安徽省皖南八校2024届高三4月第三次联考数学试卷（含答案与解析）

2024届“皖南八校”高三第三次大联考

数学

考生注意：

1本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

3.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是

符合题目要求的.

1.已知集合A=WyT°g3（A2）},集合3={"Z|"y<5},则B=（）

A.0B.（2,5）C.[2,5]D,{3,4,5}

2.抛物线/=!/的焦点坐标为（）

4

A.（1,0）B.（0,1）C.I：。[D.

3.已知向量a=（"0,l）,向量b=（l,0,@,则向量a在向量白上的投影向量为（）

A.（V3,o,i）B.c（i，o,6）岑;

4.2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨盘

山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区、松泽文化区、良渚文化区、钱山漾文

化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时间长、谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近

4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史

学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲、乙在内的6名研究生同学到这4

个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同区域的方法种

数为（）

A.96B.144C.240D.360

jrI7C1

5.“夕=—7+^1,左eZ”是“函数y=tan（x+°）的图象关于匕,0）对称”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：7八，这个公

XP（A）P（剧4）

j=l

♦

式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中ZP（A）P（®A）称为3的全概率.春夏换季是流行性感冒爆

J=I

发期，已知A5c三个地区分别有3%,6%,5%的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是9:8:5,

现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自2地区的概率是（）

A.0.25B.0.27C.0.48D.0.52

7.如图，在棱长为2的正方体ABC。-&4GR中，内部有一个底面垂直于4。的圆锥，当该圆锥底面

积最大时，圆锥体积最大为（）

C.虫兀D.走兀

26

8.丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了

很多宝贵的成果.若石,％,,乙为（。,。）上任意几个实数，满足

小1+々+―"西）+"々）+_+，E）,则称函数在（。力）上为“凹函数”.也可设可导

\n）n

函数/（%）在（a；。）上的导函数为/'（x）"'（x）在上的导函数为了"（X），当/"（x）>0时,函数

/（X）在（a,A）上为“凹函数”.已知菁,尤2,…，3>°，〃22,且为+々++%„=!,令

+丁4的最小值为巴，则4024为（）

1一%1一%21一%

2023202420242025

A.------B.-------C.-------D.-------

2024202320252024

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列关于概率统计的说法中正确的是（）

A.某人在10次答题中，答对题数为X,X〜3（10,0.7）,则答对7题的概率最大

B设随机变量X服从正态分布N（0,l）,若。（XNl）=p,则P（—l<X<0）=l—2p

C,已知回归直线方程为£=菽+9,若样本中心为（—3,24）,贝|]另=_5

D.两个变量的相关系数为「，贝卜•越小，x与y之间的相关性越弱

10.复数2=%+^（%丁€11」为虚数单位）在复平面内对应点2（九》）,则下列为真命题是（）

A.若|z+l|=|z—1],则点Z在圆上

B.若复数z满足|z+2|+|z-2|=8,则复数z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆

C.若复数z满足|z+2i|—|z—2i|=2,则复数z在复平面内所对应点的轨迹是双曲线

D.若|x+l|=|z—1],则点Z在抛物线上

11.已知定义在R上的函数八%）满足/（x+2）+/（%）="2024）,且〃2x+l）是奇函数，则（）

A."%）的图象关于点（1,0）对称

B./（0）=/（4）

C./（2）=1

D.若佃=；，则£矿1-：=。

三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分.

12.从安徽省体育局获悉：第四届长三角体育节将于4月至9月在安徽省宣城市举办.据介绍，本届体育节

以“绿色、健康、融合、共享”为主题，共设置山水生态类、快乐时尚类、传统体育类共21项赛事.下表是4月8

日安徽代表队传统跳绳项目8位选手每分钟跳绳个数:

选手选手1选手2选手3选手4选手5选手6选手7选手8

个数141171161147145171170172

则跳绳个数第60百分位数是.

13.（必+x+y）5的展开式中，刀5>2的系数为.

