北师大版九年级(下)数学知识点归纳总结

第一章直角三角形的边角关系

九年级下册

第1节锐角三角函数

、锐角三角函数

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的锐角三角函数。如图所示，在RtZiABC中,

ZC=90°

(1)锐角A的对边与邻边的比叫做N4的正切，记作tan4

即囱人笑熏溶，

乙船邻边ACb

(2)锐角a的对边与斜边的比叫做匕4的正弦，记作sin.4,B

Bn..N撤对边BCa的对边C斜边

日sinA=———.人।-==—

乙的斜边ABcZB的邻边”

(3)锐角A的邻边与斜边的比叫做NJ的余弦，记作cos.4,C

Z.B的对边

Bn，N幽邻边ACb

214的邻边

N而斜边ABc

【说明】①三角函数表示的是两边的比值，所以它只是一个数值，没有单位。

②当用一个大写字母表示角时，其三角函数中角的符号省略，如sinA,cosB,tanC;

当用一个希腊字母表示角时，其三角函数中角的符号省略，如sina,cos破，tan。；

当用三个大写字母表示角时，其三角函数中角的符号不能省略，如sinZABC,

cosZDEF,tanZGHZ;当用一个阿拉伯数字表示角时，其三角函数中角的符号不

能省略，如sin/1,cosZ2,tan/3。

③如果要表示三角函数的倍数与乘方，应分别表示为2sinA,3cos5,4tanC,sin2A,

cos3B,tan4C;2sin30°,3cos30°,4tan30°,sin230°,cos330°,tan430°o

二、坡度

1、坡度的概念

如图所示，我们把坡面的铅直高度〃和水平宽度/的比值叫做坡度（或坡比），通常用字

母i表示。

h

【说明】坡面的坡度实际上就是坡角的正切值，即，=12!10!=7

2、三角函数与坡面的陡峭程度

（1）tanA的值越大，坡面越陡。

（2）sinA的值越大，坡面越陡。

（3）cosA的值越小，坡面越陡。

三、锐角三角函数的增减性（0。~90。）

1、正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；

2、余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

3、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。

四、同角三角函数的关系

1、互余关系：sinA=cos（90°—A）cosA=sin（90°—A）

2、平方关系：sin2A+cos2A=l

…工斗才sinA

3、弦切关系：tanA---------

cosA

4、倒数关系：tanA•tan（90°—A）=l

第2节30°,45°,60。角的三角函数值

一、探索30。，45°,60。角的三角函数值

求30。角的三角函数值，关键根据“直角三角形中30。的锐角所对的直角边等于斜边的

一半”，可设30。的锐角的对边为a,则斜边为2a,由勾股定理可求得30。的锐角的邻边为6。，

因此可以求出30。的锐角的各个三角函数值：

a16a6a1

sin30°=—---cos30°=--=---—-—tan30°=-r--=-产

2a22a2y/3aV33

也可以求出60。的锐角的各个三角函数值:

y/3a=苴a=百〃

sin600=--cos60°=——tan60°=--=---A-/3

2a22a2a

求45。角的三角函数值，关键根据“有一个角是45。的直角三角形是等腰直角三角形”，

可设一条直角边为a,则另一条直角边也为a,由勾股定理可求出斜边为五a,因此可以求

出45。的锐角的各个三角函数值：

a1、汇ay/2a

sin45°=-^cos45°=/—tan45°=—=1

yJ2aA/22V2a2a

二、熟记特殊角的三角函数值

三角函数0°30°45°60°90°

二G正

sinCL01

22

三二

cosa10

2X

事

tana031后—

第3节三角函数的计算

一、用计算器求任意锐角的三角函数值

1、求整数度数的锐角的三角函数值

首先使计算器的面板上出现DEG,然后再按国丘近国西这三个键之一，再

从高位向低位按出表示度数的整数，再按键目，就可以在显示屏上得到答案。例如，求

sin40。的值，先按键后冠，再依次按键目,叵］,再按键0,就可以在显示屏上得到

答案为0.642787609o

2、求非整数度数的锐角的三角函数值

（1）锐角以度为单位的，可直接按键求出。例如，求cos45.32。的值，先按键|cos|,再

依次按键©，区，口，5，区，再按键E，就可得到答案为0.703146544。

（2）锐角以度、分、秒为单位的，在按键过程中需用到键|DOM8］（有的计算器为「。'”

