甘肃省兰州市五十五中2024届中考四模数学试题含解析

甘肃省兰州市五十五中重点名校2024届中考四模数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，在AABC中，NAED=/B,DE=6,AB=10,AE=8,则BC的长度为（）

2.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月

多440辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,则所列方程正确的为（）

A.1000（1+x）2=1000+440B.1000（1+x）2=440

C.440（1+x）2=1000D.1000（l+2x）=1000+440

3.下列命题中真命题是（）

A.若a?=b2,则a=bB.4的平方根是±2

C.两个锐角之和一定是钝角D.相等的两个角是对顶角

4.如图，A、B、C、D四个点均在。。上，NAOD=70。，AO〃DC,则NB的度数为（）

6.下列计算正确的是（）

b

1x

A.（次）2=±8B.魏+^32=60C.（---）°=0D.（x-2y）-3=—

2y

7.下列事件中，属于必然事件的是（）

A.三角形的外心到三边的距离相等

B.某射击运动员射击一次，命中靶心

C.任意画一个三角形，其内角和是180°

D.抛一枚硬币，落地后正面朝上

8.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数yM上,第二象限的点B在反比例函数.==±,SOA±OB,：nZ=

C.-4D.2\二

9.已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）

A.1：2：币B.2：3：4C.1：73：2D.1：2：3

10.在RtMBC中，ZC=90\AC=2,下列结论中，正确的是（）

A.AB=2sinAB.AB=2cosA

C.BC=2tanAD.BC=2cotA

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数二与方差52：

甲乙丙T

平均数x（即）561560561560

方差§2(cm2)3.53.515.516.5

根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择.

12.在计算器上，按照下面如图的程序进行操作：如表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果：上面操作

程序中所按的第三个键和第四个键分别是、.

『嚣星国□□旦―

X-3-2-1012

y-5-3-1135

13.实数Ji石，-3,―,狗，0中的无理数是.

14.如图所示，在四边形ABCD中，AD±AB,ZC=110°,它的一个外角NADE=60。，则NB的大小是

15.如图，将量角器和含30。角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0cm刻度线与量角器的0。线在

同一直线上，且直径OC是直角边5c的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E,则点E在量角器上所

对应的度数是—一.

4

16.如图，R3ABC中，若NC=90。，BC=4,tanA=—，贝！|AB=.

3-

17.因式分解：mn2+6mn+9m=.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)如图，在RtAABC中，ZC=90°,以AC为直径作。O,交AB于D,过点O作OE〃AB,交BC于E.

(1)求证：ED为。。的切线；

(2)若。O的半径为3,ED=4,EO的延长线交。。于F,连DF、AF,求△ADF的面积.

B

19.(5分)如图①，已知抛物线y=ax?+bx+c的图像经过点A(0,3)、B(1,0),其对称轴为直线1：x=2,过点A作

AC〃x轴交抛物线于点C,NAOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO,当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大

值;

(3)如图②，F是抛物线的对称轴I上的一点，在抛物线上是否存在点P使4POF成为以点P为直角顶点的等腰直角

三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

20.(8分)如图，AB是。。的直径，D为。。上一点，过弧BD上一点T作。O的切线TC,且TCLAD于点C.

(1)若/DAB=50。，求NATC的度数；

(2)若。O半径为2,TC=,7,求AD的长.

21.(10分)某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游

戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AAi、BBi、CCi,只露出它们的头和尾(如图所示)，由甲、乙两

位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员.若甲嘉宾

从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AAi的概率；请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同

队的概率.

念gW食

22.（10分）先化简代数式a+,再从-1,0,3中选择一个合适的。的值代入求值.

