浙江省舟山市2024届中考数学四模试卷含解析

浙江省舟山市南海实验中学2024学年中考数学四模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，在ABCD中，E为边CD上一点，将.ADE沿AE折叠至△ADE处，与CE交于点F,若N5=52。,

2.下列运算正确的是（）

3

A.x2+x3=x5B.必+X3=%6C.（丁）=炉D.（x2）3=X6

3.如图，经过测量，C地在A地北偏东46。方向上，同时C地在B地北偏西63。方向上，则NC的度数为（）

北

A.99°B.109°C.119°D.129°

4.今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”.某村小为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进

行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10,15,10,17,18,1.对于这组数据，下列说法错误的是（）

44

A.平均数是15B.众数是10C.中位数是17D.方差是§

5.为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程

度的是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

6.已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2,若关于x的一元二次方程-x?-bx-c=0在-l<x<3的范围内有两个相

等的实数根，则c的取值范围是（）

A.c=4B.-5<c<4C.-5<c<3或c=4D.-5<吐3或c=4

33x

7.计算E▼的结果为（

3333

A.B.------C.-:TD.

1-xX-1（1-x）一（x-l）

8.如图，AB为。。的直径，C为。O上的一动点（不与A、B重合），CDLAB于D,NOCD的平分线交。。于P,

则当C在。。上运动时，点P的位置（）

A.随点C的运动而变化

B.不变

C.在使PA=OA的劣弧上

D.无法确定

9.如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O,E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28,则OE的长等于（）

10.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密后传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已

知某种加密规则为，明文a,b对应的密文为a+2b,2a-b,例如：明文1,2对应的密文是5,0,当接收方收到的

密文是1,7时，解密得到的明文是（）

A.3,-1B.1,-3C.-3,1D.-1,3

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

6x

11.分式方程丁二-1=^—的解是X=______.

X2-93-X

12.如图，某海监船以20后〃/%的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至4处时，测得岛屿P恰好在

其正北方向，继续向东航行1小时到达3处，测得岛屿尸在其北偏西30。方向，保持航向不变又航行2小时到达C处,

此时海监船与岛屿产之间的距离（即PC的长）为km.

13.因式分解：9a3b-ab=.

14.一个正多边形的一个外角为30。，则它的内角和为.

15.对于函数丁=/+%根，我们定义了=依〃一1+如根一1(m、n为常数).

例如y=x4-bx2,贝!Jy'=4尤3+2x.

已知：y=^x3+(m-l)x2+m2x.若方程y'=0有两个相等实数根，则m的值为.

16.已知/a=32。，则Na的余角是°,

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普

及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面

两个统计图.

(1)本次调查的学生共有人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是人；

(2)“非常了解”的4人有Ai,4两名男生，Bi,为两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树

状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.

18.(8分)如图,已知二次函数丁=-必+法+。与x轴交于A、B两点,A在B左侧，点C是点A下方，且ACJ_x轴.

(1)已知A(-3,0),B(-l,0),AC=OA.

①求抛物线解析式和直线OC的解析式；

②点P从。出发,以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动,Q从O出发,以每秒41个单位的速度沿OC方向运动,

运动时间为t.直线PQ与抛物线的一个交点记为M,当2PM=QM时，求t的值(直接写出结果，不需要写过程)

⑵过C作直线EF与抛物线交于E、F两点(E、F在x轴下方)，过E作EGLx轴于G连CG,BF,求证：CG/7BF

19.（8分）一件上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价的百分率是

第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速售出，求两次降价的百分率各是多少.

20.（8分）如图，已知AB为。O的直径，AC是。O的弦，D是弧BC的中点，过点D作。。的切线，分别交AC、

AB的延长线于点E和点F,连接CD、BD.

（1）求证：/A=2NBDF；

（2）若AC=3,AB=5,求CE的长.