例如求tan42。3r43”的值，先按键|tan|,再依次按键底］，区，回。］\19|,区，刀,

|DOM8|,@,瓦，|poM3］,再按键目，就可得到答案为0.917250245。

二、由锐角三角函数值求锐角

已知三角函数值求角度，要用到|sin||cos||tan|的第二功能键和〔SHIFT］键,具

体操作如下表所示：

按键顺序显示结果

sinA=0.9816SHIFTsin)0地亚=sin>0.9186=78.99184039

cosA=0.8607SHIFT||cos|S•@@@@日cos-10.8607=30.60473007

tanA=56.78|SHIFT||tan|二曲二tan-156.78=88.99102049

【说明】①上表显示的结果是以“度”为单位的，再按键|DOM，SH（有的计算器为|

即可显示为以“度、分、秒”为单位的结果。

②如无特殊说明，用计算器根据三角函数值求角度时，计算结果一般精确到1"。

第4节解直角三角形

一、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中

除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

二、解直角三角形的理论依据

如图所示，在RtZXABC中，ZC=90°,NA,ZB,NC所对的边分别为a,b,c,其

中历为斜边上的高。

1、三边关系：，+82=。2（勾股定理）

2、两锐角关系：NA+NC=90。（直角三角形的两个锐角互余）

3、边角关系:

U.__.Ct

smA=—a=c,sinAc=-------

csinA

b__b

sinB=—Lb=c•sinBc=-------

c'sinB

b、b

cosA=—b=c,cosAc=--------

ccosA

a_a

cosB=—La=c•cosBc=--------

ccosB

a_,a

tanA=—ka=b,tanAb=--------

btanA

b♦b

tanB=—b=a,tanBa=--------

atan5

4、等积关系：SAABC=—ab=-chab=ch

22r

三、解直角三角形的两种情况

1、已知两边求第三边及两个锐角

2、已知一边和一个锐角求另外两边及两另一个锐角

第5节三角函数的应用

一、仰角与俯角

如图所示，当从高处观测低处目标

时，视线与水平面组成的锐角叫做俯角;

当从低处观测高处的目标时，视线与水

平面组成的锐角叫做仰角。

【说明】水平线是平行的，视线是互逆

的，所以由且看5的俯角与由上看口

的仰角是相等的。

二、三角函数的应用

1、与三角函数有关的计算

【例1】如图所示，甲、乙两只捕捞船同时从A港出发去捕鱼，甲船以每小时15、5千米的

速度沿北偏西60。方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进.甲船航行2小

时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75。的方向追

赶，结果两船在3处相遇.

（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？

（2）甲船追赶乙船的速度是多少？

解：（1）过点A作AD±BC于点D,作CG//AE交.W于点G.

