2024届高考数学解析几何专项练5【配套新教材】

2024届高考数学解析几何专项练【配套新教材】（5）

1.已知曲线。：/=加12_“），其中也为非零常数，。>0,则下列结论中正确的有（）

A.当加=-1时，曲线。是一个圆

B.当加=-2时，曲线。的离心率是上

2

C.当机=2时，曲线。的渐近线方程是y=±半x

D.当加>-1且加w0时，曲线C的焦点坐标为（±八/1工M,0）

2

2.椭圆+的左、右焦点分别为片，F2,。为坐标原点，则以下说法正确的

是（）

A.过点鸟的直线与椭圆C交于Z,8两点，则△48月的周长为8

B.椭圆C上存在点P,使得两•庵=0

C椭圆C的离心率为工

2

D.P为椭圆。上一点，。为圆=i上一点，则点尸，0的最大距离为3

3.已知曲线UM?=1（）

A.若加>">0,则。是椭圆，其焦点在〉轴上

B.若加=〃>0,则C是圆，其半径为血

C.若加〃<0,则C是双曲线，其渐近线方程为了=±、］4

Vn

D.若加=0,n>0,则。是两条直线

丫21

4.已知产是椭圆C：—+/=1上的动点，0是圆。：（x+l）2+y2=—上的动点，则（）

65

A.C的焦距为逐BC的离心率为巫

6

C.圆。在C的内部D.|PQ的最小值为孚

5.已知椭圆C的中心在原点，焦点大，耳在y轴上，且短轴长为2,离心率为手，过

焦点大作y轴的垂线，交椭圆C于P,。两点，则下列说法正确的是（）

2

A.椭圆方程为2+/=1B.椭圆方程为土+「=1

33.

C』PQ|=竽

D.z\Pg。的周长为4G

6.以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是（）

A.设Z,5为两个定点，左为非零常数，||刀而||=左，则动点尸的轨迹为双曲线

B.过定圆。上一定点Z作圆的动弦48,。为坐标原点，若丽=g（刀+砺），则动点尸

的轨迹为椭圆

22

C.若曲线C:上二+E=l为双曲线，则左＜1或左＞4

4-kk-1

D.过点（0,1）作直线，使它与抛物线必=人有且仅有一个公共点，这样的直线有2条

7.已知2、5两点的坐标分别是（-1,0）,（1,0）,直线4P、AP相交于点P,且两直线的

斜率之积为实数优，则下列结论正确的是（）

A.当/=-1时，点尸的轨迹为圆（除去与x轴的交点）

B.当-1＜加＜0时，点尸的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）

C.当0＜加＜1时，点尸的轨迹为焦点在x轴上的抛物线

D.当加＞1时，点尸的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点）

22

8.已知双曲线E：土-匕=1（加＞0）的一条渐近线方程为x+3y=0,则下列说法正确

m4

的是（）.

4

A.E的焦点在x轴上B.m=—

9

D.E的离心率为巫

C.E的实轴长为6

3

22

9.已知双曲线C:匕-土=1,则下列关于双曲线。的结论正确的是（）

916

A.实轴长为6B.焦点坐标为（5,0）,（-5,0）

c.离心率反D.渐近线方程为4x±3y=0

10.已知双曲线c：=-4=l(a>0,6>0)的离心率为冬8,右顶点为4以幺为圆

ab3

心，b为半径作圆Z,圆Z与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点，则有()

A.渐近线方程为y=+V3xB.渐近线方程为y=土与x

C.ZMAN=60°D.ZMAN=120°

答案以及解析

1.答案：ABD

解析：A项，当加=-1时，曲线C为了2=_》2+/,即/+/“2,它表示圆，故A

项正确；

22

B项，当初=—2时，曲线C为/=一2、2+2/,即上+=禺心率

2aa

e二『“；；2'*故B项正确；

22

C项，当加=2时，曲线C为/=2/—2/,即=—3=1,其渐近线方程为

a2a

y=±叵x,即y=±VLc,故C项错误；

a

22

D项，当-1＜加＜0时，曲线。为\+-=1,因为/＞-加/〉o,所以它表示焦点

a-ma

22

在x轴上的椭圆，焦点坐标为（土a&Z£,0）；当加＞0时，曲线C为二-二=1,它

ama

表示焦点在X轴上的双曲线，焦点坐标为（土T1+掰,0）,故D项正确.

