2023学年第二学期高三年级学业质量调研数学试卷

2023学年第二学期高三年级学业质量调研

数学试卷

（考试时间120分钟，满分150分）

考生注意：

1.本试卷共21题，答题纸共2页.作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘

贴考生本人条形码.

2.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在草稿纸、试卷

上作答一律不得分.

3.用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生

应在答题纸相应位置直接填写结果.

］集合A={x|2x+lW0},B={—2,—1,0},则AB=

【答案】{-2,-1}

【解析】

【分析】根据交集的定义求解即可.

【详解】A=1x|2x+l<0!=<%x<-^>,

所以AB={-2,-l}.

故答案为：{-2,-1}.

2.已知复数z满足（2+i）z=3+4i（i为虚数单位），贝|目=

【答案】君

【解析】

【分析】根据复数的除法运算和模的定义求解.

3+4i_（3+4i）（2-i）_lQ+5i

【详解】由（2+。2=3+不得2==2+i

2+i（2+i）（2-i）-5

所以忖=

故答案为：5

3.始边与天轴的正半轴重合的角a的终边过点(3,-4),则sin(e+7i)=.

4

【答案】-##0.8

【解析】

【分析】结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解.

【详解】始边与*轴的正半轴重合的角a的终边过点(3,-4),

.-44

人Uii」isina-斤.寸==——5’

4

故sin(a+兀)=—sin。.

4

故答案为：—.

4.在(2%—I-的二项展开式中，d项的系数为.

【答案】-160

【解析】

【分析】写出二项展开式的通项，由X的指数为3求得〃值，则答案可求.

【详解】(2x-1)6的二项展开式的通项为：

Tr+l=q(2旷(-1/=(-1/-26y.尸(r=0,l,,6).

由6—r=3,得厂=3.

，(2x-11的二项展开式中，V项的系数是_23x或=-160.

故答案为：-160.

5.已知正实数。、方满足a+2)=1,则ab的最大值为.

【答案】-##0.125

8

【解析】

【分析】利用基本不等式可求得ab的最小值.

【详解】因为正实数。、〃满足a+2)=l,则次,=2b空之］=-,

2212J8

1

a——

a=2b21

当且仅当《c,，时，即当;时，等号成立，故ab的最大值为一.

,18

a+2b=lb=—

4

故答案为：—.

8

6.已知等比数列｛4｝的前w项和为S“，且。2=3,%=81，则$5=

【答案】121

【解析】

【分析】求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案.

3481十

【详解】设公比为I,故。=£=《=27'解得"3,

所以q=1，

1-35

=121-

1-3

故答案为：121

7.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项

目，则不同的承建方案有种.

【答案】96

【解析】

【分析】完成承建任务可分五步，由分步乘法计数原理可得结果.

【详解】完成承建任务可分五步：

第一步,安排1号有4种；

第二步，安排2号有4种；

第三步,安排3号有3种；

第四步,安排4号有2种；

第五步,安排5号有1种.

由分步乘法计数原理知,共有4x4x3x2x1=96种.

故答案为96

【点睛】本题考查分步乘法计数原理，正确分步是解题的关键，属于基础题.

2

8.函数y=——x在x=l处的切线方程为.

x

【答案】3x+y-4=0

【解析】

【分析】切线的斜率是在无=1处的导数，切线过(L/。))，由直线的点斜式方程可以求出切线方程.

99

【详解】/(%)=—%,/(%)=---1,所以/⑴=1,/'⑴=—3,

XX

所以在％=1处的切线方程为y—1=—3(x—1),即3x+y—4=0,

故答案为：3x+y-4=0.

9.已知口、匕是空间中两个互相垂直的单位向量，向量£满足卜|=3,且c.a=c0=i，当力取任意实数

时，卜-痴+可的最小值为.

【答案】币

【解析】

【分析】由向量的模长和数量积的运算结合二次函数求出最值即可.

【详解】因为,卜恸=1，卜|=3'c-a=c-b=\>

以卜一=c~+4-a+A"b~—24a,c—2ab■c+2入a,b

=2%—44+9=2(4-1)2+7,

所以当彳=1时，卜-〃a+网的最小值为近，

故答案为：币.

2

10.双曲线「：必-匕=1的左右焦点分别为耳、鸟，过坐标原点的直线与「相交于A5两点，若

国目=2阳⑷，则心4月5=.

【答案】4

【解析】

【分析】由双曲线的对称性可得四边形鸟为平行四边形，根据双曲线的定义和国@=2闺刈，得

|耳4|=|耳目=2,闺固=|耳n=4,ABF,F2中，由余弦定理得cosZF2BFt=-1,

F2A-F2B=|7SA|•COSZAF2B=|^A|COS(71-ZF2BFl)，代入求值即可.

