江西省鹰潭市2024届下学期高三第一次模拟考试数学试卷及答案

鹰潭市2024届高三第一次模拟考试

业%，、忆\__ri、]，・

数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共4页.时间120分钟.满分150

分.

第I卷选择题

单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.

A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i

2.已知集合/={x|—_5x<6},集合8={x|x2a},若50他/）,则0的取值范围为（）

A.（6,+8）B.[6,+00）c.（-00,-1）D.（-00,1]

3.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale）设计的，图中每个扇

形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小.某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人

次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（）

A.2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少

B.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多

C.2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增

D.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍

4.设。、6是两条不同的直线，a、6是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A若a//6,alia,则Z?//aB.若a,bl。,则e_L用

C.若aJ■分，aJ■夕，则a//aD.若a//a,则aJ■万

第1页/共5页

5.某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本.其

中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159,男女人数之比为5:3,

则单位职工体重的方差为（）

A.166B.167C.168D.169

cos|4-^-1cos26*

已知，Io，m，tan|d+；21

6.—tan0,-----()

36sin/+；

33

AB.C.3D.-

255

2

7.已知椭圆E：X=l（a〉b〉0）的左焦点为E，如图，过点E作倾斜角为60°的直线与椭圆E交

b2

于A,3两点，M为线段4g的中点,若5因图=|0刊（。为坐标原点），则椭圆E的离心率为（）

C空

D.---

3,丁

8.在满足城的实数对（XQJ（，=1,2,3,…中，使得%+%+…+匕式W20匕成立

的正整数〃的最大值为（）

A.22B.23C.30D.31

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图所示，已知角%，［o＜a＜，＜微］的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A,B,M

为线段48的中点，射线与单位圆交于点C,则（）

第2页/共5页

A.ZAOB=/3-a

B.|(9M|=cos^1^

C.点。的坐标为(cosa?sin

I22

.,,,Ici+BB—ct.ci+B.B-a

D.点M的坐标为|cos------cos------,sm-----sm-------

I2222

10.AZ8C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,S为AZ8C的面积，且。=2,AB-AC=2^S,

下列选项正确的是（）

,兀

A.A=-

6

B.若6=2,则AA8C只有一解

C.若“5C为锐角三角形，则6取值范围是（2月,4]

D.若。为边上的中点，则4D的最大值为2+G

71

11.直四棱柱48co—44G〃的所有棱长都为4,/氏4。=],点p在四边形3£»£»1名及其内部运动,

且满足|R4|+|PC|=8,则下列选项正确的是（）

A.点尸的轨迹的长度为兀.

B.直线/尸与平面BOA与所成的角为定值.

第3页/共5页

2vH

C.点P到平面幺。声的距离的最小值为

7

D.Pd/PG的最小值为2.

第n卷非选择题

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.O:的展开式中上的系数为.

xVx

13.已知抛物线V=16y的焦点为E,P是。上的动点，过点/作直线歹=k(x-4)+4的垂线，垂足为0,

则|P0|+|尸尸|的最小值为______.

14.已知函数/(x),g(x)的定义域为R,g'(x)为g(x)的导函数，且/(x)+g'(x)—8=0,

2023

/(x-2)-g,(6-x)-8=0,若g(x)为偶函数，求2/(〃)=-

〃=1

四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.设5”为数列｛%｝的前〃项和，已知是首项为:、公差为，的等差数列.

(1)求｛%｝的通项公式；

1

(2)令b”=\~—上，7；为数列也｝的前"项积，证明：Tn<6"-.

Sn

16.如图1,已知正三角形48c边长为6,其中翔=2丽，AE=2EC>现沿着£>£翻折，将点A翻折

(1)求异面直线/'£>与EN所成角的余弦值；

(2)求平面H8C与平面DEM夹角的余弦值.

17.2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.

第4页/共5页

魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改

良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、

黑色、白色小球的个数分别为2,3,4.乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,小明用左右手分别从

甲、乙两袋中取球.

(1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；

(2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球(左右

手完成各取两球为两次取球)的成功取法次数的随机变量X,求X的分布列.

