=0,即/+"=()，

所以"=_/=_],

cCl，b—11rr

设Z与B的夹角为e，则。°$，=邸|=五万=-5,因为6e[0,7i],

27r2冗

所以夕=」，即£与B的夹角为」.

33

故选：D

5.已知各项均为正数的等比数列｛斯｝的前〃项和为S”且满足06.3°4,一的成等差数列，则”=()

A.3B.9

C10D.13

【答案】C

【解析】

S_S+q2S

【分析】由已知条件可得6。4=。4(中一夕)，解得夕=3,所求±22，将9=3代入，可得结果.

S?

【详解】设等比数列｛斯｝的公比为外因为46,344,一的成等差数列,

所以6。4=。6—。5，所以6〃4=。4(小一夕).由题意得。4＞0，夕＞0.

所以/一9一6=0,解得q=3,所以=1+炉=10.

邑邑

故选：C

【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质的应用，属于基础题.

6.将函数/(x)=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足

TT

|/(石)一g(%)|=2的西,尤2，有。-/L1n=一，则。=()

3

7171715兀

A.-B.-C.一D.—

64312

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数图象的平移可得g(x)=cos(2x-20),利用三角函数的最值，求出自变量为，巧的值，

然后判断选项即可,

【详解】因函数/(x)=cos2x的最小正周期为71,

将/(X)的图象向右平移。0＜。＜、个单位后得到函数g(x)=cos(2x—2。)的图象,

若对满足U(xJ-g(%)l=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2,有忖-/L=：，

JTTT

不妨玉=0，则入2二±§，即g(x)在入2=±§取得最小值，

7T7T

当X2=1时，cos(2x-j-2夕)=-1,

此时----2夕=兀+2E,(p--------ku,kEZf不合题意0<0<—，

362

当=一巴时，cos(一女一2夕)二一1,

33

此时-----2^9=7i+2ATI,(p------kit,kE7J1当左=0,(p——满足题意，

366

故选：A,

22

7.已知椭圆C:\+==l(a>6>0)，K，工为左、右焦点，P为椭圆上一点，/片盟=60°,直线

ab一

/:y=-x+/经过点尸.若点心关于/的对称点在线段片尸的延长线上，则。的离心率是()

A,-B.—C.1D.-

3223

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，得到点”与点心关于？H对称，且为等边三角形，在与中，利用正弦

定理得到‘~J~匚=―—

'结合W=sinlW。'即可求解.

sin15°+sin105°sinZFXPF2

【详解】由直线/：y=-x+/,且点《关于/的对称点在线段片尸的延长线上,

如图所示，可得点M与点心关于？H对称，且/为隼=60。，

可得APEM为等边三角形，则NP£M=60。，

又？H的倾斜角为135。，则N^N9=45。，所以NMV/=45。，

在△两巴中，有/片尸6=60°,8=105°,NP耳片=15°,

“附附\FF\

1xX,II_1^1,…uj1寸M+\PF2\X2

sinZPF2FXsinZPFXF2sinZFXPF2sin15°+sin105°sinZFXPF2

2a2c

即---------------=-----------,

sin15°+sin105°sinAFXPF2

又因为sinl5°=sin(45°-30°)=-^-x^-x—=

22224

sin105°=sin(60°+45°)=—x—+-x—=逐+亚

22224

所以e=£=sin60°_______2_______旦

asin15°+sin105°V6—V2s[6+y/2

-----------1-----------

44

故选：B.

8,已知正实数玉,%2，%3满足工：+2再+1=占2*,x；+3%+1=、23电，x；+4/+1=&4"3贝！1匹,%2，%3的

大小关系是（）

A.x3<x2<%B.x1<x2<x3

Cx1<x3<x2D,x2<<x3

【答案】A

【解析】

【分析】依题意可得Xi+^=2%—2,%+'=3*2—3,退+工=4'3-4,令/(x)=x+』，xe(O,+°),

X1%2*3X

则问题转化为判断函数与对应函数的交点的横坐标的大小关系，数形结合即可判断.

