2024年济南钢城区九年级中考数学一模考试试题（含答案）

2024年九年级学业水平模拟考试

数学试题

注意事项：

1.答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确.

2.本试题分第1卷（选择题）和第回卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分

钟.

3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用

0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔,

不能用铅笔.黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色

签字笔，不能用铅笔.

4.考试结束后，由监考教师把答题卡收回.

第回卷（选择题共40分）

一.选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零

分，共40分）

1.-3的倒数是（）

11

A.3B.-C.--D.-3BJ

2.下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

3.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果N2=58°,那么N1的度数

是（）

4.如图的几何体是一个工件的立体图，从上面看这个几何体，所看到的平面图形是（）

5.研究表明，可燃冰是一种可替代石油的新型消洁能源，在我国某海域已探明的可燃冰储存

量达150000000000立方米=1.5XKT,则n的值为（）

A.10B.llC.12D.13

6.下列运算正确的是（）

1

A.a3•a2=a12B.2b+5a=7abv[?!C.（a+b）2=a2+b2D.（a2b3）2=a4b6

7.点M、N在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是m和n.对于以下结论：①n-m

>0,（2）m•n>0,（3）|m|>|n|,④-m>n.其中正确的个数是（）

A.lB.2C.3D.4

8.在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两

名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是（）

9.如图，在等腰ABC中，AB=AC=10,BC=12.在AB、AC上分别截取AP、AQ,使AP=AQ,再

分别以点P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在NBAC内交于点R,作射线AR,

交BC于点D.若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（）

A.9.6B.10C.12D.12.8

10.对某一个函数给出如下定义：对于函数y,若当aWxWb,函数值y满足mWyWn,且满

足n-m=k（b-a）,则称此函数为“k型闭函数”.例如：正比例函数y=-3x,当10&3时,

9WyW-3,则-3—（-9）=k（3-1）,求得：k=3,所以函数y=-3x为“3型闭函数”.已

知二次函数y=-3x2+6ax+2a,当-时，y是“k型闭函数”，则k的取值范围为（）

A.k26B.k2-C.-WkV6D.-VkW6

222

第回题卷（非选择题共110分）

二.填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共24分）

11.分解因式：m2-6m+9=.

12.一个口袋中有6个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放

回口袋中，不断重复上述过程，如果共摸了200次，其中有60次摸到黑球，那么请你估计

口袋中大约有个白球.

13.若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为.

14.如图，正六边形ABCDEF的边长为4,以对角线AC为直径作圆，则图中阴影部分的面

积为.

（第14题图）

15.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上,

2

tanZAB0=3,以AB为边向上作正方形ABCD.若图象经过点C的反比例函数的表达式是y=|,

则图象经过点D的反比例函数的表达式是.

16.在矩形ABCD中，AB=2,BC=2V3^,点E、F分别是边AD和BC上的动点，且AE=CF,连

接EF,过点B作BG_LEF,垂足为点G,连接CG,则CG的最小值为.

三.解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步

骤）

17.（6分）计算：V12+（3.14-n）。一3tan60°+|1—V3|+（-1）2024

3%—1

—41<2x

18.（6分）解不等式组

x—3(2x—l)>8

国g

0

a

B

BBS

B

19.（6分）如图，菱形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，AF=CE,求证：AE=CF.

20.（8分）为增强学生体质，某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随

机抽取了80名学生的测评成绩（百分制，单位：分），并对数据（测评成绩）进行整理、

描述和分析，下面给出了部分信息.

a.七年级80名学生测评成绩的频数分布直方图（数据分成_6组：40^x<50,50^x<60,60

WxV70B,70《xV80,80《xV90,90^x<100）如图所示：

频数

23

I8

—9

5

O

405060708090100成绩/分

3

B.七、八年级80名学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示:

平均中位众

年级

数数数

七年

74.3m81

级

八年

757978

级

C.七年级80名学生传统文化知识测试成绩在70WxV80这一组的是71,72,72,73,74,74,

75,76,76,77,77,77,77,78,78,79,79,79.