21.（8分）某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图,

请结合图中相关数据解答下列问题：

有:来自七年级，有"自八年级，其他同学均来自九年级，现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书

法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率.

22.（10分）小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：

信息一：工人工作时间：每天上午8：00-12：00,下午14：00-18：00,每月工作25天;

信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：

生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分钟）

1010350

3020850

信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元.

信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问

题：

（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；

（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、

乙两种产品分别是多少件？

23.（12分）抛物线y=-x?+（m-1）x+m与y轴交于（0,3）点.

（1）求出m的值并画出这条抛物线；

（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；

（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？

（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？

24.春节期间,，小丽一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游.

租车公司：按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费.

共享汽车：无固定租金，直接以租车时间（时）计费.

如图是两种租车方式所需费用yi（元）、y2（元）与租车时间x（时）之间的函数图象，根据以上信息，回答下列问题:

（1）分别求出yi、y2与x的函数表达式；

（2）请你帮助小丽一家选择合算的租车方案.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解题分析】

由平行四边形的性质得出ND=NB=52。，由折叠的性质得：ZD,=ZD=52°,ZEADr=ZDAE=20°,由三角形的外角性

质求出NAEF=72。，由三角形内角和定理求出NAED，=108。，即可得出NFED，的大小.

【题目详解】

四边形ABCD是平行四边形，

.,•/D=/B=52。，

由折叠的性质得：ND'=ND=52。，NEAD'=/DAE=20。，

/.ZAEF="+^DAE=520+20°=72°，NAED=180。—^EAD'-^D'=108°,

^FED'=1080-72°=36°；

故选C.

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质

和折叠的性质，求出NAEF和NAED，是解决问题的关键.

2、D

【解题分析】

根据塞的乘方：底数不变，指数相乘.合并同类项即可解答.

【题目详解】

解：A、B两项不是同类项，所以不能合并，故A、B错误,

C、D考查暴的乘方运算，底数不变，指数相乘.（必）3=%6,故口正确;

【题目点拨】

本题考查事的乘方和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键.

3,B

【解题分析】

方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90。的角，根据平行线的性质求得NACF与NBCF的度数,ZACF

与尸的和即为NC的度数.

【题目详解】

解：由题意作图如下

NZMC=46。，NCBE=63°,

由平行线的性质可得

ZACF=ZDAC^46°,ZBCF=ZCBE=63°,

：.ZACB=ZACF+ZBCF=46o+63o=109°,

故选8.

【题目点拨】

本题考查了方位角和平行线的性质，熟练掌握方位角的概念和平行线的性质是解题的关键.

4、C

【解题分析】

解：中位数应该是15和17的平均数16,故C选项错误，其他选择正确.

故选C.

【题目点拨】

本题考查求中位数，众数，方差，理解相关概念是本题的解题关键.

5、D

【解题分析】

根据方差反映数据的波动情况即可解答.

【题目详解】

由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差.

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差.反映数据集中程度的统计量有平均数、中

位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用.

6、D

【解题分析】

解：由对称轴x=2可知：b=-4,

.,•抛物线y=x2-4x+c,

令x=-1时，y=c+5,

x=3时，y=c-3,

关于x的一元二次方程-必-帖-c=0在-l<x<3的范围有实数根，

当小=0时，

即c=4,

此时x=2,满足题意.

当小〉0时，

(c+5)(c-3)<0,

-5<c<3,

当c=-5时，

此时方程为：-x2+4x+5=0,

解得：x=-1或x=5不满足题意，

当c=3时,

此时方程为：-x2+4x-3=0,

解得：x=l或x=3此时满足题意，

故-5<c<3或c=4,

故选D.

点睛：本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系.理解二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键.

7、A

【解题分析】

根据分式的运算法则即可

【题目详解】

3(1-x)3

解:原式=

(x-1)21-x

故选A.