2.答案：ABD

解析：对于选项A：由椭圆定义可得：|2耳+|2巴|=|8印+|8鸟|=2a=4,因此

△ABF1的周长为|+1即|+|/旬=|/片|+1明|+|幺居|+1的|=4a=8,所以选项

A正确；

对于选项B：设P（加,〃），则：+〃2=i,且—2〈加＜2,又片（-6,0）,6（6,0）,

所以=（-百-加,-〃），PF2=（V3,

因止匕两.丽=（_百_加）（V§-掰）+〃2=加2+1_吧_3="_2=0,

44

解得加=乎曰-2,2],故选项B正确；

对于选项C：因为/=4,b2=l,所以°2=/一〃=3,即。=百，所以离心率

£=-=—,所以选项C错误；

a2

对于选项D：设P(X"J,则点尸到圆/+/=1的圆心的距离为

IP01=&+,J=也―4凹2+乂2=也―3%2,

因为所以IPQ晨=中0屋+1="^+1=3，

所以选项D正确，

故选：ABD.

3.答案：ACD

22

解析：由曲线。：晟+即2=1,得其标准形式为宁+宁=1,

mn

A中，若加>〃>0,则工〉工，表示焦点在y轴上;

nm

cc11

B中，若加=〃〉0,则>2+、2=一，表不圆心在原点，半径为的圆;

n

C中，若mn<0,贝lj加，n异号，C表示双曲线，渐近线方程为y=±J-'X；

Vn

D中，若加=0,n>0,贝!]C:「二!，表示两条直线.

n

4.答案：BC

解析：由椭圆方程知：a=^6,b=l,。=石故焦距为2c=2若，故A错误；。的离

心率e=g=故B正确；

a6

由圆。的方程知：圆心。(-1,0),半径为自，而遍-1〉F且椭圆上X=-1的点到。

的距离为|川=画〉坦，故圆。在。的内部，故C正确；

65

25564

设尸(九〃)，贝Un2=1--m--,而|PD|2=(m+1)2+/=—m2+2m+2=—(m+—)2+一,又

66655

-V6<m<V6,可知1Pomm=g，故IPQUHPOmin-E=故D错误•

故选：BC.

5.答案：ACD

解析：由已知，得2b=2,土=在,则6=1.又/=/+/,所以/=3,所以椭圆的

a3

方程为一+己=1.由题意，得尸0="=二=及，APE。的周长为4a=46.故选

3a133

ACD.

6.答案：ABD

解析：根据双曲线的定义，必须有左＜|/切，动点尸的轨迹才为双曲线，故A的说法不

正确；•.•丽=；(刀+无)，为弦45的中点，故//尸。=90。，则动点尸的轨迹为以线

段Z。为直径的圆，故B的说法不正确；显然C的说法正确；过点(0,1)作直线，使它

与抛物线必=4x有且仅有一个公共点，这样的直线有3条，分别为直线x=0、y=l、

y=x+l,故D的说法不正确.故选ABD.

7.答案：ABD

解析：由题意知直线4P、AP的斜率均存在.设点尸的坐标为(x,y),则直线4P的斜率

kAP=(xx-1)＞直线80的斜率％="一(、xwl/).

/irx+1-t/Drx-1i

由已知得，x=m(x±1),

x+1x-1

2

二点P的轨迹方程为V+匕=1("+1),

—m

结合选项知ABD正确.

8.答案：AD

解析：解：由加＞0,可知双曲线£的焦点一定在x轴上，故A正确；

根据题意得2=二=所以加=36,故B错误；

a7m3

双曲线E的实轴长为2赤=2廊=12,故C错误；

双曲线E的离心率6=二=乂更工=%=亚，故D正确.

ayjmV363

故选：AD.

9.答案：AC

解析：根据题意可得a=3,b=4,所以c=寿=5,所以双曲线的实轴长为

2a=6,故A正确；双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为(0,5),(0,-5),故B错

误；双曲线的离心率为e='=3,故C正确；双曲线的渐近线方程为上-二=0,即

a334

3x+4y=0,故D错误.

10.答案：BC

解析：双曲线c：g-右=1的渐近线方程为＞离心率为£=3回，

abaa3

则晨学=i+qJ,则耍LJ立,

a22a2ac32ac3ac3

故渐近线方程为y=±*x,

取跖V的中点尸，连接2尸，利用点到直线的距离公式可得1=/0=或，

C

ab

贝1Jcos/PAN=--^―-—,

ANbc

41

所以cosNM4N=cos2/尸/N=2xf—1二一，贝！J=60。，

c22

故选BC.

