2024年新高考数学一轮复习-直线平面平行的判定与性质

专题43直线、平面平行的判定与性质

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.

2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.

【考点预测】

1.直线与平面平行

⑴直线与平面平行的定义

直线/与平面。没有公共点，则称直线)与平面a平行.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果平面外一条直线与此a____

前a,kQ,a//b=^>a//

判定定理平面内的一条直线平行,

a

那么该直线与此平面平行

一条直线和一个平面平

行，如果过该直线的平面a//a,au8,。G£=

性质定理

与此平面相交，那么该直6=a〃b

线与交线平行

2.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一个平面内的两

au£,6u£,aOb

条相交直线与另一个

判定定理%3/=P,a//a,b//an

平面平行，那么这两

X/a//P

个平面平行

两个平面平行，则其/a/

性质中一个平面内的直线q〃£,auq=>a〃B

平行于另一个平面4__/

两个平面平行，如果

另一个平面与这两个a〃£,aAy=a,

性质定理

平面相交,那么两条B0Y=b=a〃b

交线平行

【常用结论】

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a_L。，aJ.£,则。〃反

(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若。〃£,6〃Y,则a//y.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a,a,bVa,则a//b.

⑷若a〃£,aUa,则a//£.

【方法技巧】

1.判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义(无公共点).

②利用线面平行的判定定理(闻a,bUa,a〃方=a〃a).

③利用面面平行的性质(。〃£,aUn=a〃£).

④利用面面平行的性质(。〃£,闻£,a〃a=a〃£).

2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.

3.证明面面平行的方法

(1)面面平行的定义.

(2)面面平行的判定定理.

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.

(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.

4.解决这种数值或存在性问题的题目时，注意先给出具体的值或先假设存在，然后再证明.

二、【题型归类】

【题型一】直线与平面平行的判定与性质

【典例1］如图所示，正方形力63与正方形/颂所在的平面相交于48在/日划上各

有一点只Q,且/々2Q.求证：匐〃平面aE

【解析】证明法一如图所示，作PM〃AB交BE于M,作QN〃AB交BC于N,连接瞅

正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB.

又AP=DQ,：.PE=QB,

又PM〃AB〃QN,

.PM_PE_QB_QN.PM_QN

♦•犷标=砺=而""lirlc

又ABHDC,旦AFDC,：.PM〃QN,豆PgQN,四边形/W为平行四边形,

:.PQ〃帆又MNu平面BCE,P8平面BCE,

；.户0〃平面BCE.

法二如图，在平面/颂内，过点、P作PM〃BE交AB于点、M,连接嬲

则7W〃平面BCE,

'：PM//BE,

C

F.

.AP_AM

又AE=BD,AP=DQ,

•♦济访

：.PE=BQ,••诙=市,•砺=踵

：.MQ//AD,又49〃8G：.MQ//BC,

.•.第〃平面8名又PMCMQ=M,

，平面;W〃平面8阳又产上平面/W,.,.尸0〃平面比E

【典例2】如图所示，在四棱锥产一/皿中，四边形是平行四边形，〃是尸C的

中点，在加上取一点G,过G和用作平面交切于点〃求证：PA//GH.

【解析】证明如图所示，连接4C交劭于点。，连接掰

•.•四边形/腼是平行四边形,

...0是&7的中点,

又〃是小的中点，.•.用〃掰

又Ofc平面BMD,以C平面BMD,

；.以〃平面BMD,

又平面PAHGC平面BMD=GH,

：.PA//GH.

【典例3］如图所示，已知四边形4?必是正方形，四边形“跖是矩形，〃是线段必

的中点.

⑴求证：/〃〃平面J®伍

(2)若平面/飒C平面应后=/,平面4衍平面应应=)，试分析/与7的位置关系，

并证明你的结论.

【解析】⑴证明如图，记4C与物的交点为。，连接您:

因为。，〃分别为/G肝的中点，

四边形4s尸是矩形，

所以四边形出W是平行四边形，所以/〃〃如

又因为妙平面BDE,力嗣平面BDE,

所以/〃〃平面BDE.

⑵解l//m,证明如下:

由⑴知⑷/〃平面糜

又4fc平面ADM,平面ADMC\平面BDE=1,

所以1//AM,

同理，/〃〃平面被?，

又⑷fc平面/幽平面/阿n平面被?=必，

所以加〃幽所以"/报.