【题目点拨】

本题主要考查分式的运算。

8、B

【解题分析】

因为CP是NOCD的平分线，所以NDCP=NOCP,所以/DCP=NOPC,则CD〃OP,所以弧AP等于弧BP,所以

PA=PB.从而可得出答案.

【题目详解】

解：连接OP,

；CP是NOCD的平分线,

.\ZDCP=ZOCP,

XVOC=OP,

.\ZOCP=ZOPC,

.\ZDCP=ZOPC,

/.CD#OP,

XVCD1AB,

.\OP±AB,

'AP=BP'

,\PA=PB.

.•.点P是线段AB垂直平分线和圆的交点,

...当C在。O上运动时，点P不动.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，以及平行线的判定和性质，在同圆或等圆中，等弧对等弦.

9、A

【解题分析】

根据菱形的四条边都相等求出AB,再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD,然后判断出OE是△ABD的中位线,

再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可.

【题目详解】

解：••,菱形ABCD的周长为28,

.,.AB=28v4=7,OB=OD,

；E为AD边中点，

，0£是4ABD的中位线，

11

,,.OE=-AB=-x7=3.1.

22

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键.

10、A

【解题分析】

a+2b=l

根据题意可得方程组",/再解方程组即可.

2a"=7

【题目详解】

a+2b=1

由题意得:

2a—b=7

a=3

解得：＜

b=-l

故选A.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、-5

【解题分析】

两边同时乘以(x+3)(x-3),得

6-X2+9=-X2-3X,

解得:x=-5,

检验：当x=-5时，(x+3)(x-3)/),所以x=-5是分式方程的解，

故答案为：-5.

【题目点拨】本题考查了解分式方程，解题的关键是方程两边同时乘以最简公分母，切记要进行检验.

12、406

【解题分析】

首先证明尸3=3C,推出NC=30。，可得PC=2B1,求出四即可解决问题.

【题目详解】

解：在R3B43中，VZAPS=30°,

1.PB=2AB,

由题意BC=2AB,

:.PB=BC,

：.ZC=ZCPB,

■:NABP=ZC+ZCPB=6O0,

.\ZC=30°,

：.PC^2PA,

,.,^4=AB«tan60°,

.\PC=2x20x73=4073(km),

故答案为40

【题目点拨】

本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是证明尸B=3C,推出NC=30。.

13、ab(3a+l)(3a-l).

【解题分析】

试题分析：原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可.

试题解析：原式=ab(9a2-l)=ab(3a+l)(3a-l).

考点：提公因式法与公式法的综合运用.

14、1800°

【解题分析】

试题分析：这个正多边形的边数为=12,

30。

所以这个正多边形的内角和为（12-2）xl80°=1800°.

故答案为1800°.

考点：多边形内角与外角.

1

15、-

2

【解题分析】

分析：根据题目中所给定义先求V，再利用根与系数关系求，〃值.

详解：由所给定义知，丁'=炉+2加一1》+“/,若％2+2〃?_］工+7找2=0,

♦=4（m一-4xm2=0,

解得m=5.

2

点睛：一元二次方程的根的判别式是加+bx+c=0（。w0）,

△^b2-4ac,a,b,c分别是一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项.

A>0说明方程有两个不同实数解，

△=0说明方程有两个相等实数解，

△<0说明方程无实数解.

实际应用中，有两种题型（1）证明方程实数根问题，需要对A的正负进行判断，可能是具体的数直接可以判断，也可

能是含字母的式子，一般需要配方等技巧.

16、58°

【解题分析】

根据余角：如果两个角的和等于90。（直角），就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一个角的余角可得答案.

【题目详解】

解：Na的余角是:90°-32°=58°.

故答案为58°.

【题目点拨】

本题考查余角，解题关键是掌握互为余角的两个角的和为90度.

三、解答题（共8题，共72分）

2

17、（1）50,360；（2）-.