根据以上信息，回答下列问题.

（1）表中m的值为,补全频数分布直方图.

（2）八年级菲菲同学的测试成绩是77分.他认为77高于本年级测试成绩的平均数，所以

自己的成绩高于本年级一半学生的成绩.你认为他的说法正确吗?请说明理由.

（3）若该校七年级共有1200名学生，测试的成绩60分及以上为合格，请你估算该校七年

级学生测评成绩的合格人数.

21.（8分）资料题

研究课题：如何设计遮阳篷

设计要求：遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光

射入室内.

设计方案：如图，BCD表示直角遮阳篷.遮阳篷水平部分CD垂直于墙面AC,AB表示窗户.

数据收集:通过查阅相关资料和实际测量:夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳篷CD

的夹角NADC最大，最大角NADC=75。；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷

CD的夹角NBDC最小，最小角NBDC=29°.

问题提出

（1）如图2,若墙面AC的高为3.73米，要求设计的遮阳篷正好最大限度地遮住夏天炎热的

阳光，求遮阳篷水平部分CD的长度.

（2）如图3,当窗户AB=1.59m时，设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能

最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.求遮阳篷CD的长.（参考数据：sin75°~0.97,

cos75°20.26,tan75°23.73,sin29°仁0.48,cos29°~0.87,tan29°仁0.55）

4

22.如图，已知AB是。。的直径，直线DC是。。的切线，切点为C,AE±DC,垂足为E,连

接AC.

(1)求证：AC平分NBAE.

(2)若AC=6,tanNACE=；,求。。的半径.

4

23.随着时代的发展，"直播带货"已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成

为企业营销变革的新起点.某企业为开启网络直播带货的新篇章，购买A、B两种型号直播

设备.已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍,用1800元购买A型设备的数量比用1000

元购买B型设备的数量多5台.

(1)求A、B型设备单价分别是多少元；

(2)某平台计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设

购买A型设备a台，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用.

24.问题背景：某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深

为1米.已知底面造价为k千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米.

图①

(1)设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得：水池底面另一边长为米，

可得y与x的函数关系式为：.

(2)若底面造价为1千元，则得y与x的函数关系式为.

问题初探：某数学兴趣小组提出：一次函数丫=乂+1<的图像可以由正比例函数y=x的图像向上

(下)平移k个单位得到：受此启发，给定一个函数：y=xAk(x>0),为了研究它的图象与

5

性质，并运用它的图象与性质解决实际问题,对y=xJ+l(x>0)进行如下图象探索:

X

列表如下

(4)请在平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象.

(5)请结合函数的图象，写出当x=,y有最小值为；

学以致用

根据以上信息，若底面造价为3千元，请回答以下问题：

(6)y与x的函数关系式为.

(7)当水池底边长分别为米时，水池总造价的最低费用为千元;

(8)若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？

25.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于点A(-1,0)、B(4,0)

两点，交y轴于点C.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PE±BC于点E,过点P作y轴的平行

线交直线BC于点F,求4PEF周长的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图2,在(2)问的条件下，将该抛物线沿射线CB的方向平移2遮个单位后得到新抛

物线y\点M为平移后的新抛物线『的对称轴上一点.在平面内确定一点N.使得四边形

AMPN是菱形，请求出符合条件的点N的坐标.

6

26.原题呈现：

如图1:在aABC和aDEC中，ZACB=ZDCE=90°,BC=AC,EC=DC,点E为^ABC内部一

点，射线BE交直线AD于点F.试探究：AF,BF,CF之间存在怎样的数量关系？

图1

某数学探究小组对以上题目采用了有特殊到一般的数学思想方法进行探究，过程如下，请完

成以下探究过程.