【详解】因为为fx2,x3为正实数，且满足%；+2/+1=%2”,%2+3%+1=%23出，、；+4/+1=七4巧，

则X；+1=玉2"—2再,%2+]=%3*2—3%2，%；+1=&4"—4%3，

所以^^=2小一2,^^=3工2—3,=4,

国x2x3

X2X3

则再+工=2$_2,x9+—=3-3,x3+—=4-4,

X]x2x3

令/(x)=x+—,xe(0,+oo),

X

由对勾函数的性质可得/(x)=x+L在(0,1)上单调递减，在(1,+。)上单调递增，且/(1)=2,

满足玉+工=2$—2的为即为歹=/(x)与y=2'—2的交点的横坐标，

X1

满足3+J=34-3的巧即为J=/(%)与y=3工—3的交点的横坐标，

满足退++=4*-4的当即为y=/(x)与了=4,一4的交点的横坐标，

在同一平面直角坐标系中画出＞=/(x)、y=2x-2＞y=3*—3、y=4,—4的图象如下所示:

由图可知&＜%2

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为函数y=/(x)与相应的指数型函数的交点的横坐标的大小

关系问题，准确画出函数图象是关键.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据为,乙，七，与，%的平均数是元，方差是§2,极差为R,则下列判断正确的是()

A,若叫+仇(2%2+”以3+6，G4+仇以5+“办6+6的平均数是/，则6

B.若西,2X2,3X3,4X4,5X5,6X6的极差是R「则R}＞R

C.若方差s?=0,则X]=%==X4=毛=

D,若X]＜/＜当＜匕＜毛＜玉)，则第75百分位数是“；%

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题意，利用平均数、方差的计算公式，以及极差的定义和百分位数的计算方法，逐项判定，

即可求解.

【详解】对于A中，由

—1

%=—（ax]+“ax+b,ax+b,ax+b,ax+b,ax+b）

623456

1z1-

=一[。（西+x+x+x+x+X）+6Z>]=a-—（x+x+x+x+x+x）+b=ax+b

6234566123456f

即玉）=。三+Z?,所以A正确；

对于B中，例如：若样本数据-10,-4,-3,-2,-1,0,可得极差为R=10

此时数据七,2%2,3%3,414,5%,6工6的极差为火1=10，此时R=所以B不正确；

对于C中，由S2二一[（玉一X）2+（马-X）2+（天-%）？+-+（毛一/]+（“6-'P]二0，

6

若Y=0,可得X]=%=&="4="5="6，所以C正确；

对于D中，由6x75%=4.5,所以数据的75分位数为毛，所以D不正确.

故选：AC.

10.已知直三棱柱48。-4AG中，AB，BC且AB=BC=2,直线4c与底面43。所成角的正弦值

为立，则（）

3

A.线段4c上存在点D,使得48，/。

B.线段4。上存在点D,使得平面DBB]±平面DCC,

4

C.直三棱柱48c-44cl的体积为§

D.点片到平面48C的距离为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据直三棱柱的性质得到幺4，底面48。，则N4C/即为直线4c与底面48C所成角，利用锐

角三角函数求出441，由柱体的体积公式判断C,建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、B、D.

【详解】在直三棱柱ABC-44G中，Z4，底面ABC,

则ZA.CA即为直线4。与底面ABC所成角,即sinAAXCA二号

•~2~/V6

则cos/4c4二-sinCA.——

广…sin/4cz4V2

所以tanZACA=------!---

cos//。"T

又AB人BC且AB=BC=2,所以ZC=V?TF=2近,

又44］，底面48。，NCu底面45C,所以

所以tan/4cz=9=正，解得2/=2,

1CA2

所以直三棱柱44G的体积H=gx2x2x2=4,故C错误;