3

【解题分析】

试题分析：(1)根据图示，可由非常了解的人数和所占的百分比直接求解总人数，然后根据求出不了解的百分比估计

即可；

(2)根据题意画出树状图，然后求出总可能和“一男一女”的可能，再根据概率的意义求解即可.

试题解析：(1)由饼图可知“非常了解”为8%,由柱形图可知(条形图中可知)“非常了解”为4人，故本次调查的学

生有,=4。(人)

8%

由饼图可知：“不了解”的概率为1-3%-22°o-30%，故1200名学生中“不了解”的人数为二轴除削腌=3尴।

(人)

(2)树状图：

由树状图可知共有12种结果，抽到1男1女分别4为b工J£4.、.1B、4▲3上'、5・J•>J.B»AX.—4共8种.

.p82

123

考点：1、扇形统计图，2、条形统计图，3、概率

18、(1)©J=-X2—4x—3；y=x；②t=1】士或63±3&41；的)证明见解析.

1850

【解题分析】

⑴把A(-3,0),B(-L0)代入二次函数解析式即可求出；由AC=OA知C点坐标为(-3,-3),故可求出直线OC的解析式;

②由题意得。P=2f,P(—2f,0),过。作轴于瓦

PGPM1

得可得。(一/,一/),直线PQ为y=-x-2t,过M作MGA.X轴于G,由==—-=彳，则2PG=GH,由

(jrfi(JAZ2

2\XP-XG\^\XG-XH\,得2阵—％”|=卜”—xj,于是2卜，解得与=—3减X”=-1,从而求

出M(—3?)或M(),再分情况计算即可；(2)过尸作FH±x轴于H,想办法证得tanZCAG=tanZFBH,

即NCAG=NF8H,即得证.

【题目详解】

y=-x2+bx+c

0=-9-3Z?+cb=-4

解：(1)①把A(—3,O),B(-L0)代入二次函数解析式得<解得4

Q=-l-b+cc=-3

由AC=OA知C点坐标为(-3,-3),.•.直线OC的解析式尸x；

②OP=2f,P(—2f,0),过。作轴于

,:QO=5,，OH=HQ=t,

二。(一。一。,工尸。：y=-x—2t,

过M作MG_Lx轴于G,

PG_PM_1

GH~QM~2

：.2PG=GH

...2k?一%|=|%一%］，即21物一如|=|无"—q

2卜2/_泡|=%+，|,

•**XM=-3/或0=一不，

或M(—-)

当M(—3f,f)时：/=—9/+12/—3,

11±屈

~18-

252200

—厂+—1-3

63±3g'

50

综上…叫叵或,63±3g'

50~

(2)设4(机,0)、3(",0),

工机、〃为方程A2—fcv—c=0的两根，

:.m+n=b^mn=~c,

/.j=-x2+(m+n)x—mn=—(x—m)(x—n),

2

VE>F在抛物线上，设£(与一x：+(根+〃)玉一3)、F^x2,-x2+(m+n)x2-mn

设EF：y=kx+b,

=kx+b

.[yEE

[yF=kxE+b，

kxx

•*­yE-yF=(E-F)

.—%2+々2+("2+〃)«—%)系x

••/V———IILifL人]人o

:.F:y=(根+〃一%-x2)(x-xl)-(xl—加)(菁—n),令x=m

:.yc=(m+n-xl-x2)(m-xl)-(xl-m)(xj—n)

=(m-^)(m+n-xl_/+%-^)=(m-xl)(m-x2)

/.AC=-(m-x1)(m-x2),

又AG=xA-xE=m-xi9

,/AC

・・tanNCAG=------—TTI,

AG2

另一方面：过耳作尸轴于H,

/.FH=(X2-m)(x2-n),BH=x2-n,

FH

/.tanZ.FBH=......-x—m

BH0

/.tanZC4G=tanZFBH

:.ZCAG=ZFBH

J.CG//BF

【题目点拨】

此题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质及正确作出辅助线进行求解.