22

14.椭圆C：a+三=1（。〉。〉0）的左、右顶点分别为点在椭圆上第一象限内，记

ZPAB=a,ZPBA=）3,存在圆N经过点RA5,且=0,tana+tan〃=8,则椭圆C的离心

率为.

四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在ABC中，内角A5c所对的边分别为名仇c,且2》+c—2acosC=0.

（1）求角A；

（2）射线A3绕A点旋转90交线段5C于点E,且A£=l，求面积的最小值.

16.如图，在四棱锥P—ABCD中，PBC为等边三角形，底面A3CD是矩形，平面MCI平面

分别为线段3C,PA的中点，点尸在线段依上（不包括端点）.

2

（1）若PF=-PB,求证：点O,D,E,歹四点共面；

3

⑵若BC=2AB=2,是否存在点尸，使得E尸与平面尸所成角的正弦值为叵，若存在，求出

—,若不存在，请说明理由.

17.已知函数/（%）=〃2*-兄（。>0,。。1）.

（1）若。=6,求/（X）在兄=0处的切线方程;

(2)若函数/(%)有2个零点，试比较IDA与上的大小关系.

18.现有甲、乙两个不透明盒子，都装有1个红球和1个白球，这些球的大小、形状、质地完全相同.

(1)若从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，”("eN*)次这样的操作后，记甲盒子

中红球的个数为X".求X]的分布列与数学期望；

(2)现从甲中有放回的抽取〃(“23)次，每次抽取1球，若抽取次数不超过九次的情况下，抽取到2次

红球，则停止抽取，一直抽取不到2次红球，第九次抽取完也停止抽取，令抽取停止时，抽取的次数为

k(k-U9

y(y=2,3,4,，小，求F的数学期望E"),并证明：£(丫)一£当一＜].

k=224

19.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波

罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是平面内动点又与两定点。,P的距离的比值瑞=42＞0,2^1)

是个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯

22

圆，其方程为/+丁=2,定点分别为椭圆二+1=1(〃〉6〉0)的右焦点口与右顶点A,且椭圆。的

a"b"

离心率为e=1.

2

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)如图，过点尸斜率为左依＜0)的直线/与椭圆C相交于民。(点3在无轴上方)两点，点S,T是椭

圆C上异于民。的两点，SF平分NBSD,TF平分/BTD.

\BT\

①求局的取值范围;

②将点S,£T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SET外接圆的周长为3版兀，求直线/的方程.

参考答案

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是

符合题目要求的.

1.已知集合4={乂，=1°氏（/2）},集合3={"Z|"”5},则A|B=（）

A.0B.（2,5）C,[2,5]D,{3,4,5}

【答案】D

【解析】

【分析】直接根据集合定义求出4={乂％>2},5={0,1,2,3,4,5},再求交集.

【详解】由于A={x|y=log3（尤_2）}={尤|尤>2},3={yeZ|0<y<5}={0,l,2,3,4,5}.

故A6={3,4,5}.

故选：D.

2.抛物线y=Lx?的焦点坐标为（

）

4

。舟。）°（啕

A.（1,0）B,（0,1）

【答案】B

【解析】

【分析】将抛物线方程化为标准方程,再求焦点坐标即可.

【详解】由/=可得=4%其焦点坐标为（0,1）,

故选：B

3.已知向量a=（6,0,1）,向量（1,0,6）,则向量,在向量上的投影向量为（）

A.（73,0,1）B.j¥，04]C.（1,0,6）D.（|,0书

【答案】B

【解析】

【分析】根据数量积以及模的坐标表示，求出数量积以及模，然后根据投影向量的概念，即可得出答案.

a-bb_2A/3b

【详解】向量。在向量匕上的投影向量为，。4.

故选：B.

