2024年江苏省南京某中学中考数学模拟试卷(一)及答案解析

2024年江苏省南京师大附中中考数学模拟试卷（一）

一、单选题

1.1-2|的值等于（）

A.2B.-AC.AD.-2

22

2.据《中国教育报》近期报道，4年来全国在义务教育阶段经费累计投入2.37万亿元，数

据2.37万亿用科学记数法表示为（）亿.

A.2.37X103B.2.37X104C.2.37X105D.0.237X106

3.计算x4+x+x3的结果是（）

A.x4B.x3C.2x3D.2x4

4.一次函数y=2x+l的图象不经过（）

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限

5.不等式组［2（x+5）>6的解集在数轴上表示正确的是（）

5-2x>l+2x_______________

A.~j>II0B.।।C.LL.D.4»»I►

-2-101-1012-2-101-1012

6.不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（）

A.x+1B.x2-1C.」一D.（x+1）2

x+1

7.某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独

完成.问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意

的方程是（）

A.x-22322=1B.x+22.22=ic.x+22/22=iD.XX-22=i

4530304545303045

8.如图，一次函数丫=*+我的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,把直线AB绕点B顺时

针旋转30°交x轴于点C,则线段AC长为（）

第1页（共5页）

二、填空题

9.要使分式上有意义，则x的取值范围为________.

X~1

10.分解因式：4x2y-12xy=.

11.已知点P(m-1,2m-3)在第三象限，则m的取值范围是.

12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且aWO)的y与x的部分对应值如下表:

X-5-4-202

y60-6-46

则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是.

13.用一个圆心角为150。，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径

为.

14.为测量附中国旗杆的高度，小宇的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板4DEF

的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上.测得DE=0.5米,

EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.6米，到旗杆的水平距离DC=18米，按此

方法，可计算出旗杆的高度为米.

匕4

E

C_______________'F

XjA\\\xxx\\xx\v,

15.如图，在平面直角坐标系中，直线)，:一与直线y=~^x+2分别与函数(x<0)的

33x

图象交点A、B两点，连接AB、OB,若AOAB的面积为3,则k的值为_________.

16.已知点D(2,a)为直线y=-_lx+3上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋

2

转，保持两直角边始终交X轴于A、B两点，C(0,-1)为y轴上一点，连接AC,BC,

则四边形ACBD面积的最小值为_

八

上

第2页(共5页)

三、解答题

22x~3(x-2)>4

17.(1)计算：a^b_a.-2ab+b(2)解不等式组：,

222x-l>x+l

a+ba-ba~5~~2~

18.如图是三个可以自由转动的转盘，甲、乙两人中甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所

指的数字.当三个数字中有数字相同时，就算甲赢，否则就算乙赢.请判断这个游戏是

请根据材料中的信息，证明四边形AECD是菱形.

20.某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取甲、乙两个班（每个班均

为40人）的学生进行测试，并对成绩进行整理（成绩为整数，满分100分）.

a.甲班成绩统计表:

平均数众数中位数优秀率

79847640%

b.乙班良好这一组学生的成绩:

70,71,73,73,73,74,76,77,78,79.

第3页（共5页）

C.乙班成绩统计图：

说明：

①成绩等级分为：80分及以上为优秀,70〜

79分为良好，60〜69分为合格，60以下为

不合格；

②统计图中每小组包含最小值，不包含最

大值.

(1)已知甲班没有3人的成绩相同，成绩是76分的学生，在班的名次更好些;

(2)从两个不同的角度推断哪个班的整体成绩更好.

21.如图，AB为。0的直径，C为。0上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.

(1)求证：AC平分/BAD；

(2)若/BAD=60°,AB=4,求图中阴影部分的面积.

22.某商场销售一种成本为20元/kg的商品，市场调研反映：在某个月的第x天。WxW30)

的销售价格为(40+x)元4g,日销售量y(kg)与x的函数关系如图所示.

(1)求y与x的函数解析式；

(2)销售该商品第几天时，日销售利润最大？

(3)结合函数图象回答，在当月有多少天的日销售利润大于2250元？

第4页(共5页)

23.如图，等边三角形ABC中，P是边AC上的一个动点（不与A,C点重合），连接BP,

将4BCP绕点C顺时针旋转至4ACD,过点C作CQ〃BP,交PD的延长线于点Q.

