2024年江苏省宿迁市部分中学中考数学一模试题（解析版）

2024年宿迁市初中学业水平模拟考试（一）

数学试题

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的选项中，选出符合题

目要求的一项.

|--|

1.9的相反数是（）

9955

A.-B.--C.—D.--

5599

【答案】D

【解析】

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可.

【详解】解：因为|一3=，

99

而-冒与言只有符号不同，

55

所以的相反数是-

故选D.

【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，相反数，熟练掌握相反数的概念以及求解方法是解题的关键.

2.下列计算正确的是（）

A.m2-m3=m6B.（3机）=6m2

C.m6-^m2—m3D.（机M

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了整式的有关运算，根据同底数幕的乘除法则、幕的乘方法则和积的乘方法则计算

即可判断.

【详解】解：A、•.•机2.加3=加5,...此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

B、•••（3机『=9机2,.•.此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

C、..•加6+加2=加4,...此选项的计算错误，故此选项不符合题意;

D、•••（祖4）2=。8,...此选项的计算正确，故此选项符合题意；

故选：D.

3.如果Ja+4有意义,那么。应满足的条件是（）

A.a>—4B.a2—4C.aw—4D.a——4

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的定义，形如、万（。20）的式子叫二次根式，根据二次根式中的被开方数是

非负数列式求解即可.

【详解】解：由题意，得

a+4>0,

a>—4.

故选B.

4.据2024年3月22日《天津日报》报道，今年前两个月，被称为“新三样”的锂离子蓄电池、电动汽车、

光伏产品合计出口3590000000元，将数据3590000000用科学记数法表示应为（）

A.O.359xlO10B.3.59xl09C.35.9xl08D.359xl07

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了科学记数法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1V忖<10,〃为整

数.确定"的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值大于1与小数点移动的位数相

同.

【详解】解：3590000000=3.59xlO9,

故选：B.

5.世乒赛颁奖台如图所示，它的左视图是（）

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查了三视图，根据左视图是从左边看到的图形，据此即可作答.

【详解】解：••・世乒赛颁奖台如图所示，

.•.它的左视图是一

故选：C

6.如果两个相似三角形的面积比为1:2,那么它们的对应角平分线的比为（）

A.1:4B,1:2C.1:16D.1:72

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到两

个三角形的相似比，而相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，由此得解.

【详解】解：•••两个相似三角形的面积比为1:2,

两个相似三角形的相似比为1；V2.

它们的对应角平分线的比为1:0.

故选：D.

x+1>2

7.不等式组.的解集在数轴上可表示为（）

2x-l<3

C.—■——」I-----»D.，—<!）----->

0I202

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再把解集在数

轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键.

x+1>2①

【详解】解:

2x-l<3®

由①得，x>l,

由②得，x<2,

...不等式组的解集为l<x<2,

x+1>2—।

不等式组〈c,.的解集在数轴上表示为一_-4——1------->,

2x-l<30I2

故选：C.

8.已知点N（〃,5）在了轴上，则点8（〃+1,“一2）在第（）象限.

A四B.三C.~D.-

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用〉轴上点的坐标特点（横坐标为0）得出〃的值，进而得出答案.

【详解】解：,••点/（〃,5）在y轴上，

=0,

.,・〃+1=1>0，〃一2=—2<0,

・,•点3（〃+1,〃一2）即（1,-2）,在第四象限.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了点的坐标.记住y轴上点的坐标特点、各象限内点的坐标的符号是解决的关

键.丁轴上点的坐标特点是：横坐标为0；四个象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）；第二象限

（一，+）;第三象限（一,一）；第四象限（+,-）.

9.如图，在等腰中，AB=AC=8,ZBAC=90°,以48为直径的交3C于点连接

OD、AD,则图中阴影部分的面积为（

C.4〃一8D.4万一4

【答案】c

【解析】

【分析】根据4B=NC=8,ZBAC=90°,以48为直径的。。交8C于点。，得到2D=DC,

ZADB=90°,OD=OA=OB=LAB=4,继而得到8〃NC,结合NR4c=90。得到

2

ZAOD=90°,利用扇形面积与△ZOD的面积差表示阴影即可.

本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关

键.

