湖北省教研联盟（新高考卷）2024届高三年级下册4月联考数学试题（含答案与解析）

绝密★启用前（新高考卷）

2024年普通高等学校招生全国统一模拟考试

数学试卷

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.某演讲比赛8位参赛选手的最终得分分别为92,88,95,93,90,97,94,96,其中位数为（)

A.91.5B.93C.93.5D.94

2.已知集合”=：{-1,0,1,2,3},N={.x|x>l},则A/c低N)=()

A.{2,3}B.{1,2,3}c.{-1,0}D.{-1,0,1}

3.设z=〜.，贝匹=（）

2-i

2i2i2i2i

A—+-B.-------c.一+一D.—

55553333

4.圆心为（2,1）,且与直线X-2y+5=。相切的圆在X轴上的弦长为（）

A.2B.4C.亚D.2小

则%()

5.若底面半径为r,母线长为/的圆锥的表面积与直径为/的球的表面积相等，

布-1

A.■\/3—1B.C.V5-1D.

22

6.在中，tanA=,AB=3,AC=4,则点A到边的距离为（)

2

475B.g「2屈屈

AD.

3232

7.定义域均为R的函数〃%），8（%）满足〃兀）=8（5-1）,且〃x_l）=g（2-力,则（）

A.”力是奇函数B.〃力是偶函数

C.g（x）是奇函数D.g（x）是偶函数

8.在棱长为2的正方体ABCD-44G2中，P,0,R分别为线段BD,用。，QD上的动点，则依+3QR

的最小值为（）

A.2A/6B.4A/2C.3加D.5

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某次数学考试满分150分，记X,F分别表示甲、乙两班学生在这次考试中的成绩，且X〜N（90,400）,

y~^（100,300）,则（）

A.甲班的平均分低于乙班的平均分

B.甲班的极差大于乙班的极差

C.成绩在［100,110］的人数占比乙班更高

D.成绩在［90,100］的人数占比甲班更高

10.设sin52°=f,贝U（）

A.cos76°=1—2/B.sinl04o=2/Jl—）

「+-2QO,.Ji-72

Ctan38=---------D.sin64o=-------------

t2

22

11.已知。为坐标原点，双曲线C：1―4=1（a>0,b>0）的左顶点为A,右焦点为R过A且平行

于y轴的直线与。的一条渐近线交于点8,过5且平行于x轴的直线与y轴交于点0,若。匹，则C

的离心率等于（）

A叩2BMc画-1D包

\OA\.\OF\\ADf\BDf~T~

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a=（l,T）,b=（2,l）,贝!|。.（。一人）=

13.已知抛物线C1：/=2x,C2：丁=一4%的焦点分别为耳，工，一条平行于)轴的直线与q,Q分

别交于点A,B,若卜娟=忸阊，则四边形A3心耳的面积为

14.己知函数/(%)=29—3*+3.设k为正数，对于任意无，若|〃尤)|,二者中至少有一个大

于2,则左的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22=l(a〉6〉0)的离心率为半，且过点P[1,—孚]

15.已知椭圆C：当

a2b2

(1)求C的方程;

(2)设过C的左焦点且斜率为a的直线与C交于M,N两点，求的面积.

16.如图，四棱锥P—A5CD的底面是正方形，平面ABC。，PD=AB,E为尸3的中点.

(2)若尸为AB中点，求二面角CE—厂的大小.

17.某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有

"(〃=5,6,…)个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽

取两个小球.

(1)当〃=10时，记X为一次抽奖抽到“中奖”小球的个数，求X的分布列与期望;

(2)商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖，若使中奖概率不低于

25%,求n的最大值.

18.对于数列｛4｝,也｝及常数),若满足。"+1=〃+，且2+1=(〃+1)%，则称｛4｝对也｝关于0耦

合.

22n

(1)若｛〃〃｝对也｝关于。耦合，且。1=1,4=2,求^7^；

瓦b2b2n

⑵若｛4｝对也｝关于1耦合，且q=A=l,求｛4｝,也｝的通项公式；

（3）若存回，p2,使得｛叫对也｝关于Pi耦合，且｛叫对｛叫关于P2耦合，证明：Pi，

P2e｛-2,0｝.