18.已知在平面直角坐标系xQy中，y=2x,l2,y=-2x,平面内有一动点P,过p作DPHl2交k

于。，EP也交k千E,平行四边形OOPE面积恒为1.

(1)求点尸的轨迹方程并说明它是什么图形；

(2)记P的轨迹为曲线C,当尸在7轴右侧且不在x轴上时，在了轴右侧的C上一点。满足x

轴平分NPG0,且不与x轴垂直或PG是C的一条切线，求尸。与小围成的三角形的面积最小值•

19.设/是由加义〃个实数组成的机行"列的数表，如果某一行(或某一列)各数之和为负数，则改变该行

(或该列)中所有数的符号，称为一次“操作”.

(1)数表/如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实

数，请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可)：

123-7

-2101

表1

(2)数表4如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均

为非负整数，求擎教。的所有可能值：

a«2-1-a-a2

2-Ql-o2Q—2@2

表2

(3)对由他义〃个实数组成的加行〃列的任意一个数表能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每

行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由.

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鹰潭市2024届高三第一次模拟考试

数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页.时间120分钟.满分

150分.

第I卷选择题

单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.

z（l+i）=l+-\/3i

1.若复数z满足''，则工=（）

A.1-iB.l+iC.2-2iD.2+2i

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的模公式及复数除法法则即可得解.

【详解】因为卜+四|="2+（省/=2,

所以由二Q-i）=|l+Si|,得2=/=/J,：?=]+i

I।1-1（1-1）（1+1）

故选：B.

2.已知集合力={x|x2—5xK6},集合5={x|xN。},若5C（第4）,则。的取值范围为（）

A.（6,+oo）B.[6,+oo）C.D.（F,1]

【答案】A

【解析】

【分析】解一元二次不等式求出集合4及根据集合的包含关系求出结果.

【详解】因为/=|x|x2-5x46}=|x2-5x-6<0|={.X|-1<x<6）,

柒/={x|x<-l或x>6},

因为集合5={X|XN。},5=（，/）,所以a>6,

故选：A.

3.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale）设计的，图中每个

扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小.某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿

第1页/共24页

人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（）

A.2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少

B.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多

C.2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增

D.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍

【答案】D

【解析】

【分析】利用题中所给的南丁格尔玫瑰图逐一考查所给选项，即可得解.

【详解】对于A,由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A错误；

对于BC,知识付费用户数量的逐年增加量分别为：

2016年，0.96-0.48=0.48；2017年,1.88-0.96=0.92；

2018年,2.95-1.88=1.07；2019年,3.56-2.95=0.61；

2020年,4.15-3.56=0.59；2021年，4.77-4.15=0.62；

2022年，5.27-4.77=0.5；

则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，

知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故BC错误；

对于D,由5.27>10x0.48,

则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D正确.

故选：D.

4.设。、b是两条不同的直线，a、〃是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A,若a//b,alia,则b//aB.若。_1_6，。a，bL/3,则a_L，

C.若a，，，aL/3,则a//aD.若a，分，alia,则a，，

【答案】B

第2页/共24页

【解析】

【分析】利用空间直线与平面，平面与平面的位置关系判断ACD,利用空间向量判断线面位置关系，从而

判断B,由此得解.

【详解】对于A,若allb,alia,则有可能bug,故A错误；

对于B,若b，/3,则直线。力的方向向量）力分别为平面a,尸法向量，

又:J，即'_L%，所以。_L£,故B正确；

对于C,若a，，，a工/3,则有可能aua,故C错误；

对于D,若a，，，alia,则有可能au夕，故D错误.

故选；B.

5.某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样

本.其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159,男女人数之比

为5:3,则单位职工体重的方差为（）

A.166B.167C.168D.169

【答案】D

【解析】

【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式即可得解.

-53

【详解】依题意，单位职工平均体重为x=—x64+—x56=61,

88

则单位职工体重的方差为S251+（64-61）［+-|_159+（56-61）J=169.

故选：D.

cos|8+工］cos28

6.己知tan［e+：］=—gtand,

---------......=（）

0sin［e+T

133

A.---B."—C.3D.-

255

【答案】D

【解析】

【分析】利用正切的和差公式化简求得tan。=?再利用三角函数诱导公式与三角恒等变换，结合正余弦

的齐次式法即可得解.

