广西北海市2024年高考冲刺模拟数学试题含解析

广西北海市2024年高考冲刺模拟数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x+y<10

1.设实数X、y满足约束条件卜一丁42,则z=2x+3y的最小值为()

x>4

A.2B.24C.16D.14

2.把函数〃%)=45«2》-?|(4/0)的图象向右平移：个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数

（加>0）是偶函数，则实数机的最小值是（）

57r_571-兀4兀

A4.—B.—C.-D.—

126612

3.已知集合4={%|-2<%<4},集合5={%|/一5%—6>0},则AB=

A.{%|3<x<4}B.{x|xv4或%>6}

C.{x|-2<%<-1}D.{x|-l<x<4}

4.（%3—的展开式中的常数项为（）

A.-60B.240C.-80D.180

5.给出50个数1,2,4,7,11,，其规律是：第1个数是1,第2个数比第1个数大1,第3个数比第2个数

大2,第4个数比第3个数大3,以此类推，要计算这50个数的和.现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图

中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能()

A.i<50；P=P+iB.i<50；P=P+i

C.i<50；P=P+1D.i<50；P=P+1

6.函数/（x）=cos（2x+《-）的对称轴不可能为（）

5〃Jinn

A.x-----B.x----C.x——D.x——

6363

7.已知a>b>0,则下列不等式正确的是（）

B.|血_">的

c.K〃—z?|<pD.p-4

8.若Y则roVr—（）

sint-4--"

.i

A.B.C.D.

11i

9.数列｛。“｝满足：4+2+4=4+i，%=1，%=2,S.为其前”项和，贝!]S2oi9=（）

A.0B.1C.3D.4

10.当输入的实数xw[2,30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是（）

39

C.一D.—

1414728

11.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、B、C、D、E五个等级.某班共有36名学生且全部选

考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中

仅有一科等级为4的学生，其另外一科等级为3,则该班（）

y级

科久ABCDE

物理1016910

化学819720

A.物理化学等级都是3的学生至多有12人

B.物理化学等级都是B的学生至少有5人

C.这两科只有一科等级为3且最高等级为B的学生至多有18人

D.这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人

12.在直三棱柱ABC—中，己知AB=BC=2,Cg=2&，则异面直线AC1与44所成的角

为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知定义在R上的函数/（%）的图象关于点（1,1）对称,g（x）=（x-1）3+1,若函数f（光）图象与函数g（x）图象的

2019

交点为（石，％）,（々，乂），…，（工2019，为019），则Z（七+X）=-

i=\

,,uuutuuvuuuruuv,iu吗

14.在MBC中，CACB=0，BCBA=2-则阳=.

.3/万、e/万，

15.已知sma=1,（ze[5，",贝!|tan[a+]J=。

16.已知向量a=（U），W=2,且向量a与/，的夹角为手a-（a+8）=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在多面体ABCDE产中，四边形ABC。是正方形，C/，平面ABC。，CFDE,AB=CF=2DE=2,

G为5尸的中点.

(1)求证：CG±AF；

(2)求平面8C5与平面所成角的正弦值.

18.(12分)已知函数，!>>ox(aeR).

(I)求函数F(x)的单调区间；

(II)当a>0时,求函数/(功在工2］上最小值.

19.(12分)已知AABC中，角A,B,C的对边分别为。，力，c,已知向量根=(cosBZcos?——1),n=(c,b-2a)

2

-S-m-n=0-

(1)求角C的大小；

(2)若AABC的面积为2/，a+b=6,求c.

2

20.(12分)设椭圆E：］+y2=i,直线(经过点M(加,0),直线乙经过点N(〃,0),直线乙直线/且直线"/2

分别与椭圆E相交于48两点和C,D两点.

(1)若“，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线4,x轴，求四边形ABC。的面积；

(II)若直线4的斜率存在且不为0,四边形ABC。为平行四边形，求证:机+〃=0;

(III)在(II)的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由.

21.(12分)4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动.学校为了解高三学生课外阅读情况，

采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生抽取12名学生

参加问卷调查.各组人数统计如下：

小组甲乙丙丁

人数12969

(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；

(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和

数学期望.

22.（10分）如图，四棱锥P—ABCD中，K4,平面ABC。，AB=BC=2,CD=AD=币，ZABC=120°.

(I)证明：BD工PC；

(II)若〃是中点，3M与平面所成的角的正弦值为上叵，求R4的长.

10

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,D

【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.

【详解】

x+y<10

做出满足x-y«2的可行域，如下图阴影部分，

x>4

根据图象，当目标函数z=2x+3y过点A时，取得最小值，

x=4fx=4

由解得即44,2),

x-y=2[y=2

所以z=2x+3y的最小值为14.

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.

