河北省石家庄市2024届高三年级下册教学质量检测(二)数学试卷试题及答案

河北省石家庄市2024届高三下学期教学质量检测（二）数学试卷

（时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知集合A=W3I叫，咱也工>4},则AB=（）

A.{x|2<x<4}B.{%|-1<%<6}C.{尤|一4V%V1}D.{X\0<X<4]

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，将集合A3化简，再由交集的运算，即可得到结果.

【详解】因为A={x|X2-3X-4<0}={X|-1<X<4},

B=1x|2v>4j=1x|x>2},所以AB={x\2<x<4}.

故选：A

2.某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学

2

1（工-90）

成绩X近似服从正态分布，其正态密度函数为7'（x）=^^e2/,xeR且P（70<X<110）=0.8,

crj2兀

则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（）

A.2000B.3000C.4000D.5000

【答案】D

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性即可得.

【详解】由题易知均值〃=90,

由正态曲线的对称性可知P（X>110）=0.5-1P（70<X<110）=0.5-0.4=0.1,

则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为61x50000=5000.

故选：D.

22

3.已知曲线C:土+乙=1(机wO),贝『'me(0,6)”是“曲线C的焦点在x轴上”的()

6m

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义及椭圆、双曲线的特征判断即可.

22

【详解】当me(0,6)时曲线C：二+乙=1表示焦点在x轴上的椭圆，故充分性成立；

6m

22

当机＜0时曲线。：匕+乙=1表示焦点在X轴上的双曲线，

6m

故由曲线C的焦点在x轴上推不出加w(。,6),即必要性不成立;

所以“加£(0,6)”是“曲线c的焦点在X轴上”的充分不必要条件.

故选：A

4已知圆。1：/+,2=5与圆。2：/+'2一2x—4y=0交于A,B两点,贝U|M|=()

A.立B.75c.V15D.叵

22

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，两圆方程相减即可得到直线A3的方程，再由弦长公式，即可得到结果.

【详解】因为圆O］：x2+y2=5与圆。2：必+'2—2x—4y=0交于A,8两点，

则直线A3的方程即为两圆相减，可得2x+4y-5=0,

且圆。］：*2+丁=5,半径为逐，

q(0,0)到直线2x+4y-5=。的距离d=/HI=1,

V22+422

所以|AB|=2卜阴、=715.

故选：C

5.设/(x)是定义在R上的奇函数，且/(l+x)=/(l—%),当—1<％<0时，/(x)=log2(-6x+2),则

A.-1B.-2C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】由题意求出函数的周期，再利用奇偶性代入求值即可.

【详解】由题意知fd+x)=f(l-x),则/[l+(x—3=/[1-(%-1)]=/(-%)=-/(%),

即〃%+2)=-〃X),所以/[(x+2)+2]=—/(x+2)=/(x),

即/(x+4)=/(x),所以函数的周期为4，

所以/图=/管—+呜卜/卜，一咋2kM4H=.2,

故选：B

AD1AD2ACi—

6.在平行四边形ABCD中，——+--=--,2e[V7,3].贝UcosNBA。的取值范围是()

\AB\\AD\|AC|

j_£

253_

21

3，-6

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的运算律及数量积定义计算即可.

4RATJ

【详解】设与同方向的单位向量——=6,与AD同方向的单位向量——=02,与AC同方向的

\AB\\AD\

AC

单位向量一上=03，

\AC\

由题意，所以q+3e2=几03，

2

所以(q+3e2)-A~e3,即弓+6e；-e2+9e2=2e3>

所以l+6xlxlxcos/a4C+9=%2,

o2_in

所以cosN3AC=^——

6

因为Xeh/7,3],所以22e[7,9],

22-1011£

所以------------e—,gpcosABACe,

626-26

故选：A

,且cos,一巳

7.已知=2cos2a,则tan1a+；卜()

A.也B.V5D.V15

【答案】D

【解析】

71=；,再由同角三角函数的平方关系与

【分析】根据题意，由正弦的二倍角公式代入计算可得sin~~a

商关系，即可得到结果.