第3页/共24页

【详解】因为tan(e+2]=-：tan9,所以则0里=-ZtanS,

I4j31-tan^3

又0,],即tan8>0,解得tan6=3,

cos0+—cos26^

诉“I2)

所以--------z-----------X—二一sin6(cos。-sin6)

行sin£sin0+cos0

-sincos+sin20-tan0+tan20-3+323

sin2^+cos20tan2<9+132+15

故选：D.

7.已知椭圆E：++今=1（。〉6〉0）的左焦点为E,如图，过点尸作倾斜角为60°的直线与椭圆E交

于A,8两点，M为线段4s的中点，若5,7图=|。用（。为坐标原点），则椭圆E的离心率为（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求出M点坐标，再利用点差法求得［,进而可得椭圆离心率.

a

【详解】依题意，椭圆的左焦点为尸（一。,0）,|用图=:OF|=gc,

过“作M/'Lx轴，垂足为由NMFM'=60。，

第4页/共24页

设/(七,必)3&2，%)，则有上3=tan6()o=VI,可上&.=-2g竺土"=9lc,

x「X2210210

*44=4+4=1-两式相减得(演+“再一0'(”.叫匕-⑴皿

ababab

息

则有军jM+R"n)=_=x6=L

a(■-v1+x2)(.x1-x2)-2c3

5

故选：B.

8.在满足2<xt<必，x；，=力的实数对（%,乂）（i=1,2,3,…中，使得必+y2+L+<20.%成

立的正整数〃的最大值为（）

A.22B.23C.30D.31

【答案】C

【解析】

Inx山匕Inx,、

【分析】由X）="1得:=一上，构造函数/（x）=——（xN2）,利用导数求得/（X）的单调性，求

i.jX

得必的取值范围，结合不等式的知识即可得解.

-vInx.In%

【详解】因为2Vx,<y,x)=yj,所以一L=—

xty>

设〃x)=@IxN2),则广(x)=上l空，

XX

令/«①)>0,则2<x<e,令/'(x)<0,则%〉e,

第5页/共24页

所以/(X)在(2,e)上单调递增，在(e,+co)上单调递减，

因为/⑵=/(4)=竽,2/(%)=/(%),

所以24七<e<%W4,

所以必+%+L+匕Qe(〃一1),又匕《4,20券480，

QA

要使得%+%+L+%TV20以成立，只需e(〃-1)<80,即〃<1+一心30.4,

e

所以正整数〃的最大值为30.

故选：C.

Inx.In

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由七必变换得—二一y."，从而得以构造函数

Xi%

InY

/(%)=—(x>2),由此得解.

JC

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图所示，已知角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为48,

初为线段48的中点，射线。加与单位圆交于点C,则()

A.Z.AOB=/3—a

B.|OM|=cos^y^

C.点C的坐标为［cossin"：，

I22

-,Ia+3B-a.a+B.B-a

D.点”的坐标为|cos----cos----,sin----sin----

I2222

【答案】ABC

【解析】

第6页/共24页

【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断

C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D.

7T

【详解】对于A：因为==0<a</3<~,所以ZAOB=0-a,正确；

2

对于B：依题意M为线段48的中点，则贝IJa4QW=2^,

2

又=所以pM=|O/|cos乙4OM=COS2^,正确；

对于C：河为线段43的中点，射线。”与单位圆交于点C,则C为初的中点，

所以NCOx=a,

22

又|OC|=1,所以点C的坐标为（85气2,5亩4黄），正确；

对于D：加=；(X/+*B)=g(cosa+cos/7)=；a+/7+a-p

cos+COS

22

1a+，a—B.a+/7.a-Ba-\-Ba-B.a-\rB.a-B

--cos-------cos----------sm--------sin--------+cos--------cos--------+sm--------sin--------

222222222

1ca+0a-Ba-\-Ba—B

=­•2cos-------cos--------=cos--------cos--------

加=；(〃+.%)=g(sina+sin0=；++

1.a+(3a-Ba+B.a-B.a+/7a-Ba+/3.a-B

sm--------cos--------+cos-------sm--------+sin--------cos----------cos--------sm--------

222222222

「…一xx<,Ia+夕B-a.cr+Z7

所以点”的坐标为cos—产cos气一,sm---错误.

