2024届浙江省金华九中中考四模数学试题含解析

2024届浙江省金华九中中考四模数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，在平行线11、b之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A,B分别在直线1卜上上，若Nl=65。，则N2

的度数是（）

A.25°B.35°C.45°D.65°

2.若x,y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（)

2+x2yC型2y2

A.B.—-D.

x-yx3x2(x-yY

3.二次函数丁=以2+6%+。（。20）的图象如图所示，则下列各式中错误的是（）

A.abc>0B.a+b+c>0C.a+c>bD.2a+b=0

4.如图，△ABC中，BC=4,（DP与△ABC的边或边的延长线相切,若。P半径为2,△ABC的面积为5,贝！!△ABC

A.8B.10C.13D.14

5.已知下列命题：①对顶角相等；②若a>b>0,则工<1；③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；④抛物线

ab

y=x2-2x与坐标轴有3个不同交点；⑤边长相等的多边形内角都相等.从中任选一个命题是真命题的概率为（）

1234

A.B.-C.一D.一

5555

6.下列事件中，必然事件是（）

A.抛掷一枚硬币，正面朝上

打开电视，正在播放广告

C.体育课上，小刚跑完1000米所用时间为1分钟

D.袋中只有4个球，且都是红球，任意摸出一球是红球

7.若（X-1）°=1成立，则X的取值范围是（）

A.x=-1D.xrl

8.据资料显示，地球的海洋面积约为360000000平方千米，请用科学记数法表示地球海洋面积面积约为多少平方千米

)

A.36xl07B.3.6xlO8C.0.36xl09D.3.6xl09

x+y=3,x=a,

9.若二元一次方程组的解为,则4一力的值为（)

3x—5y=4[y=b,

17

A.1B.3C.——D.

44

10.在平面直角坐标系xOy中，若点P（3,4）在。O内,则。O的半径r的取值范围是（）

A.0<r<3B.r>4C.0<r<5D.r>5

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.把抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新的抛物线的表达式是

12.二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄

道”,并把黄道分为24份,每15度就是一个节气,统称“二十四节气”.这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”.如

图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是.

13.如图，将AABC绕点A逆时针旋转100。，得到△AOE.若点O在线段5c的延长线上，则的大小为

14.某种商品两次降价后，每件售价从原来.川元降到夏元，平均每次降价的百分率是.

15.如图，A、B、C是。。上的三点，若NC=30。，OA=3,则弧AB的长为.（结果保留兀）

16.已知正方形ABCD的边长为8,E为平面内任意一点，连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转90。得到DG,当

点B,D,G在一条直线上时，若DG=20,则CE的长为.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）在平面直角坐标系xOy中有不重合的两个点与尸（%,%）•若。、尸为某个直角三角形的两个锐

角顶点，当该直角三角形的两条直角边分别与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长

之和称为点。与点尸之间的“直距”记撤特别地，当与某条坐标轴平行（或重合）时，线段尸0的长即为点

。与点尸之间的“直距例如下图中，点点。（3,2）,此时点。与点P之间的“直距”=3.

⑴①已知。为坐标原点，点4（2,—1）,8（—2,0）,则与。=,DB°=；

②点C在直线y=-x+3上，求出。。。的最小值；

（2）点E是以原点。为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点尸是直线y=2x+4上一动点.直接写出点E与点F之

间“直距”DEF的最小值.

5

4

3

2

iiI1I_

日012345x

-2

-3

-4

-5

备用图

18.（8分）如图，在矩形A3C。中，对角线AC的垂直平分线E尸分别交AO、AC.5c于点E、。、F,连接CE和

AF.

（1）求证：四边形AECF为菱形；

（2）若A3=4,BC=8,求菱形AECF的周长.

19.（8分）列方程解应用题：

某商场用8万元购进一批新款衬衫，上架后很快销售一空，商场又紧急购进第二批这种衬衫，数量是第一次的2倍，

但进价涨了4元/件，结果共用去17.6万元.该商场第一批购进衬衫多少件？商场销售这种衬衫时，每件定价都是58

元，剩至150件时按八折出售，全部售完.售完这两批衬衫，商场共盈利多少元？

20.（8分）根据图中给出的信息，解答下列问题：

如果要使水面上升到50cm,应放入大球、小球各多少个?

21.（8分）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅

售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部.月底厂家根据

销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1

万元.

①若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；

②如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）

22.（10分）如图所示，一次函数丫=1«+|与反比例函数y=—的图象交于A（2,4）,B（-4,n）两点.分别求出一

5x

次函数与反比例函数的表达式；过点B作BCLx轴，垂足为点C,连接AC,求AACB的面积.

23.(12分)如图，AO是等腰△ABC底边BC上的高，点。是AC中点，延长。。到E,使AE〃3C,连接AE.求

证：四边形ADCE是矩形；①若48=17,5c=16,则四边形ADCE的面积=.