由题意知，NH4B=45。，ZHAC=60=,ZFCB=75%

...NE43300,ZBCG=15°,ZC4B=105°北

北

"CGHAE

...NGC4=NEWy300,

/.ZBCA=NDCG+NGC4=45°

二ZB=ISO0-Z.BCA-ZCAB=30°

在RiA4CD中，H-150X2=300（千米

LJ2

：.AD=AOsin45==3072X—=30（千米）

2

：.CD=AD=30（千米）

在RtZkABO中，ZB=30°,AB=2AD=60（千米）

乙船从A处出发到B处相遇用时为604-15=4（小时）

•••甲船从A处出发到B处相遇也用时为4小时，从A处到C处用时为2小时

•••甲船从C处追上乙船（即到达3处）用时为4-2=2（小时）

（2）在RtAlBZ）中，BD=.4B•co$30°=60X=30A/3（千米）

2

ABC=CD+BD=30+30A/3（千米）

.••甲船从C处开始追赶乙船的速度为（30+30百）+2=15+15若（千米/小时）

2、船有触礁的危险吗

【例2］己知如图所示，海面上产生了一股强台风，台风中心M位于滨海市A的南偏西15°,

距离为610^///,且位于临海市B正西方向606公《处，台风中心正以72kmM的速度沿

北偏东60。的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60fcm的圆

形区域内均会受到此次强台风的侵袭。

（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由。

（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间。

解：（1）设台风中心运行的路线为射线MN,由题意知，AM=61A/2km,BM=60^km

则NAMN=60°-15°=45°,ZBMN=90°-60°=30°

过点A作于点”i，则△AMHi是等腰直角三角形

：.AHi=AMsin45°=61\/2X立=6Ikm

2

.•.滨海市不会受到台风的影响。

过点B作BHiVMN于点H,则BH=-BM=3Q^3km

222

30A/3km<60km

，临海市会受到台风的影响。

（2）以点3为圆心，以60人机为半径划弧，交MN于点Ti，T2,连接8T1,BT2,

则BTi=BT2=60km

在RtABTi772中，

._BH_3073_^3

smZ5研=药2=-^-=丁

AZBTIH2=60°

•••△5T1T2是等边三角形

7\，2=6Qkm

台风中心经过线段7172用时为--

72

因此临海市受台风侵袭的时间为3九

第6节利用三角函数测高

一、测量底部可以到达的物体的高度

所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之

间的距离。如图所示，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：

1、在测点A处安置测倾器，测得M的仰角NMCE=〃

2、量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l

3、量出测倾器的高度AC=a（即顶线尸。成水平位置时，它与地面的距离）

4、由式子MN=ME+EN=l-tan6>+a即可求得物体MN的高度。

二、测量底部不可以到达的物体的高度

所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离。

如图所示，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：

1、在测点A处安置测倾器，测得”的仰角

2、在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A、B与N在一条直线上，且A、B之间

的距离可以直接测得），测得此时M的仰角

3、量出测倾器的高度AC=3O="以及测点A、8之间的距离48=5

1MEME

4、因为CE=----,DE=,AB=b

tan。tanP

MEME_ME（tan一tan夕）_万

所以CE—DE=

tan^tan（3tan0tan/?

btan0tanB,btan0tanB,

所以ME=..........-,所以MN=ME+EN=----------—+a

tanJ3-tan3tan〃一tan6

即可求得物体MN的高度。

第二章二次函数

第1节二次函数

一、二次函数的概念

一般地，若两个变量x、y之间的对应关系可以表示成丫=如2+"+。（“、从c是常数,

“#0）的形式，则称y是x的二次函数。

【说明】（1）任何一个二次函数的表达式都可以化成y=a%2+加:+。（°、b、c是常数，a*

0）的形式，因此，我们把y=ax2+bx+c（〃、氏c是常数，Q手0）叫做二次函数

的一般式。

（2）y=ax2+bx（。、》是常数，〃W0）,y=ax2+c（〃、c是常数，〃手0）,

y=a%2（°是常数，0）的函数也是二次函数。

二、列二次函数表达式

1、审清题意，分清实际问题中的已知量（常量）和未知量（变量），并分析它们之间的关系，

找出等量关系。

2、用关于自变量的代数式把因变量表示出来，从而得到函数的表达式。

【例1】一个长方形的周长是50cm,一边长是现孙写出这个长方形的面积是y（c帆2）与x（cm）

之间的函数表达式。

解：根据题意得，y=x（25—x）=—x2+25x（0<x<25）

三、二次函数求值

1、已知自变量求因变量

2、已知因变量求自变量

【例2】已知二次函数y=*2—2x—2

（1）当x的值为2时，y的值是多少？

（2）当x取何值时，y的值是一3?