2024届高考数学解析几何专项练【配套新教材】（6）

1.已知抛物线2加（°>0）的焦点为尸，过点尸的直线/交抛物线于48两点，以线段

48为直径的圆交x轴于MN两点，设线段48的中点为0.若抛物线C上存在一点

即,2）

到焦点厂的距离等于3.则下列说法正确的（）

A.抛物线的方程是x2=2yB.抛物线的准线方程是y=-l

C.sinNQIW的最小值是:D.线段48的最小值是6

22

2.已知片，月分别是双曲线，-4=1（°>0,6>0）的左、右焦点，/为左顶点，尸为双曲

线右支上一点，若归耳|=2|尸阊，且△巴笆的最小内角为30。，则（）

A.双曲线的离心率为公

B.双曲线的渐近线方程为y=士岳

C.ZPAF2=45°

D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点

22

3.已知用工分别是双曲线。*-3=1（°>0,6>0）的左、右焦点，过月且倾斜角为a的直线

交双曲线C的右支于48两点"为△/右耳的内心,。为坐标原点，则下列结论成立的是（）

A.若C的离心率eM，则a的取值范围是CL，,

B.若|/£|=2|盟|且以同2金以玛卜/引，则。的离心率e=2

C.若。的离心率e=2,则％.%典+；必3

D.过月作月P，AI，垂足为尸，若I的横坐标为m,Kl]|OP\=m

4.已知双曲线C的左、右焦点分别为不，F2,过耳的直线与双曲线的右支交于Z,B

两点,若|/周=此|=2|盟则下列说法正确的是（）

A.NAF\B="ABB.双曲线的离心率e=^C.双曲线的渐近线方程为

y=+^^-xD.原点。在以心为圆心，为半径的圆上

5.在平面直角坐标系xOy中，下列结论正确的是（）

A.椭圆工+尤=1上一点尸到右焦点的距离的最小值为2；

2516

B.若动圆〃过点（2,0）且与直线x=-2相切，则圆心M的轨迹是抛物线；

C.方程7（X+4）2+/-7（X-4）2+J2=6表示的曲线是双曲线的右支；

D.若椭圆二+且=1的离心率为L则实数"=9.

12m2

6.已知抛物线C:/=2.（p>0）的焦点为R若"（1,%）为抛物线。上一点，直线〃口的

斜率为_3，且以河为圆心的圆与C的准线相切于点。，则下列说法正确的是（）

A.抛物线C的准线方程为x=-3

B.直线〃口与抛物线。相交所得的弦长为15

C.4MFQ外接圆的半径为4

D.若抛物线C上两点之间的距离为8,则该线段的中点到y轴距离的最小值为1

7.已知。为坐标原点，抛物线C:/=2/上一点/到焦点P的距离为4,若点M为抛

物线。准线上的动点，以下说法正确的是（）

A.当AM尸为正三角形时，夕的值为2

B.存在点使得疝-砺=0

C.若苏=3而，则0=3

D.若+的最小值为2万，则p=4或12

8.已知抛物线£：V=4x的焦点为R准线/交x轴于点C,直线机过C且交E于不同的

A,8两点，8在线段NC上，点尸为Z在/上的射影，则下列命题正确的是（）

A.若4BLBF,贝14P|=|PC|

B.若P,B,尸三点共线，贝力/尸|=4

C.若|明=的|,则|4F|=2|防|

D.对于任意直线机，都有|/下|+|3用>2|CF|

9.已知方程〃官2+）=1（：",〃eR）,贝！］（）

A.当加〃>0时，方程表示椭圆B.当加〃<0时，方程表示双曲线

C.当加=0时，方程表示两条直线D.方程表示的曲线不可能为抛物线

10.抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线的对称

轴的方向射出.今有一抛物线/=2px（0>O）,一光源在点/（4,3）处，由其发出的光线沿

平行于抛物线对称轴的方向射向抛物线上的点P并反射后，又射向抛物线上的点0,

再反射后又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出，且直线尸Q的斜率为上,则（）

广

A.抛物线的方程为/=4xB.点。的横坐标为3

9

C.\PQ\=~DS-1?