【题型二】平面与平面平行的判定与性质

【典例1］如图所示，在三棱柱A6C—4笈G中，过功的平面与上底面4AG交于阳（掰与4G不重合）.

⑴求证：BC//GH-,

⑵若£,F,G分别是AC,4劣的中点，求证：平面跖1〃平面加盼

【解析】证明（1）：在三棱柱48c中，

.•.平面/比〃平面4A6,

又平面BCHGC平面ABC=BC,

且平面BCHGC平面ARQ=HG,

：.由面面平行的性质定理得BC//GH.

⑵：反尸分别为力昆力。的中点，二旗〃6G

:加平面阅冗，BCU平面BCHG,

:.EF〃平面BCHG.

又G,£分别为48,48的中点，A.BJ/AB,且4A=/8,

J.AxG/ZEB,且叱旗，

...四边形A\EBG是平行四边形，...AE//GB.

因平面区%GGBU平面BCHG,

；.4£〃平面BCHG.

又,：A\ECEF=E,厮U平面篦4”

平面母吻〃平面BCHG.

【典例2】如图，在三棱柱"比’-4BG中，E,F,G分别为6C,4几4?的中点.

B

(1)求证：平面4GG〃平面庞次

⑵若平面4GGn6C=〃，求证：〃为功的中点.

【解析】证明(1)：£,尸分别为8c,45的中点，

：.EF//Axa,

：4GU平面4GG,跖I平面4GG,

.•.小〃平面4GG,

又F,G分别为4反，力6的中点，

:.AF=BG,

又AxFUBG,

：.四边形4戚为平行四边形，

则BF〃AG

：4GU平面4GG,M平面4GG,

...哥1〃平面4GG,

又EFCBF=F,EF,BFU平面BEF,

平面4GC〃平面BEF.

(2)：平面466〃平面AM,平面4GGA平面461G=4G,

平面4GG与平面/留有公共点G,则有经过G的直线，设交BC干点、H,如图,

则4G〃加，得GH//A3

为四的中点,〃为6c的中点.

【典例3】如图，四棱柱加切一4SG"的底面46切是正方形.

⑴证明：平面4初〃平面能见

(2)若平面/式DPI平面=直线］,证明：B\DJ/L

【解析】证明⑴由题设知能，能平行且相等，所以四边形圈”2是平行四边形，所以如〃合凡

又加平面徵出，81〃U平面的瓦

所以初〃平面CD瓜.

因为4。，BC,氏7平行且相等.

所以四边形A.BCIX是平行四边形，

所以

又4因平面切用，BCU平面缁氏,

所以48〃平面切尻

又因为初048=8,BD,46U平面4初，

所以平面4M〃平面切区

(2)由⑴知平面4劭〃平面CIXBx,

又平面平面切合=直线1,

平面ABCDC平面4劭=直线BD,

所以直线［〃直线切，

在四棱柱ABCD-4旦G”中，四边形瓦族合为平行四边形,

所以81nl〃即,所以反.

【题型三】平行关系的综合应用

【典例1］如图，在四棱锥尸一/85中，AD//BC,AB=BC=%D,E,F,〃分别为线

段助,PC,的中点，/C与庞交于。点，G是线段如上一点.

(1)求证：/尸〃平面庞F；

(2)求证：6W平面序〃

【解析】证明(1)如图，连接£G因为4W/8GBC=^AD,

所以加〃4E,BC=AE,

所以四边形46。是平行四边形，所以。为/C的中点.

又因为少是上的中点，所以内。〃/R

因为R七平面庞尸，平面庞尸，

所以4P〃平面颂

(2)连接/因为凡〃分别是尸G徵的中点,

所以FH//PD,

因为/»=平面PAD,/次平面PAD,

所以跳〃平面PAD.

又因为。是4C的中点，〃是缪的中点,

所以0H//AD,

因为4t平面处〃，6®平面

所以明〃平面PAD.

又FHC0H=H,FH,OHu平面0HF,

所以平面酶〃平面PAD.

又因为物匕平面0HF,

所以加〃平面PAD.

【典例2】如图，四边形/区力与四边形/阳均为平行四边形，M,N,G分别是46,AD,鳍的中点.求证:

⑴应'〃平面DMF-,

（2）平面〃厉〃平面MNG.