4.2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨盘

山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区、理泽文化区、良渚文化区、钱山漾文

化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时间长、谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近

4000年的中心性聚落,对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史

学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲、乙在内的6名研究生同学到这4

个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同区域的方法种

数为（）

A.96B.144C.240D.360

【答案】C

【解析】

【分析】6名同学分成4组，再把4组人分到4个区域，

【详解】先将6名同学分成4组，贝IJ4个组的人数为1,1,2,2或1,1,1,3,

当甲、乙在2人组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，有C；种分组方法;

当甲、乙在3人组，甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组，有C；种分组方法,

再把4组人分到4个区域，所以安排方法种数为（C：+C；）A：=240.

故选：C.

?+E,左eZ”是“函数y=tan（x+0）的图象关于［:

5.“/二,0对称”的（)

4

A充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】若函数y=tan（x+0的图象关于］对称，根据正切函数的对称性可得夕=-：+

再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.

【详解】若函数产tan（x+0）的图象关于：,0对称,

.7Ckit.兀kit,

则—\-(p——,k1eZ,解传夕=----1---,keZ,

4242

iJTKTTI

因为'o|夕=——+kit,kwZ是r910=—7+3"£Z)的真子集,

所以“夕=—?+E/eZ”是“函数y=tan（x+0）的图象关于卜寸称”的充分不必要条件

故选：A.

尸⑷5）=尸（a"3a）

6.托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式:'：£尸（4）尸34）'这个公

>1

式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中XP（AJP（H4）称为B的全概率.春夏换季是流行性感冒爆

；=1

发期，已知A5c三个地区分别有3%,6%,5%的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是9:8:5,

现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自8地区的概率是（）

A.0.25B.0.27C.0.48D.0.52

【答案】C

【解析】

【分析】本题利用题目信息给出的贝叶斯公式，结合全概率公式即可求解.

【详解】记事件又表示“这人患了流感”，事件乂,外,乂分别表示“这人来自A5C地区”，

由题意可知：

吨）=2「（的=9尸阿言,

P（M\N）=0.03,P（M\N2）=0.06,P（M\N3）=0.05,

P（M）=P（N1）P（MlN1）+P（N2）P（MlN2）+P（N3）P（MlN3）=

—x0.03+—x0.06+—x0.05=—

22222222

Q

P(N2)P(MN)—x0.06

故尸（匐M）=-22-^——=0.48.

P(M)

22

故选：c.

7.如图，在棱长为2正方体ABC。-44GR中，内部有一个底面垂直于4。的圆锥，当该圆锥底面

C.2

D.——兀

26

【答案】C

【分析】取的中点，记为M,N,E,F,P,G,当圆锥底面内切于正六边形

MNEFPG时该圆锥的底面积最大，结合圆锥体积公式计算即可得解.

【详解】如图所示，取454。,。。1,，。1，。4，片3的中点，记为M,N,E,F,P,G,

易知六边形MNEFPG为正六边形，此时4。的中点。在正六边形的中心,

当圆锥底面内切于正六边形"NEFPG时该圆锥的底面积最大，

设此时圆锥底面圆半径为人因为MN=也，所以r=^MN=®，

22

3

圆锥底面积为5=兀/=5兀，圆锥顶点为4（或C）处,

]13A/22+22+226

此时圆锥体积最大,止匕时V=—S・AO=—X—TIX-----------------------------二——71•

3力3222

故选：C.

8.丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了

很多宝贵的成果.若石,马，・，%为(。力)上任意九个实数，满足

%+%+…+%v,则称函数“工)在(心切上为“凹函数，，.也可设可导

nn

函数八%)在(。；。)上的导函数为/'(x)"'(x)在(。3)上的导函数为/"(£)，当/"(九)＞。时，函数

“X)在上为“凹函数”.已知石,々,一，毛〉0,心2,且%+々++%„=1,令

卬=4+彳工+的最小值为。“，贝|生024为()

1一石1—%21—

2023202420242025

A.-------B.-------C.-------D.-------

2024202320252024

【答案】B

【解析】

Y1

【分析】记函数/(x)=^—=-----l,xe(o,l),先判断函数的凹凸性，然后利用琴生不等式得

1—X1—X

1

-上+^+…+上2代，即可求解.