②若43=10,贝！］BC=时，四边形AOCE是正方形.

24.阅读下列材料：

数学课上老师布置一道作图题：

已知：直线1和1外一点P.

求作：过点P的直线m,使得m〃l.

小东的作法如下：

作法：如图2,

(1)在直线1上任取点A,连接PA；

(2)以点A为圜心，适当长为半径作弧，分别交线段PA于点B,直线1于点C；

(3)以点P为圆心，AB长为半径作弧DQ,交线段PA于点D；

(4)以点D为圆心，BC长为半径作弧，交弧DQ于点E,作直线PE.所以直线PE就是所求作的直线m.

老师说：“小东的作法是正确的."

请回答：小东的作图依据是.

P.」―——

C

图2

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】

如图，过点C作CD〃a,再由平行线的性质即可得出结论.

【详解】

如图，过点C作CD〃a,贝!JN1=NACD,

；a〃b,

ACD/7b,

/.Z2=ZDCB,

；NACD+NDCB=90。，

/.Zl+Z2=90°,

又；N1=65°,

：.Z2=25°,

故选A.

【点睛】

本题考查了平行线的性质与判定，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键.

2、D

【解析】

根据分式的基本性质，x,y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案.

【详解】

根据分式的基本性质，可知若x,y的值均扩大为原来的3倍，

2+3x2+x

----------W-------错误;

3x-3yx-y

B、罡*错误；

C、上/巨，错误；

27/3x2

18/_2/

D、—72—7X2-，正确；

9(x—y)(x-y)

故选D.

【点睛】

本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变.此题比较简单，但计算时一定要

细心.

3、B

【解析】

根据二次函数的图象与性质逐一判断即可.

【详解】

解：由图象可知抛物线开口向上，

••〃>0,

•・•对称轴为1=1,

2a

:.b——2a<0,

，2〃+b=0,故D正确,

又•・,抛物线与y轴交于y轴的负半轴，

工c<0,

/.abc>0,故A正确；

当x=l时，y<0,

即a+Z?+c〈O,故B错误；

当x=-l时，y>0

即ci—b-\-c>0,

a+ob9故C正确，

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数各系数的意义以及二次函数的图象与性

质.

4、C

【解析】

根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案.

【详解】

连接PE、PF、PG,AP,

由题意可知：NPEC=NPFA=PGA=90。，

11

:.SPBC=一BC・PE=-x4x2=4,

A22

由切线长定理可知：SAPFC+SAPBG=SAPBC=4,

：•S四边形AFPG=SAABC+SAPFC+SAPBG+SAPBC=5+4+4=13,

113

・・・由切线长定理可知：SAAPG=­S四边形AFPG=—，

22

131

；.—=一xAG・PG,

22

13

.\AG=—,

2

由切线长定理可知：CE=CF,BE=BG,

.1△ABC的周长为AC+AB+CE+BE

=AC+AB+CF+BG

=AF+AG

=2AG

=13,

故选C.

【点睛】

本题考查切线长定理，解题的关键是画出辅助线，熟练运用切线长定理，本题属于中等题型.

5、B

【解析】

•••①对顶角相等，故此选项正确;

②若则故此选项正确；

ab

③对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项错误；

④抛物线产7-2”与坐标轴有2个不同交点，故此选项错误；

⑤边长相等的多边形内角不一定都相等，故此选项错误；

2

从中任选一个命题是真命题的概率为：

故选：B.

6^D

【解析】

试题解析：A.是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；

B.是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；

C.是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；

D.袋中只有4个球，且都是红球，任意摸出一球是红球，是必然事件，符合题意.

故选D.

点睛：事件分为确定事件和不确定事件.

必然事件和不可能事件叫做确定事件.

7、D

【解析】

试题解析：由题意可知：x-1^0,

xWl

故选D.

8、B

【解析】

分析：科学记数法的表示形式为axion的形式，其中iw|a|＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小

数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值VI时，

n是负数.

详解：将360000000用科学记数法表示为：3.6x1.

故选：B.

点睛：此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中长同＜10,n为整数，表示时

关键要正确确定a的值以及n的值.

9、D

【解析】

7x=a,

先解方程组求出x-y=—,再将,代入式中，可得解.

■4[y=o,

【详解】

]x+y=3,①

,[3x-5j=4,（2）

①+②，

得4x-4y=7,

7

所以x—y=/，

因为4x=a,,

[y=b,

7

所以x—y=0—匕=7.

故选D.

【点睛】

本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b的值，本题属于基础题型.

10、D

【解析】

先利用勾股定理计算出然后根据点与圆的位置关系的判定方法得到r的范围.

【详解】

22

••,点尸的坐标为（3,4）,.*.OP=73+4=1.

•.•点尸（3,4）在。。内，：.OP<r,即r>L

故选D.