（1）探究4PCD的形状；

（2）求证：zXAPD^AQDC；

（3）若延长AD交CQ于点E,CE=2EQ,求/CAQ的正切值.

24.定义：若函数G］的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数G2的图象

上，则称函数GyG2为关联函数，这两个点称为函数G「G2的一对关联点•例如，函

数y=2x与函数y=x-3为关联函数，点（1,2）和点（1,-2）是这两个函数的一对

关联点.

（1）判断函数y=x+2与函数y=-3是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；

X

若不是，请简要说明理由；

（2）若对于任意实数k,函数y=2x+b与y=kx+k+5始终为关联函数，求b的值；

2

（3）若函数y=x2-mx+l与函数y=2x-I_（m,n为常数）为关联函数，且只存在一

4

对关联点，求2ni2+n2-6m的取值范围.

第5页（共5页）

2024年江苏省南京师大附中中考数学模拟试卷（一）

参考答案与试题解析

一、单选题

1.【分析】直接根据绝对值的意义求解.

【解答】解：|-2|=2.

故选：A.

【点评】本题考查了绝对值：若a>0,则M=a；若a=0,则卜|=0；若a<0,则［=-

a.

2.【分析】科学记数法的表示形式为aXIOn的形式，其中lW|a1<10,n为整数.

【解答】解：由题可得：2.37万亿=23700亿=2.37X104.

故选：B.

【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键.

3.【分析】首先根据同底数嘉的除法法则：同底数嘉相除，底数不变，指数相减，求出X4

一x的值是多少；然后用它加上x3,求出x4+x+x3的结果是多少即可.

【解答】解：x44-x+x3

=x3+x3

=2x3,

故x4-rx+x3的结果是2x3.

故选：C.

【点评】（1）此题主要考查了同底数嘉的除法法则：同底数嘉相除，底数不变，指数相

减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数aWO,因为0不能做除数；②单

独的一个字母，其指数是1,而不是0;③应用同底数寨除法的法则时，底数a可是单

项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么.

（2）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握.

4.【分析】根据一次函数图象的性质可得出答案.

【解答】解：；k=2>0,b=l>0,

一次函数y=2x+l的图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限.

故选：A.

【点评】此题考查了一次函数的性质，一次函数丫=1«+13的图象有四种情况：

第1页（共15页）

①当k>0,b>0,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随X的值增大而

增大；

②当k>0,b<0,函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而

增大；

③当k<0,b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大

而减小；

④当k<0,b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大

而减小.

5.【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可.

2(x+5)〉6(D

【解答】解:由①得，X》-2；由②得，x<l,

5-2x〉l+2x②

故此不等式组的解集为：-2Wx<l.

在数轴上表示为:

故选：C.

【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，掌握解不等式组的方法是解答此

题的关键.

6.【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断.

【解答】解：A、当x=-1时，x+l=O,故不合题意；

B、当*=±1时，x2-i=o,故不合题意；

C、分子是1,而1W0,则」_W0,故符合题意；

x+1

D、当X=-l时，（x+1）2=0,故不合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值.若分式的值为零，需同时具备

两个条件：（1）分子为0;（2）分母不为0.这两个条件缺一不可.

7.【分析】首先理解题意找出题中的等量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量=总的工

作量，根据此列方程即可.

【解答】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x-22）天，本题中把总的工作量

看成整体1,则甲每天完成全部工作的」-，乙每天完成全部工作的」一

4530

第2页（共15页）

根据等量关系列方程得：x-2222=1,

4530

故选：A.

【点评】列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比

较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找.

8.【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB

的长，过点C作CDLAB,垂足为D,证明4ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x,

结合旋转的度数，用两种方法表示出BD,得到关于x的方程，解之即可.

【解答】解：...一次函数y=x+J2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,

令x=0,则y=M，令y=0,贝！］x=-J^,

贝|JA（-V2,0）,B（0,扬，

则AOAB为等腰直角三角形，ZAB0=45°,

•AB版乔工帚=2,

过点C作CD±AB,垂足为D,

ZCAD=N0AB=45°,3

AACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x,

•AC=痴2心2卜x,-°

由旋转的性质可知NABC=30°,/口

ABC=2CD=2x,

/.BD=VBC2-CD2=V3X,

又BD=AB+AD=2+x,

2+x=V3x,

解得：x=Vs+h

.'.AC=&x=&（VS+1）=V6W2,

故选：A.

