2024届江苏省决胜新高考高三年级下册4月联考数学试题及答案

决胜新高考—2024届高三年级大联考

数学

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，包含[单选题（1〜8）多选题9〜12,填空题（第13题〜第16题，共80分）、解

答题（第17〜22题，共70分）。本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题

卡交回。

2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写

在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。

3.答题时请用0.5毫米的黑包签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。

4.如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。

一、单选题：木大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知向量。，b满足同=1,网=23,加（2。-6）=-18,则。与6的夹角等于

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.若复数z=cos。+isin。,则|z-2+2i|的最大值是

A.2\/2-1B.2\/2+1C.V2+1D.25/2+3

3.已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）从小到大排列如下：甲队：7,

12,12,20,20+x,31：乙队：8,9,10+y,19,25,28.这两组数据的中位数相等，且平均值也相

等，则x+V的值为

A.3B.4C.5D.6

已知

4.x+2*=4,x2+log,/=4,则%+x2的值为

A.2B.3C.4D.5

5.若3sina+4cosa==5,则tan(a+?=

D

A.-7B.7C.1-4

6.经过抛物线C：/=4x焦点F的直线与C交于4,B两点,与抛物线C的准线交于点尸，若/尸，

AP,8户成等差数列，则48=

A.2百B.2\[6C.1D.y

南三教学第1页（共4页）

7.贝塞尔曲线(Beziercurve)是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来

精确画出曲线.三次函数的图象是可由力，B,C,。四点确定的贝塞尔曲线，其中4D

在/(*)的图象上，f[x｝在点4。处的切线分别过点B,C.若A(0,0),B(-1,-1),C(2,2),D(1,0),

则/(x)=

A.5x3-4x2-xB.3x3-3xC.3x3-4x2+xD.3x3-2x2-x

8.已知函数/*)=』—8x,且点P(x,y)满足f(x)+/(-y)W32,/(y)W0,若记点P构成的图形

为。，则C的面积是

A.—―16\/3B.—^―416\/3C.64乃-16百D.64+16>/3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

2102320

9.(x+x-2)=+a^x+a2x+a3x+•••+a2Qx,贝lj

A.%=1024B.ax-1

C.%9=10D.q+。3+%+…+%9=-512

10.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分

次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记/表

示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺

后,该款芯片的某项质量指标4服从正态分布N(5.40,0.052),现从中随机抽取〃个，这M个

芯片中恰有〃，个的质量指标4位于区间(5.35,5.55),则下列说法正确的是

(若J〜N(",S),则P(/z+0.6826,P(fj-3a<^<//+3<T)«0.9974)

A.P[B\A)>P(B)B.尸(力忸)〈尸(乖)

C.P(5.35<(f<5.55)«0.84D.尸(〃?=45)取得最大值时，M的估计值为53

11.若正实数。力满足12Q+/>=R>,则

A.b>\2B.有序数对伍，b)(a,6eN“)有6个

C.a+b的最小值是12+4百D.a2+b2-2a-24b+\2\>0

南三教学第2页(共4页)

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡

相应位置上.

12.将函数/(x)=sin(2x+0)图象上的每个点的横坐标变为原来的《倍(纵坐标不变)，再将得到的

图象向左平移［个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的。的值▲

13.已知定义在R上的/(力满足/(-乡。。，且/。+历+/(、)/。)=4到，则/(0)=▲

14.已知一个顶点为P,底面中心为O的圆锥的体积为该圆锥的顶点尸和底面圆周均在球O|上.

若圆锥的高为3,则球a的半径为▲:球q的体积的最小值是▲.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

如图所示，己知正方体力5CQ-4与的棱长为3,£，户分别是8。，加|的中点，加是4片上一

点，且〃平面小4.

⑴求；

(2)求直线E&与平面EFA.所成角的正弦值.

16.（15分）

已知函数/(x)=alnx+x2+3在x=l处的切线经过原点.

(1)判断函数/(对的单调性；

(2)求证：函数/(x)的图像与直线y=5x有且只有一个交点.

17.（15分）在△力5c中，点。在48边上，且满足——=——.