解：（1）当x=2时，y=22-2X2-2=-2

（2）当y=-3时，-3=/-2%—2,

整理得，x2-2x+l=0,即（*-1）2=0,

解得，x=l

第2节二次函数的图象与性质

一、二次函数的图象与性质

1、二次函数y=ox2的图象和性质

函数y=ax2(a>0)y=ax2(a<0)

1k

V

大致图象

图象在X轴的上方图象在工•轴的下方

开口方向开口向上开口向下

对称轴y轴（或直线x=0）y轴（或直线x=0）

顶点坐标原点(0,0)原点（0,0）

x<0y随着x的增大而减小y随着x的增大而增大

增减性

x>0y随着x的增大而增大y随着x的增大而减小

最值当x=0时，：y有最小值为0当x=0时，y有最大值为0

2、二次函数y=a/+c的图象和性质

函数y=ax2+c3>0)y=ax2+c(a<0)

c>0c<0c>0c<0

y4'

\10

£

大致图象1

I/X1.

XV

开口方向开口向上开口向下

对称轴y轴（或直线x=0）y轴（或直线x=0）

顶点坐标(0,c)(0,c)

x<0y随着x的增大而减小y随着X的增大而增大

增减性

x>0y随着x的增大而增大y随着X的增大而减小

最值当x=0时，y有最小值为c当x=0时，y有最大值为c

3、二次函数y=a(x-/02的图象和性质

函数y=a(x—h)2(a>0)y=a(x—h)2(aV0)

h>QY0h>0h<Q

>Ix=hx=Ai,

y|A'=AA=A]

/11

Ul

1

大致图象6b*x

1

0工1X

10x

11

11

开口方向开口向上开口向下

对称轴直线x=h直线x=h

顶点坐标Ch,0)Ch,0)

x<hy随着x的增大而减小y随着x的增大而增大

增减性

x〉hy随着x的增大而增大y随着x的增大而减小

最值当时，y有最小值为0当x=7z时，y有最大值为0

4、二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

函数y=a(x—h)2+k(a>0)y=a(x—h)2+k(aVO)

h>0,fe>0ZiVO,k>0h>Q,A>0kVO,k>0

vV

('|X=Ax=lty

11

u

11

!,、

t)A-

0X1

1、

大致图象/i>0,k<0YO,k<0h>h0,k<0力VO,kVO

V

Vi,x=hx=hk-x=h

1yx=h\t

11

L口1

f0l0V

；LX

11

11

开口方向开口向上开口向下

对称轴直线x=h直线x=h

顶点坐标(h,k)Ch,k)

x<.hy随着x的增大而减小y随着x的增大而增大

增减性

x>hy随着x的增大而增大y随着x的增大而减小

最值当x=7i时，y有最小值为无当x=/i时，y有最大值为左

5、二次函数y=ax2+历:+。的图象和性质

函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(〃VO)

b>0,c>0YO,c>0b>。,c>0bVO,c>0

,vV,y11LX

11

p11It

T\.

)!

0

iX

大致图象

ft>0,cVOft<0,cVOb>0,c<0力VO,cVO

1

VyLV

k11

_[

1L

Lf0l

11

开口方向开口向上开口向下

直线*=—2直线*=—2

对称轴

2a2a

bAac-b2bAac-b1

顶点坐标(---9------------J(——9-----------)

