河南省某中学高二年级下册期期中考试数学（文）试题附答案

河南省实验中学2021-2022学年高二下学期期期中考试数学

（文）试题

学校:___________姓名：________一班级：__________考号：____________

一、单选题

1.若复数（l-i）2的实部为“，虚部为b,则4+6=（）

A.-3B.-2C.2D.3

2.如果。＜0,6＞0,那么下列不等式中正确的是（）

A.a2<b2B.yj-d<>[b

C.同＞怜ID-14

3.在用反证法证明命题“已知〃皿心。,且求添鬻’彳中至少有

一个小于4"时，假设正确的是（）

A.假设丝，力都不大于4B.假设空，牛都不小于4

C.假设空，半都小于4D.假设空，号都大于4

4+1h。+1h

4.甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同

的是（）

甲乙

604

60126

828

A.极差B.方差C.平均数D.中位数

5.抛物线C：f=4即过点（-4,4）,则C的准线方程为（）

A.y=\B.尸TC.x=lD.x=-l

6.某单位开展全民健身运动，其中有一项活动是定点投篮.10名参赛者每人定点投篮

20次,得出投中球数外（i=l,2,3,10）分别为12,15,9,16,11,10,9,

16,12,10,这些数据的平均值记为于，将这10名参赛者的投中球数占依次输入程序

框图进行运算，则输出的s的值为（)

试卷第1页，共5页

/输出s/

A.12B.1.2C.68D.6.8

x-cos?e

'-（。为参数）所表示的曲线是（）

fy=cos2〃

A.圆B,直线

C.线段D.射线

8.关于x的不等式|x-l|+|x-。|23恒成立，则实数。的取值范围是（）

A.(-OO,-4]U[2,-KO)B.(-8,2]U[4,+8)

C.(-oo,-3]U[3,+a>)D.(-oo,-2]u[4,+oo)

x>1,

9.设变量x,y满足约束条件・x-2y+320,则目标函数z=2x-y的最小值为().

x-y<0,

A.3B.1C.0D.-1

10.在区间卜2,7]上随机地取一个数x,则该数满足/-7x+640的概率为()

7542

A.-B.-C.-D.—

9993

11.观察下列等式，13=f,P+23=32,『+23+33=62,F+23+33+43=1()2,根据

上述规律，r+2?+33+43+53+6、…+〃3=()

.«4+n3+2n2_n4+2n3+n2n4-n}+n2、n4-2n3+n2

A.----------B.-----------C.---------D.-----------

4444

12.下列说法错误的是().

A.命题“Vx>0,—>1''的否定是“玉。>0,<<15,

B.若％<〃户是，x<2021或x>2022”的充分不必要条件，则实数机的最大值为2021

试卷第2页，共5页

C.“〃叱2虎”是“函数歹=2x2-侬+1在(-8,+8)内有零点”的必要不充分条件

D.已知x>0,y>o且x+4y=l,则1+上的最小值为9

xy

(x+l)ex,x<0

13.已知函数/(x)=|]nx八，若函数g(x)=/(x)-a的零点有两个或三个，则

---,x>0

.x

实数。的取值范围为()

二、填空题

14.已知/(可=/+办，若y=/(x)在点。，/⑴)处的切线方程为3x-y+b=0,b=_

15.已知x与y之间的一组数据如下，且它们之间存在较好的线性关系.则V与x的回归

直线方程y=ftx+a必过定点.

X0246

y12m+12-m3-m

16.数列｛4｝满足"七+|=("+l)a.+l(〃eN*),且q=l,贝1」%()22=.

17.已知椭圆C的焦点为巳(-1,0),B(1，0),过点B的直线与椭圆C交于工,

8两点.若0巳|=2四网，\AB\=\BF/\,则C的离心率是—.

三、解答题

18.已知命题P：函数y=lg(x-G(3a-x)(a>0)有意义；命题心实数x满足

(1)当。=1且PA0为真，求实数X的取值范围；

(2)若是P的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

19.中国棋手柯洁与Hp桁G。的人机大战引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学

生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查，并根据调查结果绘制了学生日均

学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示)，将日均学习围棋时间不低于40min的学

生称为“围棋迷”.