BCBD

（1）求证：ZACD=ZBCD；

（2）tanJ+tan5+\/3tanJtan5-\/3=0,CD=2,求△48C的面积的最小值.

南三教学第3页(共4页)

18.（17分）

如图，已知正方体力BCD-44GA顶点处有一质点0,点。每次会随机地沿一条棱向相邻的

某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次,

若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动〃次后仍在底面ABCD上的概率为丹.

（1）求£；

（2）①求证：数列｛月-；｝是等比数歹U；

②求2>耳）.

扣1

19.（17分）

已知椭圆C:「+《=l（a>b>0）的左右顶点分别为/,B,且（1,当，（1,1）,（2,0）

aLbL22

四个点中恰有三个点在椭圆。上.若点尸是椭圆C内（包括边界）的一个动点，点”是线段尸3的

中占

（1）若。历=母，且尸8与OM的斜率的乘积为一，求的面积；

44

（2）若动点O满足丽.而=0,求pg的最大值.

南三数学第4页（共4页）

决胜新高考——2024届高三年级大联考

数学参考答案与评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.D2.B3.A4.C5.B6.D7.C8.A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.ACD10.ACD11.AB

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

冗,243

12.kTi-jkeZ13-114.3：——7T

68

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

如图所示，已知正方体ABCD-A5GA的棱长为3,E,尸分别是的中点，M是AM上

一点，且3M夕平面E尸

（I）求MA的长；

（2）求直线EC.与平面EFA.所成角的正弦值.

解：（1）如图，以点A为原点，分别以直线4B,A。，9为“轴，y轴，z轴建立空间直角坐

标系，则4（0,0,0），3（3,0,0）,%（0,0,3）,

片（3,0,3），G（3,3,3）

333

所以所一，一，一

222

设平面EFA的一个法向量为n=（x,y

取则

故篦=（3,1,2）.3分

设M(，，0,3),则BM=(f-3,0,3).

因为8M平面E%,所以〃=3(r-3)+2x3=0,

所以，=1,所以M4,=l.7分

(2)因为EG=.................................................9分

平面EFA.的一个法向量为〃=(3,1,2),

设直线EG与平面EF\所成角为。,

方利(3J2)|

4<21

故sin9=卜05<EC]>w>|=

21

79+1+4

所以直线田与平面物所成角的正弦值为噜.........................13分

16(15分)

已知函数f(x)=a\nx+x2+3^.x=\处的切线经过原点.

(1)判断函数/(%)的单调性；

(2)求证：函数八幻的图像与直线y=5x有且只有一个交点.

解：(1)因为/(l)=alnl+l+3=4,所以切点为(1,4).

因为八%)=£+2工，所以广⑴=。+2,

所以切线方程为y-4=(a+2)(x-l)................................................3分

因为切线经过原点，所以0-4=(a+2)(0-l),所以“=2.

故f\)=2।2x>0,

xX

所以在(0,+8)上单调递增.........................6分

(2)设g(x)=f(x)-5x=21nx+x2+3-5x(x>0),

则8,3=丝生1=(21*2)...............................................8分

XX

因为当xw(0,f时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

当xe(；,2)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

In.

□1/1\2”5cic33-8In2256人

K^(-)=21n-+(-r+3--=-21n2+-=---=-<0,

因为吗)<。，且当xw(”)时，g(x)单调递减，所以g⑵<以斗<0

所以当xe(0,2)时，g(x)<0，

所以函数g(x)在xe(0,2)时没有零点，

所以当xw(0,2)时，函数“X)的图像与直线y=5x没有交点...............II分

当xe(2,+8)时，g〈K)>0,g(x)单调递增，

又因为身(5)=2ln5+3>0,且函数g(x)的图像是不间断的，

所以当xw(2,+8)时，函数g(x)有且只有一个零点，

函数f(x)的图像与直线y=5x有且只有一个交点.

综上所述，函数/(X)的图像与直线y=5x有且只有一个交点...............15分

17.(15分)

在△ABC中，点力在AZ7边上，且满足=

BCBD

⑴求ZACD=ZBCD；

(2)若tanA+tanB+GtanAtan8-6=0,CD=2,求△ABC的面积的最小值.