【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直

角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅

助线，构造特殊三角形.

二、填空题

第3页（共15页）

9.【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.

【解答】解：..•分式工有意义，

x-1

...X-1W0,解得x#]

故答案为：xWl.

【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解

答此题的关键.

10.【分析】直接提取公因式4xy进行分解因式即可.

【解答】解：4x2y-12xy=4xy（x-3）,

故答案为：4xy（x-3）.

【点评】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键.

11•【分析】根据点P的位置可得①，然后按照解一元一次不等式组的步骤，进

2m-3<。②

行计算即可解答.

【解答】解：I,点P（m-1,2m-3）在第三象限，

.[nrl<0①

2m-3<0②‘

解不等式①得：m<l,

解不等式②得：m<1.5

...原不等式组的解集为：m<1,

故答案为：m<1.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关

键.

12.【分析】由抛物线经过点（-5,6）,（2,6）可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性及

抛物线经过（-4,0）求解.

【解答】解：由抛物线经过点（-5,6）,（2,6）可得抛物线抛物线对称轴为直线x=±2

2

—_—一3，

2

...抛物线经过（-4,0）,对称轴为直线x=-S,

2

抛物线经过（1,0）,

第4页（共15页）

=

一元二次方程ax2+bx+c=0的根是X]=-4,x2l.

故答案为：xi=-4,x2=l.

【点评】本题考查抛物线与X轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函

数与方程的关系.

13.【分析】根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一

扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解.

【解答】解：扇形的弧长=150〉X12=

设圆锥的底面半径为R,则2根=10%

所以R=5.

故答案为：5；

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆

锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

14.【分析】根据题意证出AACD-AFED,进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即

可得出答案.

【解答】解：：CD±AB,ADEF为直角三角形，

ZDEF=/ACD,

•?ZADC=ZFDE,

AACD（^AFED,

.DE=EF

"CD而，

；DE=0.5米，EF=0.25米，DC=18米，

-0.5=0.25

AC

/.AC=9米，

VDG=1.6米,

：.BC=1.6米，

；.AB=10.6米，

故答案为：10.6

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关

键.

15.【分析】由两条直线的解析式即可得到两直线平行，根据同底等高的三角形面积相等，

第5页（共15页）

艮口至”S△AOCS△AOB，OABI3，至」SAAOC1℃TXAI=3,解得A

的横坐标，代入y=-^x求得纵坐标，把A的坐标代入y上（x<0）即可求得k的值.

3x

【解答】解：设直线y=-£x+2交y轴于点C，则C（0,2）,连接AC,

由题意可知0A//BC,

二•SjOC=SyOB，

VA0AB的面积为3,

々△收/0以"即

k1=3,

•.•在第二象限,

；.A的横坐标为-3,

把X=-3代入y=―得，y=2,

：.A（-3,2）,

函数y工"（x<0）的图象过点A,

X

：.k=-3X2=-6,

故答案为：-6.

【点评】本题考查了两条直线的平行问题，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特

征，求得A的坐标是解题的关键.

16.【分析】先求出点D的坐标（2,2）,进而得出SArRn=』AB（2+1）=3\B,只要

aa»ALBU22

AB最小时，四边形ACBD的面积最小，而DA=DB时，AB最小，即可得出结论.

【解答】解:如图,

取AB的中点F,连接DF,

,?ZADB=90",

；.AB=2DF

..•点D(2,a)为直线y=-工+3上一点,

2

.'.a—--X2,+3—2,

2

；.D(2,2),

过点D作DE±AB于E,

第6页（共15页）

；.DE=2,E(2,0),

；.s=S.+S=_1ABDC+1.ABDE=AAB(OC+DE)=2AB=3DF,

HWACBD△幽RrAABRDnn799

要四边形ACBD的面积最小，即DF最小，

..•点D(2,2),点F在x轴上，

二当DF_Lx轴时，DF最小，最小值为DE=2,

S四边形ACBMD最小=3义2=6,

故答案为6.

【点评】此题主要考查了点的坐标特点，三角形的面积公式，直角三角形斜边的中线等

于斜边的一半，判断出DF最小时，四边形ACBD的面积最小.