试卷第3页，共5页

(1)请根据已知条件完成下面2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为“围棋迷”与性

别有关；

非围棋迷围棋迷总计

男

女1055

总计

(2)为了进一步了解“围棋迷”的围棋水平，从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取5名学生组

队参加校际交流赛首轮该校需派2名学生出赛，若从5名学生中随机抽取2人出赛，

求2人恰好一男一女的概率.

附表:

P(K2>k]0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(参考公式：K2=---------〃(*■)：------,其中”=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+cXb+d)

20.在A48C中，内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,已知

b2+c2-a2=accosC+c2cosZ・

(1)求角A的大小；

(2)若A48C的面积S仙"=生也，且。=5，求sin8+sinC.

ZI/1DC4

21.已知函数/(*)=1加.

(I)若函数g(X)=/(X)+〃X在区间d，+8)上为增函数，求Q的取值范围;

(n)若对任意X€(0,+8),/(X)2一『+'"X-3恒成立,求实数机的最大值.

试卷第4页，共5页

22.已知椭圆E：=+与=l(a>6>0)过三点1,--，gm中的两

/6I2，、/、,

点，且短轴长为2.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)椭圆E的上、下顶点分别为A、3点，。是椭圆E上异于A、8的任意一点，直线。4

交直线y=夜于点P,连接BP,BD,记8P,8。的斜率分别为尢，右，证明：kt-k2

为定值.

23.在直角坐标系中，曲线C的方程为x?+y2=9,曲线C上所有点的横坐标不变，纵

坐标缩小到原来的!，得到曲线C'.以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标

系，射线/的极坐标方程为e=m(pzo),/与曲线c,c分别交于A,8两点.

(1)求曲线C'的直角坐标方程和极坐标方程；

(2)求|/目的值.

24.已知/(x)=|2x-6|+|x+l|.

(1)求不等式/(x)<5的解集.

(2)若a>0,b>0S.2a+b=2,证明：VxeR,Ba,beR+,/(%)>—+-^-.

试卷第5页，共5页

参考答案:

1.B

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出。与b的值，则答案可求.

【详解】v(l-i)2=-2i,

a=0,b=-2,

则a+b=-2,

故选：B.

2.D

【分析】对A,B,C,举反例判定即可，对D,根据1<0<!判定即可

ab

【详解】对A,若a=-2,b=l,贝IJa2Vb2,妍不成立，故AB错误；

对C,若a=-l力=2,则同不成立，故C错误；

对D,因为,<0<?，故D正确；

故选：D

3.B

【分析】根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设命题的反面成立，求出要证明题的否

定，即为所求.

【详解】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，

己知a>0,b>0,且a+b>《，求证：假设空，平都不小于4；

367+1b

故选：B.

4.C

【分析】根据茎叶图依次计算甲和乙的平均数、方差、中位数和极差即可得到结果.

【详解】甲的平均数为：-------------=15；乙的平均数为：-------------=15；

44

・••甲和乙的平均数相同；

甲的方差为：-X[(6-15)2+(16-15)2+(10-15)2+(28-15)2]=69；

乙的方差为：；x[(4-15『+(12-15)2+(16-15)2+(28-15)1=75；

・,•甲和乙的方差不相同；

甲的极差为：28-6=22；乙的极差为：28-4=24；.•.甲和乙的极差不相同；

答案第1页，共12页

甲的中位数为：等"乙的中位数沏*M・•・甲和乙的中位数不相同.

故选：C.

5.B

【分析】将点(T，4)代入抛物线方程可得°,根据抛物线标准方程即可求其准线方程.

【详解】••・抛物线C：/=4即过点(-4,4),

:*(-4)~=4«x4=>a=1,

:.C:x2=4y,

;其准线方程为y=-1.

故选：B.

6.D

【分析】利用流程图的作用，利用求方差的公式即得.