“1—玉l-x2l-x,J

n

jr1

【详解】记函数/(x)=——=-----l,xe(O,l),首先证明其凹凸性：

1—X1—X

••/，(x)=L==2

22。-43

\)(1-x)(1-x)\)(1-x)(1-X)

/(%)=J--1ft(0,1)上为“凹函数”.

1-X

由琴生不等式，得/仔+々++//(力小)++小),

nn

1

X,X。X"、"

所以W=T=+丁=++-^>--

l-x,1-X21-Xn77-1

1n2024

即当=X,==X“=—时，W取最小值a=----,所以々2024=--------------

nnn-12023

故选：B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列关于概率统计的说法中正确的是()

A.某人在10次答题中，答对题数为X,X〜3(10,0.7),则答对7题的概率最大

B.设随机变量X服从正态分布N(0,l),若。(XN1)=Q,则P(—1<X<O)=1—2p

C.已知回归直线方程为？=菽+9,若样本中心为(—3,24),则另=—5

D.两个变量羽y的相关系数为厂，则「越小，x与y之间的相关性越弱

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A,可利用不等式法求解；对于B,根据正态分布曲线的对称性即可验算；对于C,将样本中

心坐标代入回归方程即可验算；对于D,由相关系数的意义即可判断.

【详解】对于A,X〜3(10,0.7),故尸(乂=左)=*0。.7仙0.31°/,

A1011W

Cfn0.7'-O.S^>C^O.7^.O.3.

令1,l0,M,+1§无，(左eZ),解得6.7W左W7.7,故左=7,故A正确；

A10A+19v7

[C^OO.7-0.3^>C^0.7-0.3^

对于B,P(X>l)=p,:.P(-l<X<Q)=P(O<X<V)=^-p,故B错误；

对于C,回归直线必过样本中心，可得24=—3^+9,解得另=—5,故C正确；

对于D，两个变量尤，V的相关系数为川耳越小，x与〉之间的相关性越弱，故D错误.

故选：AC.

10.复数Z=x+yi（x,yeR,i为虚数单位）在复平面内对应点Z（x,y）,则下列为真命题的是（）

A.若|z+l|=|z—1],则点Z在圆上

B.若复数z满足|z+2|+|z-2|=8,则复数z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆

C.若复数z满足|z+2i|-|z-2i|=2,则复数z在复平面内所对应点的轨迹是双曲线

D.若卜+1|=2-1|,则点Z在抛物线上

【答案】BD

【解析】

【分析】利用复数的模的几何意义，结合垂直平分线的定义，椭圆，双曲线的定义可判断A,B，C,把

点Z（x,y）的坐标代入|x+l|=|z—l|,可得轨迹方程判断D.

【详解】|z+l|=7（x+l）2+y2-表示点（x,y）与（—1,0）之间的距离，

|z-l|=7（^-1）2+/表示点（x,y）与（1,0）之间的距离.

对于A,记于（一1,0）,g（l,0）,|z+l|=|z-l],表示点Z（x,y）到耳、居距离相等,

则点Z在线段与区的中垂线上，故A错误；

对于B,记耳（-2,0）,每（2,0）,由|z+2]+|z—2|=8,得|Z周+区闾=8>4=|居:|,

这符合椭圆定义，故B正确；

对于C,记耳（0,-2）,武（0,2）,若|z+2i|—|z—2i|=2,|Z£|—|Z闯=2<|耳耳

这符合双曲线的一支，故C错误；

对于D，若|x+l|=|z—l|,则（x+l）2=（x—1）2+/,整理得尸=4%,为抛物线，故D正确.

故选：BD.