36“'AOPQ~

答案以及解析

1.答案：BC

解析：抛物线C：/=2抄5>0）的焦点为尸准线方程为了=-5，由点£亿2）到焦

点尸的距离等于3,可得2+1=3,解得p=2,则抛物线。的方程为V=4y,准线方

程为了=-1,故A错误，B正确；

易知直线/的斜率存在，F（O,1）-

设4（石,乂）,B（x2,y2）,直线/的方程为七=履+1,

由卜：.+1,消去并整理，得X?一a一4=0,

[X=4乃

所以％1+x2=4k,xxx2=-49

必+=k（X]+%）+2=4k2+2,

所以45的中点。的坐标为（2k,2-+1）,

|AB|=%+>2+夕=4k2+2+2=4左之+4,

故线段43的最小值是4,故D错误；

圆Q的半径升=21+2,

在等腰AQMN中，sinZQMN=同=2^~+1=1———>1-,

r2k2+22k2+222

当且仅当左=0时取等号，

所以sin/QW的最小值为:，故C正确，故选BC.

2.答案：ABD

解析：依题意得，附卜|尸闾=2a,又知阀|=2|尸段，.•.阀|=4a,|尸阊=2a.

又,・W阊=2。，且4<c,

.•.在△尸片月中，尸E是最小的边，

:./PF[F2=3。。,

/.4/—4。2+16/—2x2。x4。x—,

2

整理得。2_2G〃C+3Q2=0,BP（c-y/3a）2=0,/.c=43a,

I=2c=26cl,b—>Jc2—a2=.

/.\FXF2

.•.双曲线的离心率e，=3=6,A正确.

aa

双曲线的渐近线方程为,=±2工=±^1^工=±57^,B正确.

aa

根据前面的分析可知，△尸片写为直角三角形，且/尸鸟片=90。，

若血明=45。,则|尸闾=|力用.

又知|尸阊=2〃，|4月|=（2+c=6z+VJa=（1+拒）aw|尸闾，

:.ZPAF2^45°9C不正确.

直线x+2y-2=0,即y=_gx+l,其斜率为一g,-le[-V2,V2],

二.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点，D正确.故选ABD.

3.答案：BCD

_22

解析：对于选项A,当e=四时，双曲线去年=1的渐近线方程为"土x淇倾斜角分别为

：,彳,因为过8且倾斜角为a的直线与双曲线的右支交于43两点，所以a的取值范围是

故A错误.

对于选项B,由双曲线的定义可知|明|-|/闾=2°,又周=2|盟故|盟|=2d|司卜4a,由

例得1As|=8a,所以忸闾=6a,连接明，则忸耳|=8a,

4a

由1481=|%|得cos/片/乙=2=_L,在△/工中,由余弦定理得

8。4

cos/月/月=（4.+（2。）2-（2°）2=J.,得°=2”,故e=g=2,故B正确.

2x4。x2〃4a

对于选项C,因为C的离心率e=2,所以2a=C,设AAFR的内切圆/的半径为心则

以狗一（2〃与+gs△//司x—剧x—gxgx2cxr=｝（|/用一

|陷-c）=?（2a-c）=0,故C正确.

对于选项D,设乙尸n/月=E,因为8尸为/不隼的平分线，所以为等腰三角

形空|=|/段,|尸©=|尸图.则|明|-|/段=|/E|+|即卜居|=|即卜=2a,在△四月中,。尸为中

位线.所以|OP|=；忸与|=a.设八ARB的内切圆/与曲,/瓦，尸石相切的切点分别为N,M,

则M(叽0),又

\AF\-\AF^=\AD\+\DF\-\AN\-\NF^\=|D^|-|7V^|=|Aff；|-|ME|=(c+m)-(c-/n)=2m=2a,

所以a=%|OP|=a=m，故D正确.故选BCD.

4.答案：ABC

解析：如图，设|盟|=机，则忸闾=“|=2加，所以2a=|明卜[4阊=加，

\BFl\=\BF2\+2a=2m+2a=6a,\AB|=|^|+|S7^|=6a,所以忸耳|=|48],所以

/AF\B=NF/B,故A正确；

因为|/周=2加=4a,|5^|=|AB|=6a,所以在弦中，cos4；4S=1^=g,在△4E出

144Q2

中，区工『=|/£「+|/8「_2|/团|/园（；05/片/鸟，BP4c2=16a2+4a2—2X4〃X2QX—=---

33

所以4=?,所以e，=叵，故B正确;

a3a3

由。4」得心匕则”侦

a2a3a3a3

所以渐近线方程为y=±，x,故C正确;

若原点。在以乙为圆心，/工为半径的圆上，贝！］［。用=|“用，即c=2a,则e=*=2.