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的

关系可以确定该点与圆的位置关系.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、y=l（x-3）1-1.

【解析】

抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，

根据顶点式可求新抛物线的解析式.

【详解】

•••尸卜1的顶点坐标为(0,0),

.••把抛物线右平移3个单位，再向下平移1个单位，得新抛物线顶点坐标为(3,-1),

•••平移不改变抛物线的二次项系数，

.•.平移后的抛物线的解析式是产1(x-3)i-L

故答案为y=l(x-3)i-L

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式产。(万/)1+左(a,b,c为常数，a/0),

确定其顶点坐标(〃，k),在原有函数的基础上“人值正右移，负左移；左值正上移，负下移”.

1

12、—

8

【解析】

首先由图可得此转盘被平分成了24等份，其中惊蛰、春分、清明区域有3份，然后利用概率公式求解即可求得答案.

【详解】

•.•如图，此转盘被平分成了24等份，其中惊蛰、春分、清明有3份，

31

...指针落在惊蛰、春分、清明的概率是：—

248

故答案为:

【点睛】

此题考查了概率公式的应用.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

13、40°

【解析】

根据旋转的性质可得出AB=AD、NBAD=100。，再根据等腰三角形的性质可求出NB的度数，此题得解.

【详解】

根据旋转的性质，可得：AB=AD,ZBAD=100°,

/.ZB=ZADB=-x(180°-100°)=40°.

2

故填：40°.

【点睛】

本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出NB的度数是解题的关键.

14、2

【解析】

设降价的百分率为X,则第一次降价后的单价是原来的（1-X）,第二次降价后的单价是原来的（1-X）2,根据题意列

方程解答即可.

【详解】

解：设降价的百分率为X,根据题意列方程得：

100x（1-x）2=81

解得xi=0.1,X2—1.9（不符合题意，舍去）.

所以降价的百分率为0/，即10%.

故答案为：10%.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用.找到关键描述语，根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.还要判断所求

的解是否符合题意，舍去不合题意的解.

15、n

【解析】

；NC=30°,

，ZAOB=60°,

,,60乃x3，八，

••IAB=="♦即anAB的长为n-

AB180

16、2M或2房.

【解析】

本题有两种情况，一种是点G在线段3。的延长线上，一种是点G在线段3。上，解题过程一样，利用正方形和三角

形的有关性质，求出VD、MG的值，再由勾股定理求出AG的值，根据出1S证明.可得CE=AG,

即可得到CE的长.

【详解】

当点G在线段的延长线上时，如图3所示.

过点G作GMLAO于

BD是正方形ABCD的对角线，

:.ZADB=ZGDM=45°,

GM1AD,DG=2A/2,

:.MD=MG=2,

在HJAMG中，由勾股定理，得：

AG=NAM〜MG=2V26，

在AGO和一C£D中，GD=ED,AD=CD,

ZADC=ZGDE=90°,

:.ZADG=ZCDE

AGD^CED

CE=AG=2726，

当点G在线段上时，如图4所示.

过G作6〃，相）于河.

瓦）是正方形ABCD的对角线，

;.ZADG=45。

GM±AD,DG=2V2,

:.MD=MG=2,

:.AM^AD-MD=6

在Rt4WG中，由勾股定理，得：

AG=VAM2+MG2=2A/10

在一47£）和_。£。中，GD=ED,AD=CD,

ZADC=ZGDE=90°,

:.ZADG=NCDE

:._AGD^_CED

CE=AG=2而，

故答案为2JIU或2屈.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理和三角形全等的证明.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)①3,1；②最小值为3；(1)2--

2

【解析】

(1)①根据点Q与点P之间的“直距”的定义计算即可；

②如图3中，由题意，当Deo为定值时，点C的轨迹是以点O为中心的正方形(如左边图)，当Dco=3时，该正方

形的一边与直线y=—x+3重合(如右边图)，此时Deo定值最小，最小值为3；

(1)如图4中，平移直线y=lx+4,当平移后的直线与。。在左边相切时，设切点为E,作EF〃x轴交直线y=lx

+4于F,此时DEF定值最小；

【详解】

解：(1)①如图1中，

2-

gj-4।、

-4-3-2-收34仁

-2

-3

-4

-5

观察图象可知DAQ=1+1=3,DBO=L

故答案为3,1.