2a4a2a4a

,b

x<------y随着x的增大而减小y随着x的增大而增大

2a

增减性

、b

x>----y随着x的增大而增大y随着x的增大而减小

2a

tbp.4ac-b2出ub叶4四-y

最值■清加/4a当T-时，北熄一

2a4a

二、二次函数y=a%2+Ax+c的图象特征与。、b、c及4之间的关系

函数字母字母的符号图象的特征

a>0开口向上

a

〃VO开口向下

ab>0对称轴在y轴左侧

bb=O对称轴为y轴

而VO对称轴在y轴右侧

y=ax2+bx+cc>0抛物线与y轴正半轴相交

cc=O抛物线经过原点

c<0抛物线与y轴负半轴相交

J>0抛物线与X轴有两个交点

AJ=O抛物线与X轴有唯一交点，即顶点在X轴上

J<0抛物线与X轴没有交点

【说明】(1)抛物线的开口方向由〃的符号决定。。>0,开口向上；a<0,开口向下。

(2)抛物线的开口大小由⑷决定。⑷越大，开口越小；⑷越小，开口越大。

(3)在。确定的前提下，对称轴的位置由力的符号决定。曲>0,对称轴在y轴左

侧；b=0,对称轴为y轴；ab<0f对称轴在y轴右侧。

(4)抛物线与y轴交点的位置由c的符号决定。c>0,抛物线与y轴正半轴相交；

c=0,抛物线经过原点；cVO,抛物线与y轴负半轴相交。

(5)抛物线与x轴交点的个数由A的符号决定。J>0,抛物线与x轴有两个交点;

4=0,抛物线与X轴有唯一交点；J<0,抛物线与X轴没有交点。

三、二次函数图象的平移

1、平移方法

向上(*>0)底向下(K0))平移|肝单位-----「

y=<n----------------------------------------------------*y=ax-rk

向右信>0)y=fl(.v—«k的图象可以看成是由y=aC的向右(瓦>0)

[或向左(AVO)]图1^2瞰平移.第一种方法可以先上下移[或向左(AVO)]

平移伊个单位wa秘第』谁可C再上下移.♦平移力rf电位

y=fl(.v-A):__，>=a(.v—

向上(Q>0)回向下(M0)评移I甘个单位U------------

2、平移规律

二次函数y=ox2的平移规律可以简单地总结为“上加下减，左加右减”。例如y=2好向

上平移4个单位得到丫=2於+4；向下平移4个单位得到丫=2炉一4;;向左平移4个单位得

到y=2(x+4)2；向右平移4个单位得到y=2(x-4)2o

【说明】二次函数丫="好+加:+。的平移：

(1)y=or2+bx+c沿y轴向上平移机个单位得到yuaj^+Bx+c+Bl；沿y轴向下平移”2

2

个单位得到y=ax+bx+c—m0

(2)丫="好+加;+。沿x轴向左平移机个单位得到y=a(x+nz)2+Mr+„i)+c;沿x轴向右

平移m个单位得到y=y=a(x—m)2+b(x—m)+c,>

四、二次函数图象的画法

1、方法一一五点画图法

2、步骤

(1)配方

利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式，进而确定其开口方

向、对称轴及顶点坐标。

・••对称轴为K=一一

2a

✓枭2

Ql

x顶点坐标为(一2,%a

2a4a

2

Qz

A()加

\

(2)描点

Z-j/Izy

在平面直角坐标系中描出顶点(-匕，),并用虚线画出对称轴》=-2。

2a4a2a

①当抛物线与X轴有两个交点时，描出这两个交点(XI，0),(X2,0)及抛物线与y轴的交

bb

点(0,c),再找到点(0,c)关于对称轴x=——对称的点(-一，c)o

2aa

②当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点(0,c)及其关于

bb

对称轴x=-二对称的点(-上，c),再描出一对对称点。

2aa

(3)连线

将五个点用光滑的曲线顺次连接起来，并向上或向下延伸，从而得到二次函数的图象。

第3节确定二次函数的表达式

一、二次函数表达式的三种形式

1、一般式：y=ax2+Z>x+c(a、b、c是常数，a=#0)

2、顶点式：y=a(x—h)2+k(a、h>化是常数，。手0)