19.“对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现.假定

以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为（0,+8）.设点？（%,%）,尸（%,石），。（%,%），规定

||P||=J、+y；,且对于运算“软'，0位Q表示坐标为&%,%%）的点•若点。，匕.满足

V=W*（8）U（8）W，则称V与。相似，记作y~U.若存在单调函数9（x）和0*（x）,使得对于丁=姒力

图像上任意一点T,T*均在y=0*（%）图像上，则称0*（“为9（x）的镜像函数.

(1)若点"(1,2),|四|=5,且求Af*(g)N*坐标;

胆小））、4

（2）证明：若6*（%）为。（力的镜像函数,A(X_A,%)~%),

（3）已知函数/（x）=e、+x2—1,/*（尤）为〃尤）的镜像函数.设R~S,且忸|〉网.证明:

川印“*（网）＞码在加*卜

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.某演讲比赛8位参赛选手的最终得分分别为92,88,95,93,90,97,94,96,其中位数为（）

A.91.5B.93C.93.5D.94

【答案】C

【解析】

【分析】按照中位数的定义计算.

【详解】把上面数据按从小到大的顺序排列可得：88,90,92,93,94,95,96,97,中位数是

93+94

--------=93.5.

2

故选：C.

2.已知集合时={-1,0,1,2,3},N={x|x>l},则Me仅N)=)

A.{2,3}B.{1,2,3}C.{-1,0}D.{-1,0,1}

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的补集和交集的定义求解即可.

【详解】因为N={x|x>l},所以4N={x|xWl},

因为M={—1,0,123},

所以Me(aN)={-1,0,1},

故选：D.

3.设z=」一，贝麟=()

2-1

2i2i

A.一+—B.------(

5555

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的除法和共辗复数的概念即可.

1（2+i）2+i21.n,_2i

【详解】z=二7x7x——Ii,则z=-------,

（2-i）（2+i）55555

故选：B.

4.圆心为(2,1),且与直线x-2y+5=0相切的圆在无轴上的弦长为()

A.2B.4C.75D.2石

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线与圆相切的位置关系，圆心到直线的距离为圆的半径，求出圆的标准方程，令y=o,

求出X,进而得到圆在X轴上的弦长.

【详解】圆心(2,1)到直线％-2丁+5=0的距离为乌3三=6,即圆的半径r=百，

VI2+22

所以圆的方程为(％—2)2+(y—1)2=5,

令y=0,则％=0或4,故圆在x轴上的弦长为4,

故选：B.

5.若底面半径为广，母线长为/的圆锥的表面积与直径为/的球的表面积相等，则7=()

A.73-1B.C.75-1D.

【答案】D

【分析】根据圆锥表面积公式和球的表面公式得到兀〃+兀/=兀/，解出,即可.

【详解】圆锥的表面积为万力+万户，球的表面积为4兀7l/2，

故兀/7+71厂2=兀尸,即（工］+——1=0＞椒L=~-（负舍）.

U）II2

故选：D.

6.在4ABe中，tanA-—，AB=3,AC=4,则点A到边5C的距离为()

2

A.延RA/5「2V10口V10

3232

【答案】A

【解析】

【分析】依题意，根据tanA=@求出sinA,cosA,根据余弦定理求出BC,设点A到边的距离为

2

d,然后根据三角形面积公式=求出答案.

22

【详解】

sin2A+cos2A=1「】

在，ABC中，由tanA=@,

所以sinA，解得sinA——,cosA=—

2把士=tanA33

.cosA

由余弦定理有DC?=.2+402—故5c=3.

设点A到边5C的距离为d,由三角形面积公式得：-sinA-AB-AC=-BC-d,

22

故1=述，

3

故选：A.

7.定义域均为R的函数/(%),g(x)满足〃x)=g(x—1),且/(x—l)=g(2—x),则()

A.“X)是奇函数B,〃龙)是偶函数

C.g(x)是奇函数D.g(x)是偶函数

【答案】D

【解析】

【分析】通过函数变量间的转化，得出函数对应等量关系.利用函数平移变化，由平移后的对称关系求得原

函数的对称关系.

【详解】因为/(x—l)=g(2—力，

所以/(-x+l-l)=g(2-(-x+1))，

即/(-x)=g(l+x)=g(x+2T)=/(x+2),

所以“X)关于直线X=1对称，

因/(x)=g(xT),

所以g(x)关于x=0对称，即g(x)为偶函数.