2、A

【解析】

先求出g(x)的解析式，再求出g(x-(加＞0)的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数加满足的等式，从

而可求其最小值.

【详解】

/(x)=Asin12x—*0)的图象向右平移t个单位长度，

所得图象对应的函数解析式为g(x)=Asin[2x-U]=Asin12x-寻],

(、(2)

故g(x—ni)=Asm\2x-2m-—^~

TT,1TCK7T

令2x—2m——=左〃+—,k^Z,解得犬=加+——+——,keZ.

32122

因为y=g(x-m)为偶函数，故直线%=0为其图象的对称轴,

令根H-----1=0,keZ,故m=-------------,keZ,

122122一

5兀

因为切＞0,故左V—2,当左二一2时，m

min~12

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量X做加减，比如把y=/（2x）的图

象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为y=/[2（x-l）]=/（2x-2）,另外，如果％=加为正弦型函数

/（x）=Asin（aa+0）图象的对称轴，则有/（m）=±A,本题属于中档题.

3、C

【解析】

由了2-5%—6>0可得（x—6）（x+l）>0,解得尤<一1或%>6,所以3={x|x<-l或x>6},

又4={尤I—2<x<4},所以AcB={x[—2<x<—l},故选C.

4、D

【解析】

求（d—的展开式中的常数项，可转化为求展开式中的常数项和《项，再求和即可得出答案.

【详解】

故选：D

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.

5、A

【解析】

要计算这50个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②.

【详解】

因为计算这50个数的和，循环变量i的初值为1,所以步长应该为1,故判断语句①应为i=i+l,第1个数是1,第2

个数比第1个数大1,第3个数比第2个数大2,第4个数比第3个数大3,这样可以确定语句②为，=。+"故本题

选A.

【点睛】

本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.

6、D

【解析】

由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论.

【详解】

对于函数/(x)=cos[2x+g],令2x+g=左〃，左eZ,解得x=^—g,左eZ,

当人=—1,0,1时，函数的对称轴为x=—3，%=71%=-7.1

636

故选：D.

【点睛】

本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题.

7、D

【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项.

【详解】

已知a>b>0,赋值法讨论。>匕>0的情况：

(1)当a>b21时，令a=2,b=l>贝!]]—一同>卜"一,排除B、C选项；

(2)当0</?<aWl时，令a=；,b=(,贝"而一目>|四-a],排除A选项.

故选：D.

【点睛】

比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条

件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题.

8、B

【解析】

由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.

【详解】

因为一；r，由诱导公式得一，所以

$jn(二I+勺--ycos二=-ycos2Z=.cos-二

故选B

【点睛】

本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.

9、D

【解析】

用〃+1去换4+2+4=an+l中的n,得a“+3+4+i=。〃+2,相加即可找到数列｛4｝的周期，再利用

，

$2019=336s$+%+(J2+计算

【详解】

由已知，4+2+an=an+l①，所以4+3+4+1=4+2②，①+②，得申3=一4，

从而4+6=4,数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1,2,1,-1,-2,-1,所以S$=0,

S2019=336(%+a,++%)+。1+42+43=0+1+2+1=4.

故选：D.

【点睛】

本题考查周期数列的应用，在求S2019时，先算出一个周期的和即$6,再将S2019表示成336s6+%+2+%即可，本题

是一道中档题.

10、A

【解析】

根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出x的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论.

【详解】

程序框图共运行3次，输出的工的范围是[23,247],

247-1031449

所以输出的x不小于103的概率为不一~==

247-2322414

故选:A.

【点睛】

本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.

11、D

【解析】

根据题意分别计算出物理等级为A,化学等级为3的学生人数以及物理等级为3,化学等级为4的学生人数，结合表

格中的数据进行分析，可得出合适的选项.

【详解】

根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为A另一科为3的学生10-5+8-5=8人（其中物理A化学3的有5

人，物理B化学4的有3人），

表格变为：

ABCDE

物理10—5—5=016-3=13910

化学8—5—3=019-5=14720

对于A选项，物理化学等级都是3的学生至多有13人，A选项错误；

对于B选项，当物理C和。，化学都是3时，或化学C和。，物理都是3时，物理、化学都是3的人数最少，至少

为13—7—2=4（人），B选项错误；

对于C选项，在表格中，除去物理化学都是3的学生，剩下的都是一科为3且最高等级为3的学生，

因为都是B的学生最少4人，所以一科为B且最高等级为3的学生最多为13+9+1-4=19（人），

C选项错误；

对于D选项，物理化学都是3的最多13人，所以两科只有一科等级为3且最高等级为3的学生最少14-13=1（人）,

D选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.