②G)当点C在第一象限时(0<x<3),根据题意可知，De。为定值，设点c坐标为(羽一九+3),则

Dco=x+(-x+3)=3,即此时。co为3；

(ii)当点C在坐标轴上时(x=0,x=3),易得。0。为3；

(iii)当点C在第二象限时(尤<0),可得£o=r+(r+3)=-2%+3>3；

(iv)当点C在第四象限时(x>3),可得2。=无+[—(―x+3)]=2x—3>3；

综上所述，当筮〃3时，De。取得最小值为3；

(1)如解图②，可知点尸有两种情形，即过点E分别作y轴、x轴的垂线与直线y=2x+4分别交于《、F2；如解

图③，平移直线y=2x+4使平移后的直线与「。相切，平移后的直线与X轴交于点G,设直线y=2x+4与X轴交

于点与y轴交于点N,观察图象，此时后耳即为点E与点F之间“直距”DEF的最小值•连接0E,易证

AMON^/\GEO,在Rt^MON中由勾股定理得MN=26,.••拽=3,解得GO=1叵，

GOOEGO12

**.DtFLFr=1EF.=MG=MO-GO=2c-—.

【点睛】

本题考查一次函数的综合题，点Q与点P之间的“直距”的定义，圆的有关知识，正方形的性质等知识，解题的关键是

理解题意，学会利用新的定义，解决问题，属于中考压轴题.

失分原因

第(1)问(1)不能根据定义找出AO、BO的“直距”分属哪种情形；

(1)不能找出点C在不同位置时，的取值情况，并找到的最小值第(1)问(1)不能根据定义

正确找出点E与点F之间“直距”取最小值时点E、F的位置；

(1)不能想到由相似求出GO的值

18、(1)见解析；(2)1

【解析】

(1)根据ASA推出：AAEO^/\CFO；根据全等得出OE=QF,推出四边形是平行四边形，再根据EF,AC即可推

出四边形是菱形；

(2)根据线段垂直平分线性质得出Ab=CF,设AF=x,推出AF=CF=x,BF=8-x.在RtZkAB歹中，由勾股定理求出

x的值，即可得到结论.

【详解】

(1)尸是AC的垂直平分线，J.AO^OC,ZAOE=ZCOF=9Q°.

,四边形A5C。是矩形，：.AD//BC,：.ZEAO=ZFCO.

ZEAO=ZFCO

在小AEO和4CFO中，：1A。=C。，A△AE。名△CFO(ASA)；:.OE=OF.

ZAOE=ZCOF

又•••Q4=0C,.•.四边形AECF是平行四边形.

又•••EbLAC,...平行四边形AEC尸是菱形；

(2)设

尸是AC的垂直平分线，：.AF=CF=x,BF=8-x.在RtZkABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2,：.42+(8-x)

2=炉，解得：x=5,.，.4万=5,.•.菱形AEC尸的周长为1.

【点睛】

本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识

点的综合运用，用了方程思想.

19、(1)2000件；(2)90260元.

【解析】

(1)设该商场第一批购进衬衫x件，则第二批购进衬衫2x件，根据单价=总价+数量结合第二批比第一批的进价涨了

4元/件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

(2)用(1)的结论x2可求出第二批购进该种衬衫的数量，再利用总利润=销售收入-成本，即可得出结论.

【详解】

解：(1)设该商场第一批购进衬衫x件，则第二批购进衬衫2x件，

根据题意得:---------------------=4,

2xx

解得:x=2000,

经检验，x=2000是所列分式方程的解，且符合题意.

答：商场第一批购进衬衫2000件.

(2)2000x2=4000(件)，

(2000+4000-150)x58+150x58x0.8-80000-176000=90260(元).

答：售完这两批衬衫，商场共盈利90260元.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：(D找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据数量关系，列式计算.

20、详见解析

【解析】

(1)设一个小球使水面升高x厘米，一个大球使水面升高y厘米，根据图象提供的数据建立方程求解即可.

(1)设应放入大球m个，小球n个，根据题意列二元一次方程组求解即可.

【详解】

解：(1)设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得2x=21-16,解得x=L

设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得ly=21-16,解得：y=2.

所以，放入一个小球水面升高1cm,放入一个大球水面升高2cm.

(1)设应放入大球m个，小球n个，由题意，得

\m+n=10,解得：\fm=4

3m+2n=50-261n=6

答：如果要使水面上升到50cm,应放入大球4个，小球6个.

21、解：⑴22.1.

(2)设需要售出x部汽车，

由题意可知，每部汽车的销售利润为：21-[27-0.1(x-1)]=(O.lx+O.9)(万元)，

当OWxglO,根据题意，得(0.1x+0.9)+0.3x=12,整理，得x?+14x—120=0,

解这个方程，得xi=-20(不合题意，舍去)，X2=2.

当x>10时，根据题意，得x。(0.1x+0.9)+x=12,整理，得x?+19x—120=0,

解这个方程，得xi=-24(不合题意，舍去)，X2=3.

V3<10,，X2=3舍去.

答：要卖出2部汽车.

【解析】

一元二次方程的应用.

(1)根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1

万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27-0.1x2=22.1,,

(2)利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当OSxWlO,以及当x>10时，分别讨论得

出即可.

Q

22、(1)反比例函数解析式为y=—