【详解】因为且cos[a—；71J=2cos2a,

4

所以cos]a~~~\=2sinf-71^-26/j=4sin71

COS~~a

2

兀

由题意知aw一,

4

1广…兀

所以sin—，所以COS~+a

4144

故选：D

8.已知正方体的棱长为2a，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体的中心。为球心作一

个半径为2叵的球，则该球。的球面与八面体各面的交线的总长为（）

3

A.2"兀B.4"兀C.£5兀D.4"兀

33

【答案】B

【解析】

【分析】画出图形，求解正方体的中心与正八面体面的距离，然后求解求与正八面体的截面圆半径，求解各

个平面与球面的交线、推出结果.

【详解】如图所示，M为防的中点，。为正方体的中心，过。作的垂线交于点N,正八面体的棱

长为2,即所=2,故。暇=1,0P=叵,PM=6，则0N=Y5，

设球与正八面体的截面圆半径为「，如图所示，则

由于MN=ZN=@，NJ=NI=—，所以〃=2叵，则N/N7=四，平面？即与球。的交线所对

3332

JT1

应的圆心角恰为,，则该球。的球面与八面体各面的交线的总长为8x（jx27ix

故选：B

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知数列｛4｝的通项公式为a”=-3，eN*）,前〃项和为S“，则下列说法正确的是（）

A.数列｛%｝有最小项，且有最大项B.使a“eZ的项共有5项

C.满足anan+ian+2<0的〃的值共有5个D.使S”取得最小值的九为4

【答案】ABD

【解析】

【分析】首先利用作差法判断单调性，列出数列的前几项，再结合各选项一一判断即可.

9/*\99-18

【详解】因为a'=/（〃eN）,所以%一-K=（2〃-7）（2”9厂

令。”+1-。”>0,即（2”—7）（2〃—9）<0,解得5<〃<5，

又“eN*,所以当〃=4时-4〉°，

则当或〃25时«„+i-<0,

99

令an=----->0,解得〃〉一，

n2n-92

99

所以4=一亍>々2~一g>%=-3>%=—9，生〉“6〉%〉〉0,

所以数列｛。“｝有最小项%=-9，且有最大项。5=9，故A正确；

9

由aaeZ,则------eZ又〃eN*，所以〃=3或九=4或〃=5或〃=6或//=9,

2n-9

所以使eZ的项共有5项，故B正确；

要使<0，又。“片0,所以与、4用、4+2中有1个负数或3个负数，

所以〃=1或〃=2或〃=4,故满足为4+14+2<0的〃的值共有3个，故C错误；

因为时。“<0,〃》5时。“〉0,

所以当九为4时S1,取得最小值，故D正确.

故选：ABD

10.设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（）

A若（l+i）z=-i,则目=1

B.对任意复数z-z2,有上囚=|21Hzz|

C.对任意复数z-z2,有Z]・Z2=Z],Z2

D.在复平面内，若河={2|匕—2|W2},则集合M所构成区域的面积为6兀

【答案】BC

【解析】

【分析】借助复数的运算、共辗复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得.

—i-ix(l-i)-1-i

【详解】对A：由(l+i)”-i,故z=k9布=丁，

故心卜=存故人错误；

对B：设4=a+历(a,/?eR)、z2=c+i/i(c,<7GR),

则上H=|(a+"i)(c+di)卜\ac-bd+(ad+Z?c)i|=+(ad+bc^~

=Ja2c2-2abed+b~d~+erd-+2abed-\-u-d~-\-b^c^)

R"Z21=y/a2+b2-Vc2+d~=^a2+Z?2)(c2+J2)=7«2c2+b-d2+cTd2+b-c2,

故上人=闻忆],故B正确；

对C：设Z]=a+历(a力cR)、z2=c+di(c,deR),

有4・Z2=(a+Zri)(c+di)=ac-Z?d+{ad+Z?c)i,则-z2=ac-bd-^ad+bc)i，

・

z1-z2=(a-£>i)(c-di)=ac-bd-(ad+bc)i,故4-z2=4z0,故C正确；

对D：设2=x+yi(尤,yGR),则有(x—2丫+y2V4,

集合M所构成区域为以(2,0)为圆心，半径为2的圆，

故S=兀产=4兀，故D错误.