【详解】VAB=AC=8,/氏4c=90。，以45为直径的。。交BC于点。，

BD=DC,NADB=90°,OD=OA=OB=—AB=4,

2

OD//AC,

•：ABAC=90°,

AAOD=90°,

90°X77-x421

阴影面积为：4

—LX4X4=4^--8.

36002

故选C.

10.如果一个等腰三角形的顶角为36°,那么可求其底边与腰之比等于"二L,我们把这样的等腰三角形称

2

为黄金三角形.如图，在A4BC中，AB=AC=1,ZA=36°,看作第一个黄金三角形作/4BC

的平分线AD,交/C于点。，△BCD看作第二个黄金三角形；作的平分线CE,交BD于点、E,

△CDE看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了黄金三角形，规律型等知识;

由黄金三角形的定义得80=好口48=避二^，同理求出。＞=（避二1］,0£=（叵4］，可得

■2222

\7\7

第1个黄金三角形的腰长为A8=NC=1,第2个黄金三角形的腰长是如匚，第3个黄金三角形的腰长

2

是文二1，第4个黄金三角形的腰长是正匚，得出规律第"个黄金三角形的腰长是空匚

2,22

即可得出答案.

【详解】解：；/8C是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为48=2。=1,

.BCV5-1

••----------------------,

AB2

BC=在二AB=

2

1/ABCD是第2个黄金三角形,

生=在匚，第2个黄金三角形的腰长是避二L

BC22

1/ACDE是第3个黄金三角形，

.二1,第3个黄金三角形的腰长是［也匚

CD212J

._也一、CD-f

DE2I2J

（4s-C\

...第4个黄金三角形的腰长是三」，

（西_1丫7

••・第〃个黄金三角形的腰长是装」，

12J

zI—\2024-1

•••第2024个黄金三角形的腰长是虫匚

故选：A.

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分.

11.过〃边形的一个顶点有5条对角线，则这个多边形的内角和为—.

【答案】1080°##1080度

【解析】

【分析】本题考查了多边形的对角线和多边形的内角和公式，根据〃边形从一个顶点出发可引出(〃-3)条

对角线，可得"-3=5,求出"的值，最后根据多边形内角和公式可得结论.

【详解】解：由题意得："—3=5,解得〃=8,

则该〃边形的内角和是：(8-2)x180。=1080。，

故答案为：1080°.

12.如果三角形的两边分别是。=6cm,6=9cm,那么第三边c的取值范围是.

【答案】3<c<15

【解析】

【分析】本题主要考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.根据三

角形的三边关系判定可求解.

【详解】解：由题意得9-6<c<9+6,

解得3<c<15.

即第三边C的取值范围是3<c<15.

故答案为：3<C<15.

13.已知°,6是关于x的一元二次方程Y+2x—1=0的两实数根，则式子工+』的值是___.

ab

【答案】2

【解析】

a+b=-2

【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，由根与系数的关系得｛71，将分式变形，

ab=—1

然后代入求解，即可求解；掌握根与系数的关系：“3、4是一元二次方程〃/+为+°=0的两个根，

b

X]+%=-----

则有《a”是解题的关键.

C

xx=—

x2a

a+b=-2

【详解】解：由题意得<,1

ab=-1

11a+b—2

•二一+——-----=—=2.

abab-1

故答案为：2.

14.在中，NC=90°,AB=15,tanZ=—,则8C=

3

【答案】a叵

2

【解析】

【分析】根据正切的定义得tanN=OG=」，则可设8C=f,/C=3小利用勾股定理计算出幺5=丽/，

AC3

可求出/,即可.

【详解】解：如图,

设BC=t,AC=3z,

AB=dBC?+AC。=M>

45=15,

•••丽/=15

解得：t=^~，

2

即BC=^-.

2

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，在直角三角形中，由己知元素求未知元素的过程就是解直角三角

形.

15.如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为，=1:3的斜坡向上移动了10米，此时滑块上升的高度是

______米.

【答案】Vio

【解析】

【分析】本题考查了坡比的计算，根据，=1:3,得到;=§，利用勾股定理计算即可.