19、40%

【解题分析】

先设第次降价的百分率是x,则第一次降价后的价格为500(1-x)元，第二次降价后的价格为500(l-2x),根据两次

降价后的价格是240元建立方程，求出其解即可.

【题目详解】

第一次降价的百分率为x,则第二次降价的百分率为2x,

根据题意得：500(1-x)(1-2x)=240,

解得xi=0.2=20%,X2=1.3=130%.

则第一次降价的百分率为20%,第二次降价的百分率为40%.

【题目点拨】

本题考查了一元二次方程解实际问题，读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求出符合题的解即可.

20、(1)见解析；(2)1

【解题分析】

(1)连接AD,如图，利用圆周角定理得NADB=90。，利用切线的性质得OD_LDF,则根据等角的余角相等得到

ZBDF=ZODA,所以NOAD=NBDF,然后证明NCOD=NOAD得至1]NCAB=2NBDF；

(2)连接BC交OD于H,如图，利用垂径定理得到ODLBC,则CH=BH,于是可判断OH为△ABC的中位线，

所以OH=1.5,则HD=1,然后证明四边形DHCE为矩形得到CE=DH=L

【题目详解】

(1)证明：连接AD,如图，

；AB为。O的直径，

.,.ZADB=90°,

VEF为切线，

AOD1DF,

,.,ZBDF+ZODB=90°,ZODA+ZODB=90°,

.\ZBDF=ZODA,

VOA=OD,

NOAD=NODA,

/.ZOAD=ZBDF,

；D是弧BC的中点，

/.ZCOD=ZOAD,

；.NCAB=2/BDF；

（2）解：连接BC交OD于H,如图，

；D是弧BC的中点，

/.OD±BC,

，011为4ABC的中位线，

：.OH=-AC=-x3=1.5,

22

.*.HD=2.5-1.5=1,

；AB为。O的直径，

，NACB=90。，

四边形DHCE为矩形，

；.CE=DH=1.

【题目点拨】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出

垂直关系.简记作：见切点，连半径，见垂直.也考查了圆周角定理.

21、（1）答案见解析；（2）1.

【解题分析】

【分析】（1）根据参与奖有10人，占比25%可求得获奖的总人数，用总人数减去二等奖、三等奖、鼓励奖、参与奖

的人数可求得一等奖的人数，据此补全条形图即可；

（2）根据题意分别求出七年级、八年级、九年级获得一等奖的人数，然后通过列表或画树状图法进行求解即可得.

【题目详解】（1）104-25%=40（人），

获一等奖人数：40-8-6-12-10=4（人），

补全条形图如图所示：

八年级获一等奖人痴4xl=1(A),

，九年级获一等奖人数：4-1-1=2(人),

七年级获一等奖的同学用M表示，八年级获一等奖的同学用N表示,

九年级获一等奖的同学用Pi、P2表示，树状图如下：

开始

MN尸2

z1\z1\z1\Zl\

N尸iP2M尸iPzMNPzMNP\

共有12种等可能结果，其中获得一等奖的既有七年级又有九年级人数的结果有4种，

41

则所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率P=—=-.

123

【点评】此题考查了统计与概率综合，理解扇形统计图与条形统计图的意义及列表法或树状图法是解题关键.

22、(1)生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分；(2)小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两

种产品分别60,555件.

【解题分析】

(1)设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分，利用待定系数法求出x,y的值.

(2)设生产甲种产品用x分，则生产乙种产品用(25x8x60-x)分，分别求出甲乙两种生产多少件产品.

【题目详解】

(1)设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分.

10x+10y=350

由题意得：，

30x+20y=850'

尤=15

解这个方程组得：＜

y=20

答：生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分.

(2)设生产甲种产品共用x分，则生产乙种产品用(25x8x60-x)分.

则生产甲种产品占牛'生产乙种产品件.

x25x8x60-%12000-x

・・w总额=1.5x——+2.8x-------------------=0.1x+-----------