故选：BC.

11.已知/（X）=esin2x+2cosx,（参考数据山13.4仪2.6）,则下列说法正确的是（）

A./（九）是周期为兀的周期函数

B./（%）在（—兀,0）上单调递增

C.”力在（-2兀,2兀）内共有4个极值点

(29兀、

D.设g(x)=/(x)-x,则g(x)在［-00,7一J上共有5个零点

【答案】BCD

【解析】

【分析】选项A,根据条件得到了(%+兀)//(%),即可判断出选项A错误；选项B,对"X)求导，得到

2j:+2co

=-2(2sinx-l)(sinx+i)e--,从而得到Xe(一兀,0)时，f\x)>0,即可判断出选项B的正误，

选项C,令/'(幻=0,求出xe(-2兀,2兀)时的解，再根据极值的定义，即可判断出结果，选项D,根据

-29兀)

条件得出了(元)的周期为2兀，再利用导数与函数单调性间的关系，得出了(盼在0,%一上的图象，再数形

结合，即可求出结果.

【详解】对于选项A,因为/⑴=eSin2x+2c°s.

所以/(x+兀)==esin2x-2cos"//(x),所以选项A错误，

对于选项B,因为/'(x)=(2cos2x-2sinx)esin2x+2cosx=2(1-2sin2x-sinx)esin2x+2cos"

=-2(2sinx-l)(sinx+l)esin2x+2cos",

当xe(一兀,0)时，2sinx—l<0,sinx+l>0,esin2-v+2cosx>0，

所以当xe(—兀,0)时，当且仅当x=3时，取等号，所以/(可在(―兀,0)上单调递增，故选

项B正确，

sin2+2cos

对于选项c,Hf\x)=-2(2sinx-l)(sinx+i)e"",

令f'(x)=0，得至Ij(2sinx-l)(sinx+1)=0,

又因为sinx+120,当且仅当天=-乙或x=—时，取等号，

22

所以尤=-5，x=T不是变号零点，即-g，1不是/(%)的极值点，

由2sinx-l=0,即sin%=,，

2

\Arjzp,兀_p.571_p.11兀_p,77l

又无£(-2兀,2兀),解得％=一或％=一或％=-----或x=-----,

6666

由、=$也了图象知，每一个解都是变号零点，所以/(另在(-2兀,2兀)内共有4个极值点，故选项C正

确,

对于选项D,因为/(X+2兀)=eSin2(x+2K)+28s(x+2K)=esin2x+2cosx=/Q),

所以,⑴的周期为2兀,

又因为/'(X)=-2(2sinX-l)(sinx+l)esin2x+2cosx,

3兀

当XG［0,2可时，由尸（%）=0得到%=巴，x=—X=——

662

列表如下,

715兀3兀

X

H)~6~61"~2

f'M+0—0+0+

单调递极大

y=〃x)单调递减极小值单调递增单调递增

增值

.it.n33u.5兀c5兀3有

sin-l-2cos------sin1-2cos——------

又了(3362

Oke?,e6=©2，/(—)=e=e

6

则/（尤）在［0,2可上大致图象如图所示,

当X<0时，因为/（X）=esm2x+28sx〉（），此时/（X）=X无解,

由6合1.732,则地。2.6,又Inl3.4a2.6,则?#〜愣.6〜乜4

2C〜C〜13.*4-

29兀29

又由471a4x3.14=12.56<13.4,——»—x3.14=15.18>13.4,

66

（29兀）

故只需再画出了⑺在［2兀,飞一J图象即可，

29兀空DQB

当％2时，e2«13,4<-----，f（x）=x无解，

66

作出y=%的图象，注意到」B——X3.14B13.09<13.4,

66

25ir

所以％=一时，y=%的图象在于（x）=esin2x+2cosx图象下方，

6

「29兀、

由图可知丁=》与/（X）=esm2，+28sx在0,-—上有5个交点，

29兀、

所以g（x）在J上共有5个零点，所以选项D正确,

故选：BCD.