【详解工•."=1:3,

•.•A一-1，

I3

I=3h,

J/2+=]0,

,•+h1=10•

解得=(负值舍去)，

故答案为：丽.

丫+kk

16.已知关于x的分式方程------二1的解为非正数，则左的取值范围是______.

x+1x-1

【答案】九23且上

2

【解析】

【分析】先将分式方程化成整式方程，求出方程的解为x=l—2左，再根据方程的解为非正数确定力的取

值范围，要注意分式分母不为零的情况.

【详解】解：去分母得：(X+左)(x—l)—Mx+l)=(x+l)(x—l),

整理得：x2-x+kx-k-kx-k-x2-l>

解得：x=\-1k)

由分式方程的解为非正数，得到1-2%<0,且1—2左，±1,

解得:

2

故答案为：左且左力1

2

【点睛】本题考查了分式方程的解的情况求解参数的取值范围，解题的关键是用含左的代数式将方程的解

表示出来，注意分式方程有意义的条件.

k

17.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，口48。。的顶点5在反比例函数y=—（x>0）的图象

上，顶点/在反比例函数y=-2（》<0）的图象上，顶点。在天轴的负半轴上.若口4S0D的面积是6,

x

则k的值是.

【答案】4

【解析】

【分析】本题主要考查反比例图像上点的性质，涉及两点之间距离、平行四边形的性质和平行四边形面积

公式.设点/即可得到点2的坐标，利用平行四边形的性质可列出方程，求解即可.

【详解】解：设z］。,—■11,

1/四边形OBAD是平行四边形,

AB//DO,

:平行四边形。氏4。的面积是6,

ak\2

ClH——IX二6,

a

解得左=4.

故答案为:4.

18.如图，在Rt448C中，ZACB=9Q°,BC=3,ZC=4,点。，E分别是边AB,ZC的中点，连接

DE.将V4DE绕点D按顺时针方向旋转a（0。VcW90。），点N,£的对应点分别为点G,F,GF与AC

交于点P当直线GE与AZBC的一边平行时，CP的长为.

【答案】；或3

【解析】

【分析】本题考查求旋转性质、全等三角形性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质.根据题意，由旋

转性质，结合直线GE与AABC的一边平行，分两类：当G尸〃N3时；当GF〃8C时；两种情况讨论求

解即可得到答案，

【详解】解：根据题意，将V/DE绕点。按顺时针方向旋转a（O"a490。）得到AGDE,即

△GDFaADE,

在RMNBC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,

AB=y]AC-+BC2=V42+32=5-

:点。，£分别是边48.NC的中点，

...£>£是的中位线，

.­.AD=-AB=-^E=-AC=2,DE=-BC=~,

22222

当G尸〃A8时，如图所示：

/

//

/.ZADG=ZDGP,ZA=ZGPA,

AGDF咨AADE,

/.NA=ZDGP,

...VMZX4和VMPG均为等腰三角形，且〃。=M4MP=MG,

：.AP=AM+MP=MD+MG=DG,

553

由AGDF知ADE得到DG=/£>=—,则CP=NC—AP=4——=—,

222

当G尸〃8c时，如图所示：

•?DE//BC,

：.GF〃DE,

ZC=90°,

ZEPF=90°,

/.EP//DF,

/.四边形DFPE是平行四边形，

DE=DF,ZDFP=90°,

，口£＞户PE是正方形，

3

：.EP=DF=DE=-,

2

EC=-AC=2,

2

31

PC=EC-EP=2——=-,

22

解得尸C=1,

2

综上所述，。尸的长为;或3.

22

故答案为：;或当.

22

三、解答题：本题共10小题，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

19.计算：—12024+卜61_（3.14—%）°+[_工]

\3J

【答案】13

【解析】

【分析】本题考查了有理数的混合运算，零指数幕和负整数幕的意义，先根据乘方、绝对值、零指数幕和

负整数幕的意义化简，再算加减即可.

(12

【详解】解：-12024+|-6|-(3.14-^)°+--=-1+6-1+9=13.

k3J

(3xx-2

20.先化简，再求值：X--------其中X满足％92+x—2024=0.

Ix+1)x+2x+l

【答案】x2+x«2024.