2

【详解】双曲线r：--乙=1,实半轴长为1,虚半轴长为布，焦距闺阊=2«,

由双曲线的对称性可得由.二|04|,|斗4|二同园，有四边形AF；B8为平行四边形，

令闺川二|耳目二加，则寓行二|序4|=2n,由双曲线定义可知因A|—闺A|=2,

故有2加一机=2,即m=2,即忻川二|耳.二根二2,|耳目=同4|=4,

△5片乙中，由余弦定理，

闺阊?=|毕「+叵用2—2怩用.因用cosN取西，

即28=16+4—16cosN83£,

鸟A书3=|用小cosZAgB=|用A,乙⑷cos(兀—4明)=2*4xg=4

故答案为：4.

11.对于任意的和%2eR,且々〉0,不等式产-耳+|1眸-司>。恒成立，则实数。的取值范围为

【答案】(7,2)

【解析】

【分析】通过构造函数，利用导数分别求产-鹏和帆尤2-即的最小值即可.

【详解】设函数/(x)=e=X,定义域为R,则/''⑴=e，—1,

当x<0时，/z(x)<0；当x>0时，y'x)>0,

则/(X)在(—8,0)上单调递减，在(0,+。)上单调递增，

/(%)最小值为"0)=1,

所以当士=0时，产-鹏有最小值1；

1Y-]

设函数g(x)=x-lnx,定义域为(0,+8),贝！lg<x)=l--=:——，

XJC

当0<x<l时，g'(x)<0；当x〉l时，g'(x)>0,

则g(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

g(x)最小值g⑴=1，

所以当％2=1时，加马~即有最小值1,

不等式卜"一大|+|山马-xj>a恒成立，则有2>a,

所以实数。的取值范围为(f,2).

故答案为：(f,2).

12.已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如，

空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点

时，空间中这8个点最多可连接成个等边三角形.

【答案】20.

【解析】

【分析】结合正四面体的结构特征，判断求解空间中这8个点最多可连接成等边三角形的个数.

【详解】空间中4个点最多可连接成4个等边三角形，构成正四面体，

正四面体的每一个面向外作一个正四面体，此时是增加一个点，增加正三角形3个，

新增加的4个点，又构成1个正四面体，

所以当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成4+3x4+4=20个等边三角形.

故答案为：20.

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)每

题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.设aeR,则"/>1，，是"/>1，，的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】判断“/>1”和““3>i，，之间的逻辑推理关系，即可得答案.

【详解】当“2>1时，。>1或。<一1,不能推出有/>]_成立;

当。3>1时，则。>1,必有片>1成立，

故“片>1”是“43>1”的必要非充分条件，

故选：B

14.已知y=/(无)，xeR为奇函数，当x>0时，/(x)=log2x-l,则集合｛%"(一%)-/(%)<0｝可表示

为()

A.(2,+co)B.(-00,-2)

C.(-<»,-2)U(2,-H»)D.(-2,0)U(2,+co)

【答案】D

【解析】

【分析】利用函数奇偶性可得不等式/(-%)--(%)<0等价于/(x)>0,再求出函数解析式，利用对数函

数单调性解不等式可得结果.

【详解】因为y=/(x)为奇函数，所以/(一%)—/。)<0等价于—2/(%)<0,即/(x)>0；

当x>0时，/(x)=log2x-l,gp/(x)=log2x-l>0,解得尤>2；

当x<0时，-x>0,R；#f(.-x)=-f(x)=log2(-x)-1,所以/(x)=l—log2(-x),

解不等式/(%)=1-log2(-x)>0,可得—2<x<0,

综上可得集合｛%I/(-%)-/(%)<0｝可表示为(-2,0)(2,-+w).

故选：D

15.某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数

据如下表：

不吸烟者吸烟者总计

不患慢性气管炎者121162283

患慢性气管炎者134356

总计134205339

假设“0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量/2,得力?合7.468,根据

力2分布概率表:尸(力226.635)土0.01,P(^2>5,024)^0,025,P(j2>3,841)«0.05,

产(/22.706)^0.1.给出下列3个命题，其中正确的个数是()

①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于5%；

②有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；

③力2分布概率表中的0。5、0.01等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发

生.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【解析】

【分析】根据力2=7.468,与临界值表对照判断.

【详解】解：因为力2。7.468,且/26.635,

所以有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，

即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于5%,

故①②正确；

Z2分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.