【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项D,根据条件得出了（元）是周期为2兀的周期函数，再利用导数

0,学］上图象，且有“无）最大值和最小值分别为.乎

与函数单调性间的关系，作出了（无）在

O）e

用上＜e亍忍13.4＜3，再数形结合，即可求出结果.

66

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分

12.各位数字之和为4的三位正整数的个数为.

【答案】10

【解析】

【分析】由于本题数据比较小，故采用直接列举法即可.

【详解】因为4=1+1+2或4=2+2+0或4=4+0+0或4=1+3+0,

所以各位数字之和为4的三位数有400,220,202,112,121，21b130,103,310,301共10

个.

故答案为：10

13.设抛物线C:y2=2px（p＞（））的焦点为产，准线为/.斜率为班的直线经过焦点尸，交。于点A,交准

线/于点3（A,B在x轴的两侧），若|AB|=16,则抛物线。的方程为.

【答案】/=8x

【解析】

【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得到直线/的方程，从而求出8点坐标，再联立直

线与抛物线方程，求出A点坐标，再由距离公式得到方程，解得即可.

【详解】抛物线准线方程为x=g,

依题意直线/的方程为了二

令兀=一"|■可得y=_eP，

1、3

解得x=—p^x=-p,

62

3

又A,3在x轴的两侧，所以则%=百〃，所以A

所以|AB|二=16，解得P=4或。=一4（舍去）,

所以抛物线C的方程为V=8%.

故答案为：V=8x

14.若实数x,y,z»。，且x+y+z=4,2x—y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是

【答案】[15,19]

【解析】

2?z4z

【分析】先得到x=3—=l—并根据x,y,z2。得到0WzW3,从而求出河=§+15e[15,19].

2zz

[详解]因为x+y=4_z,2x_y=5—2,故x=3------,y=l――,

33

f2z

3——>0

3

2

由x,y,z2。得<1一§20，解得0WzW3,

z>0

=4x+3y+5z=4^3-y^+3^1-|^|+5z=y+15e[15,19].

故答案为：[15,19]

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选

取男生、女生各75人进行调查，得到如下2x2列联表:

比赛项目

性别合计

乒乓球组羽毛球组

男生502575

女生354075

合计8565150

(1)根据表中数据，依据小概率值1=0.05的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与

性别有关联.

(2)从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2

人，记X为抽到乒乓球组的学生人数，求X的分布列及数学期望.

2

2n(ad-be),.

附:力~=--------------------------,n=a+b+c+d

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)与性别有关联，理由见解析

14

(2)——

15

【解析】

【分析】(1)计算出卡方，与3.841比较得到结论;

(2)先得到选取乒乓球组和羽毛球组的人数，得到X的可能取值为0』,2和对应的概率，得到分布列和数

学期望.

【小问1详解】

2—150x(50x40-25x35)2生”6.109〉3.841,

75x75x85x65221

故可以在a=0.05的情况下，得到该校学生选择乒乓球还是羽毛球与性别有关联;

【小问2详解】

女生中，乒乓球组与羽毛球组选取人数比例为35:40=7:8,

78

故选取的15人中，选取乒乓球组的有15x——=7人，选取羽毛球组的有15义——=8人,

7+87+8

故X的可能取值为0』,2,

「(x=o)=*i。"十胃唉

故X的分布列为

X012

481

p

15155

48114

数学期望为EX=0x—+]x—+2x_=—

1515515

16.在_43。中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,设向量初二(2sinA石sinA+石cosA),

JI

n=(cosA,cosA-sinA),/(A)=m-n,Ae—,——

63

(1)求函数/(A)的最大值;

(2)若/(A)=0,a=6,sin3+sinC=曰，求_ABC的面积.

【答案】(1)73

⑵岳…?