三、解答题

17•【分析】(1)先计算分式的除法，再算分式的减法，即可解答；

(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答.

22

【解答】解：(1)Hk-a-?ab：b・丘

a玲a2-b2a

a2b_(a-b厂口a

a-H>(a+b)(a-b)a-b

a-b_a

a他a+b

_a~b-a

a+b

a+b

'x-3(x-2)〉4(D

(2),2x-l>x+l,*

52

解不等式①得：xWl,

解不等式②得：x<-7,

原不等式组的解集为：x<-7.

【点评】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解

题的关键.

18.【分析】画出树状图，计算出各种情况的概率，然后比较即可.相等则公平，否则不公

平.

【解答】解：不公平，理由如下:

第7页(共15页)

画树状图如下:

由图可知：共有8种结果，且是等可能的，其中含有相同数字的结果有6种.

则甲获胜的概率=§=3,乙获胜的概率=2=工，

8484

因

44

所以这个游戏不公平.

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断、列表法与树状图法.判断游戏公平性就要计

算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

19.【分析】由作法得CF=DF,EF=BF,则可判断ACEF^ADBF，所以CE=DB,ZCEF

=ZDBF,则CE〃BD,在根据斜边上的中线性质得到CD=AD=BD,则AD=CD=CE,

然后根据菱形的判定方法可得到四边形AECD是菱形.

【解答】证明：由作法得CF=DF,EF=BF,

在ACEF和△DBF中，

>E=FB

■ZCFE=ZDFB,

FC=FD

?.ACEF咨ZXDBF(SAS),

/.CE=DB,ZCEF=ZDBF,

.,.CE〃BD,

VCD为斜边AB上的中线，

.,.CD=AD=BD,

.,.AD=CE,

VAD=CE,AD//CE,

二四边形AECD为平行四边形，

VAD=CD,

第8页(共15页)

二四边形AECD是菱形.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了直角三角形

斜边上的中线性质和菱形的判定与性质.

20.【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；

（3）根据中位数与优秀率的意义进行解答即可（答案不唯一）.

【解答】解：（1）成绩是76分的学生，在乙班的名次更好些.理由如下：

甲班成绩的中位数是76分，而且没有3人的成绩相同，所以成绩是76分的学生在甲班

位于第20或第21名；

乙班优秀学生有3+9=12（人），根据乙班良好学生的成绩可知成绩是76分的学生在乙

班位于第16名，

所以成绩是76分的学生，在乙班的名次更好些.

故答案为：乙；

（2）甲班的整体成绩更好.理由如下：

甲班成绩的中位数是76分，乙班成绩的中位数是互且1=72（分），

2

甲班成绩的优秀率是40%,乙班成绩的优秀率是上■><100%=30%,

40

甲班成绩的中位数、优秀率均高于乙班，所以甲班的整体成绩更好.

【点评】本题考查了统计的应用，中位数、众数、优秀率的意义，掌握中位数的定义及

其意义是解决问题的关键.

21.【分析】（1）连接0C,由切线的性质可知：ZOCD=90°,从而可知OC〃AD,由于

OC=0A,从而可证明AC平分NDAB；

（2）由于NB=60。，所以/CAB=30。，所以NDAC=30°,从而可求出AD的长度.

【解答】（1）证明：连接0C,

VCD与。0相切，

/.ZOCD=90°,

,/ZADC=90°,

.,.OC〃AD,

ZACO=NDAC,

VOC=0A,

第9页（共15页）

1•NACO=ZCAO,

/.ZDAC=ZCAO,

AAC平分NBAD；

(2)解:VAB是。0的直径，

ZACB=90°,

VZB=60°,OC=0B,

ABOC是等边三角形，

ZBOC=60°,

/.ZCAO=30°,

AC=VAB2-BC2=742-22=2\/3'

作OF±AC交AC于点C,

.,.OF=ABC=1,

2

图中阴影部分的面积=S-AOC+S

△扇形B0C

60KX22

yAC-OF^

=yX2>/3x

=Vs卷冗•

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，角平分线的判定，圆周角定理，锐

角三角函数等知识，综合程度较高，属于中等题型.

22.【分析】（1）设丫=1«+6（k/0）,根据图象取两个点坐标代入，求出k,b的值即可.