【解析】证明（1）如图，连接则〃必过DF与M的交点0,因为四边形力龙尸为平行四边形，所以。

为/£的中点.

连接和，则加为△/座'的中位线,所以BE//M0,

又质平面即随9c平面时,

所以庞〃平面DMF.

⑵因为4G分别为平行四边形/颂的边4〃斯的中点，所以龙〃M7,

又闲平面W,舷t平面

所以庞〃平面MNG.

因为〃为48的中点，"为4）的中点,

所以"V为△/初的中位线,

所以BD//MN,

又做t平面仞右，脉=平面仞心,

所以初〃平面MNG,

又以与物为平面皿应内的两条相交直线,

所以平面及厉〃平面MNG.

CORP9

【典例3］如图，在正方体4式》—461G2中，P,0分别为对角线劭，曲上的点，且潦=说=示

YJDIrU0

⑴求证：户0〃平面4〃的;

⑵若火是上的点,值为多少时，能使平面4V?〃平面4〃物？请给出证明.

【解析】⑴证明连接力并延长，与加的延长线交于〃点，如图，连接磔，因为四边形功切为正方形,

所以3C//4B

故丛PBCsXPDM,

bBP2

所以掰―PIT飞

^,,CQBP2

又m□为。〃一外一§'

所以QD「—2PM_~23,

所以PQ//MDi.

又M.U平面4。的,/初平面4〃物，

故尸0〃平面AMDA.

⑵解当淑值为|时，能使平面义相〃平面4"的.如图,

证明如下:

3

为

因-5-

名2

即

创-3-

,,BRBP

故犷而

所以PR//DA.

又如U平面4。物，/阳平面4〃物,

所以总〃平面AMDA,

又产0〃平面4。的，PQCPR=P,PQ,融U平面胤兄

所以平面〃平面AMDA.

三、【培优训练】

【训练一】（多选）在长方体力8切一〃中，AB=AD=1,M=2,2是线段阅上的一动点，则下列说法

中正确的是（）

A.42〃平面ALkC

B.4户与平面8笫4所成角的正切值的最大值是芈

5

C.4户+/T的最小值为里画

D.以力为球心，/为半径的球面与侧面DCCM的交线长是:

【解析】对于A,由于平面4园〃平面4AG47t平面4附，所以4尸〃平面4。。，所以A正确；

对于B,当反46G时，4?与平面6CG用所成角的正切值最大，易求最大值是看，所以B错误；

对于C,将夕沿阅翻折与△aK在同一平面，且点4,。在直线8G的异侧，此时在△4M中，由三

角恒等变换可求得cos/4GC=一噂，由余弦定理可得4「=手，所以4户+4的最小值为修，C正确;

1055

对于D,由于4?，平面所以交线为以。为圆心，1为半径的圆周的四分之一，所以交线长是万，D

正确.

故选ACD.

【训练二】在正四棱柱2684AG"中，。为底面被力的中心，户是9的中点，设0是S上的点，则点

。满足条件时，有平面460〃平面B1Q

【解析】如图所示，设0为CG的中点，因为尸为效的中点，所以伽〃R1.连接施，因为R

。分别是血,如的中点，所以D\B〃PO,又〃皮平面身。，侬平面用。，49U平面为。，PA

u平面印0,所以46〃平面用0,俗〃平面以。，又46仆伽=8,所以平面〃80〃平面用〃

故0为m的中点时，有平面〃80〃平面以〃

【训练三】如图，在正方体相切一48G〃中，P,。分别为对角线初，S上的点,

„C--Q=-B-P=一2

QD,PD3'

⑴求证：户0〃平面4。的；

AP

⑵若"是上的点，粉值为多少时，能使平面尸窗〃平面4〃物？请给出证明.

【解析】⑴证明连接以并延长与处的延长线交于〃点，如图，连接磔,

因为四边形力腼为正方形，所以

CPBP2

故丛PBCs丛PDM,所以犷西=京，

CQ_BP_2

又因为

所以质=瓦尸于

所以PQ〃血

又Miu平面AMDA,

放平面AMDA,

故尸0〃平面4。物.

⑵解当物值为|时，能使平面户密〃平面42%.