【解析】

TT

【分析】(1)由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得/Cx)=2sin(2A+§),再结合三角函数的

值域计算即可求得;

(2)由题中条件计算可得A=],再由正弦定理得6+c=",由余弦定理可得Z?c=l,再由三角形的面

积公式计算即可求得.

【小问1详解】

/(x)=m-n=2sinAcosA+(^/3sinA+y/3cosA)(cosA-sinA)

=sin2A+^3(cos2A-sin2A)=sin2A+6cos2A=2sin(2A+^)

.7C27c_.7T27c57T

因为Ae—,所以+

63333

所以当2AH—=—，即4=:时，/(九)有最大值2xY3=；

3362

【小问2详解】

因为y(A)=O,所以2sin(2A+g)=0,所以2A+1=E，左eZ,

ijr__

因为Ae[：，wA],所以A=g,

633

a4=2

2R=

由正弦定理得:sinA百

2

bb.cc

所以sin3='L—,sinC=——=—

2R22R2

所以"邛,

又因为sinB+sinC=，

2

所以Z?+c=A/6，

由余弦定理有：a1=b'+c2-2bccosA，

即3=(6+c)2—36c,所以Z?c=l，

所以=1^csinA=|xlx^=^.

x[a-3,〃为奇数，

17.已知数列｛(4｝满足q=7,a“+]=｛%伸将

[2a“，〃为偶数.

(1)写出的，。3，。4；

(2)证明:数列｛”27-6｝为等比数列;

(3)若仇=a筋,求数列｛n■(<—3)｝的前〃项和Sn.

【答案】(1)g=4,%=8,%=5

(2)证明见解析⑶S“=1+5—1)2

【解析】

【分析】(1)由数列的递推式，分别令〃=1,2,3,计算可得所求值;

（2）推得*-6=2（%-6）,由等比数列的定义，可得证明；

（3）求得a=3+2'i,”•（〃,-3）=“-2〃T,由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得

所求和.

【小问1详解】

_\an-3,〃为奇数，

由a1=7,an+1=J平

2an,〃为偶数.

可得出=—3=4；a3=2a2=8；a4=a3—3=5；

【小问2详解】

证明：由题可得〃2〃+1.6=24"-6=2〃2〃T-6—6=2（〃2〃T-6）,

则数列—6｝是首项为1,公比为2的等比数列；

【小问3详解】

由（2）可得。2“-1一6=2"T,即如_i=6+2"T,

前几项和S“=1・2°+2々+3・22+...+“-2"T,

23n

2Sn=l-2+2-2+3-2+...+n-2,

1_

两式相减可得—S=l+2i+22+...+2"T—加2"=--—n-T,

n1-2

化简可得S,=l+（〃—l>2".

18.已知椭圆E:g+与=l（a〉6〉0）的左、右焦点分别为耳，耳，离心率为YZ,过点耳的动直线/交

ab-2

E于A,8两点，点A在x轴上方，且/不与x轴垂直，的周长为4立，直线人工与后交于另一

点C,直线与E交于另一点。，点尸为椭圆E的下顶点，如图①.

①②

(1)当点A为椭圆E的上顶点时，将平面xOy沿龙轴折叠如图②，使平面A'HK，平面8耳鸟，求异面

直线4。与BF1所成角的余弦值；

(2)若过工作月垂足H.

(i)证明:直线CD过定点；

(ii)求|尸闾的最大值.

【答案】(1)3叵

26

(2)(i)证明见详解；(ii)®+l

5

【解析】

【分析】(1)据题意求出椭圆方程，折叠后建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出异面直线AC与

8耳所成角的余弦值；

(2)(i)联立直线A居与椭圆的方程，根据韦达定理求出点C的坐标，同理得到点。的坐标，进而得到

直线CD的方程，根据对称性，可判断定点在x轴上，故令y=。，即可得到定点坐标；(ii)由题意可

知，点H的轨迹为以用(1,0),为直径的圆(除小。外)，由|加以尸网+厂即可求解.