(222

故选：ABC

10.U45C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,S为U43C的面积，且。=2,

C1UUULML

ABAC=2y[is,下列选项正确的是（）

,兀

A.A—-

6

B.若b=2,则V48C只有一解

C.若V43C为锐角三角形，则人取值范围是（26,4]

第7页/共24页

D.若。为5C边上的中点，则4D的最大值为2+J§

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A,直接解三角形可判定B,利用角的范围结合

正弦定理可判定C,利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D.

【详解】对于A,因为法.求'=2百5,所以Z>ccos/=2jixLz>csinN,贝iJtan/=也，

23

因为Ne（O,7t）,所以4=5，故A正确；

6

TT27r

对于B,因为5=2=4,则5=Z=—,C=——，故V48C只有一解，故B正确；

63

对于C,若为锐角三角形，则

0<5<-

271n7T

则〈则<<5<二即sin5e

32

l62

1

由正弦定理可知：4="s''=4sin5e,故C错误;

sin/

IUIitunIUI.

对于D,若。为BC边上的中点,贝lJZD=5（/3+ZC）,

lUf21/ULIbLUOLUIiui”

所以4D-^AB+2AB-AC+AC

2222

由余弦定理知/=b-i-c-2bccosA=b4-c-y/3bc=4,得=百&c+4,

又b?+d=y[^bc+4>2bc,所以—忑=46+8,

当且仅当6=C=y[2+y[6时取得等号，

所以歌=1优+02+限c）,（4+2辰c）J4+2百x（4厉+8）]=7+45

即⑷W17+班=2+5故D正确.

故选：ABD.

TT

11.直四棱柱480-48£4的所有棱长都为4,ABAD=~,点P在四边形AD。画及其内部运动,

且满足|「/|+|尸。|=8,则下列选项正确的是（）

第8页/共24页

A.点尸的轨迹的长度为兀.

B.直线4P与平面砒>0片所成的角为定值.

C.点尸到平面皿片的距离的最小值为上巨.

7

D.E4•尸G的最小值为-2.

【答案】BC

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，表示|尸/|+|尸。|=8,化简后得点尸的轨迹方程，得轨迹长度判断A；向量

法求线面角判断B,向量法求点到平面距离，结合点尸的轨迹得最小值判断C；坐标表示向量数量积，结合

点P的轨迹最小值判断D.

【详解】直四棱柱431GA的所有棱长都为4,则底面4BCZ）为菱形，

又NBAD=-,则AABD和4CBD都是等边三角形，

3

设助与/C相交于点O,由即_L/C,以O为原点，为x轴，为V轴，过。垂直于底面的直

线为二轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则有4（26,0,0）,以0,2,0）,。卜26,0,0）,0（0,-2,0）,

4（2万0,4b4（0,2,4）6卜2后0,4），4（0,一2,4）,

点P在四边形砒>4片及其内部运动，设尸（O,.y,z）,-2<y<2,0<r<4,

第9页/共24页

由|尸2|+|尸。|=8,有J(2何+/+二2+卜92+产+二2=8,

即./+/=4(-2<V<2,0<Z<2),

所以点尸的轨迹为了。平面内，以O为圆心，2为半径的半圆弧,

所以点尸的轨迹的长度为2兀，A选项错误;

rLUU/.—、

平面BDD[B[的法向量为〃?=(1,0,0),AP=(-2V3,y,z),

纥7〃|_2百6

直线4P与平面班＞44所成的角为d,贝ijsin6=厚心|yJ12+y2+z2

7t7T

又由公°，5,则e=一,

3

所以直线4P与平面所成的角为定值，B选项正确;

AB『(-273,2,4),^(-273,-2,4),设平面4001的一个法向量为。=（x,y,z）,

ABX­»=—2AAx+2,y+4二=0

则有《令x=2,得,1，=0,二=0，n=^2,0,5/3),

ADX-ri--2y/3x-2y+4二=0

伊山卜20x2+例卜4石+伺

所以点尸到平面ADB的距离d

XX^1+（可-手-'

卜4百+2国25/21

0<z<2,所以z=2时，4

nm~^

所以点尸到平面幺口片的距离的最小值为之叵，c选项正确；

7

羽=（2百-乂4-二），密=（-2后,-“-力，

UJJUULU）

尸4・PG=—12+F+（二—4）,其几何意义为点尸（yz）到点（0,4）距离的平方减12,

由/+工2=4,点尸（y,二）到点（0,4）距离最小值为4—2=2,

尸4jG的最小值为22—12=—8,D选项错误.