11.已知定义在R上的函数“X）满足/a+2）+〃x）=〃2024）,且〃2x+l）是奇函数，则（）

A.7（尤）的图象关于点（1,0）对称

B./（0）=/（4）

C"2）=1

D,若m哆"-1。

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A：由〃2x+l)是奇函数可得/(—x+l)+/(x+l)=O,即可得；对B：由

/(x+2)+/(x)=/(2024),借助赋值法计算即可得解；对C：结合所得可得函数的周期性，结合周期性

与赋值法计算即可得；对D：结合函数周期性，借助赋值法算出一个周期内的值即可得.

【详解】对A：由题意知，/(—2x+l)=—〃2x+l),则〃—x+l)+/(x+l)=O,

所以〃尤)图象的对称中心为(1,0),故A正确；

对B：/(x+2)+/(x)=/(2024),/(x+4)+/(x+2)=/(2024),

两式相减得/(x+4)=/(%),所以〃4)=〃0),故B正确；

对C：由B选项可得，“X)的周期为4,又2024=4x506,

故〃x+2)+/(x)=〃2024)=〃0),令％=0得，/(2)+/(0)=/(0),

得/⑵=0,故c错误；

对D：因为/(0)+/(2)=0,又/(2)=0,故/(O)=O,/(—x+l)+/(x+l)=0中，

令T得，/0=01由/（x+2）+/（x）=0,

则（4〃+1）/14"+g（4〃+2）.4〃+T）+（4〃+3）/卜〃+：5）+（4〃+4）/卜〃+：7

+

22

=（4〃+l）xg+（4〃+2）x+（4〃+4）x；

1

X［（4〃+1）-（4〃+2）-（4〃+3）+（4M+4）］=0,所以=0,故D正确.

2

故选：ABD.

【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论:

(1)关于对称：若函数■/'(X)关于直线x=。轴对称，贝！］/(%)=/(2a-x),若函数人＞)关于点中心

对称，则/(x)=2b-/(2a-x),反之也成立；

(2)关于周期：若/(x+a)=—/。)，或/(》+。)=二二，或/(x+a)=一二二，可知函数〃盼的周

/(x)/(x)

期为2a.

三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分.

12.从安徽省体育局获悉：第四届长三角体育节将于4月至9月在安徽省宣城市举办.据介绍，本届体育节

以“绿色、健康、融合、共享”为主题，共设置山水生态类、快乐时尚类、传统体育类共21项赛事.下表是4月8

日安徽代表队传统跳绳项目8位选手每分钟跳绳个数：

选手选手1选手2选手3选手4选手5选手6选手7选手8

个数141171161147145171170172

则跳绳个数的第60百分位数是.

【答案】170

【解析】

【分析】本题依据百分位数的概念，先把数据从小到大排好，然后计算其位置数，=8x60%=4.8,取整数

5,即第5位数据即为所求.

【详解】先把8位选手跳绳个数的数据按从小到大排列：141,145,147,161,170,171,171,172,

然后计算，=8x60%=4.8,取整数5,

故跳绳个数的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即170.

故答案为：170.

13.(_?+x+y)5的展开式中，炉,2的系数为.

【答案】30

【解析】

【分析】建立组合模型求解

【详解】(犬+》+^^表示5个因式好+x+y的乘积，在这5个因式中，有2个因式选V,其余的3个

因式中有一个选X，剩下的两个因式选必，即可得到含dy2的项，即可算出答案.

（%2+x+_y）5表示5个因式Y+x+y的乘积，

在这5个因式中，有2个因式选y,其余的3个因式中有一个选x,剩下的两个因式选/,即可得到含

为5y2的项，故含丁12的项系数是c；.c；.C；=30.

故答案为：30

22

14.椭圆。：二+二=1（。〉6〉0）的左、右顶点分别为A3,点P在椭圆上第一象限内，记

a'b'

ZPAB=a,ZPBA=]3,存在圆N经过点P,AB,且M4-N3=0,tana+tan〃=8,则椭圆C的离心

率为.

【答案】迪##2虚

33

【解析】

b2

【分析】根据给定条件，利用和角的正切求得即B•即A=-9,再设出点P,结合斜率的坐标公式求出彳即

a

可求出离心率.

