2024年广东高考数学模拟试题 (二)

数学试题卷

考生须知

1.本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；

2.答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题）,

答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；

3.考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）

1.从长度为1,3,5,7,9的5根木棒中随机选择3根，其能构成三角形的概率是

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

2.已知复数z满足i（z-l）=1,则z对应的点Z在复平面的

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知集合4=｛钝角｝,B=｛第二象限角｝,C=｛小于180。的角｝,则

A.4=BB.B=CC.AQBD.BQC

4.长度单位“米”的定义起源于法国.1米的长度最初定义为通

过巴黎的子午线上从地球赤道到北极点的距离的千万分之一

（如右图），并与随后确定了国际米原器.随着人们对计量学认

识的加深，米的长度的定义几经修改.但现在的定义与这一定

义的数值仍十分接近.将地球视作一标准球体，估算地球体积,

下列最接近的是

A.IO10km3B.1011km3C.1012km3

D.1013km3

5.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcosC,acosA,ccosB成等差数列，当△ABC

的外接圆半径R=2时，△ABC周长的最大值为

A.2V3B.4V3C.6A/3D.8V3

数学试卷第1页（共4页）

6.若函数/(x)=产与其反函数的图像有交点，则实数a的值可以是

A.1B.V2C.2D.e

7.抛物线E:y2=%的焦点为尸，P为其准线上任意一点，过点P作E的两条切线，切点为4B(点

4与P在抛物线同侧)，则方•丽+方•丽的最小值为

A.1B.2C.3D.4

8.在空间直角坐标系。久yz中，A(8,0,0),B(0,8,0),C(0,0,8),则三棱锥。—ABC内部整点(所有坐标

均为整数的点，不包括边界上的点)的个数是

A.35B.36C.84D.21

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个

正确选项，每选对一个得2分.)

9.已知与三条直线x+y=1,尤+ay=2,工+2y=3都相切的圆有且仅有两个，则实数a的值可

以是

A.0B.1C.2D.3

10.已知随机性离散变量X的分布列如下，则D(X)的值可以是

X012

Paa+ba-b

11.由倍角公式cos2%=2cos?无一1可知，cos2》可以表示为cos%的二次多项式.一般地，存在一个

以几CN*)次多项式%(t)=。九严+H-----1-art+a0(其中a.恤-力…，a。CR),使得

cosnx=^(cosx),这些多项式匕(t)称为切比雪夫多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可

得

2

A.P3(t)=4t3-3tB.P4(0=8t4-8t+1

—L/CVS+l

C.cos54=-----D.sin54。=~

64

三、填空题(本题共3小题，每小题5分,共15分.)

12.已知实数％,y满足-1<%<y<1,则久+y的取值范围是_________

数学试卷第2页(共4页)

13.如右图，在长方体4BCD-&B1C1D1中，已知4。=1,=2,

AAx=a,若对角线B%上存在一点P,使得西•时=0,则

a的最大值是.

14.已知函数/（九）的定义域和值域都为N*,且/（%）单调递增，满

足对任意nEN*,都有f(“"))=3n,则f(2024)=

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15.（13分）

已知在锐角AZBC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,记其面积为S,则有

4S=a2+b2—c2

（1）求C；

（2）若c=V^,求S的最大值.

16.(15分)

如右图，在四棱锥P—4BCD中，底面4BCD是矩形.已知4B=

3AD=2,PA=2,PD=2V2,ZPAB=60°.

（1）证明：AD1平面PAB；

（2）求二面角P-BO—4的正切值.

17.（15分）

甲参加一个“抛骰子”的游戏，其规则是：在第n关要抛掷一颗骰子（六面）几次，如果这n次抛

掷所出现的点数之和大于2n,则算过关.

（1）甲在这个游戏中，最多能过几关？

（2）求甲在这个游戏中，连过前3关的概率.

18.（17分）

设4,B是抛物线C:y2=4%上异于原点。的两点.

数学试卷第3页（共4页）

(1)探究直线0A,OB,AB的斜率七，k2,k3之间的关系；

(2)设直线2B交无轴于点F(1,O)，若C上恰好存在三个点功(i=1,2,3),使得△ABD的面积

等于4夜，求直线力B的方程.

19.(17分)

已知有穷等差数列(«„)的公差d大于零.

(1)证明：不是等比数列；

(2)是否存在指数函数y=/(%)满足：y-/(x)在％=处的切线的交工轴于(a2，。)，y=/(%)

在x=a2处的切线的交x轴于(a3,0),y=/(%)在x=am_r处的切线的交工轴于(am,0)?若存

在，请写出函数y=/(久)的表达式，并说明理由；若不存在，请说明理由；

(3)若数列｛的J中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列｛%｝,求出所有可能的m的取

值.