如图，证明:

因为益=二,

BR2JRBP土।

即万=初故而=而所以PR〃加,

n/ionArU

又如U平面4。的，/寂平面42处,

所以收〃平面AMDA,

又网〃平面4"的，PQCPR=P,PQ,/Wu平面户窗,

所以平面必0〃平面AMDA.

【训练四】如图，正方体4%/—46K"中，棱长为a,M,“分别为/团4G上的点，A,N=AM.

(1)求证：仞V〃平面阳GC；

⑵求肺的最小值.

【解析】⑴证明如图，作跖〃45交氏4于点£,作版〃相交班于点E连接厮,

则NE//MF.

NEGN

・・•松〃48,・••丽=衣.

MFB\M

又MF〃出：.彘=而

•・,4G=Z5,A\N=AM,

:,C\N=B、M.

.NEMF

,•丽=加

又AB=A1B1,NE=MF.

・••四边形"惭是平行四边形，:,MN〃EF,

又*:平面如心乙⑸七平面能GG

・••腑〃平面BBCC.

⑵解没&E=x,、：NE"A\B\,

.B\EA\N

'丽=记

「BxFBxM

・・・加

又•：MF"AB,DD\=7/iD7i，

°：A\N=AM,A\G=ABi=y[2a9

B\C\=BB\=a,B\E=x,

.BxEBxFAxNB,M

‘丽+丽=衣+商

aa

:・B\F=a~~x,

从而MN=EF=7B\E+B\/

=yjx+(a—A)2

...当x=］时，腑的最小值为竽a.

【训练五】如图，在四棱锥中，侧棱用_L平面板〃四边形4四是直角梯形，BC//AD,ABVAD,

PA=AB=2,Ag3BC=3,£在棱和上，且4£=1,若平面呼与棱阳相交于点凡且平面呼〃平面必笈

(1)求等勺值;

⑵求点尸到平面小的距离.

【解析】⑴：平面侬1〃平面PAB,

且平面CEFC平面PAD=EF,平面PABD平面PAD=PA,

：.PA//EF,

1丝r1

-川=-

又/32

⑵•.•尸为阳的三等分点，

二尸到平面阳。的距离等于，到平面如。的距离的J

设。到平面皈的距离为h,

:用_1_平面ABCD,

:.PALBC,

5L'：BC//AD,ABLAD,C.BCLAB,

"：PA^AB=A,PA,/氏平面为8,

；.A7_L平面序6，:.BCLPB,

由等体积法得VD-PBC=Vp-BCDi

即PBC,h—~^S^DBCePA,

•：PA=AB=2,AD=3BC=3,

：.PB=2^2,BC=3

S^PBC=~PB•BC=y[2,S^DBC=~BC•AB=1,

:・h=y[i,

、历

.•.尸到平面如c的距离等于半.

【训练六】如图，四棱锥R极力中，底面抽力是直角梯形，AB//CD,ABLAD,AB=2CD=2AD=4,侧面为8

是等腰直角三角形，PA=PB,平面序3,平面点、E,尸分别是棱48以上的点，平面侬'〃平面序〃

(1)确定点£,尸的位置，并说明理由；

(2)求三棱锥尸20的体积.

【解析】(1)因为平面◎户〃平面PAD,平面呼C平面ABCD=CE,

平面PADH平面ABCD=AD,

所以CE//4),又45〃2G

所以四边形/以力是平行四边形，

所以DC=AE=^AB,

即点£是48的中点.

因为平面颇〃平面PAD,平面侬'C平面PAB=EF,

平面PAD0平面PAB=PA,

所以"又点£是熊的中点，

所以点户是阳的中点.

综上，E,尸分别是48必的中点.

⑵连接阳由题意及⑴知以=以，AE=EB,

所以比又平面用员L平面/A第，平面以8a平面/8徵=四,

所以此人平面ABCD.

又AB"CD,ABVAD,

11

所以112

---一

26SAXPE=-X—X2X2X2=-

623

四、【强化测试】

【单选题】

1.下列命题中正确的是()

A.若a,人是两条直线，且㊀〃方,那么a平行于经过6的任何平面

B.若直线a和平面。满足a〃。，那么a与a内的任何直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行

D.若直线a,6和平面。满足a〃6,a//a,bla,则6〃a

【解析】A中，a可以在过3的平面内；B中，a与a内的直线也可能异面；C中，两平面可能相交；D中,

由直线与平面平行的判定定理知6〃a,正确.