故选：BC

【点睛】方法点睛：

空间几何体中的相关问题，要利用好几何体本身的结构特征，点线面的位置关系，图形中的角度和距离

第10页/共24页

等，建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，也是常用的方法.

第II卷非选择题

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.°”的展开式中上的系数为_______.

x2y4x

【答案】-12

【解析】

【分析】由题意得的展开式通项,令r-4=1,求出厂回代到通项公式中去即可求解.

xy

【详解】0》：：）的展开式通项为

M=。6（2：㈠）=q2^（-iy”旷4,（0<r<6,reN*J,

Xyxy

由题意令—一4=1,解得〃=5,

所以（2x—7的展开式中2的系数为C^26-5（-1）5=-6X2=-12.

x2/x

故答案为：-12.

13.已知抛物线炉=16〉的焦点为歹，尸是C上的动点，过点歹作直线>=左（1-4）+4的垂线，垂足为

Q,则|尸。|+|尸尸|的最小值为.

【答案】6

【解析】

【分析】先分析得。的轨迹，再利用抛物线的定义，结合圆的性质数形结合即可得解.

【详解】如图所示，易知尸（0,4）,直线>=左（尸4）+4过定点。（4,4）,

因为尸。，8,所以。在以ED为直径的圆上，

不妨设其圆心为£（2,4）,显然半径|£0|=2,

分别过已尸作准线歹=-4的垂线囹7,尸G,垂足为M,G,|瓦0|=8

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结合抛物线定义有|尸。|+|尸盟=\PQ\+\PG\>\PE\-\EQ\+\PG\>\EM\-\EQ\=6,

当且仅当。、尸均在线段EN上时取得等号.

故答案为：6.

14.已知函数/(x),g⑴的定义域为R,g'(x)为g(x)的导函数，且/(x)+g'(x)—8=0,

2023

f(x-2)-gr(6-x)-8=0,若g(x)为偶函数，求X/(〃)=.

n-\

【答案】16184

【解析】

【分析】先利用复合函数的导数与g(x)的奇偶性判断g'(x)的奇偶性，进而推得g'(x)与/(x)的周期性，再利

用赋值法求得/(2),/(4),/(1)+/(3)的值，从而得解.

【详解】因为g(x)是偶函数，则g(—x)=g(x),

两边求导得-g'(—x)=g'(x),所以g'(x)是奇函数，故g'(0)=0,

由/(x)+g'(x)—8=0=/(x—2)+g'(x—2)—8=0n/(x-2)=8—g'(x—2),

代入/(x—2)—g'(6—x)—8=0,得8—g'(x—2)—g'(6—x)—8=0,

则g'(x—2)+g'(6—x)=0,所以g'(x+4)+g'(-x)=0,

又g'(x)是奇函数，所以g'(x+4)=—g'(—x)=gr(x),

所以g'(x)是周期函数，且周期为4,

又/(x)+g'(x)—8=0,可知/(x)也是以4为周期的周期函数，

令元=4,得/(4)+g'(4)-8=/(4)+g'(0)—8=0,故/(4)=8,

而g<2)=g'(2—4)=g'(-2)=-g'(2)所以g'(2)=0,

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令x=2,得/(2)+g'(2)—8=0,则/(2)=8,

而/⑴+g'⑴-8=0,/(3)+g,(3)-8=0,

又g'(3)=g，(-l)=-g，(l),则/(1)+又3)=16,

2023

£/(«)=505[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(1)+/(2)+/(3)

«=1

=505x(8+16+8)+(8+16)=16184,

故答案为：16184.