问题探究：

（1）先将问题特殊化如图（2）,当点D、F重合时，直接写出一个等式，表示AF、BF、CF

之间的数量关系；

D(F)

（2）再探究一般情形如图（1）,当点D、F不重合时（1）中的结论仍然成立.

拓展延申：

（3）如图3,若将原题中的条件“BC=AC,EC=DC"改为BC=kAC,EC=kDC（k是常数）,请写

出一个等式，表示线段AF、BF、CF之间的数量关系.

7

答案

一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记

零分，共40分）

1.-3的倒数是（C）

11

A.3B-C.--D.-3B

33

2.下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（D）

3.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果N2=58°,那么N1的度数

是（A）

A.32°B.48°C.58°D.68°

5.研究表明，可燃冰是一种可替代石油的新型消洁能源，在我国某海域已探明的可燃冰储存

量达150000000000立方米=1.5义IO11,则n的值为（B）

A.10B.llC.12D.13

6.下列运算正确的是（D）

A.a3,a2=a12~B.2b+5a=7ab下C.（a+b）2=a2+b2D.（a2b3）2=a4b6

7.点M、N在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是m和n.对于以下结论：①n—m

>0,②m•n>0,③|m|>|川，（4）-m>n.其中正确的个数是（C）

A.lB.2C.3D.4

8.在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两

名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是（D）

9.如图，在等腰ABC中，AB=AC=10,BC=12.在AB、AC上分别截取AP、AQ,使AP=AQ,再

分别以点P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在NBAC内交于点R,作射线AR,

8

交BC于点D.若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（A）

A.9.6B.10C.12D.12.8

10.对某一个函数给出如下定义：对于函数y,若当aWxWb,函数值y满足mWyWn,且满

足n-m=k（b-a）,则称此函数为“k型闭函数”.例如：正比例函数y=-3x,当l《xW3时，

9WyW-3,则-3—（-9）=k（3-1）,求得：k=3,所以函数y=-3x为“3型闭函数”.已

知二次函数y=-3x2+6ax+2a,当-lWxWl时，y是“k型闭函数”，则k的取值范围为（B）

Q-2Q

A.k26，B.k2-C.-^k<6D.-<k^6

222

第回题卷（非选择题共110分）

二.填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共24分）

11.分解因式：m2-6m+9=（m—3产.

12.一个口袋中有6个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放

回口袋中，不断重复上述过程，如果共摸了200次，其中有60次摸到黑球，那么请你估计

口袋中大约有14个白球.

13.若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为1.

14.如图，正六边形ABCDEF的边长为4,以对角线AC为直径作圆，则图中阴影部分的面

积为______6兀-4四_____

15.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上,

tanZABO=3,以AB为边向上作正方形ABCD.若图象经过点C的反比例函数的表达式是y=|,

则图象经过点D的反比例函数的表达式是v=-=

16.在矩形ABCD中，AB=2,BC=2V^,点E、F分别是边AD和BC上的动点，且AE=CF,连

接EF,过点B作BG_LEF,垂足为点G,连接CG,则CG的最小值为夕一1.

三.解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步

9

骤)

17.(6分)计算：V12+(3.14-n)°-3tan60°+|1-V3|+(-1)2024

=2V3+1—3V3+V3—1+1

=1

-1<2x(1)

18.（6分）解不等式组

x-3(2x-l)28&

解①得，x>-3

解②得，-1

不等式组的解集为：-3VxW-l

19.（6分）如图，菱形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，AF=CE,求证：AE=CF.

团四边形ABCD是菱形

回AD=CDv

又回AF=CE

回AD-AF=CD-CE

回DF=DE

在团ADE和团CDF中

AD=CD

ND=ND

DE=DF

回ADE会团CDF(SAS)

回AE=CF

20.（8分）为增强学生体质，某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随

机抽取了80名学生的测评成绩（百分制，单位：分），并对数据（测评成绩）进行整理、

描述和分析，下面给出了部分信息.

a.七年级80名学生测评成绩的频数分布直方图（数据分成6组：40WxV50,50WxV60,60

WxV70B，70/xV80,80^x<90,90^x<100）如图所示：

10

独数

23

I8

k

—

9r

5k

Ov

B.七、八年级80名学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示:

平均中位众

年级

数数数

七年

74.3m81

级

八年

757978

级

C.七年级80名学生传统文化知识测试成绩在70WxV80这一组的是71,72,72,73,74,74,

75,76,76,77,77,77,77,78,78,79,79,79.