12+15+9+16+11+10+9+16+12+10

【详解】由题可得亍=12,

10

由程序框图可以看出，该程序所执行的命令是求这组数据的方差,

所以S=\[0+32++42+(-1)2+(-2)2+(-3)2+42+0+(-2)2]=6.8.

故选：D.

7.C

【分析】通过消参法可得y=2x-1,注意X的取值范围，即可确定答案.

【详解】由题设，y=2cos26-l,故y=2x-l且04x41,

所以曲线表示线段.

故选：C

8.D

【分析】利用绝对值三角不等式确定|x-l|+|x-〃|的最小值，再解不等式即可.

【详解】解：根据绝对值三角不等式，得

|x-l|+|x-«|>|(x-l)-(x—(z)|=|a-1|,

所以不等式k-1|+k-23恒成立等价于|a-l|>3,

解得：a24或aW-2,即实数a的取值范围是(-00,-2]u[4,+oo),

答案第2页，共12页

故选：D.

【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数。的取值

范围.

9.C

【分析】线性规划问题，作出可行域后，根据几何意义求解

【详解】作出可行域如图所示，y=2x-z,数形结合知过次1,2)时取最小值

【分析】解不等式/-7x+640,利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.

c6-15

【详解】解不等式x2-7x+640可得1WXW6,因此，所求概率为「=7一㈠)=受

故选：B.

11.B

【分析】根据等差的取值规律，利用归纳推理即可得到结论.

【详解］32=(1+2)2=9,62=(1+2+3)2=36,102=(1+2+3+4)2=100,

•••由归纳推理可得13+2'+3'+…+/=(1+2+…+">=瞪12-=白苧立

故选：B.

12.C

【分析】对于A：用存在量词否定全称命题，直接判断；

对于B：根据充分不必要条件直接判断；

对于C：判断出，220”是“函数尸2/-松+1在(-8,+8)内有零点”的充分不必要条件,

答案第3页，共12页

即可判断；

对于D：利用基本不等式求最值.

【详解】对于A：用存在量词否定全称命题，所以命题“Vx>0,炉>1"的否定是'勺苫。>(),

e；41”.故A正确；

对于B：若是"x<2021或x>2022”的充分不必要条件，所以加42021,即实数，"的

最大值为2021.故B正确；

对于C：“函数尸2/_"a+1在(《,+<»)内有零点"，贝必=〃/_820,解得：〃后2血或

m<-2^，所以“切22虚”是“函数y=2f一加x+1在(-8,xo)内有零点”的充分不必要条件.

故C错误；

对于D：已知x>0,y>0且x+4y=l,所以

-+--f-+-\x+4^)=l+^+-+4>5+2&x^=9(当且仅当把=土，即

xy\xy)Xy\xyxy

x=：,y=9时取等号).故D正确.

36

故选：c

13.B

［分析】将问题转化为直线V=。与函数y=f(x)的图象有2个或3个交点的问题，利用导数

分析函数v=/(x)的单调性与极值，画出函数y=/(x)图象，数形结合即可得出实数。的取

值范围.

【详解】X40时，〃x)=(x+l)e"则/'(x)=(x+2)e*,

当xe(-2,0)时,r(x)>0,函数y=/(x)递增;

当xw(—%―2)时,r(x)<0,函数y=/(x)递减，且此时f(x)<0.

x>0时，/(》)=卓，r(x)="U,令/(x)=0,可得x=e.

当xe(O,e)时，/(x)>0,函数y=/(x)递增;

当xw(e,+8)时，/'(x)<0,函数y=/(x)递减，且此时/(x)>0；

所以/(x)极小值=/(一2)=-±,“X)极大值=〃e)=j/(0)=1,

答案第4页，共12页

在x>0且x.0时，/(x)f-oo,

函数y=/(x)的示意图如图所示,

故选：B.

14.-1

【分析】先求出“的值，再求出切点坐标，代入切线方程即可.

【详解】根据题意得，f'(x)=2x+a,所以/'⑴=2xl+a=3,解得a=l,

所以/卜)=/+工，所以/(1)=12+I=2,将点(1,2)代入3x_y+b=O,解得b=T.