与B矛盾，不成立，故D错误.故选ABC.

5.答案：ABC

解析：椭圆1r"上一点尸到右焦点的距离的最小值为…=5-3=2,故A正确;

由抛物线定义可知B正确；方程7（X+4）2+V2-7（X-4）2+/=6表示的曲线是以（-4,0）,

(4,0)为焦点，2a=6的双曲线的右支，故C正确；若椭圆反+片=1的离心率为,，则

12m2

J12」"=j_(0<m<]2)或]—取=1(加,12),解得〃?=9或〃?=16,故D错误.故选ABC.

2V32JOT2

6.答案：ACD

解析：过点〃作"3垂直于x轴，垂足为瓦•.•加尸=-6，.•.直线九田的倾斜角为

120°,ZMFB=60°,在RtAWS尸中，ZBMF=30°,:\MF\=2\BF,又由抛物

线的定义可得叱|=1+勺+m解得p=6,.•.抛物线C的方程为

y2=nx,抛物线C的准线方程为x=-3,故A正确；

易知直线板的方程为y=-G(x-3),代入抛物线C的方程，得/_10工+9=0,解得

x=l或x=9,.•.直线"F与抛物线C相交所得弦长为1+9+6=16,选项B不正确；

易得〃(1,2行)，尸(3,0),2(-3,273),|QF|=V36+12=473,ZQMF=12.0°,设△MFQ外

接圆的半径为心根据正弦定理可得27=』°用=/2“=*=8,,=4,选项C

sinZQMFsin120°垂)

2

正确；

设抛物线。上的两点分别为G(Xi，yJ,H(x2,y2),贝U|G尸|+1斯闫|=8,当且仅当

G,H,尸三点共线时，等号成立，由抛物线的定义可知，

|GF|+1FH|=Xj+x2+/>=%,+x2+6,所以为+工2+628,即占+322,所以线段G//的中

点到y轴的距离七三、|=1,选项D正确.故选ACD.

7.答案：AC

解析：对于A,当△M4尸为正三角形时，|"'|=MM=|A3|=4,如图所示，设抛物线C

的准线交x轴于点N,则由抛物线的定义知4W与准线垂直，在正三角形K4尸中，

AAMF=60°,所以NFW=30。，所以12VF|=；17WF|,而12VF卜p,所以p=；|MF|=2,

故A正确；对于B,假设存在点M使得瓶-赤=0,即必=标，则点Z,尸重

合，与已知条件矛盾，所以B不正确；对于C,若该=3或，则|MF|:|M4|=3:4,如

图，过点/作抛物线C的准线的垂线并交准线于点E,设准线交x轴于点5,由抛物

线的定义可知|，£|=|/k=4,

易知公MFB〜公MAE,贝1]世妇=旦，即3=2，解得p=3,所以C正确；

\MA\|AE\44

对于D,如图，作。关于抛物线。的准线的对称点。(-〃0),连接/O交准线于点

M,过点Z作抛物线C的准线的垂线并交准线于点。，由对称性知，

(\OM\+\MA\)min=\AO'\,由抛物线的定义可知尸|=猫+台4,则猫=4、，代入

抛物线C的方程，得"=2p(4-?，所以

|10'『=①7。.)2+村=(4+1^+2p(4_£|=_|y+122+16=(2屈)2,化简可得

p2-16p+48=0,解得p=4或p=12.当p=12时，|。尸|==6＞|//|=4,所以p=12不符

合题意，所以〃=4,所以D不正确.故选AC.

解析：本题考查抛物线的定义及其几何性质、直线与抛物线的位置关系.由已知条件可

得/(1,0),C(T,0).由抛物线的对称性，不妨设直线机的方程为冲以x+1)(左＞0),

A(x1,yl),8(%2，%).依题意得天＞工2'由『：("消去了整理得

[y=4x

/f+(2/一4卜+产=0,且A=(2/一4/一4左4=16-16/＞0,解得0＜左＜1,由根与系数

的关系，得西+X2=上?，》西=1.对于A选项，方法一：因为直线8尸的斜率为