【解析】

【分析】本题考查了分式的化简求值，先对分式进行化简，再根据x%—2024=0可得

£=2024，即可得到分式化简后的值，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键.

…岳八版盾+「x(x+l)3x1(x+1)2

【详角军】解：原式二---------------------

x+1x+1Jx-2

x2-2x(x+1)2

=---------x-------—，

x+1x-2

_2),(%+])2

x+1x-2

=x(x+l),

=x2+x，

x"+x—2024=0)

x2+x=2024，

原式=2024.

21.桌面上有4张正面分别标有数字2、4、6、7的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将它们

背面朝上，洗匀后平铺开.

(1)小红随机翻开一张卡片，正面数字是偶数的概率是;

(2)小红先随机翻开一张卡片并记录上面的数字，再从余下的3张卡片中随机翻开一张卡片并记录上面

的数字.请用列表或画树状图的方法，求翻到的两张卡片上的数字之和为奇数的概率，

3

【答案】(1)-

4

⑵7

【解析】

【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确列出表格是解题的关键.

(1)根据概率计算公式求解即可；

(2)先列表得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可.

【小问1详解】

解：•••一共有4张卡片，其中正面数字是偶数的卡片有3张，每张卡片被翻开的概率相同，

3

，随机翻开一张卡片，正面数字是偶数的概率是一，

4

一3

故答案为：一；

4

【小问2详解】

解：用列表格法表示为:

第一张

结

2467

果

第二张

(4,(6,(7,

2

2)2)2)

(2,(6,(7,

4

4)4)4)

(2,(4,(7,

6

6)6)6)

(2,(4,(6,

7

7)7)7)

共有12种等可能的结果，其中翻到的两张卡片上的数字之和为奇数的结果有6种，

•••翻到的两张卡片上的数字之和为奇数的概率为色=-.

122

22.为激发学生对中华诗词的学习兴趣，某初中学校组织了“诗词好少年”比赛，现随机抽取了部分学生的

成绩，根据统计的结果，绘制出如下统计图①和图②.

请根据相关信息，解答下列问题：

(1)本次抽取的学生人数为,图①中加的值为,

(2)求统计的这组学生成绩数据的平均数、众数和中位数.

【答案】(1)50,28

(2)80,90,80

【解析】

【分析】本题考查了从条形统计图与房形统计图获取信息、求平均数、众数和中位数等知识点，掌握从条

形统计图与扇形统计图获取信息方法是解题的关键.

(1)把得60分、70分、80分、90分、100分的人数加起来可得抽取的学生人数，再用得90分的人数除

以总人数即可求得m的值;

(2)根据平均数、中位数、众数的定义即可解答.

【小问1详解】

解：本次接受调查的学生人数为7+12+11+14+6=50人;

14

由相％=—xlOO%=28%,即加=28.

50

故答案为：50,28.

【小问2详解】

解：这个班竞赛成绩数据的平均数为^x(7x60+12x70+11x80+14x90+6x100)=80；

:得90分的有14人，最多,

二众数为90；

:位于第25位和第26位均是80,

,将平，80+80

••中位数为一--=80.

23.随着科技的发展，无人机广泛应用于生产生活.小琪利用无人机从点。竖直上升到点A,测得点A到

点C的距离为800m,此时点C的俯角为30。；64s后无人机到达点5,此时测得点C的俯角为45°.求无

人机从点A到点8的平均速度.（结果精确到0.1m/s,参考数据：V3«1.73）

【答案】无人机从点A到点3的平均速度4.6m/s.

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助

线是解题的关键.

根据题意可得结合平行线性质，从而可得ZACO=30°,NOBC=ZBCO=45°,然后在RLNOC中,

利用含30度角的直角三角形的性质可求出幺。和的长，再在RdBOC中，利用锐角三角函数的定义

求出8。的长，从而求出48的长，最后进行计算即可解答.

【详解】解：在RtAZOC中，ZACO=30°,

11C

:.AO=-AC=-xSOQ=400m,QC=cos30°AC=—AC=400Gm.

222

在RtA5OC中，NBOC=90°,ZBCO=45°,

ZBCO=ZOBC=45°,

OB=OC=400V3m，

AB=OB-OA=（4000-400）m,

无人机从点A到点B的平均速度=400G-400

a4.6（m/s）.