（2）设日销售利润为w元，列出w关于x的函数关系式，求最大值即可.

（3）令w=2250,求出一元二次方程的两个解，结合二次函数的草图求出x的范围，从

而得到结果.

【解答】解：（1）设y=kx+b（kNO）,

把（5,90）,（10,80）代入上式得，

（5k+b=90

ll0k+b=80，

解得，（k=-2,

lb=100

/.y与x的函数解析式为：y=-2x+100.

第10页（共15页）

(2)设日销售利润为w元，

由题意得：w=(40+X-20)(-2x+100)

=-2x2+60x+2000

=-2(x-15)2+2450,

V-2<0,1&W30,

,当x=15时，w最大，

答：销售该商品第15天时，日销售利润最大.

(3)令w=2250,

则-2(x-15)2+2450=2250,

解得,xi=5,X2=25,

结合二次函数图象可知，

当5<x<25时，w>2250,

二有19天的日销售利润大于2250元.

【点评】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，读懂题意，正确列出函数

关系式是解题的关键.

23.【分析】(1)由旋转的性质得出NBCP=/ACD=60°,CP=CD,则可得出4PCD是

等边三角形；

(2)证明/CAD=ZDQC,根据AAS可证明AAPD^AQDC；

(3)过点P作PM±AB于M,设QE=x,证明4DQE^ACQD,得出地求出

CQQD

DQ=J§x,证出/ACQ=90。，由锐角三角函数的定义可得出答案.

【解答】(1)解：4PCD是等边三角形.

理由：:△ABC是等边三角形，

ZACB=60°,

•.•将ABCP绕点C顺时针旋转至4ACD,

；.ZBCP=NACD=60°,CP=CD,

/.△PCD是等边三角形；

(2)证明：..,△PCD是等边三角形，

.\PD=CD,ZPDC=NCPD=60°,

；.ZPAD=NCDQ=120°,

第11页(共15页)

又：CQ〃BP,

ZCBP+ZQCB=180°,

•/ZPCD=60°,

.,.ZCBP+ZDCQ=60°,

I,将ABCP绕点C顺时针旋转至AACD,

ZCBP=ZCAD,

ZCAD+ZDCQ=60

X'.'ZDCQ+ZDQC=60°,

ZCAD=NDQC,

在AAPD和△DQC中，

2PAD=NDQC

-ZAPD=ZCDQ,

PD=CD

/.△APD^AQDC(AAS)；

(3)解：过点P作PM±AB于M,

设QE=x,

VCE=2EQ,

/.CE=2x,CQ=BP=3x,

AAPDg△QDC,

ZADP=ZQCD,

VZDQE=ZCQD,

ADQE^ACQD,

.DQEQ

CQDQ

/.DQ2=CQ田Q,

DQ=V§x,

/.AP=DQ=V3x,

,:△ABC是等边三角形，

ZBAC=60°,

/.ZAPM=30°,

APM=APQinea=当，

2

第12页（共15页）

3

_PM_万x二1

cosZBPMBP~3x^2

：.ZBPM=60

/.ZAPB=ZAPM+ZBPM=90

ZACQ=90°,

.,.AC=AB=2AP=2愿x,

/.tanZCAQ=8=3

AC2V3?2

/.ZCAQ的正切值为乂3.

2

【点评】本题属于三角形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等

三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解题的

关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题.

24.【分析】（1）设函数y=x+2图象上一点为（a,a+2）,把（a,-a-2）代入y=-3得

X

-a-2=-l,即可解得a=l或a=-3,故函数y=x+2与函数y=-3的关联点为（1,

ax

3）与（1,-3）或（-3,-1）与（-3,1）；

（2）设函数y=2x+b图象上一点为（p,2p+b）,把（p,-2p-b）代入y=kx+k+5得-

2p-b=kp+k+5,根据对于任意实数k,函数y=2x+b与y=kx+k+5始终为关联函数，可

得（p+l=0,即可解得b的值为-3；

12PH>+5=0

（3）设函数y=x2-mx+1图象上一点为（匕1?-mt+1）,把（t,--f+mt-1）代入y=2x

222

-——得-1?+nit-1=2t_——,根据函数y=x2-mx+1与函数y=2x-——（m,n为常数）

444

2

为关