【小问1详解】

由椭圆定义可知|明|+|M|=2a,忸£|+|%|=2a,

所以的周长为4a=4后，所以o=J5，

又因为椭圆离心率为正，

2

所以£=正，所以c=l,

a2

又Z72—a1—c2=]，

所以椭圆的方程：—+/1,

2

所以椭圆的焦点为耳（—1,0），E（LO），

当点A为椭圆E的上顶点时，4（0,1）,

所以直线/的方程为：y=x+l,

y=x+1

(41

由＜%21解得A(0,l),-y,-j

—+y2=1

I2•

4

由对称性知

C3，-3

以。为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴的正半轴所在直线为苍y*轴建立如图空间直角

则4(0,0,1),

A'C=BR=

设直线AC与8耳所成角为。,

1

A'CBF]3>/13

贝I]cos6=3

AC因后0―26'

---------X--------

33

异面直线AC与BF］所成角的余弦值为之叵.

26

【小问2详解】

⑴设点B（x2,y2）,。（七,%），。（%为），

则直线AE,的方程为y=^-（x-l）,贝I]X=2匚y+1,

%一1%

X.—1

x=———y+1

得,匚

由＜2”+2/+2y-l=O,

%21IX）

-----Fy=]

[27

所以％为=(7丫=才-2芯+1+2寸,

-1——+2

—

因为^+犬=1,所以x；+2y；=2,

所以“%=/

X,-1]x,-1y,3x,-4

又“6为+i=丁.4=「守导

3%4

同理，”=2

,

2X2-32%2—3

y,y

由4耳,与三点共线，得+=上9]

国+1x2+1

所以犬2%—玉%=%一%，

直线CD的方程为y—="[%

[X]J%4*31ZX]JJ

由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上,

一%（%—七）+（3%—4）（、一%）

令y=0得，x=

（2--3）（

一%（3々―4）+为（3%1-4）_4（%—%）+3（%%-%%）=7

%（2罚一3）—乂（2尤2—3）3（%-%）+2（%为一%%）5

故直线CD过定点(：,0

(ii)由题意知点P(O,—i),点〃轨迹为以用(1,0),为直径的圆(除工,。外)，

圆心为“d，半径为g,故|PH|w|PM+g=Jl+||+J=叱+1.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，

再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

(3)求证直线过定点(%,%),常利用直线的点斜式方程y—%=左(%—%)或截距式＞=依+6来证明.

19.设集合M是一个非空数集，对任意定义2(羽y)=|x—y],称夕为集合/的一个度量，

称集合/为一个对于度量夕而言的度量空间，该度量空间记为(M,。).

定义1：若-M是度量空间(M,p)上的一个函数，且存在。e(0,l),使得对任意均

有：xX/(x),/(y))〈空(x,y),则称/是度量空间(M,。)上的一个“压缩函数”.

定义2：记无穷数列小吗.，・为｛%｝＞若｛4｝：。是度量空间(M。)上的数列，且对任意正实数

£＞0,都存在一个正整数N,使得对任意正整数私N,均有夕(册，4)＜£，则称｛%｝：。是度量空

间(M,p)上的一个“基本数列”.

1(「1])

(1)设/(x)=sinx+5,证明：/是度量空间-,2,p上的一个“压缩函数”；

(2)已知/：R-R是度量空间(R,0)上的一个压缩函数，且4eR,定义4+1=/(4),

«=0,l,2,L,证明：｛4/为度量空间(R,。)上的一个“基本数列”.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由正弦函数的性质可知：/⑺在上的值域，进而得出/是从1,2到；,2的函数，

然后证明存在oe(0,1),对任意x,yeg,2,都有「(/(x),/(y))＜空(羽y)即可；

(2)先由压缩函数的定义得到：必存在。e(O,l),使得对任意x,yeR,\f(x)-f(y)\<a\x-y\,进

N

k

而得到\ak+l-ak\<a\ai-a0\,再利用绝对值三角不等式得出\am-a\<-\a.-aA,分类讨论囚=%