23.（12分）我市某学校在“行读石鼓阁”研学活动中，参观了我市中华石鼓园，石鼓阁是宝鸡城市新地标.建筑面积

7200平方米，为我国西北第一高阁.秦汉高台门阙的建筑风格，追求稳定之中的飞扬灵动，深厚之中的巧妙组合，使

景观功能和标志功能融为一体.小亮想知道石鼓阁的高是多少，他和同学李梅对石鼓阁进行测量.测量方案如下：如

图，李梅在小亮和“石鼓阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应

位置为点C,镜子不动，李梅看着镜面上的标记，她来回走动，走到点D时，看到“石鼓阁”顶端点A在镜面中的像与

镜面上的标记重合，这时，测得李梅眼睛与地面的高度ED=1.6米，CD=2.2米，然后，在阳光下，小亮从D点沿DM

方向走了29.4米,此时“石鼓阁”影子与小亮的影子顶端恰好重合,测得小亮身高1.7米，影长FH=3.4米.已知AB±BM,

ED±BM,GF±BM,其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“石鼓阁”

的高AB的长度.

24.（14分）如图，点A,B,C,D在同一条直线上，点E,F分别在直线AD的两侧，且AE=DF,ZA=ZD,AB=DC.

（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；

（2）若AD=10,DC=3,ZEBD=60°,则BE=_时，四边形BFCE是菱形.

E

BD

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】

VZAED=ZB,ZA=ZA

/.△ADE-^AACB

AEDE

•••-_9

ABBC

VDE=6,AB=1O,AE=8,

••—9

10BC

解得BC=E.

2

故选A.

2、A

【解析】

根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题.

【详解】

解：由题意可得，

1000（1+x）2=1000+440,

故选：A.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.

3、B

【解析】

利用对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】

A、若a2=b）则a=±b,错误，是假命题；

B、4的平方根是±2,正确，是真命题；

C、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；

D、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题.

故选B.

【点睛】

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义，难度不大.

4、D

【解析】

试题分析：如图，

连接OC,

VAO/7DC,

/.ZODC=ZAOD=70o,

VOD=OC,

/.ZODC=ZOCD=70°,

.\ZCOD=40°,

.,.ZAOC=110°,

/.ZB=ZAOC=55°.

故选D.

考点：1、平行线的性质；2、圆周角定理；3等腰三角形的性质

5、C

【解析】

化简二次根式，并进行二次根式的乘法运算，最后合并同类二次根式即可.

【详解】

原式=3君-2万半=3豆-孚=空.

故选C.

【点睛】

本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.

6、D

【解析】

各项中每项计算得到结果，即可作出判断.

【详解】

解：A.原式=8,错误；

B.原式=2+40,错误；

C.原」式=1,错误；

一

D.原式=*6厂3=—^,正确.

y

故选D.

【点睛】

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

7、C

【解析】

分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断.

详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选

项不符合题意；

B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；

C、三角形的内角和是180。，是必然事件，故本选项符合题意；

D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；

故选C.

点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不

可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生

的事件.

8、C

【解析】

试题分析：作AC_Lx轴于点C,作BD_Lx轴于点D.

则/BDO=NACO=90°,贝!J/BOD+NOBD=90°,

VOA±OB,.•.ZBOD+ZAOC=90°,/.ZBOD=ZAOC,AAOBD^AAOC,，三一=(tanA)2=2,

XVSAAOC=7X2=1,•,.SAOBD=2,：.k=-l.

故选C.

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.反比例函数图象上点的坐标特征.

9、D

【解析】

试题分析：图中内切圆半径是OD,外接圆的半径是OC,高是AD,因而AD=OC+OD；

在直角AOCD中，/DOC=60。，贝!|OD：OC=1：2,因而OD：OC：ADM：2：1,

所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：1.故选D.

考点：正多边形和圆.

10、C

【解析】

直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案.

【详解】

vzc=90\AC=2,

.•.COSA=^=A,

ABAB

:.AB——--

cosA

故选项A,B错误,

BC

tanA=^

AC"T

BC=2tanA,

故选项C正确；选项D错误.

故选C.

【点睛】

此题主要考查了锐角三角函数关系，熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、甲

【解析】

首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加.

【详解】

；理=工丙＞生=时，

，从甲和丙中选择一人参加比赛，

•••$2甲VS?丙，

.•・选择甲参赛，

故答案为甲.

【点睛】

此题考查了平均数和方差，关键是根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

12、+,1

【解析】

根据表格中数据求出x、y之间的关系，即可得出答案.

【详解】

解：根据表格中数据分析可得：

x、y之间的关系为：y=2x+l,

则按的第三个键和第四个键应是.