故选D.

2.如图所示，在空间四边形加口中，E,尸分别为边48加上的点，且四：旗=/6：我?=1：4,又〃，G

分别为6G切的中点，则（

A.BD〃平面EFGH,且四边形药物是矩形

B.EF〃平面BCD,且四边形厮曲是梯形

C.用〃平面/切，且四边形同1阳是菱形

D.切〃平面相C,且四边形班第是平行四边形

【解析】由AE：EB=AF\FD=\：4知反平行等于筋，又小平面BCD,友七平面BCD,所以打〃平面BCD.

5

又〃，G分别为欧，。的中点，所以的平行等于（初，所以3〃用且瓦孚龙.所以四边形跖然是梯形.

故选B.

3.在四棱锥月力及刀中，底面46。是平行四边形，ERPC,FRPB,PE=-3EC,PF=AFB,如图.若//〃平

面BDE,则2的值为（）

【解析】连接/C,交物于点。，连接位:因为26〃平面BDE,所以过点力作/%平面侬交先于点〃

连接图则得到平面/W平面比应，所以加〃龙.因为四边形46（力为平行四边形，所以在△/）与△崛'

OCEC

犷砺二1

A4尹•

铲％

即欧=即又因为诙=3击所以7^2物因为有=左=2,所以八=2.故选C.

故选C.

4.设a,b,c表示不同直线，a,£表示不同平面，下列命题:

①若a//c,b//c,则a//b；②若a//b,b//a,则a//a■③若alla,b//a,则a//b-,④若aua,6u£,

a//P,贝I]a〃6.

真命题的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

【解析】由题意，对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，根据a〃4b//a,可以推出

a〃。或aua,故②是假命题；对于③，根据a〃a,b//a,可以推出a与方平行、相交或异面，故③是

假命题；对于④，根据aua,可以推出a〃方或a与6异面，故④是假命题，所以真命题的

个数是1,

故选A.

5.如图所示，在空间四边形加口中，E,尸分别为边46,加上的点，且/£：旗=/尸：4=1：4,又〃，G

分别为8G。的中点，贝N）

A.BD〃平面EFGH,且四边形瓦烟是矩形

B.EF〃平面BCD,且四边形厮曲是梯形

C.%〃平面/劭，且四边形厮而是菱形

D.㈤7〃平面且四边形厮曲是平行四边形

【解析】由伫所肝：杆1：4知£屋被

又即I平面8C0,所以瓦7〃平面比。又〃，G分别为6G

切的中点，所以〃吗破所以毋〃用且瓦¥3所以四边形瓦烟是梯形.

故选B.

6.己知在三棱柱/6C—461G中，M,“分别为4G夕G的中点，E,尸分别为64合6的中点，则直线的V与

直线用平面/微4的位置关系分别为（）

A.平行、平行B.异面、平行C.平行、相交D.异面、相交

【解析】：在三棱柱28C—461G中，

M,儿分别为力C,8G的中点，E,尸分别为6C,6历的中点,

.•.跖=平面6（%儿仞VA平面6（%合=从陈EF,

...由异面直线判定定理得直线脉与直线以■是异面直线；

取4G的中点R连接掰PN,如图，

则上¥〃a4,PM//AyA,

：A41n4夕=4,PMCPN=P,

平面/W〃平面ABBxAx,

平面PMN,

直线腑与平面/初4平行.

故选B.

7.如图所示，正方体/及/—48K"中，点£,F,G,P,0分别为棱4?,CM,44,DJ）,GC的中点，则

下列叙述中正确的是（）

A.直线60〃平面防；

B.直线46〃平面及安

C.平面AR7〃平面EFG

D.平面480〃平面由G

【解析】过点£,F,G的截面如图所示（〃，/分别为■,宽的中点），连接48,BQ,AP,PC,易知制与

平面由G相交于点0,故A错误；

"：AxB//HE,4所平面跖G,平面及右，

AxB//平面EFG,故B正确；

平面微平面/微4,延长施与必必相交，故C错误；

易知平面480与平面哥'G有交点Q,故D错误.

故选B.