故选：D

8.在棱长为2的正方体ABC。—A4G2中，P,0,R分别为线段5。，耳c,CQ上的动点，则PR+3QR

的最小值为()

A.276B.4A/2C.3岔D.5

【答案】A

【解析】

【分析】过尺作HELCD于E,作RFLCC］于歹，设HE=尤，把PR+3QR表示为x的函数，再利用

导数求出函数最小值即得.

【详解】在正方体ABC。—A4G2中，AB=2,在平面COQG内过尺作RELCD于£,作

RF_LCQ于P,

TT

设您=x（0〈尤〈2）,显然RELDE,NRDE=—,则£>£=鹿=%。石=2—x,

4

四边形CE7?E为矩形，于是RF=CE=2—x,CF=RE=x,

由RE//C£,得我£，平面A3CD,由RF//CD,得被，平面BCC1用，

则PR=,RE?+EP?=&+E产,当x确定后，石尸最小时，PR最小,当石尸。时，KP最小，

而EP=DEsin^=U^x，则尸R=必x,

422

同理。尺=阿帝谖，当跖=2—x确定后，尸。最小，QR最小,则当尸。，耳C时，尸Q最小,

而RQuCR-sinEu乎％，则OR=［(2-x)?+(^x)?=gx?—4x+4，

因止匕「7?+307?=亚》+3\，3——4%+4,4/(x)=—x+3j-x2-4x+4,0<x<2,

2y22y2

,/fiQr_1?

求导得r(x)=—+/，由/'(x)=o,得x=i,

2A/6X2-16X+16

当0WX<1时，f'(x)<0,当1<XK2时，f'(x)>0,即函数/(x)在［0,1)上递减，在(1,2］上递增，

则f(x)mn=于①=2®所以PR+3QR的最小值为2瓜■

故选：A

【点睛】关键点点睛：过R作出耳。所在正方形面的垂线，再分析求出函数关系式是解决本问题的关

键.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某次数学考试满分150分，记X,y分别表示甲、乙两班学生在这次考试中的成绩，且X〜N(90,400),

F〜N(100,300),贝ij()

A.甲班的平均分低于乙班的平均分

B.甲班的极差大于乙班的极差

C.成绩在［100,110］的人数占比乙班更高

D.成绩在［90,100］的人数占比甲班更高

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题干中正态分布的性质即可判断.

【详解】对于A,甲班的平均分为90分，乙班的平均分为100分，甲班平均分低于乙班，故A正确；

对于B,甲班的方差大于乙班，但不能认为甲班的极差一定大于乙班，故B错误；

对于C,甲班的平均分为90分，乙班的平均分为100分，

且乙班方差小，成绩分布更集中，

故甲班成绩在区间［90,100］的人数占比低于乙班,

且低于乙班成绩在区间［100,110］的人数占比，故C正确，D错误.

故选：AC.

10.设sin52』,则()

A.cos76°=l—2/B.sin104。=2/7^7

产

Jl-t~i_VJi_

C.tan38°=^---D.sin64°=

t2

【答案】BC

【解析】

【分析】对A,利用诱导公式求解判断；对B,利用二倍角正弦公式运算求解；对C,利用商数关系切化

弦，再根据诱导公式化简求解；对D,sin640=cos26°,又171T=sin?26。，假设

2

cos26°=sin226°，可推出矛盾.

【详解】对于A,cos76°=cos(180°-104°)=-cosl04°=2sin252°-l=2r-1,故A错误;

对于B,sinl04°=2sin52°cos52°=，故B正确;

sin38°*0。—=正乙

对于C,000tan38°二-------

cos38°cos(90°-38°)sin52°t

1-cos5201-(1-2sin226°)

对于D,sin64°=cos26°,--------=---------=——------------=sin269

222

cos26°sin640

若cos26°=sin226。，贝Usin26°=——匕=口一>sin64°,矛盾，故D错误.

sin26°sin26°

故选：BC.

22

11.已知O为坐标原点，双曲线C：二一2r=1（〃>0,^>0）的左顶点为A,右焦点为尸，过A且平行

a2b2

于y轴的直线与C的一条渐近线交于点8,过8且平行于x轴的直线与y轴交于点。，若尸，则C

的离心率等于（

I。球I回1

A.B.MC.----O--1

|OA|.|OF|\AD\2囱

【答案】BCD

【解析】

由三角形相似得\OD到\胃\A=O加，求出I。优

【分析】A选项,=1,A错误；B选项，由△ADOs

|OA|.|OF|

△MD和歹006人^必得至|||相）「=|0A|.|AF|；\FDf=\FO\-\AF\,相除后得到=掾

C选项，变形得到用y-1=OF

e；D选项，由|+Q阡=|AF|2得到方程,得到

—ac—Q2=0»

OA

求出离心率.