【详解】显然直线PA,PB斜率都存在，且即A=tana,kPB=-tanJ3,

由A44-N3=0，得/A/VB=90,/AP8='/A/VB=45，

2

/,八八/c、tana+tan万tana+tan,

则tanZAPB=-tan（a+J3）=---------------=-------------—=1,而tana+tan/?=8,

1-tan6/•tan（31+kPB•kPA

2

于是女尸8,女尸A二-9,设尸（如%）,则y；=yy（Z?2—片），

b

因此上9•原B='=2,2==9,解得=_8，

XQ-\~bXQ—bXQ—bbQ,9

所以椭圆C的离心率为e==卜—吗=2也.

a2\a23

故答案为：巫

3

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a，c得值，根据离心率的定义求解离心率e；

②齐次式法：由已知条件得出关于a，C的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在」45c中，内角A5C所对边分别为。，仇c,且2》+c—2«cosC=0.

(1)求角A;

(2)射线AB绕A点旋转90交线段5c于点E，且AE=1，求一ABC的面积的最小值.

2兀

【答案】(1)A=y

(2)

3

【解析】

【分析】(1)借助正弦定理将边化角后，利用三角形内角和公式及两角和的正弦公式计算即可得；

(2)借助等面积法计算可得走儿=°+工6,利用基本不等式可得be2号，利用面积公式计算即可得.

223

【小问1详解】

2Z?+c=2acosC,

由正弦定理得2sinB+sinC=2sinAcosC，

则2sin(A+C)+sinC=2sinAcosC,

即2sinAcosC+2cosAsinC+sinC=2sinAcosC

则2cosAsinC+sinC=0，

sinC>0且Ae(O,7i),

.•.C°SA=-L二右型

23

【小问2详解】

..2兀_.2717171

由N8AC=—和ABLAS,可知，CAE=--------=-

3326

因为S.ABC=.AEB+SAEC，

又因为AE=1，

27171兀、片1

所以bcsin一=csin—+Z;sin—,即—be=c+—b,

32622

当且仅当。=工6,即6=s5,c=3叵时，等号成立,

233

Q

所以beN—,

3

。1,•8y/32G

以SARC=一besin^BAC2—x—x—=------,

.ABC22323

所以的面积的最小值为2叵.

3

16.如图，在四棱锥P—ABCD中，PBC为等边三角形，底面ABCD是矩形，平面P3cl平面

ABC。,0,£分别为线段3cpA的中点，点尸在线段尸3上（不包括端点）.

2

⑴若PF=—PB,求证：点0,0,2方四点共面;

3

(2)若5C=2A5=2,是否存在点尸，使得所与平面PC。所成角的正弦值为叵，若存在，求出

13

―,若不存在，请说明理由.

BF

【答案】(1)证明见解析

竺」或竺二

(2)存在,2

BF2BF

【解析】

221

【分析】(1)方法1：利用向量的线性运算结合图形关系得到尸歹=—P0+—PE-—尸。，即可证明；方法

333

2：过p作直线/与A。平行，延长OE与/交于点G,连接0G,再利用平行线段对应成比例得到PF=^PB

即可证明；

(2)先由面面垂直的性质证明尸01平面A3CD,再建系，找到平面PCD的法向量和石尸，再利用线面

角的公式求出左值即可.

【小问1详解】

证明：方法1：

22/\2121/\221

PF=-PB=-(PO+OB]=-PO+-DA=-PO+~(PA-PD]=-PO+-PE——PD,

33、,3333、,333

系数和为1,根据平面向量共线定理可知及尸四点共面.

方法2：过P作直线/与A。平行，延长。E与/交于点G,连接。G.

因为底面A3CD是矩形，。是的中点，

所以AD，BC,且40=206.所以/.BC,则直线/与直线PB相交，记交点为尸'.

因为E是E4的中点，可得PG=AD,

则PG=206,所以PF'=2BF'.