8.正方体/瓦》—G"的棱长为1,点瓶“分别是棱8C,⑶的中点，动点尸在正方形及%方（包括边界）

内运动，且序,平面施则为i的长度范围为（）

【解析】取合G的中点£，阳的中点凡连接4£,4凡EF,

取反的中点。，连接40,如图所示，

•••点M,“分别是棱长为1的正方体ABCD-A^CM中棱6GCG的中点,

：.AM//AxE,MN//EF,

•:所W=M,A\ECEF=E,AM,廨=平面4m4瓦平面4即

二平面用W〃平面AiEF,

•.,动点?在正方形反簿反（包括边界）内运动，

且用i〃平面/恻

二点户的轨迹是线段明

：.AxOLEF,

：.当P与。重合时，序1的长度取最小值4。,

当户与双或Q重合时，久的长度取最大值46或4凡4£=46=迪

••.阳|的长度范围为［平，阴.

故选B.

【多选题】

9.已知处〃为两条不同的直线，a,£为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）

A.若〃_L。，/n_Ln,则刀〃Q

B.若m.La,〃〃£且。〃£,则ml.n

C.若ga,nua旦m〃B,n"B、贝U。〃£

D.若直线出〃与平面。所成的角相等，则力〃力

【解析】对于A,满足mLa,m.Ln的〃，。的位置关系可能是“〃。或刀＜=。，故A错误；对于B,由m_\.a,

。〃£,得/_L£,结合〃〃£,知R_L〃，故B正确；对于C,根据面面平行的判定定理知需当必，〃为相

交直线时，才有。〃£,故C错误；对于D,若如〃为圆锥的两条母线，平面。为圆锥的底面所在平面,

此时直线如〃与平面。所成的角相等，但此时如〃为相交直线，故D错误.

故选ACD.

10.在正方体中，E,F,G分别是4夕，BC,隔的中点，下列四个推断中正确的是（）

A«

A.〃平面

B.EF〃平■面BCD

C.此1〃平面阅〃

D.平面厮G〃平面66〃

【解析】因为在正方体力以力■48G”中，F,。分别是反G,做的中点，

所以6G〃6G,因为阅〃力加

所以户勿加，

因为鲍平面AAMD,/"u平面AAMD,

所以6G〃平面AAMD,故A正确；

因为打〃4G,4G与平面比;“相交，

所以颜与平面加4相交，故B错误；

因为凡G分别是51G,胡的中点，

所以户6〃园，因为尸的平面阅4,6Gu平面招〃，

所以bG〃平面阅〃，故C正确；

因为"与平面8G2相交，

所以平面以与平面6G"相交，故D错误.

故选AC.

11.如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，，为44的中点，M,N分别是线段能和线段GG上的

动点（含端点），且满足〃仁G”当〃，“运动时，下列结论中正确的是（）

A.在△座内总存在与平面/反;平行的线段

B.平面如归_平面比GE

C.三棱锥4-ZW的体积为定值

D.△2W可能为直角三角形

【解析】用平行于平面/"的平面截平面颇，则交线平行于平面46G故A正确；当M,“分别在阳，CG

上运动时，若满足酬’则线段就必过正方形成Qfi的中点。，由。0,平面6CG区可得平面即。及篇反

故B正确；当〃，儿分别在阳，出上运动时，加的面积不变，点4到平面4a的距离不变，所以三棱

锥M4M的体积不变，即三棱锥4-刖的体积为定值，故C正确；若为直角三角形，则必是以NMW

为直角的直角三角形，易证DM=DN,所以△ZW为等腰直角三角形，所以DO=OM=ON,即脉=2勿，设正

三棱柱的棱长为2,则D0=事,MN=2小,因为■的最大值为BG=2y[2,所以仞V不可能为2小,所以△2W

不可能为直角三角形，故D错误.

故选ABC.

12.已知正四棱柱/优346c〃的底面边长为2,侧棱44=1,尸为上底面461G〃上的动点，下列四个结论

中正确的为()

A.若如=3,则满足条件的户点有且只有一个

B.若PD=事,则点户的轨迹是一段圆弧

C.若如〃平面如B,则加长的最小值为2

D.若如〃平面/CS,且PD=木,则平面呼截正四棱柱4旦G”的外接球所得平面图形的面积为丁

【解析】如图所示，因为正四棱柱力优》4以G"的底面边长为2,所以8口=2小,又侧棱力4=1,所以阳

=yl(272)2+12=3,则尸与笈重合时⑶=3,此时尸点唯一，故A项正确；

因为如=/e(l,3),微=1,则9=/,即点户的轨迹是一段圆弧，故B项正确；

连接加1,DQ,可得平面4%〃平面/②，则当尸为4a中点时，必有最小值，为7(镜)2+1=7^故

C项错误；

由C选项知，平面应W即为平面质反，平面叱截正四棱柱力优》461G4的外接球所得平面图形为外接球

的大圆，其半径为5后祈面积为彳，故D项正确.