【详解】设C的半焦距为C,离心率为e,则有4（—a,0）,F（c,0）,

A

渐近线方程为y=±±x,^x=-a^y=+b,

a

不妨设3（—a,9,。（04）,

当ADLD9时，故NZMO+NADO=NO£>/+NADO=90°,即NZMO=NODP,

斫以座L回

故△ADOs.DS所以\FO\\OD\

0D

可知同，\\=1,A错误;

.............|OA|.|OF|

\AD\\AO\

BC选项,因为△S△APD，所以，

ADO7\A7F^\=7网77^

故|呵=|OA|.|AF|,

FODSAFDA,所以胃符古WM，

因

2

则IDF力I上IOF

AD2时—砌球」司」司

||2/o0AHoo

e,B正确，C正确;

|BD|2一|BD|2-|OA|2-|OA|2-|OA|

D选项，|AD『=a2+〃=c2,口呼=〃+c2,,阡=g+c)2,且|AD「+Q同？=体目2,

故c2+〃+c2=g+c)2,又因为/=02—/,故。2—ac—“2=0,

即e?—e—1=0,解得6=互口，D正确.

2

故选：BCD

【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率或离心率的取值范围，常见有两种方法：①求出。，。，代入公式

e=-;②只需要根据一个条件得到关于“，仇。的齐次式，结合尸+4=。2转化为a,c的齐次式，然后等

a

式（不等式）两边分别除以。或/转化为关于离心率的方程（不等式），解方程（不等式）即可得离心率（离心率

的取值范围）.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a=(l,-1),b=(2,1),则

【答案】1

【解析】

【分析】根据平面向量减法运算的坐标运算以及平面向量的数量积运算求解即可.

【详解】因为°=(1,一1),1=(2,1),故a—〃=(—1,—2),

所以a=1x(—1)—lx(—2)=1,

故答案为：1.

13.己知抛物线丁二？》，C2：/=—©的焦点分别为K，F2,一条平行于x轴的直线与C1,G6

别交于点4B,若卜婚=忸阊，则四边形A3K耳的面积为.

【答案】述

2

【解析】

【分析】根据以=力，结合焦半径公式，求得乙，乙，进而求得|AB|,由巴再结合平行四边形面积公式

即可求得结果.

【详解】设4(玉,%)，5(%2，%)，根据题意可知X=丁2，故2%=一4%,即石=一2々，

又由抛物线的定义可知M周=玉+；,忸6|=—%+1，

当［4周=忸闾时，芯+；=—/+1,故％1=1,工2=_；,血=昆|=夜，

3

所以闺q=|AB|=5，四边形A瓦笆是平行四边形，

故四边形ABF/1的面积为J%卜|A却=|才后一々|=孚.

故答案为：也.

2

14.已知函数/(6=2_?_3%2+3.设k为正数，对于任意无，若|/(x+k)|二者中至少有一个大

于2,则左的取值范围是.

【答案】：,+，|

【解析】

【分析】通过导数求解函数"X)在定义域的单调性及极值点，再向左平移上个单位长度即可.

【详解】由题意可知，函数/(x)=2/—3/+3的定义域为R,

导函数为/'(x)=6f-6x=6x(x-l),

令/'(%)>0,解得x<0或x>1,

令/(九)<0,解得0<x<l,

所以函数在(-8,0)和(1,+8)单调递增，函数/(%)在(0,1)单调递减，

所以/(X)的极大值为/(0)=3,极小值为/(1)=2,如图①所示.

函数l〃x)l的图象如图②所示，令1/(尤)1=2,解得％=1或工=—1或了=—

所以当x<—1或—!<x<2或%>2时，l/(x)l>2,

2

当—l<x<—时，l/(x)l<2,

2

所以—IWXW—工或x=2时，|/(x+左)|>2.