【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：

ab(J]

[三一中心对称；

(2)若〃x+a)=/(—x+b),则函数/(X)关于x=对称；

(3)若/(x+a)=/(x—。)，则函数/(X)的周期为2a；

(4)若/(x+a)=—/(x),则函数/(x)的周期为2a.

四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

C1

15.设I为数列｛4｝的前"项和，已知/“，、是首项为:、公差为一的等差数列.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵令b,、=\~7；为数列低｝的前〃项积，证明：Tn<6"-'.

【答案】(1)%=/

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用等差数列定义可得S.，再利用S,,与%的关系即可得解；

(2)由S“与%可得〃，从而利用累乘法得到7；,进而得证.

【小问1详解】

C1

因为/"是首项为:、公差为彳的等差数列，

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Sn1"八n1

故小+1)23，'36

n1

即s,、=—+-«(«+1)=

366

当"22时，Si

6

故邑—S-=a

nn—Ln66

“(2/+3〃+1-2/+3〃-1)2

——77’

6

3x2

当〃=1时，Q]=S]=----=1,符合上式,

6

故。〃二/；

【小问2详解】

由…，s'=〃(2〃+l)(〃+l),

6

6(2〃-1)〃26(2〃-1)〃

故

〃(2〃+1)(〃+1)(2〃+1)(〃+1)

r577176x1x16x3x26x5x3,6(2〃-6n

则(=6也Lb=——-------z—^L~~n7~~n=

n3x25x37x4(2n+l)(w+l)M+---+--

因为(2〃+1)(〃+1)23*2=6,故=

ULUULUIULU1ULUI

16.如图1,己知正三角形48C边长为6,其中40=208，AE=2EC，现沿着翻折，将点A翻

折到点H处，使得平面H8CL平面DSC,M为HC中点，如图2.

（1）求异面直线/。与EN所成角的余弦值;

（2）求平面H2C与平面QEN夹角的余弦值.

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【答案】(1)巨叵

88

【解析】

【分析】(1)设。为8C的中点，结合图形翻折的性质推出平面Q5C,从而建立空间直角坐标

系，求得相关线段长与相关点坐标，利用空间角的向量求法即可得解；

(2)分别求出平面与平面。•的法向量，根据空间角的向量法即可得解.

【小问1详解】

取的中点为。,£我的中点为O',连接HO,A'O',OO',

a上q・LKHVA^UIV*-*N

因为正三角形中，AD=2DB，AE=2EC，

2

所以DE//BC,DE=-BC,则四边形DECB为等腰梯形，

3

^OO'IDE,OO'IBC.

Q由翻折性质可得A'E=AD,乙i'EC=ZA'DB,EC=DB,

则\44'石。三丫/'功，，4'。=，'5。0是5。的中点，，40_15。，

平面H3C_L平面。3C,平面H5cl平面£>3C=8C,HOu平面©BC,

.•.HO_L平面。5C,又OO'u平面.•.HOJLOO'

以点O为坐标原点以OCQO'QA'所在直线为x,乂二轴，建立空间直角坐标系，

2

因为正V45c的边长为6,0£//3C,D£=§3C,

则VHOE为正三角形，边长为4,则HO」Z)E,

A'O'=2A/3.OC=OB=3,OO'=5

在\JA'OO'中，由勾股定理得OH=J(2百A—(Gy=3，

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H(O,O,3),Z)(-2,后0),石(2,G,0),C(3,0,0),Af《,0,|),

ULW—、ULLD/

则HO=(z—2,"—3),£M=

ULLKLUU/—

HIrinn/.2煦_2_13V22

cos(A'D,EM)

Q异面直线所成角的取值范围为|o,5,

.1.异面直线A'D与EM所成角的余弦值为应药.

88

【小问2详解】

由⑴得味2,6,0）,£（2,30）,可|,0；

LUfLUUf7L3、

.•.Z）£=（4,0,0）,Z>M=-,-V3,-,

122）

易得平面HBC的一个法向量为5=（0,L0）,

设平面。及以的法向量为。=（x,y,z）,

「DLUEI4r=0「4x=0

则。=(o,6,2卜

贝i］〈ULUOR令二=2

DMn=0

百屈

lxV3+4-7

平面A'BC与平面DEM夹角的余弦值为巨.

7

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