又5瓦，底面48。，AB1BC,如图建立空间直角坐标系，

则8(0,0,0),C(0,2,0),4(2,0,0),4(2,0,2),5,(0,0,2),G(0,2,2),

所以凤=(2,0,2),丽=(—2,2,—2),因为点力在线段4。，

设踵=2丽=(-22,22,-22),2e[0,l],

则诙=而+丽=(0,0,2)+(-22,22,-22)=(-22,22,-22+2),

若48,2。，则可.々=0,即2(—22)+2(—24+2)=0,解得2=；,

此时。为线段4c的中点，

故在线段4。上存在点。，使得48，/。，故A正确；

当。为线段4c的中点时£>(1,1,1),则丽=(1,1,1),函=(0,0,2),

设平面A8Q的法向量为比=(x/,z),

m♦BD=x+v+2=0/、

则一，，取应=。,—1,0),

m-BB,=2z=0

又丽=(1,—1,1),cq=(0,0,2),设平面CG。的法向量为万=(a，"c)，

nCD=a-b+c=0,、

则＜—,，取万=(1,1,0),

H-CC1=2c=0

因为玩•万=lxl+lx(—l)+0x0=0,所以平面。AS1，平面。CG，

即当。为线段4c的中点时满足平面DBB]±平面DCCX,故B正确；

又反三(0,2,0),可=(2,0,2),函=(0,0,2),

设平面48c的法向量为力=(4y/1),贝时_-，取力=(1,0,—1),

"•84=2X]+2Z]=0

I函词2L

11

则点B]到平面AXBC的距离d=,,=二=行，故D正确.

同V2

故选：ABD

11.已知函数/(X)的定义域为R,且/(X+J)-/(X-J)=/2(x)—/2(y)J⑴=2j(x+l)为偶函数,

则()

A./(3)=2B./(x)为奇函数

2024

c./(2)=0D.£/(k)=0

k=l

【答案】BCD

【解析】

【分析】借助赋值法令x=l,y=0,可得/(o)=o,令x=0,y=x可得/(x)为奇函数，结合/(X+1)

2024

为偶函数，可得/(3)、/(2),亦可得其周期，即可得工/(左)・

左=1

【详解】令x=l,y=0,则有=—/2(0),故/2(0)=0,即/(0)=0,

令x=o,y=x则/(6・/(一力=/2(0)一/2(力,

即/31/(-》)+/(力］=0恒成立，故/(—X)=—/(X),

又函数/(x)的定义域为R,故/(X)为奇函数，故B正确；

则=—/(1)=—2,又/(x+1)为偶函数，

故/(x+l)=/(—x+1),则/(—l)=/(3)=—2,故A错误；/(2)=/(0)=0,故C正确；

/(x+l)=/(-x+l)=-/(x-l),则/(x+3)=_/(x+l)=/(x-l),故函数/(x)的周期为4,

2024

/(4)=/(0)=0,则£/1(左)=506[/⑴+/(2)+5(3)+/(4)]=506x(2+0—2+0)=。,故D正

k=l

确.

故选：BCD.

【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题的结论：

(1)关于对称：若函数/(x)关于直线x=a轴对称，则/(x)=f(2a-x),若函数/⑴关于点(a,6)中心

对称，则/(x)=2b~/(2a-x),反之也成立；

(2)关于周期：若/(x+a)=—/(x),或/(x+a)=二二，或/(x+a)=—二二，可知函数/⑴的周

/(X)/(X)

期为2a.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在中，角4民。的对边分别为见“c,8=；,c=边上的高等于:。，则的面积

是,sin4=.

【答案】①.-②.豆叵

210

【解析】

【分析】作垂足为点D,在Rt4/如中，由勾股定理求得。=3,同理可得6=石，由三角

形面积公式求面积，最后利用余弦定理求siM.

【详解】在一5。中，作垂足为点。，

则又B」,C=6,

34

在中，AB2=AD2+BD2，

191?