64

24.如图，在中，ZBAC=90°,灰）垂直平分BC,分别交线段BC、NC于点。、E,连接

AD,BE,若4E,EC,AE=3.

2

A

E

F

(1)求线段/£)的长度；

(2)延长线段ED使得ED=DF,连接BF,CF,求四边形BFCE的面积.

【答案】⑴3G

(2)1873

【解析】

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质求出5£=CE=6,AD=C。，根据勾股定理求出28=36，

最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；

(2)先证明四边形HFCE为平行四边形，然后根据S°BFCE求解即可.

【小问1详解】

•••切垂直平分8C,

BE=EC,

又•；AE=LEC,AE=3,

2

BE=2AE=CE=6,AC=9,

:在中，ZBAC=90°,

•••由勾股定理得：45=J36-9=35

・•・在RtZkASC中，ABAC=90°,

:.BC=V27+81=V108=6G，

又・•・〃为8C中点，/氏4c=90°,

AD=LBC=36

2

【小问2详解】

•••的垂直平分BC,

BD=DC,

•/ED=DF,

，四边形8ECE为平行四边形，

:.S‘MF=CE•AB=6乂36=18出.

oDrCc

【点睛】此题考查了勾股定理，平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的

中线等知识，熟练运用勾股定理、平行四边形的判定与性质是解题的关键.

25.如图，48为的直径，点C在上，的平分线交于点。，过点。作OE8,

交C5的延长线于点£.

（1）求证：££）是。。的切线;

（2）若NC=9/，BC=3母,求的长.

【答案】（1）证明见详解；

（2）12；

【解析】

【分析】本题考查切线证明，等腰直角三角形性质，圆的性质，勾股定理：

（1）连接0D,根据48为的直径得到4CB=90。，根据是/ZCB的平分线得到

NACD=ZBCD=45°,即可得到ZAOD=2ZACD=90°,结合DE〃AB得至UNED0=ZAOD=90°,

即可得到证明；

（2）根据AC=942>BC=3亚，得到AB=7（972）2+（372）2=675，从而得到

=。。=，4g=3指，根据勾股定理求出3。，在△C8E中根据勾股定理求出CE=8E,再求出

2

DE即可得到答案.

【小问1详解】

证明：连接0D,

：45为。。的直径，

/./ACB=90°,

是//CB的平分线，

NACD=ZBCD=45°,

/.ZAOD=2ZACD=90°,

•/DEAB,

:.ED是OO的切线；

【小问2详解】

解：过3作

,:AC=9桓'BC=36，

AB=7(9V2)2+(3V2)2=6M，

/.OB=OD=-AB=3y[5,

2

•••BD=ToVfT+oW=3VW，

ZBCE=NCBE=45°,

•••DE=y/BD?-BE?=7（3V10）2-32=9，

：.CD=CE+DE=3+9=12.

26.食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐.经调查发现，每天开餐时，约有400人排队.接

下来不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列，食堂目前开放了4个售餐窗

口.（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前。分钟每分钟有40人进入食堂排队够

餐，每一天食堂排队等候购餐的人数»（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示.

"人）

o1MM分*

（1）求a的值.

（2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数.

（3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时

开放几个窗口？

【答案】（1）4（2）160人

（3）6

【解析】

【分析】（1）根据题意，得。进入人数为40“，此时排队总人数为（40a+400）；

每分钟一个窗口售出15份，。分钟售出15a,4个窗口共售出15ax4=60。，余下人数为

（40a+400）-60a,建立等式解答即可.

14左+6=320

（2）设线段8C的解析式为＞=履+6,根据题意，得,八，解方程组，得到解析式，后计算当

J0k+6=0

x=7时的函数值即可.

（3）设需要开放x个窗口，根据题意，每分钟一个窗口售出15份，7分钟售出15义7,x个窗口共售出

15X7XX=105X,此时排队总人数为4X7X15+160；^105%＞4x7x15+160,解答即可.

本题考查了图象信息，待定系数法，不等式的应用，熟练掌握待定系数法，不等式的应用是解题的关键.