2

因为=所以点尸即点尸，所以。。,后,厂四点共面.

【小问2详解】

因为。8=。。,。是6C的中点，所以PO15C,

又平面PBC1平面ABCD,平面PBCc平面ABCD=BC,

POu平面尸5C,所以PO1平面A3CD.

取A。中点Q,连接。。，易知两两相互垂直，

如图，分别以。。,OC,OP为苍％z轴建立空间直角坐标系,

则4（1,—1,0）,5（0,—1,0）,。（0,1,0）,。（1,1,0）,网0,0,6卜

AD=（0,2,0）,CD=（l,0,0）,CP=（0,-1,73）,

设平面PCD的法向量为a=（羽）%Z）,

a-CD=0,fx=O

则即,令z=l,则〉=6，所以Q=（o,6,l）.

a-CP=0,1y+'3rz=0

PF

设一=左（0〈左＜1）,贝u

PB

EF=PF-PE=kPB--PA=人（0,-1,-A/3）-5（1,-1,一6）二-于5-一"k

2

设石厂与平面PCD所成角为。，

1IEF•ci_班—2网二叵

ising=cosEF,a\=（-----；----

则mi।1\EF\-\a\2xJ4k2-4k+：*

12PF1PF

解得左=—或左=—,则——=-或——二2.

33BF2BF

17.已知函数/(%)=〃2*一元(〃>0,.£1).

(1)若。=e,求/(力在x=0处的切线方程；

(2)若函数/(%)有2个零点，试比较Inrz与上的大小关系.

2e

【答案】(1)x-y+1^0

(2)In。<—

2e

【解析】

【分析】(1)求出原函数的导数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，根据点斜式方程即可求得切线方

程；

(2)将函数的零点问题转化为两个函数交点的问题，再通过构造函数并求出其导数来确定极值和最值，结

合函数图像分析，得出不等式，从而解决问题.

【小问1详解】

当q=e,/a)=e2x_x,/'(x)=2e2x_i,所以/，⑼与，

又/(0)=1,所以切线方程为y—1=%,即x—y+l=O.

【小问2详解】

函数〃司有2个零点等价于方程a2x-x=0有两个根，

lux

即/X=%=>In/'=Inx=>2xlna=lux=>21n〃=——有两个根，

x

4/z(x)=—,则〃(x)=1一心1y,令〃(x)=1-¥=O=x=e,

当％£(0,e)时，k'(x)>0,当%£(e,+a)时，"(x)<0,

所以/z(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+。)上单调递减，

所以gOmax=Me)=L

e

K_二21na

当X―0时，人（九）

当Xf+0O时，人（尤）.0,

所以要使得21n〃=—有两个根，则21n〃G|0,-|,即0<21n〃<L

x<eje

所以In。<—.

2e

18.现有甲、乙两个不透明盒子，都装有1个红球和1个白球，这些球的大小、形状、质地完全相同.

（1）若从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，〃（〃eN*）次这样的操作后，记甲盒子

中红球的个数为X,.求X]的分布列与数学期望；

（2）现从甲中有放回的抽取〃（八之3）次，每次抽取1球，若抽取次数不超过九次的情况下，抽取到2次

红球，则停止抽取，一直抽取不到2次红球，第九次抽取完也停止抽取，令抽取停止时，抽取的次数为

y（y=2,3,4,,”），求F的数学期望E（y）,并证明：£（丫）一2号一<：.

k=224

【答案】（1）分布列见解析，E（Xj=l

2

（2）£«）=曰£、k（k—，l）+5n『证明见解析

【解析】

【分析】（1）由题意可知X1的所有可能取值为0,1,2,易求得P（X]=0）,P（X]=l）,P（X]=2）,可得

分布列，计算可求数学期望.

1<11

（2）当/（“时，P（y=^）=CL-x-X-=--^k=2,3,4,；n-1）,n>3,

当》=〃时，p（y=〃）=i-1++；“_[,心3,利用错位相减法可求

12_2n-l