故答案为：7.

【分析】根据表格中的数据，求得样本中心，代入回归方程，即可求解.

33+.~一山心上。一r,口—0+2+4+6c—1+2/W4-1+2-/M+3-7W7

【详解】根据表格中的数据，可得X=---------=3,y=-------------------=-,

444

即样本中心为(3,1｝所以〉与x的回归直线方程3.必过定点(3,(1

故答案为：(3,1).

16.4043

【分析】先利用〃4川-(〃+1)勺=1判断出｛产｝为常数列，求出数列｛七｝的通项公式，再

求解计算即可.

【详解】因为叫+1-5+1)%=1,所以叫+|-(〃+1)《,="+1-〃，

式子两端除以“5+1),整理得:见+l+l_勺+1

n+1n

答案第5页，共12页

即为常数列.

E、11LLl、t凡+1。[+11+1

因为q=l,所以，一=—==2,

n11

所以%=2〃-1,所以《022=2x2022-1=4043.

故答案为:4043.

17.—

3

【分析】设18g|=x,利用椭圆定义得到等式关系，求出x=],再利用余弦定理可求出

【详解】设|8KI=x,则M玛|=2x,I期|=2a-x,\AF,\=2a-2x,

\AB\=\AF2\+\BF2\=3x=2a-x,解得x=g,所以|5用=；°,\AF21=|AFX\=a,

2.乙

所以A为椭圆的上下顶点，不防设A为上顶点，则COS4M=嗡=:

j_,_92

则〜叫耳,，由余弦定理有吗黑川

1a

a2\FtF2\-\F2B\2x2x«

2

解得.2=3,所以a=6,椭圆离心率e=£=立；

a3

故答案为：立.

3

18.(1)(1,2)

2।

(2)3」

【分析】（1）根据P八夕为真，可得命题P与0均为真命题，列出不等式，解不等式组即可;

（2）分别解不等式，根据命题的充分必要性求参数取值范围.

【详解】（1）由（工一。）（34-x）>0,可得-0,其中〃>0,

得〃<x<3a,则p:a<x<3a,a>0,

若a=l,则p:l<x<3；

由F<0,解得1<X<2.

x-1

即4:1<x<2.

答案第6页，共12页

11<x<3

若…为真'则P,夕同时为真，即…<2,解得小<2,

所以实数x的取值范围为(1,2).

(2)由9是P的充分不必要条件,

二(1,2)是(a,3a)的真子集.

3〃223a>2

所以«<1或

a<\

2

解得,

2

，实数。的取值范围为3』.

19.(1)列联表答案见解析，没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关

(2)l

【分析】(1)由频率分布直方图求得围棋迷''有25人后即可开始补充完整列联表计算出公

的观测值与3.841进行比较即可判断是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关;

(2)依据古典概型去求2人恰好一男一女的概率.

【详解】(1)由频率分布直方图可知，(0.020+0.005)x10x100=25,

所以在抽取的100人中，“围棋迷”有25人,

从而2x2列联表如下:

非围棋迷围棋迷总计

男301545

女451055

总计7525100

片的观测值竺嘿提等

因为3.030<3.841,

所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.

(2)由(1)中列联表可知25名“围棋迷”中有男生15名，女生10名,

答案第7页，共12页

所以从“围棋迷''中按性别分层抽样抽取的5名学生中,

有男生3名，记为鸟，B2,鸟；有女生2名，记为5，G”

则从5名学生中随机抽取2人出赛，基本事件有：

（稣昌），（综鸟），（稣GJ,（耳,0）,（%4），（%GJ,

（鸟,0）,（鸟,GJ,（&6）,（G”GJ,共10种；

其中2人恰好一男一女的有：

（昂GJ,（与⑸，（%GJ,（%5）,（%GJ,（%GJ,共6种.

故2人恰好一男一女的概率为P=（=|.

20.（I）{=?；（II）73.