2

因为人为正数，且I/(幻I向左平移k个单位长度得"(x+幻|,

如图③所示，当4=；时，|/(x+Q|>2在—IWXW—；或x=2成立，

即l/(x)l，I/(X+QI二者至少有一个大于2,

所以I/（X）I向左平移k>^个单位长度,

IJWI，1/0+左）1二者至少有一个大于2,

所以上的取值范围为：

故答案为：［―,+℃）.

2

图①图②图③

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知椭圆C：/=1（。〉万〉0）的离心率为g,且过点P

（1）求C的方程；

（2）设过C的左焦点且斜率为0的直线与C交于M,N两点，求cPMN的面积.

22

【答案】（1）土+匕=1

32

（2）36^+6

2

【解析】

【分析】（1）根据离心率公式可得£=且，将点坐标代入方程，结合。，仇。的关系，即可得答案；

a3

（2）依题意求出过C的左焦点且斜率为后的直线方程，求出弦长|加凶，设尸至M的距离为d,根据

5「加=的¥，即得答案―

【小问1详解】

设。的半焦距为c,则工=@.

a3

故/=。2一。2=生

3

143

代入。的方程有--H——=\,故一z-=l,4=3,b2=2-

a3ba

22

所以C的方程为土+匕=1.

32

【小问2详解】

由(1)可知。的左焦点为(—1,0).

故过左焦点且斜率为后的直线为/：y=V2x+V2.

(22

工+2L=1

将/与。的方程联立｛32,有2必+3%=0.

y=yflx+^2

3

设〃(%,%),N(x2,y2),则不妨取玉=0,%2=.

故|阿|=若卜-刃=孚.

行+培+四「

且P至卜的距离32m+2•

d=------------=--------

^/2+T3

由z13百2#+2372+73

所以的面积为J——!—=—义二一义二=——.

22232

16.如图，四棱锥P—A8CD的底面是正方形，PD_L平面ABC。，PD=AB,E为尸3的中点.

p

(1)证明：DE1平面PAC；

(2)若尸为A5的中点，求二面角3—CE—尸的大小.

【答案】(1)证明见解析

⑵-

6

【解析】

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明即可.

(2)建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求解即可.

【小问1详解】

以。为原点，建立空间直角坐标系，

设|明=2,则。(0,0,0),C(0,2,0),A(2,0,0),3(2,2,0),

而PD=AB,故尸(0,0,2),E(l,l,l),

故瓦=(1,1,1),PC=(0,2,-2),PA=(2,0,-2),

PCn=2y-2z=0

设面P4C的法向量为〃=(%,y,z),故得｛,

PA-n=2x-2z=Q

令x=1,解得y=1，z=1,故得n=(1,1,1),

显然〃与。石平行，故。石上平面PAC得证.

【小问2详解】

易知3(2,2,0),F(2,l,0),BC=(-2,0,0),PC=(0,2,-2),

FC=(-2,1,0),CE=(1,—1,1),设面BCE的法向量为浣=(a,dc),

BC-m——2〃=0

故有彳，令Z?=l,解得。=1,a=0,故口=(o,i,1),

CE，m=a—b+c=0

FC-a=-2x+为=0

设面CE尸的法向量为a=(%,%,z0),故得1n,

[CE•Q=%-％+z0=0

令%=1,解得%=2,z0=1,故〃=(1,2,1),

兀

设二面角B—CE—厂为。，结合图象可知，e0,-,

.八।,la-ml10+1x2+1x113

—…小丽飞2+U+22=MT3'

TTTT

故6=—,即二面角3—CE—尸的大小为一.

66

17.某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有

〃(〃=5,6,…)个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽

取两个小球.

(1)当”=10时，记x为一次抽奖抽到“中奖”小球的个数，求x的分布列与期望；

(2)商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖，若使中奖概率不低于

25%,求”的最大值.