故答案为+,1.

【点睛】

此题考查了有理数的运算，要求同学们能熟练应用计算器，会用科学记算器进行计算.

13、狗

【解析】

无理数包括三方面的数：①含兀的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上内容判断即可.

【详解】

解：716=4,是有理数，-3、匚、0都是有理数，

7

为是无理数.

故答案为：狗.

【点睛】

本题考查了对无理数的定义的理解和运用，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含兀的，②一些

开方开不尽的根式，③一些有规律的数.

14、40°

【解析】

【分析】根据外角的概念求出NADC的度数，再根据垂直的定义、四边形的内角和等于360。进行求解即可得.

【详解】•；NADE=60。，

.•.ZADC=120°,

VAD1AB,

.•.ZDAB=90°,

/.ZB=360°-ZC-ZADC-ZA=40°,

故答案为40°.

【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360。、外角的概念是解题的关键.

15、60.

【解析】

首先设半圆的圆心为0,连接。E,OA,由题意易得AC是线段的垂直平分线，即可求得NAOC=NABC=60。，

又由AE是切线，易证得RtAAOE丝RtAAOC,继而求得NAOE的度数，则可求得答案.

【详解】

设半圆的圆心为。，连接OE,OA,

,:CD=2OC=2BC,

：.OC=BC,

VZACB=90°,BPACLOB,

：.OA=BA,

：.NAOC=ZABC,

VZBAC=30°,

...NAOC=NABC=60。，

'：AE是切线，

:.NAEO=90°,

:.ZAEO=ZACO=90°,

•.,在RtAAOE和RtAAOC中,

AO=AO

OE=OC'

/.RtAAOE^RtAAOC{HL),

：.NAOE=NAOC=60°,

：.ZEOD=1SO°-ZAOE-ZAOC=60°,

...点E所对应的量角器上的刻度数是60°,

故答案为：60.

【点睛】

本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌

握数形结合思想的应用.

16、1.

【解析】

在RSABC中，已知tanA,BC的值，根据tanA=q「，可将AC的值求出，再由勾股定理可将斜边AB的长求出.

【详解】

行qBC4

解：RtAABCVBC=4,tanA=——=-,

AC3

AAC=-^-=3,

tanA

则AB=JAC2+BC2=5.

故答案为1.

【点睛】

考查解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.

17、m(n+3)2

【解析】

提公因式法和应用公式法因式分解.

【详解】

解：mn2+6rnn+9m=m(n2+6n+9)=m(n+3)2.

故答案为：闻“+3『

【点睛】

本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来,

之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式.

三、解答题(共7小题，满分69分)

108

18、(1)见解析；(2)AADF的面积是——.

25

【解析】

试题分析：(1)连接OD,CD,求出/BDC=90。，根据OE〃AB和OA=OC求出BE=CE,推出DE=CE,根据SSS

ffiAECO^AEDO,推出NEDO=NACB=90°即可；

(2)过O作OM_LAB于M,过F作FNJ_AB于N,求出OM=FN,求出BC、AC、AB的值，根据sinNBAC=

BC0M8.,gg,ACAM3.,，，，、、一人“山

—=——=一，求出OM,根据cos/BAC=——=——=—,求出AM,根据垂径定理求出AD,代入二角形的

AB0A10ABOA5

面积公式求出即可.

试题解析：

(1)证明：连接OD,CD,

；AC是。O的直径，

/.ZCDA=90o=ZBDC,

VOE/ZAB,CO=AO,

/.BE=CE,

；.DE=CE,

•.,在△ECO^DAEDO中

DE=CE

<EO=EO,

OC=OD

/.△ECO^AEDO,

.\ZEDO=ZACB=90°,

即OD_LDE,OD过圆心O,

.•.ED为。O的切线.