3、交点式：当抛物线y=ax2+〃x+c与％轴有交点(xi，0),(x2,0)时，即对应一元二次方

程〃炉+加:+0=0有实根xi和孙存在时，根据因式分解ax2+〃x+c=a(x—xD(x—*2),二次

函数y=ax2+Z>x+c可转化为两根式y=a(x—xD(x—M)，如果没有交点，则不能这样表示。

【说明】任何二次函数的表达式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以

写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即兴一4砒》0时，二次函数的表达式才可以用交

点式表示。二次函数表达式的三种形式可以互相转化。

二、用待定系数法确定二次函数的表达式

1、确定一般式y=ax2+加r+c的表达式

先设二次函数的表达式为y=ax2+&x+c(a手0),再将三个已知点的坐标或三对x,y的

值分别代入y=a，+加:+c(a丰0)中，建立关于a、b、c的三元一次方程组，通过解这个三

元一次方程组得到“、氏c的值，从而确定其表达式。

2、确定顶点式y=a(x—h)2+k的表达式

先设二次函数的表达式为y=a(x—/z)2+43手0),若已知顶点坐标①，k),只需再知道图

象上另一点坐标，将其代入丫="住一/2)2+4(“/0)中即可求得”的值，从而确定其表达式。

3、确定交点式y=a(x—xi)(x—必)的表达式

先设二次函数的表达式为y=y=a(x—xi)(x—x2)(a*0),然后将抛物线与x轴的两个交

点的横坐标代入其中并化为一般式，只需再知道图象上另一点坐标，将其代入所化为的一般

式，即可求得a的值，从而确定其表达式。

【说明】(1)用待定系数求二次函数的表达式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能

使解题简便。一般来说，有如下几种情况：

①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式。

②已知抛物线顶点或对称轴或最值，一般选用顶点式。

③已知抛物线上纵坐标相同的两个点的坐标，常选用顶点式。

④已知抛物线与x轴两个交点的横坐标，一般选用交点式。

(2)在设二次函数的表达式时，一定要根据题目的特点灵活来设。

①如果抛物线以y轴为对称轴，顶点在y轴上(不在原点)，说明6=0,我们

可以设二次函数的表达式为y=ar2+c(a*0),这时只需知道图象上两个点的

坐标，将其代入y=〃x2+c中，即可求得〃、c的值，从而确定其表达式。

②如果抛物线以y轴为对称轴，且顶点恰好为原点，说明办、c都为0,我们

可设二次函数的表达式为y=ax2(a^0),这时只需知道图象上一个点的坐标，

将其代入丫=。炉中，即可求得〃的值，从而确定其表达式。

③如果抛物线不以y轴为对称轴，其图象与y轴的交点坐标为(0,2),说明c

的值为2,我们可以设二次函数的表达式为y=〃x2+8x+23=#0),这时只需再

知道图象上两个点的坐标，将其代入y=ax2+》x+2中，即可求得〃、方的值，

从而确定其表达式。

④如果抛物线不以y轴为对称轴，其图象与y轴的交点坐标为(0,-2),说明

c的值为一2,我们可以设二次函数的表达式为丫=〃7+历一2(〃去0),这时只

需再知道图象上两个点的坐标，将其代入y=〃x2+加r—2中，即可求得a、b

的值，从而确定其表达式。

⑤如果抛物线不以y轴为对称轴，其图象恰好经过原点，说明c的值为0,我

们可以设二次函数的表达式为y=ax2+M«*0),这时只需再知道图象上两个

点的坐标，将其代入y=ax2+加；中，即可求得〃、力的值，从而确定其表达式。

第4节二次函数的应用

一、二次函数的最值

1、如果自变量的取值范围是全体实数，那么二次函数的图象是一条抛物线，二次函数在顶

点处取得最大值(或最小值)。

(1)当”>0时，抛物线开口向上，抛物线有最低点，即抛物线的顶点。

b_4ac-b2

所以当x=—时,y最小值=—7------

2a4a

(2)当aVO时，抛物线开口向下，抛物线有最高点，即抛物线的顶点。

……b74ac-b2

所以当x=———时,y最大值=------------

2a4a

b

2、如果自变量的取值范围是XIVXVM，那么，首先要看——是否在自变量取值范围xiV

2〃

X<X2内。

h4-ClC—/

(1)若在此范围内，则当“=—2时，y最值二；

2a4a

(2)若不在此范围内，则需要考虑函数在XiVXVM范围内的增减性。

①如果在此范围内，y随X的增大而增大，则当X=X2时，y最大值=