【答案】(1)分布列见解析，E(x)=《

(2)15

【解析】

【分析】(1)根据题意，X的可能取值为0,1,2,根据概率知识列分布列求期望；

(2)分析求出中奖概率，表示中奖概率不低于25%,求出最大值”

【小问1详解】

当”=10时，抽奖箱里标有“中奖”字样小球2个，未标有“中奖”字样小球8个，一次抽奖，

可能取出0个标有“中奖”小球，或者1个标有“中奖”小球，1个未标有“中奖”小球，

或者2个标有“中奖”小球,

所以X的可能取值为01,2,

尸(x=0)=*||,

Jo"

P(X=1)=±16

jo45

C；_1

p(X=2)=C^=45

所以X的分布列为:

X012

28161

P

454545

E(x)=Ox里+lx竺+2x」

',4545455

【小问2详解】

抽奖箱里标有“中奖”字样小球2个，未标有“中奖”字样小球2个，

参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖，

包含抽到1个标有“中奖”小球，1个未标有“中奖”小球，或2个标有“中奖”小球，两种情况,

所以参加抽奖的顾客中奖概率为P=2"-22"-2=

C*—n

4〃一61

若使中奖概率不低于25%,则一一>-,

n-n4

小汨cH.17-719317+V193

解得0<“<1或-----——<n<-------——，

22

又“=5,6,

所以〃的最大值为15.

18.对于数列｛4｝,也｝及常数),若满足4+1=〃+。,且"1=(0+1)%，则称｛%｝对也｝关于P耦

合.

22n

(1)若｛〃〃｝对｛々｝关于0耦合，且。1=1,4=2,求U+yi""11"7^"；

⑵若｛4｝对也｝关于1耦合，且q=A=l,求｛4｝,也｝的通项公式；

(3)若存在P2,使得｛4｝对也｝关于Pi耦合，且｛硝对｛硝关于P2耦合，证明：P\，

P2e｛-2,0｝.

【答案】⑴|(2x4〃->l

"n+1'n-1

2方-1,及为奇数3x2'-2,“为奇数

a

⑵〃n=1n,-2，n+2；

3x2、,〃为偶数2、-2,”为偶数

(3)证明见解析.

【解析】

22n

【分析】(1)由耦合的定义可得当“为奇数或偶数时为、包的通项，代入口+鲁+…+3,计算可得;

瓦的兄

(2)由｛%｝对也｝关于1耦合，再由题中4+1=2+0和a+1=(〃+1)4,即可推导出当〃为奇数或偶数

时/、优的通项公式；

(3)由己知4+1=2+。和2+1=(p+l)%,则。；+1=照+0，4+i=(0+l)d,讨论。1=0,。产0

时，通过假设分析出结果.

【小问1详解】

若｛4｝对也｝关于。耦合,则4+1=〃,且a+1=an,

a

所以n+2=心广an,bn+2=an+1=bn,

因为q=1,4=2,

为奇数7为奇数

[2,〃为偶数’"为偶数.

22n

^1I^21102nq+2"+24./+22”

所以而至…硬

9*…+击+(2”+…+巧=|2x4”—*l

【小问2详解】

若｛4｝对也｝关于1耦合，则%=优+1，且％=2an，

所以4+2=2+1+1=2。“+1，么+2=24+1=2优+2,故。什2+1=2（4+1）,

又因为4=4=1，故出=4+1=2,

n-\n+1

故当“为奇数时，a“+l=（q+l）x2可，即a“=2万-1，

n+2

所以当〃为偶数时，一〒一；

bun=aun+\1=22乙

n-2n-2

当〃为偶数时，4+1=（生+1）><2〒，即4=3x2〒一1，

n-1

所以当〃为奇数时，b〃=an+i-1=3x2^--2-

n+1n-l

22一1,〃为奇数3x22,〃为奇数

综上a”=­出,“尸n+2•

3x22,〃为偶数2万-2,〃为偶数

【小问3详解】

由题设可知，%=bn+%,%=（P]+I）a“，且%+P2,,+i=（P2+1）%.

（i）若月=0,则4+i=d，bn+l=an,聋、=b；,痣=。；，显然2=0・

2

（ii）若p产0,由上得屋]=（b.+pj2=f+2p2+p；=2；+P2,故勿=与」

ZP1

假设。2=",则4=o,2+]=（P1+1）4=0,故Pl=-1或4=0.

①若P1=T，则P2=P；=1，a“+i=b"+Pi=T,氏2=3+l）d+i=2,这与“0矛盾;

②若。“=0，则%+i=。，Pi=4+i-4=0，这与Pi矛盾.

所以若°产0,则

2Pl

故〃+1=（22+1"；=（月+1）%"。，可得。2=P；+2p，故％i=i

△Pi

所以对于任意“eN*，4+1=4+Pi=1+Pi，且2+2=（。1+1）%+1=（月+1）2=1，

由于Pi，0,故P]=-2,p2=P；+2Pi=0，代