(2)过O作OM_LAB于M,过F作FN1AB于N,

则OM〃FN,ZOMN=90°,

VOE/7AB,

四边形OMFN是矩形，

.*.FN=OM,

VDE=4,OC=3,由勾股定理得：OE=5,

,\AC=2OC=6,

VOE/7AB,

/.△OEC^AABC,

.PCOE

••一,

ACAB

••一9

6AB

AAB=10,

在RtABCA中，由勾股定理得：BC=7102+62=8,

BC0M8

sinZBAC=——=---

AB0A10

OM4

即

35

12

OM=——=FN,

5

ACAM_3

*.*cosZBAC=---=

AB~OA~5

9

5

18

由垂径定理得：AD=2AM=M，

3Km曰111812108

n即nAADF的面积是一ADxFN=—x—x—=---.

225525

ino

答：AADF的面积是

【点睛】考查了切线的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，垂径定理，直角三角形的斜边上中线性质，全等三角

形的性质和判定等知识点的运用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力.

19、（l）y=x2-4x+3.（2）当m=*时，四边形AOPE面积最大，最大值为（3）P点的坐标为：巴（把5,匕@）,

2822

pr3-751+石、「.5+451+石、「,5-451-V5.

222222

【解析】

分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；

（2）设P（m,m2-4m+3）,根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面

积，利用配方法可得其最大值；

（3）存在四种情况：

如图3,作辅助线，构建全等三角形，证明AOMP电△PNF,根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图

形中点P的坐标.

详解：（1）如图1,设抛物线与x轴的另一个交点为D,

A

图1

由对称性得:D(3,0),

设抛物线的解析式为：y=a(x-1)(x-3),

把A(0,3)代入得：3=3a,

a=l,

J抛物线的解析式；y=x2-4x+3；

(2)如图2,设P(m,m2-4m+3),

图2

TOE平分NAOB,ZAOB=90°,

:.ZAOE=45°,

.-.△AOE是等腰直角三角形，

/.AE=OA=3,

AE(3,3),

易得OE的解析式为：y=x,

过P作PG〃y轴，交OE于点G,

.\G(m,m),

/.PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3,

*••S四边形AOPE=SAAOE+SAPOE,

11

=-x3x3+-PG-AE,

22

91

=—+—x3x(-m2+5m-3),

22

3,15

="-m+——m,

22

5、275

m--)2+—,

28

3

'.'--CO,

2

.•.当m=一5时，S有最大值是7£5；

28

（3）如图3,过P作MN_Ly轴，交y轴于M,交1于N,

,/AOPF是等腰直角三角形，且OP=PF,

易得△OMP义Z\PNF,

/.OM=PN,

".'P（m,m2-4m+3）,

贝（I-m2+4m-3=2-m,

解得：或三5,

22

；.p的坐标为（三回，出5）或（丸卫，匕5）；

2222

如图4,过P作MN_Lx轴于N,过F作FM_LMN于M,

同理得△ONPg△PMF,

Z.PN=FM,

则-m2+4m-3=m-2,

解得：X="或三电

22

p的坐标为（也5,匕好）或1一逐,比5）；

2222

综上所述，点p的坐标是：（立5,匕好）或（三5,H）或（*,匕好）或（三史，上5）.

22222222

点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的

方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题.

20、（2）65°；（2）2.

【解析】

试题分析：（2）连接OT,根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CTLOT,CT为。O的切线;

（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解.

试题解析：（2）连接OT,,.,OA=OT,；.NOAT=NOTA,XVATZBAD,AZDAT=ZOAT,AZDAT=ZOTA,

/.OT/7AC,X*/CT±AC,ACT1OT,；.CT为。。的切线；

（2）过O作OELAD于E,则E为AD中点，XVCT1AC,；.OE〃CT,二四边形OTCE为矩形，；CT=JJ,

/.OE=,又；OA=2,.,.在RtAOAE中，AE=J侬就1蟀「印,.-.AD=2AE=2.

c

考点：2.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.圆周角定理.

21、(1)—；(2)—.

33

【解析】

(1)直接根据概率公式求解即可；

(2)根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案.

【详解】

解：(1)..•共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，

.•.甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AAi的概率是=；；

(2)画树状图：

A5C

不/N挤

A,B,C,A〕B,GABiC]

共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，

31

则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是一=-.

93

【解析】

先通分得到"+"+十区二，再根据平方差公式和完全平方公式得到段_x7_1化简后代入a

1aliaJ