数学试卷第4页(共4页)

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.）

1.从长度为1,3,5,7,9的5根木棒中随机选择3根，其能构成三角形的概率是

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

2.已知复数z满足i（z-1）=1,则z对应的点Z在复平面的

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知集合A=｛钝角｝,B=｛第二象限角｝,C=｛小于180。的角｝,则

A.a=BB.B=CC.AQBD.BUC

4.长度单位“米”的定义起源于法国.1米的长度

最初定义为通过巴黎的子午线上从地球赤道到

北极点的距离的千万分之一（如右图），并与随

后确定了国际米原器.随着人们对计量学认识

的加深，米的长度的定义几经修改.但现在的定

义与这一定义的数值仍十分接近.将地球视作

一标准球体，估算地球体积，下列最接近的是经姣与经度

A.IO10km3B.1011km3C.1012km3D.1013km3

5.在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,且bcosC,acosA,ccosB成等差

数列，当△ABC的外接圆半径R=2时，△ABC周长的最大值为

A.2V3B.4V3C.6V3D.8H

数学试卷第1页（共4页）

6.若函数/(久)=〃与其反函数的图像有交点，则实数a的值可以是

A.1B.V2C.2D.e

7.抛物线E:/=%的焦点为尸，P为其准线上任意一点，过点P作E的两条切线，

切点为4B(点4与P在抛物线同侧)，则方•丽+西•丽的最小值为

A.1B.2C.3D.4

8.在空间直角坐标系。xyz中，4(8,0,0),B(080),C(0,0,8),则三棱锥。—ABC内部

整点(所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点)的个数是

A.35B.36C.84D.21

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得。分，若只有2个正确选项,

每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.)

9.已知与三条直线x+y=l,x+ay=2,x+2y=3都相切的圆有且仅有两个，则

实数a的值可以是

A.0B.1C.2D.3

10.已知随机性离散变量X的分布列如下，则D(X)的值可以是

X012

Paa+ba-b

11.由倍角公式cos2x-2cos?x—1可知，cos2x可以表示为cos%的二次多项式.一般

地，存在一个n(neN*)次多项式匕(t)=与严+H-----1-art+a0(其中

an,an-i，...,a0ER),使得cosnx=Pn(cosx'),这些多项式％(t)称为切比雪夫多项

式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得

A.P3(t)=4t3—3tB./(t)=8d—8/+1

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.已知实数x,y满足一1＜久＜y＜1,则x+y的取值范围是

数学试卷第2页(共4页)

13.如右图，在长方体ABC。—&B1C1A中，已知

AD=1,AB=2,AA1=a,若对角线BD1上存

在一点P,使得西•西=0,则a的最大值是

14.已知函数f(n)的定义域和值域都为N*,且〃久)单调递增，满足对任意neN*,

都有=3n,则/(2024)=.

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

15.(13分)

已知在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,瓦c,记其面积为S,则有

4S=a2+b2—c2

(1)求C；

(2)若c=/，求S的最大值.

16.（15分）

如右图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCC是矩

形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2或，

ZPAB=60°.

(1)证明：AD1平面PAB；

(2)求二面角P-BD-A的正切值.

17.(15分)

甲参加一个“抛骰子”的游戏，其规则是：在第九关要抛掷一颗骰子(六面)n次,

如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2联，则算过关.

(1)甲在这个游戏中，最多能过几关？

(2)求甲在这个游戏中，连过前3关的概率.

数学试卷第3页(共4页)

18.（17分）

设4,B是抛物线C:/=4%上异于原点。的两点.

（1）探究直线OB,AB的斜率的，k2,七之间的关系；

（2）设直线4B交支轴于点F（1,O）,若C上恰好存在三个点Di（i=1,2,3）,使得

△的面积等于4A泛，求直线的方程.

19.（17分）

已知有穷等差数列｛an｝的公差d大于零.

（1）证明：｛a"不是等比数列；

（2）是否存在指数函数y=/（久）满足：y=/（久）在％=的处的切线的交支轴于

（。2,0），y=y（无）在久=a2处的切线的交为轴于（。3，。），…，y=/'（无）在久=am-i处

的切线的交x轴于（%„，0）?若存在，请写出函数y=f（x）的表达式，并说明理由；若

不存在，请说明理由；

（3）若数列｛an｝中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列｛%｝，求出所有

可能的m的取值.