ArAD得生sinZADC

解：(1)在△ACO中，由正弦定理———9

sinZADCsinNACOADsinZACD

由正弦定理.BCBD得空sinZBDC

在△BC。中，

sinNBDCsin/BCDBDsinNBCD

^ACAD匚ACBCmzSin/AOCsinZ.BDC

m因为——=——，所以——=——，所以---------=---------...........

BCBDADBDsinZACDsin/.BCD

因为NA0C+N8OC=兀.所以NAOC=TI—N3OC,

所以sinZADC=sin(7i-NBDC)=sinNBDC,

所以sinNAC7J=sinN8CD.

又因为ZACO,N8CDe(0,7i),且NACO+NBCOv兀，

所以NACD=N3C。.........................7分

(2)因为tanA+tan8+退tanAtan8-=0,

所以tanA+tanB=\/3(l-tanAtanB),

c、tan4+tanBrr八八

所以tan(A+8)=------------=J3,..........................9分

1-tanXtanB

因为0vA+8<7i,所以A+B=U,所以c=7t—(4+8)=N.

33

因为S&ABC=S&&CD+S^BCD，

所以一xACxiJCxsin—=—xACxCDxsin—+—xBCxCDxsin—,

232323

所以ACx8C=2AC+2BC=2(AC+BC).........................12分

因为AC+BC>2，ACxBC,

所以ACx3C=2AC+2BC=2(AC+BC)>4y/ACxBC,

所以ACxBC>16,当且仅当AC=BC=4时等号成立.

所以△ABC的面积的最小值为16x3=46.........................15分

22

18.(17分)

如图，已知正方体ABC。-4用GA顶点处有一质点Q,点Q每次会随机地沿一条棱向相邻

的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动

一次，若质点。的初始位置位于点A处，记点。移动〃次后仍在底面H8CO上的概率为？.

(1)求打的值；pr

(2)①求证：数列｛匕-；｝是等比数列；-------

②求，>用.Dl______k\C

解：(1)依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面.

所以当点。在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为g,

在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为:，

又因为一=],所以.=融+履=：........................4分

JJJJ，，

(2)因为..]=匏+；(1田=黑+；，........................6分

所以•+1-»累+»；=找一卷=1解一》.

又因为一=),所以"力]-»如0,

所以数列｛K_g｝是等比数列.........................9分

因为小9鸿尸小钞，

所以2=gxg)〃+；,所以得=gxigy+3.........................11分

设e=

则f(场)=1X(g)i+2X(；)2+3X4)3++“X

t=i

则g£a4)=lx(；)2+2x(；)3+3x(；)，++nx

Ji=l

所以]£(卬=1X(9+1X(I)2+1X(I)3+1x(I)4+..+1X(9〃TXg严

Ji=l

2〃।1-(-)

所以(丽)=鼻乂一\-—"X

31=131--

3

所以£(%)=]-(3+2〃吗”.

i=l4

1n

n.---1----

又因为宁_L=2_^〃2+〃

々224

1=1

所以汽储）=|一（零”/+中

17分

i=\

19.(17分)

已知椭圆c：M+4=13>b>0）的左右顶点分别为A,8,且（1母，（1,-手，（1,1）,（2,0）

a2b2

四个点中恰有三个点在椭圆C上.若点尸是椭圆C内（包括边界）的一人动点，点M是线段PB

的中点.

⑴若乎，且尸8与。河的斜率的乘积为求△叽的面积;

（2）若动点。满足。8.力尸=0,求心。|的最大值.

解：因为。管与（1,-今关于x轴对称，所以这两个点必定都在椭圆C上,

所以3系2分

若点（1,1）在椭圆C上，贝+

。2b2

因为方程组*，无解，所以点（1,1）不在椭圆C上.

—+—=1

产02

若点（2,0）在椭圆C上，则4=1,所以a=2,〃=6.

a

综上可知：椭圆C:£+[=l.........................4分

43

（1）因为点M是线段尸8的中点，点O是线段A8的中点，

所以MO//AP,MO=^AP,

所以AP=2MO=半，

设P（M，%）,则从尸=（而+2）2+为2=学,

3网2=’3x=