【小问1详解】

根据题意，得。进入人数为40a,此时排队总人数为（40a+400）；

每分钟一个窗口售出15份，a分钟售出15a,4个窗口共售出15ax4=60a,

余下人数为（40a+400）-60a,

根据图象信息，得（40a+400）-60。=320,

解得＜7=4,

故a的值为4.

【小问2详解】

设线段BC的解析式为y=kx+b,

4左+6=320

根据题意,得4

10左+6=0

,160

k=------

解得《3

,1600

b=------

3

故线段区的解析式为「哈+等,

当x=7时，

160—1600…

y=------x7H--------=160

33

故开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数为160.

【小问3详解】

设需要开放x个窗口，根据题意，每分钟一个窗口售出15份，7分钟售出15义7,x个窗口共售出

15X7XX=105X,此时排队总人数为4x7x15+160；

故105x24x7x15+160,

解得x>5—，

21

由x必需是正整数,

故至少开放6个窗口.

27.如图1,在△48E和A/CD中，AE=AB,AD=AC,且NB4E=NC4D,则可证明得到

△AECAABD.

【初步探究】（1）如图2,为等边三角形，过/点作NC的垂线/,点尸为/上一动点（不与点/

重合），连接CP,把线段C尸绕点C逆时针方向旋转60。得到C。，连。3.请写出NP与3Q的数量关

系并说明理由;

【思维提升】（2）如图3,在A4BC中，以48为边向外作等边连接EC,

EUC8=30°,AC=4,BC=3,求EC长.

【拓展应用】（3）如图4,在A48C中，ZABC=60°,AB=4,作ADJ.BC交BC于点D,过点2作

直线/L8C,点”是直线/上的一个动点，线段4?/绕点/按顺时针方向旋转30。得到线段/〃'，则

4的最小值为.

【答案】（1）/尸=80,理由见解析；（2）5；（3）472-

【解析】

【分析】（1）证明4PzACB。，从而得出结论；

（2）作等边三角形NC。，连接AD,可得BD=dBC2+CD?=5,同（1）可证△幺£。^448。，从而

得出CE=8£>=4；

（3）将45绕点/按顺时针方向旋转30。得到线段4E,可证&ABH均AEH<t,从而得出

ZAEB=ZABH=30°,所以点〃'在与定线段NE成30。的直线加上运动，作点/关于直线加的对称点

F,AF交m于点G,连接5/，交直线加于点〃'，此时+的最小，最小值是5方的长，进一

步得出结果.

【详解】解：（1）AP=BQ,理由如下：

在等边A48c中，

AC=BC,ZACB=60°,

由旋转可得，

CP=CQ,E）PCQ=60°,

.：NACB=NPC。,

\BACB-BPCB=QPCQ-BPCB,

即NACP=NBCQ,

:."CPmABCQ,

AP=BQ；

（2）如图,

D

作等边三角形NCD,连接AD,

■.■AC=4,

\DACD=60°,CD=AC=4,

■.■ZACB=30°,

NBCD=90°,

BC=3,

BD=^BC2+CD2=5>

同(1)^AAEC^AABD,

\EC=BD=5；

(3)如图，

rBC,

\E)HBD=90°,

NABD=60°,

NABH=30°,

将AB绕点A按顺时针方向旋转30。得到线段AE,

\BBAE=3。°,AE=AB,

•••线段AH绕点A按顺时针方向旋转30。得到线段AH',

\E)HAH^=30°,AH=AHC,

\OBAE=SHAH0,

\E)EAH^=E)BAH,

\&ABH知AEH，,

\E)AEB=BABH=30°,

点H'在与定线段ZE成30。的直线m上运动，

作点/关于直线机的对称点尸，//交加于点G,连接RF，交直线“于点〃'，此时+的最

小，最小值是5厂的长，

-：E)FAE=90°-E)AEHC=60°,

QNBAE=30°,

\E)BAF=DFAE+DBAE=90°,

AG=-AE=2,

2

\AF=2AG=4,

•••AB=4,

\BF7AF?+AB?=4血,

即+的最小值为：4&-

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根

式，轴对称的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关注是作辅助线，构造全等三角形.

28.如图，已知抛物线y=ax?+bx+c(a,