故③正确；

故选：D

16.已知/(x)=sinx,集合。=【一，[={(羽y)|2/(X)+/(丁)=0,苍丁€。},

Q={(羽y)|2/(x)+/(y)N0,x,ye£>}.关于下列两个命题的判断，说法正确的是()

命题①：集合「表示的平面图形是中心对称图形；

乃

命题②：集合。表示的平面图形的面积不大于5三2.

12

A.①真命题；②假命题B.①假命题；②真命题

C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题

【答案】A

【解析】

【分析】根据/(x)=sinx是奇函数，可以分析出当(x,y)e：T时(—%—所以集合:T表示的平面图

形是中心对称图形；结合集合「代表的曲线及不等式的范围可以确定集合。表示的平面图形，从而求得面

积，与丝5万进2行比较.

12

【详解】对于「={(羽y)[2/(£)+/3=0,*”£>},集合。=[—辛学关于原点中心对称，且函数

/(x)=sinx是奇函数,

若(苍则2/(x)+/(y)=0贝i]2/(r)+/(—y)=—2〃X)一〃y)=—[2/(x)+/(y)]=0,

即若(％,y)e：T贝ij(—x,—即集合「表示平面图形是关于原点中心对称图形，故①是真命题;

对于Q={(x,y)|2/(x)+/(y)>0,x,ye£>},

由2/(x)+/(y)=0即2sinx+siny=0知siny=-2sinx,

1R

设f=siny,ye,则f与V---对应且/随V的增大而增大，Ze[-1.1],

又由/=-2sinx知一2sinxe[—1,1],sinxe

结合xw知在九£范围内，，与X一—对应且，随X的增大而减小,

22J|_66_

冗冗冗冗

所以在xe,yG范围内，y与—对应且y是关于x的减函数，

66」22_

由①可知2sinx+siny=0图象关于原点中心对称，所以可得到2sinx+siny=。在

所以2sinx+siny20的区域是右半部分,

面积为正方形面积的一半，即集合。表示的平面图形的面积5=工义兀义71=工712>9兀2,故②是假命题.

2212

故选：A.

【点睛】方法点睛：确定不等式表示的区域范围

第一步：得到等式对应的曲线；

第二步：任选一个不在曲线上的点，若原点不在曲线上，一般选择原点，检验它的坐标是否符合不等式；

第三步：如果符合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的区域；若不符合，则另一侧区域为不等式

所表示的区域.

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要

的步骤.

17.在锐角ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c,且2加inA—6a=0.

(1)求角8；

(2)求sinA+sinC取值范围.

TT

【答案】(1)-

3

⑵(1,73].

【解析】

【分析】(1)由已知结合正弦定理可得结果；

(2)根据为锐角三角形求出AeC，1),利用两角差的正弦公式及辅助角公式化简

62

2兀

sinA+sinC=sinA+sin(y-A),根据正弦函数性质可得结果.

【小问1详解】

2/?sinA-y/3a=0,

2sinAsinB-GsinA=0，

又A£[0,,/.sinAw0,

...sinB=',8e(0，S,,2=三.

【小问2详解】

IT

由(1)可知，B=~,且ABC为锐角三角形，

0<A<-

所以《2

27rn

0<C=——A<-

32

则sinA+sinC=sinA+sin(--A)=—sinA+cosA=gsin(A+—),

3226

l,、，兀,71271

因为一<A+—<——，

363

/.sinA+sinCeg,百］.

18.如图，已知ABCD为等腰梯形，AD!IBC,ZBAD=120°,平面ABCD,AB=AD=AP=2.

(1)求证：尸CLAB；

(2)求二面角C—5P—A的大小.

【答案】(1)证明见解析;

(2)arctan

【解析】

【分析】(1)连接AC,利用等腰梯形性质证得AB1AC,再利用线面垂直的性质判定推理即得.

(2)取3P的中点H,作出二面角C—6尸—A的平面角，在RtAHC中求解即得.

【小问1详解】

连接AC,在等腰梯形ABCD中，AD//BC,ZBAD=12Q°,AB=AD=2,

则。£>=4£)=2,4£>。=120。，于是/加。=30°,/3。=90。，即AB_ZAC,

由平面ABCD,A3u平面ABCD，得A3LQ4，

而PAcAC=A,QA,ACu平面PAC,因此平面PAC,又PCu平面PAC,

所以PCLA5.

p

【小问2详解】

取3P的中点"，连接由AB=AP,得

在AADC中，AC=2ADcosADAC=273-

由上4J_平面ABCD，ACu平面ABC。，得ACLB4,

2222

则PC=VB4+AC=VAB+AC=BC，于是S'5P，

因此NCHA为二面角C—5尸—A的平面角，

因为？AJ_AC,ACJ_AB,?AcAB=A?A,ABu平面Aftp,

则ACJ_平面AHP，又AHu平面AHP,则AC_LA",

在RtcAffC中，CA=2^/3>AH=RI,则tanNCH4=：=<6,

AH

所以二面角C—7?尸—A的大小为arctan布.