12、C

【解析】

由条件可看出AB4与，则/BAG为异面直线AG与A耳所成的角，可证得三角形BAG中，AB1）解得

tanZBAQ,从而得出异面直线AC,与AXBX所成的角.

【详解】

连接AG，BC],如图:

又ABI44,则/BAG为异面直线AC,与\BX所成的角.

因为AB，6C,且三棱柱为直三棱柱，；.AB1CC1；AAB，面BCQB1,

:.AB±BQ,

又AB=BC=2,CQ=2>/2,二阳=J(2⑹2+2、=2

二tan/胡G=6,解得NBAG=60°.

故选C

【点睛】

考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4038.

【解析】

由函数图象的对称性得：函数/(%)图象与函数g(x)图象的交点关于点(1,1)对称，则

XXXX

1+2019=%2+2018=%3+2017=…=2%1010=2,%+%019=%+%018=%+^2017=…=2Moi0=2，即

2019

Z(x,+“)=4038,得解.

i=l

【详解】

由g(x)=(x—1了+1知：g(x)+g(2-x)=2

得函数y=g(x)的图象关于点(1,1)对称

又函数/(x)的图象关于点(1,1)对称

则函数/(%)图象与函数g(x)图象的交点关于点(1,1)对称

则玉+X019=%2+X2018=九3+X2017=…=

22%1010=2

+

%%。19=%+%。18=%+%017=…=2Moi0=2

故项+/+…+X2018+X2019=2019,%+%+...+%018+%019=2019

2019

即£仕+匕）=4038

1=1

本题正确结果：4038

【点睛】

本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题.

14、72

【解析】

先由题意得：CAYCB,再利用向量数量积的几何意义得=可得结果.

【详解】

由CA-CB=0知：CALCB,则在8C方向的投影为BC，

由向量数量积的几何意义得：

BCBA=\AB\|BC|cosZABC==2,.".|BC|=A/2

故答案为亚

【点睛】

本题考查了投影的应用，考查了数量积的几何意义及向量的模的运算，属于基础题.

1

15、-

7

【解析】

由已知求tantz,再利用和角正切公式，求得tan］（z+7j,

【详解】

3）43

因为此以=二，ae\—,»J,所以cos1=_y,tana=--,

/、I-3

EH，兀11+tanaA1

因此tan—+a=----------------=——=—.

14）1-tana］十？7

4

【点睛】

本题考查了同角三角函数基本关系式与和角的正切公式。

16、1

【解析】

根据向量数量积的定义求解即可.

【详解】

解：•.•向量a=(l,l)，W=2,且向量。与人的夹角为3，

；・|〃|=J]2+]2_^2；

所以：a*(a+b)=a?+。.0=5y2xcos^^=2-2=1,

故答案为：L

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析(2)叵

6

【解析】

(1)首先证明CGLA5,CG±BF,AB所=3,二CGL平面AB厂.即可得到Mu平面AB尸，CG±AF.

(2)以。为坐标原点，DA,DC,OE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面人跖

和平面BC尸的法向量，带入公式求解即可.

【详解】

(1)••,CV，平面ABC。，AB1平面ABC。，...5,AB.

又•；四边形ABC。是正方形，，AB±BC.

,：BCCF=C,二AB,平面

；CGu平面8CT,/.CG±AB.

又,：BC=CF=2,G为3尸的中点，.ICGL3户.

,/AB3/=3,CG_L平面AB厂.

；AFu平面AB产，/.CG±AF.

(2)•.•。/，平面ABC。，CFDE,二DE,平面ABCD.

以。为坐标原点，DA,DC,OE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

如图所示:

则。（0,0,0）,4（2,0,0）,C（0,2,0）,石（0,0,1）。（0,2,2）.

AAE=（-2,0,1）,EF=（0,2,1）,£>C=（0,2,0）.

设〃=（九,y,z）为平面AEF的法向量,

n-AE=01―2x+z=0

则V，得JC，

n-EF=0[2y+z=0

令x=1,贝!I〃=（1,—1,2）.

由题意知。C=(0,2,0)为平面尸的一个法向量,

n・DC

\n\\DC\76x2—6

【点睛】

本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中

档题.

18、(I)见解析；(H)当0<a<ln2时，函数f(x)的最小值是/(x).=-。；当a»ln2时，函数FQ)的最小值是

“XU=ln2-2。

【解析】

(1)求出导函数，并且解出它的零点x=,再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f(x)的单调区间；

(2)分三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0VaVln2时，函数f(x)的最小

值是-a；当aNln2时,函数f(x)的最小值是ln2-2a.

【详解】

⑴函数f(X)的定义域为(0,+8).