数学试卷第4页（共4页）

数学参考答案

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）

题号12345678

答案ADCBCBDA

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个

正确选项，每选对一个得2分.具体得分如【附】评分表.）

题号91011

答案BCABCABD

m评分表

9-11题（每题满分6分）得分情况

2个选对1个（选A或D）3分

（如AD）选对2个（选AD）6分

正确选项个数选对1个（选A或B或C）2分

3个

选对2个（选AB或BC或AC）4分

（如ABC）

选对3个（选ABC）6分

（注：有选错的得0分）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

题号121314

1

答案（-2,2）3885

4

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

数学参考答案第1页（共4页）

15.(13分)

(1)由题意，4S=a2+b2—c2,又由正弦定理S=[absinC,得

a2+b2—c2=4S=2absinC

q2+入2_

=>sinC=-------------=cosC(由余弦定理)

2ab

又Ce(o(),所以C=：.

(2)由余弦定理，

a2+b2-c2V2

--------------=cosC=—

lab---------------2

=>“2+庐=y/2ab+2

由基本不等式，a2+b2>2ab,即y/2ab+2>2ab,解得ah<V2+2,

由正弦定理,

1V2

S=-absinC=—ab

24

V2,r-.1V2

<T(V2+2)=-+T

故S的最大值是a+乎，当且仅当a=b时取到.

16.(15分)

(1)在△PAD中，由题意P4=AD=2,PD=2>/2,

可得PT!2+4。2=p£)2,所以4。iPA.

又四边形ABC。是矩形，所以力D_LAB.

又24C,所以2。1平面PAB.

(2)如图，过点P作PHLAB于点4,过点“作于点E,连接PE.

因为1平面PAB,PHu平面PAB,

所以AD1PH,又PH1AB,

所以PH1平面ABCD,又HELBD,

所以HE是PE在平面ABCD上的投影.

由三垂线定理可知，PELBD,

所以ZPEH是二面角P—BD—4的一个平面角.

由题意得，PH=PA-sin60。=遮,

数学参考答案第2页(共4页)

AHPA-cos60°=1,BH=AB—AH=2,

BD=y/AB2+AD2=V13,HE=黑BH=矗,

所以在RtaPHE中，tan/PEH=^=¥=避，

HEV-1=34

所以二面角P-BD-A的正切值是手.

4

17.（15分）

（1）因抛掷一次骰子，所得到的最大点数是6,

而6X4>24，6X5<25,

因此，当"25时，n次出现的点数之和不可能大于2几，因此甲最多过4关.

（2）设事件人几为“第九次过关失败”，则其对立事件五为“第九次过关成功”.

第一关：P（五）=1—P（4）=l—”|；

第二关：4所含基本事件数为方程久+y=a，当a分别取234时的正整数解组数之和，则

盘+戏+或=6

所以，过此关的概率为P（石）=1—P（A2）=I—白=]

66

第三关：&所含基本事件数为方程％+y+z=a，当a分别取3,4,5,6,7,8时的正整数解组数之和，则

废+废+盘+《+鬣+b=56

所以，过此关的概率为P（a）=1—P（4）=1—署=条

所以连过前三关的概率为

___2520100

P（4）PQ42）P（金）/X%X方=很

18.（17分）

（1）；+*=；,理由如下：

fcl上243

由题意4,B是抛物线=4%上异于。（0,0）的两点，

设4（尤1，%）,3（久2，%），则yl=4Kl，资=4x2，

故

11x

।=i,=yi1y2=yi+丫2

kik2yiy24yl4y24

由题意知的斜率存在，故

数学参考答案第3页（共4页）

]=久2一久1=无一无='2+%

自先-714(力-%)4

44rli11

W—k]+—k?=—七.

(2)由题意知直线4B经过点尸(1,0),若直线AB的斜率不存在，此时其方程为久=1,

不妨取4(1,2),8(1,-2),此时

1厂

^AABO=]X1X4=2<4A/2

此时曲线C:y2=4%在％=1左侧的部分上不存在点。，使得△ABD的面积等于4立，

曲线C:/=4久在光=1右侧的部分上将存在两点。4=1,2),使得小的面积等于4遮，此时

C上存在两个点=1,2),使得△4B4的面积等于4位，不合题意.

当2B斜率存在时，结合抛物线的对称性，不妨设的斜率为k,k>0,"J

设和AB平行的直线1和抛物线相切，设切点为D(9，吗),

由于k>0,此时切线]和抛物线在第一象限内的部分相切

此时y=2y,yr=,则

12

k=,=-

际m

g

则畦)，

=

设直线AB的方程为y=磔工一1),联立fy2^~x1)，

得V-於-4=0,A=g=16>0,

由韦达定理%+丫2=3yly2=-4,

故

MB|一jl+,2,4%+丫2)24yly2—J+11164(k2+1)

k2JH116-k2

点0(表十)到直线AB的距离为

+k|

d=

Vi+k2VT+k2

故

数学参考答案第4页(共4页)

_14(/c2+1)L+M_2(小+1贵

s^BD_2.-P-.VTTP—一法—

令

3

则(耳亘)=(/)二所以与亘=应，

解得k=1,则