根据以上信息，回答下列问题.

（1）表中m的值为,补全频数分布直方图.

（2）八年级菲菲同学的测试成绩是77分.他认为77高于本年级测试成绩的平均数，所以

自己的成绩高于本年级一半学生的成绩.你认为他的说法正确吗?请说明理由.

（3）若该校七年级共有1200名学生，测试的成绩60分及以上为合格，请你估算该校七年

级学生测评成绩的合格人数.

解：七年级的中位数为第40和第41个数据的平均数，

团m=77

第三组的频数为80-5-9-18-23-11=14（人），补全频数分布直方图如下

・频数

23

I8

-4

I-1

9

5

O

故答案为：77

解：菲菲的说法不正确，

理由：77分虽然高于本年级测试成绩的平均数，但低于中位数，所以他的成绩低于本年级一

半学生的成绩；

解:14+18+23+11X1200=80（人）

80

答：估算该校七年级学生的总人数有990人.

11

21.（8分）资料题

研究课题：如何设计遮阳篷

设计要求：遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光

射入室内.

设计方案：如图，BCD表示直角遮阳篷.遮阳篷水平部分CD垂直于墙面AC,AB表示窗户.

数据收集:通过查阅相关资料和实际测量:夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳篷CD

的夹角NADC最大，最大角NADC=75。；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷

CD的夹角NBDC最小，最小角NBDC=29。.

问题提出

（1）如图2,若墙面AC的高为3.73米，要求设计的遮阳篷正好最大限度地遮住夏天炎热的

阳光，求遮阳篷水平部分CD的长度.

（2）如图3,当窗户AB=1.59m时，设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能

最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.求遮阳篷CD的长.（参考数据：sin75。=0.97,

cos75°七0.26,tan75°七3.73,sin29°=0.48,cos29°=0.87,tan29°=0.55）

解：(1)如图1,在Rt回ACD中，回NADC=75°,AC=3.73m

fAC3.73-

0tanZADC=—=—^3.73

CDCD

/.CD^lm

回CD的长为Im

(2)如图2,在RtaBCD中，回NBDC=29°

0tanZBDC=—^0.55

CD

HBC=0.55CD

在Rt团ACD中，0ZADC=75°

AC

回tanNADC=—=3.73

CD

回AC=3.73CD

回AB=AC-BC=(3.73-0.55)CD=3.18CD=1.59

回CD=0.5m

团遮阳篷CD的长为0.5m

22.如图，已知AB是。O的直径，直线DC是。。的切线，切点为C,AE±DC,垂足为E,连

接AC.

（1）求证：AC平分NBAE.

12

(2)若AC=6,tanZACE=-,求。0的半径.

4

(1)证明：连接0C

•.•直线DC是。。的切线，切点为C

.•.OC±DC

又AE_LDC

.,.0C/7AE

.\ZEAC=ZACO

VOC=OA

.\ZACO=ZOAC

.\ZEAC=ZOAC

Z.AC平分NBAE

(2)解：连接BC

VAB是。O的直径

.,.ZACB=90°

.\ZCAB+ZABC=90°

又AE_LDC

.\ZEAC+ZACE=90°

由(1)得NEAC=NOAC

.\ZABC=ZACE

在Rt回ABC中，tanZABC=tanZACE=-

4

•竺_2_三

,,BC~BC~4

：.BC=8

在Rt回ABC中，AB=10

/.OA=5,即。。的半径为5

23.随着时代的发展，"直播带货"已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成

为企业营销变革的新起点.某企业为开启网络直播带货的新篇章，购买A、B两种型号直播

设备.已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍,用1800元购买A型设备的数量比用1000

元购买B型设备的数量多5台.