【详解】试题分析：

（I）由余弦定理把已知条件化为26ccosA=accosC+c2cos4,再由正弦定理化为角的关系，

最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得cosZ=；,从而得A角；

（II）由三角形面积公式求得儿=25,再由余弦定理可求得从+。2=50,从而得3+c=10,

再由正弦定理得sin8+sinC=（6+c）•也，计算可得结论.

a

试题解析：

（I）因为〃+c?一/=qccosC+<?cosZ,所以由2bccosA=accosC+c2cosA,

即26cos4=acosC+ccosA,由正弦定理得2sia8cos/=sin^cosC+sinCcosyl,

即2sinBcos4=sin（4+C）,vsin+C）=sin-5）=sinS,

・•・2sioBcos4=sinS,即sin5(2cosZ-1)=0,

•・•0<8<4,：•sin5H0,・•・cosJ=—,•・•0<4<%,：,A=—

23

/TT、..C1L,/6125^3,_”

(II),:S..D(-——bcs\x\A=—be—-------,,>•be-25,

^BC244

,b2+c2-a2b2+c2-251/2“

•••cosA=--------------=---------------=—,b+c=50,

2bc2x252

A(/?+C)2=50+2x25=100,即6+c=10,

sirt4sirU

siaB+sinC=b,-------FC------=伍+c）学=10.年他•

答案第8页，共12页

21.(1)[-3,+oo)；(2)4.

【分析】(l)g(x)的导数导数大于或等于。恒成立，转化成求不等式恒成立问题

(2)求不等式恒成立问题转化成求最值问题，利用导数知识判断函数的单调性，从而求最

值.

【详解】(1)由题意得g,(x)=f(x)+a=lnx+a+1.

,・•函数g(x)在区间e，+8)上为增函数，，当x€[e2,+s)时，gr(x)>0,

即Inx+a+1>0在归2,十口)上恒成立.；・aN—1—Inx.

令h(x)=—Inx—1,・・・aNh(x)max，

当x€[e2,+s)时，[nxE[2,+oo),

•••h(x)G(—co,-3],；.aN—3,

即实数a的取值范围是[—3,+oo).

(2)v2f(x)>—x2+mx—3,即mx<2xlnx+x2+3,

又x>0,:.m舞陶戴喇播在x&O,十8)上恒成立.

宾

记t(x尸翻^嘲建辆=21nx+x+'..-.m<t(x)min.

r?工

令t(x)=O,得x=l或x=—3(舍去).

当x€(0,l)时,t'(x)<0,函数t(x)在(0,1)上单调递减;

当X6(l,+8)时，t，(X)>0,函数t(X)在(1,+8)上单调递增，•••t(X)min=t(l)=4.

；.mWt(x)min=4,即m的最大值为4.

【点睛】恒成立问题一般参变分离转化成最值问题来处理，避免分类讨论，只需要利用导数

知识判断函数的单调性，从而求得函数的最值.

丫2

22.⑴1+/=1

(2)占.%2=-"|也，证明见解析

【分析】(1)根据题意代入椭圆过的点，结合条件即可求解；

⑵设尸卜0，&),。(再，必)，直线D4的方程为广质+1,

答案第9页，共12页

厂(正+1)匕丝•+”「

得到"=也之.应=——71W，求解计算即可・

%0玉x(4左］2kx()

'式l+2/c2)

【详解】⑴由椭圆的对称性易知椭圆E：捺+£=1(4>/)>())必过点1

(.叵\.11.

卜1,一亍，所rcl以.

又短轴长为2,所以%=1,代入上式解得〃=&.

所以椭圆E的标准方程为《+/=1.

2

(2)证明：设P值,旬，。(再,必)，直线D4的方程为了=丘+1.

y=kx+\

由，片2_，消去y可得(1+2公”+4履=0,

y+y=

2

所以西=-£4k^,代入直线方程了=丘+1中，可得必=1泊-2k5，

2

所以4=药.必=^^\-2k,

.币F+I垃+1

%不4k]23)

1+2-J

因为直线ZX4：了=丘+1过点尸仙,&),所以JI=5+1,即烟)