19.ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基

于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定

完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回

答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的

概率为0」,且每次输入问题,ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT,

小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其

中的9个.

(1)求小张能全部回答正确的概率；

(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；

(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.

【答案】(1)—;

10

(2)0.9；(3)小张答对题数的的期望为8.1,方差为0.09,ChatGPT答对题数的期望为8.1,方差为

0.81.

【解析】

【分析】（1）根据古典概型的概率公式，即可求得答案；

（2）设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件3表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，确定相应

概率，根据全概率公式，即可求得答案；

（3）根据期望以及方差的计算公式，即可求得答案；

【小问1详解】

C91

设小张答对的题数为X，则P（X=9）=k=

10

【小问2详解】

设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件8表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”,

由题意知尸口）=0.1,尸（叫A）=0.98,P（B|A）=0.18,

则P（A）=1—P（X）=O9,

P（JB）=P（JBnA）+P（JBnA）=P（JB|A）P（A）+P（JB|A）P（A）

=0.98x0.9+0.18x0.1=0.9；

【小问3详解】

设小张答对的题数为X,则X的可能取值是8,9,

9

且尸(X=8)=号C8cl=9=，尸(X=9)=cW=1—,

C：o10C：o10

9

设ChatGPT答对的题数为Y,则F服从二项分布B（9,—）,

91

则E(X)=8x3+9x—=8.1,E(y)=777?=9x0.9=8.1,

1010

D(X)=(8-—)2x—+(9-—)2x—=0.09,

10101010

D(y)="24=9x0.9x0.1=0.81.

2

20.如图，已知椭圆G：5+V=I和抛物线G：*=2〃y（p>o），。2的焦点尸是G的上顶点，过产的

直线交于M、N两点，连接NO、MO并延长之，分别交C1于A、B两点，连接A3,设dOMN、

OAB的面积分别为S^OMN、SOAB•

(1)求P的值；

(2)求QM-ON的值；

s

(3)求的取值范围•

JOAB

【答案】(1)夕=2

(2)-3

(3)[2,+co)

【解析】

【分析】(1)由抛物线。2的焦点坐标求。的值；

(2)设直线肱V的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理求QM.QN的值；

s\OM\-\ON\

(3)设直线NO、MO的方程，与椭圆联立方程组表示出乙,4，由产士='八二八二，化简并结合

3OAB巧

基本不等式求取值范围.

【小问1详解】

2

椭圆G:'+丁=1的上顶点坐标为(0,1),

则抛物线G的焦点为歹(0,1)，故夕=2.

【小问2详解】

若直线与y轴重合，则该直线与抛物线。2只有一个公共点，不符合题意，

所以直线的斜率存在，设直线的方程为丁=依+1,点”(%,%)、N(%,%)，

V=kjc+1

联立<2(可得％2—4Ax—4=0，4=16左2+16>0恒成立，贝4,

[x=4y一

OM-ON=+%%=xix2+~^~^=_4+l=-3.

【小问3详解】

设直线、的斜率分别为左、其中匕〉

NOMOk2,0,k2<Q,

,,2

联立《可得(%+1)厂=4,解得工=±亍肃二，

《4k；+1

2

点A在第三象限，则/=一工7―

2

点8在第四象限，同理可得四=".+1

且%%=1

klk2—

玉9164

SOMN=WHOM=|讣同=一句

22

SOAB\OB\.\OA\

小4左；+1小4左；+1

当且仅当匕=工时，等号成立.

2

11的取值范围为［2,+8).

3OAB

【点睛】方法点睛：

解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去*或y)建立一元二次方程，然后借助根

与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，

不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能

力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.

21.已知定义在(0,+8)上的函数y=/(x)的表达式为/(x)=sinx—xcosx,其所有的零点按从小到大

的顺序组成数列{九“}(«>1,MGN).

(1)求函数y=/(x)在区间(0,兀)上的值域；

⑵求证：函数y=/(%)在区间(〃兀+兀)("21/eN)上有且仅有一个零点;

（3）求证：71<xn+i-Xn<------.

n

【答案】⑴（0,71）

（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求得了（%）的