即一/+—/=2,解得Q=3,

99

iiBo

所以S=—AB-5C.sinAABD=—xV2x3x=—，

ATiC2222

在Rt^ZCD中，/。2=4。2+002=1+4=5，所以b=后,

3_V5

由正弦定理，-----二-----即sin/.兀可得sirvl=

sinAsinBsin—10

4

故答案为：独。

210

13.已知圆C:加%?+（2加-l）j?-2ax-。-2=0,若对于任意的ae],存在一条直线被圆。所截得的

弦长为定值〃，则加+〃=.

【答案】e+i##i+J7

【解析】

【分析】由圆的方程的特征求出加，再将圆的方程化为标准式，令。=、a=1得到两个圆的方程，两圆

作差得到公共弦方程，求出公共弦长，即可求出〃.

【详解】圆。：皿？+（2加一I）〉？一2（7%-。一2=0,

则m=2m-T,解得m=l,

所以圆C:x?+y"-2ax—a—2=0,即（x—。）一+y2=+a+2,

由题设，令a=0可得=2,令。=1可得（x—1『+了2=4,

显然两圆相交，则两圆方程作差可得x=

2

1

.1X二——X=

X二——;或＜~2

由W2,解得《

77

/+/=2y=——

12y=

所以直线x=—；与圆V+j?=2相交的弦长为近,

所以〃=J7，则加+〃=J7+1.

故答案为：V7+1

14.已知正四面体力-BCD的棱长为1,若棱长为。的正方体能整体放入正四面体4-BCD中，则实数。的

最大值为.

【答案】

76+272+3

【解析】

【分析】根据正四面体、正方体的结构特征，可得棱长最大的正方体一底面在正四面体的底面正三角形内，

正方体中与这个底面相对的正方形为该正方形所在平面截正四面体所得正三角形的内接正方形，再利用正

四面体的结构特征计算即得.

【详解】依题意，由正四面体及正方体的几何特征知，要使放入的正方体最大，则正方体的一个底面在正

四面体的一个底面内，

令。是正AASC的中心，则/。上底面45。，而B0=*2=昱,则C0=，次―BO?=逅,

3233

不妨令放入的正方体的底面在正四面体/-BCD在△BCD内，则正方体中与这个底面相对的

底面正方形所在平面截正四面体A-BCD所得截面AEFG是正三角形，

且这个正方形是正△£；石的内接正方形，于是EG='一+。=2阜3。，

sin60°V3

显然三棱锥力-斯G是正四面体，40与平面E/G的交点O'是正△EFG的中心,

于■是，=®EG=显士在a，

A()显然。O'=a,因止匕逐+2J^a+a=zo=逅,

3333

解得。=广娓厂一,

所以实数。的最大值为

V6+2V2+376+272+3

故答案为：「”—

V6+2V2+3

【点睛】关键点点睛：涉及几何体的内接几何体问题，熟悉相关联的两个几何体的结构特征是解决问题的

关键.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.设等差数列｛%｝的公差为d,记S“是数列｛%｝的前〃项和，若$5=%+20,515=a2a3as.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

457、

（2）若4〉0也=———（〃eN*）,数列也｝的前〃项和为7；,求证:T<n+—.

an,an+\"2

【答案】（1）%=8-〃或。“=2〃一1

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据等差数列求和公式及下标和性质得到%=5和15%=5a2a8，从而得到%。或?=3，

再分别求出通项公式；

（2）依题意可得%=2〃-1,求出S〃，贝=1+!^匚-利用分组求和法及裂项相消法计

212〃-12n+lJ

算可得.