故选ABD.

【填空题】

13.如图，正方体/式》46心〃中，力6=2,点£为4?的中点，点尸在野上.若"〃平面则线段

0的长等于.

D

【解析】因为"〃平面阳G哥t平面/比2平面4比%~1平面阳所以成〃47,所以点尸为"的

中点.故斯=，0=、「.

14.在下面给出的条件中，若条件足够推出alla,则在横线上填“OK”；若条件不能保证推出a//a,则

请在横线上补足条件：

(1)条件：a//b,b//c,cca,,结论：alla；

(2)条件：aCB=b,a//b,auB,,结论：a//a.

【解析】因为a〃4b//c,cua,所以由直线与平面平行的判定定理得，当闻。时，a〃*因为aC£

=b,a//b,au£,则由直线与平面平行的判定定理得a〃a.

15.在四面体"6(力中，M,“分别是△/切，46切的重心，则四面体的四个面中与仞V平行的是.

【解析】如图，取。的中点£,连接BE,

则EM\扬=1：2,EN：BN=\：2,

所以MN//AB.

因为46u平面/初，■平面/初，/氏平面/6G仞V：平面力6C,

所以磔〃平面/初，腑〃平面/6C

16.如图，在正方体板3中判断下列位置关系:

AB

(I)A以所在的直线与平面Bea的位置关系是；

(2)平面48G与平面/反力的位置关系是.

【解析】⑴四所在直线与平面宽G的位置关系是平行.理由：AB//CM,且48=0。,可得四边形/阅〃

为平行四边形，即有留〃阅，4M平面6CG,8Gu平面以匕，则〃平面6CG.

(2)平面4/与平面/及力的位置关系是相交.理由：平面46G与平面4颔有一个交点6,由公理3得，

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点在一条直线上，这条直线为交线.如

图，过点刀作力。的平行线/,即为交线.

【解答题】D

17.已知在四棱锥P一48(力中，々_L平面4%力，ADVDC,AB//DC,DC=2AB,。为PC的中点.

(1)求证：80〃平面用2；

2

(2)若如=3,BC=取,BCLBD,试在线段用上确定一点S,使得三棱锥S—6切的体积为亍

【解析】⑴证明取加的中点6连接4G,GQ,

因为0为％的中点，所以G0〃%,且g=如

又因为四〃%,DC=2AB,所以G0〃/8,GQ=AB,

所以四边形/方%是平行四边形，

所以BQ//AG,

又6)平面用A平面以。，所以60〃平面为〃

⑵解因为在四边形力反力中，AB//CD,ADVDC,DC=2AB,

所以点8在线段切的垂直平分线上，

又因为6。=/,BCLBD,

所以BD=BC=\[i,

所以△阅9的面积S=|XA/2X72=1.

设点S到平面力位的距离为h,

19

所以可义1义力=可，所以力=2,

J0

又包LL平面4%/,PD=3,

所以点S在线段7T上靠近点尸的三等分点处.

18.如图，直四棱柱力及/一〃的底面是菱形，44=4,AB=2,/BAD=6Q°,E,

M,"分别是〃?，BB、,42的中点.

(1)证明：仞V〃平面6座；

⑵求点C到平面G座的距离.

【解析】(1)证明如图，连接合GME.

因为弘E分别为BA,6C的中点，

所以雄〃8C,且胭

又因为—。的中点，所以

由题设知4a平行且相等比；

可得8c平行且相等42,故很平行且相等2，

因此四边形助磔"为平行四边形,

所以MN//ED.

又脉t平面C、DE,庞u平面QDE,

所以册〃平面GDE

⑵解过点。作G£的垂线，垂足为〃

由已知可得庞_La；DE1CC又BCCC\C=C,BC,G比平面所以庞，平面GCE

故DELCH.所以酸L平面GDE,

故