//、11-ax

f(%)=——〃=-----

XX

因为〃＞0,令/呢%）=工-4=0,可得冗二工;

xa

当0<%<工时，f'(x)=l^>Q；当x>L时，f'(x)=j—^<Q,

axax

综上所述：可知函数/（X）的单调递增区间为（0,，］,单调递减区间为（工,+8

＜a）\a

（2）（i）当0＜工41,即时，函数F。）在区间工2］上是减函数，

a

/W的最小值是/（2）=ln2-2«

（ii）当,22,即。时，函数/（尤）在区间［1,2］上是增函数,

a2

・・・/（X）的最小值是/⑴=—。

（应）当1＜工＜2,即!＜。＜1时，函数在［1,工］上是增函数，在［工,21上是减函数.

a2I\a）

又/(2)-/(l)=ln2-«,

.•・当J<a<In2时，/(x)的最小值是/(1)=-a；

当In2<a<1时，/(%)的最小值为了(2)=In2—2a

综上所述，结论为当0＜a＜In2时，函数/（x）的最小值是/（幻皿=-。；

当aNin2时，函数的最小值是/（x）向口=山2-2a.

【点睛】

求函数〃尤）极值与最值的步骤：⑴确定函数的定义域；（2）求导数/（龙）；（3）解方程/'（尤）=0,求出函数定义域

内的所有根；（4）列表检查/'（X）在/'（尤）=0的根/左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么“X）在无。

处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么/（九）在瓦处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极

值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小

71I—

19、（1）C=—;（2）c—2\/3•

【解析】

试题分析：（1）利用已知及平面向量数量积运算可得（xos5+（〃-2a）cosC=0,利用正弦定理可得

sinA=2sinAcosC,结合sinAwO,可求cosC=L从而可求C的值；(2)由三角形的面积可解得ab=8,利用余

2

弦定理可得(a+Z?)2—3。人=。2,故可得C.

试题解析：(1)Vm=(cosB,cosC),n=[c.b-2a),m・n=0,

:.ccosB+(/?-2a)cosC=0,

:.sinCcosB+(sinB-2sinA)cosC=0,

即sinA=2sinAcosC,又VsinAw0,:.cosC=—,

2

又・・・C£(0,»),・・.C=g.

⑵VSMBC=jateinC=2^/3,：,ab^,

又/=标+〃-2〃bcosC,即(〃+Z?)2-3ab=・'・c2=129

故。=2百・

20、(I)272；(H)证明见解析；(HI)不能，证明见解析

【解析】、

J,叵

(I)计算得到故A

2

%+%=-j——

什/；，计算|阴=标>J16k2-Sk-m-+^同理

(ID设4为丁=左(%—加)，联立方程得到＜)

2km-22k2+1

XiX'--------------

122k2+1

|C*H正如左+8,根据|AB|=|CD|得到“=〃2,得到证明.

(m)设A6中点为P(a,b),根据点差法得到a+2妨=0,同理c+20=0,故即°=—得到结论.

乙KK

【详解】

(B、/0

)()()故,c1,一，D1,

(IM-l,0,Nl,0,A-1,^-,B2

I2JIJI

故四边形ABCD的面积为S=2后.

(II)设/1为丁=左(大一机)，贝42

y=k(^x-ni)

4k2m

设5(4,%)，故,

2k2m2-2

中2二『r

2|xj-x|=左2+々)2工2

\AB\=A/1+k2Jl+-4%］=Jl+k2",卜:"加+8.

《6/-8k2n2+8

同理可得|CD|=JIW

2r+1

|的=卬，故行返1尸J16/—8//+8

2k~+1

即加2=〃2,m乎n,故根+〃=0.

(皿设AB中点为尸(。，6),则与+才=1,1+%2=1，

相减得至!J4++(%+为)5_%)=0,即a+2妨=0,

同理可得：CD的中点。(c,d),满足c+2以=0,

d-bd—b力-故四边形。不能为矩形.

故加-3ABC

c-a-2kd+2kb2kk

【点睛】

本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

134

21、(1)—(2)见解析，一

663

【解析】

(1)采用分层抽样的方法甲组抽取4人，乙组抽取3人，丙组抽取2人，丁组抽取3人，从参加问卷调查的12名学

生中随机抽取2人，基本事件总数为G；=66,这两人来自同一小组取法共有C；+2C；+C；=13,由此可求出所求

的概率；

(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，而甲、丙两个小组学生分别有4人和2人，所以抽取的两

人中是甲组的学生的人数X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期

望.

【详解】

(1)由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4,3,2,3(人),

从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两名的取法=66共有(种)，

抽取的两名学生来自同一小组的取法共有废+2C；+=13(种)，

13

所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为PU­

GG

(2)由(1)知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4人、2人，所以，抽取的两

人中是甲组的学生的人数X的可能取值为0,1,2,

c°c21

因为P(X=0)=-^