【小问1详解】

由S5=%+20,S5=5（%；%）=5a3,得5a3=%+20,解得a3=5,

由$5=%。3a8，*=15（a；.5）二取,所以15a&=5a2a8，所以附=。或出=3，

当/=0时d=—~—=-1,此时=%+（〃-3）d=8—〃；

8—3

当的=3时d=%2=2,此时a“=%+（"—3）d=2〃-1；

综上可得数列｛4｝的通项公式为4=8-〃或%=2〃-1；

【小问2详解】

因为d>0,所以%=2〃一1,则SJ"2"―止■=/

“2

则”上=—㈣一4川—1+1

an-an+l（2W-1）（2Z7+1）（2n-l）（2zz+1）

1+7---------77--------r=1H---------------------

（2〃-1）（2〃+1）2\2n-12〃+1

111111111

所以+1+++•••+1+-

3435257212〃—12〃+1

1111111

=w+—I1—I——I——+•••+

335572n-\2«+1

111

=n+—\1-=n-\-------------------<n+—

2122（2〃+1）2'

16.如图，三棱锥/—5CO中，40，。。,40=。。,/403=/3。。,后为线段/。的中点.

（1）证明：平面平面ZCD；

（2）设4B=BD=3,乳=2万，丽・丽=0,求直线CR与平面45。所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵亚

15

【解析】

【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一及全等三角形的性质，利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判

定定理即可求解；

（2）利用线面垂直的判定定理及性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线C9

的方向向量与平面45。的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系即可求解.

【小问1详解】

因为D4=£>C,E为线段/C的中点，

所以£）£工/。

因为。/=OC,DB=DB,AADB=ZCDB,

所以咨ACDB,

故AB=CB.

又E为线段NC的中点，

所以跖，4C.

又DEcBE=E,DE,BEu平面BED.

所以/CL平面RED

又/Cu平面/CO,

所以平面BED，平面ACD.

【小问2详解】

取ZU的中点G,连接EG,BG,

因为EG为中位线，所以EG//CD,

又ADLCD,所以NOJ_EG.

因为48=50,G为Z)/的中点，所以4D_LBG.

又EGcBG=G,EG,BGu平面BEG,

所以40J_平面BEG,BEu平面BEG,

所以40_LBE,

因为A4=5C,E为/C的中点，

所以/CJ_5£,

又/CnAD=Z,ZC,ADu平面/CD,

所以BE，平面/CD.

以E为坐标原点，分别以EZ、EB、££＞所在的直线为x、V、Z轴，建立空间直角坐标系E-孙Z,如

设/(a,0,0),5(仇0,0),

则£（0,0,0）,£＞（0,0,a）,5（0,“0）,pfo,1,y

^=（0,j,y1丽=（0「仇a）,

又平面48。的法向量万=(0,0,1).

设直线CE与平面45C所成角为，，则

CF-n

sin0=|cosCF.n九£5二工=巫

1|CF|-|M|MI15

所以直线。厂与平面45C所成角为垃5

15

17.设函数〃x)=e*-ln(x+a),aeR.

(1)当a=l时，求函数/(x)的单调区间；

(2)若对定义域内任意的实数x,恒有/(x)之a,求实数。的取值范围.(其中ea2.71828是自然对数的

底数)

【答案】(1)单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+力)

(2)(-oo,l]

【解析】

【分析】(1)求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解；

(2)依题意可得6"-111(X+(2)»4在(-4,+00)上恒成立，设g(x)=e*-ln(x+a)-a,xe(-a,+co),

利用导数说明函数的单调性，即可得到a=」[/且g(x)mm=g(%)=e'。-4+2/20,利用导数求

出％的范围，即可求出。的范围.

【小问1详解】

当a=1时/(x)=eX—ln(x+l)定义域为(—1,+oc),

且f'(x)=ex--—

')x+1

令尸(x)=/,(x)=ex--—,贝WW=eX+广、y〉0,

x+1(x+1)

所以/,(x)=ex——匚在(—1,+s)上单调递增，

JC+1

又/'(0)=0,所以当—l<x<0时/'(x)<0,当x>0时〃(无)>0,

所以/(x)的单调递减区间为(TO),单调递增区间为(0,+司；

【小问2详解】

函数/(%)=6=111(%+4)定义域为(-4,+8),

依题意e*—ln(x+a)»°在(—a,+8)上恒成立，

设g(x)=e"—ln(x+a)—a,xG(-«,+CO),贝-----

x+a

设/z(x)=g'(x)=ex,则h'(x)=ex+-----京〉0恒成立,

v7v7x+a(x+a)