(1)求A、B型设备单价分别是多少元；

(2)某平台计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设

购买A型设备a台，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用.

13

(1)解：设B型设备的单价是x元，则A型设备的单价是1.2X元

根据题意得：等一些=5

1.2xx

解得：x=100

经检验，x=100是所列方程的解，且符合题意，

.\1.2x=1.2X100=120(元)

答：A型设备的单价是120元，B型设备的单价是100元

(2)根据题意得：w=120a+100(60-a)

即w=20a+6000

购进A型设备数量不少于B型设备数量的一半，

...a22-(60—a)

2

解得:a220

w与a的函数关系式为w=20a+6000

V2>0

，w随a的增大而增大

...当a=20时，w取得最小值，最小值20X20+6000=6400(元)

答：w与a的函数关系式为w=20a+6000,最少购买费用是6400元.

24.问题背景：某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深

为1米.已知底面造价为k千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米.

图①

(1)设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得：水池底面另一边长为米，

可得y与x的函数关系式为：.

(2)若底面造价为1千元，则得y与x的函数关系式为.

问题初探：某数学兴趣小组提出：一次函数丫=乂+1<的图像可以由正比例函数y=x的图像向上

(下)平移k个单位得到：受此启发，给定一个函数：y=xAk(x>0),为了研究它的图象与

性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，对丫=乂弓+1仅>0)进行如下图象探索:

列表如下

14

(4)请在平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象.

(5)请结合函数的图象，写出当x=,y有最小值为；

学以致用

根据以上信息，若底面造价为3千元，请回答以下问题：

(6)y与x的函数关系式为.

(7)当水池底边长分别为米时，水池总造价的最低费用为千元;

(8)若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？

解：(1)•.•水池底面一边长为x米，底面积为1平方米，

...水池的另一边长工米

X

•.•底面造价为k千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米

/.y=(x+-)X2XlX0.5+lXk=x+-+k

XX

故答案为：y=x+[+k

(2)•.•底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米

/.y=(xJ)X2X1X0.5+1X1=X+-+1

XX

故答案为：y=x+^+l

(3)当时，m=3.5

当x=3时，n=y

o1234567x

15

(5)由图象可得，当x=l时，y最小3

故答案为：1,3

(6)底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米

.\y=(x+-)X2XlX0.5+lX3=x+-+3

XX

故答案为：y=x+1+3

(7)由函数平移的性质可得：函数y=x《+3是由函数y=x^+l向上平移2个单位得到的

•.•函数y=x+：+l的最低点的坐标为(1,3)

...函数y=x+}+3的最低点的坐标为(1,5)

故答案为：1,5；

•.•该农户预算不超过5.5千元，函数y=x《+3是由函数y=x4+l向上平移2个单位得到的,

...找到函数y=xAl图象上纵坐标不超过3.5千元的点对应的x的值即可.

X

2

25.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于点A(-1,0)、B(4,0)

两点，交y轴于点C.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PE±BC于点E,过点P作y轴的平行

线交直线BC于点F,求4PEF周长的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图2,在(2)问的条件下，将该抛物线沿射线CB的方向平移2遮个单位后得到新抛

物线点M为平移后的新抛物线y，的对称轴上一点.在平面内确定一点N.使得四边形

AMPN是菱形，请求出符合条件的点N的坐标.

(1)解：团抛物线y=ax?+bx+4交x轴于点A(-1,0)、B(4,0)两点

16a+4b+4=0^3-1

回a—b+4=。解得:a=

b=3

回抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4

解：令y=0代入y=-x2+3x+4

16

0C(0,4),则OC=4

回A(-1,0),B(4,0),则OA=1