所以g'(x)=e，—士在(-a,+s)上单调递增,

且当X-—。时g'(x)-—8,当Xf+00时g'(x)—+8,

所以骂£(—Q,+oo)使得g'(Xo)=O,即e、。二---,

+a

所以a=---x，

e00

则当xe(―a,Xo)时g'(x)<0,即g(x)单调递减，

当无€(%0,+00)时g'(x)>o,即g(x)单调递增,

所以g(x)mm=g(Xo)=eX°Tn(Xo+a)_a=eX。—In卜+《_/]_15一/

=砂°一-^+2x0>0,

令加(%)=砂——^-+2x,则加'(x)=e*+-^-+2〉0且加(0)=0,

ee

所以加(x)=e“----+2x为增函数，

')ex

由加（玉］）20=加（0）,所以/20,

又^=丁与V=—%均为减函数，所以y=丁-x在［0,+8）上单调递减,

ee

所以当与20时。44一0=1,

e

所以实数。的取值范围为（-8,1］.

18.已知抛物线E:j?=4x，点4瓦。在抛物线后上，且A在x轴上方，8和。在x轴下方（8在。左侧）,

4。关于X轴对称，直线交X轴于点W,延长线段交X轴于点。，连接。Z.

\OM\

（1）证明：:讨为定值（。为坐标原点）;

—•—■8

（2）若点。的横坐标为-1,且=求△幺08的内切圆的方程.

【答案】（1）1

【解析】

【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线Z5的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜

式方程即可求解；

（2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线Z3的方程，利用直线的斜率公式及直

线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.

【小问1详解】

设直线48的方程为*=叩+/（加＞0）,/（国,外）,8（工2,%）,则,

x=my+tr

由2；，消去x，得y—4/W—4/=0,

y=4x

△=160〃2+/)>0=>疗+/〉0,

所以M+%=43M=-4t，

直线8。的方程为^+弘=及土豆（万一再），化简得^=4x必先

%一％y2f

令y=o,得电=学=—乙所以Q（—/,0）

因此四

凶卜4

【小问2详解】

因为点。的横坐标为T,由⑴可知,0（T,O）,M（1,O）,

设勿交抛物线于D,^（x1,y1）,J8（x2,y2）,C（x1,-y1）,£）（x4,y4）,如图所示

_

又由（1）知，y{y2=4,同理可得必乂=4,得乂=一

2

又再+/=myx+1+my2+1=m(^+y2)+2=4m+2,

又A®=(%2-1),MC=(X]-1,一%)，

则MBMC=(%-1)(七一1)一必先=Mx2—(%+/)+1+4=4—4加2

故4一4〃/=白，结合加>0,得加=42.

93

所以直线AB的方程为3x—J7y—3=0,

又必一必==&6加2+16=y,

%=%「%一”一4=4=3

AD

则x,-x4x,-x4%+为%一%4，

44

所以直线Z£»的方程为3x-4v+3=0,

设圆心T(S,0)(T<S<D,

因为加为的平分线，故点T到直线和直线的距离相等,

所以回臼=国二3,因为一1<§<1,解得S=：,

549

故圆T的半径r=?」=—，

53

因此圆T的方程为[x—g]+/=1.

19.为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.若该区域有珍稀

动物活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检出概率）为由；若该区域没有珍稀动物活动，但监测器

认为有珍稀动物活动的概率（即虚警概率）为72•已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为02现用2台该

型号的监测器组成监测系统，每台监测器（功能一致）进行独立监测识别，若任意一台监测器识别到珍稀

动物活动，则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.

（1）若0=0.8,2=0.02.

（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率；

（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率（精确到0.001）；

（2）若监测系统在监测识别中，当0.8