古典概型与几何概型（理科）-2024年高考数学复习含解析

专题05古典概型与几何概型（理科）-2024年高考数学（全国通

用）含解析专题05古典概型与几何概型

考向一古典概型

【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）

【母题题文】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为

【答案】—.

【试题解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有〃=C；=70个结果，这4个点在同一个平面的有

相=6+6=12个，故所求概率。='=一='.故答案为：—.

n703535

【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高

考的执占

常见的命题角度有：

（1）列举法求古典概型的概率；（2）列表法求古典概型的概率；（3）树状图法求古典概型的概率.

【得分要点】

（1）理解古典概型及其概率计算公式.

（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

考向二几何概型

【母题来源】2021年高考全国卷（理科）

7

【母题题文】在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于丁的概率为（）

4

【答案】B

固题的回

【试题解析】设从区间（。,1）,（1,2）中随机取出的数分别为羽儿则实验的所有结果构成区域为

Q={（x,y）|0<x<l,l<^<2},设事件A表示两数之和大于，则构成的区域为

A=1（X,y）\0<X<l,l<y[2,x+y）^,分别求出4对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出.

【详解】

如图所示：

设从区间（0,1）,（1,2）中随机取出的数分别为％，V，则实验的所有结果构成---------

3。・二）卜、、

区域为。={(%>)|。<尤<1,1<”2},其面积为％=1x1=1.•、

7

设事件A表示两数之和大于“则构成的区域为

A=<1,1<乂2,尤即图中的阴影部分，其面积为—I~

SA=I-|X|X|=||-所以「⑷T=H

24432%。乙

【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高

考的执点

常见的命题角度有：

（1）由长度比求几何概型的概率；（2）由面积比求几何概型的概率；（3）由体积比求几何概型的概率;

（4）由角度比求几何概型的概率.

【得分要点】

（1）能运用模拟方法估计概率.

（2）了解几何概型的意义.

一、单选题

1.（2022•河南许昌•高二期末（理））若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区

至少分配一人，每人只能去一个社区.若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（）

A.-B.-C.-D.—

46312

2.（2022•广东茂名•二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天,

乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三

人在同一天工作的概率为（）

A.1B.冬C.口D.A

353010

3.（2022・辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，

一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能

的，则买到中国疫苗的概率为（）

A.1B,1C.2D.上

621020

4.（2022.河南安阳.模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更

加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目.现安排甲、乙两所高校与3家用人单

位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率

为（）

A.1B.-C.-D.—

23416

5.（2022.全国.模拟预测（理））2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晚20点整在国家体

育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入

场）、东道主中国（最后入场）、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表

团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美.现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大

利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北

马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（）

A.-B.-C.-D.-

5364

6.（2022•北京.北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌）,

充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为（）

,1r8-17

A.—B.—C.—D.—

52271352

7.（2022.湖北省仙桃中学模拟预测）定义：abcde=10000^+1000Z?+100c+10^/+e,（a,b,c,d,e^Z）,当

a>b<c>d<e时，称这个数为波动数，由L2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为

A.—B.—C.—D.—

15156012

8.（2022•河南省杞县高中模拟预测（理））在区间［0,1］上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于1•的概

率为（）

A.—B.gC.—D.—

4248

9.（2022・全国•哈师大附中模拟预测）若在区间内随机取一个实数f,则直线，=比与双曲线9-y2=i

的左、右两支各有一个交点的概率为（）

A.-B.!C.-D.-

4284

10.（2022•陕西•西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在加地见面，若甲是7

点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，

则甲、乙两人能见面的概率为（）.

A.-B.-C.-D.-

3698

二、填空题

11.（2022・上海青浦・二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服

务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是.（结果用最简分数表示）

12.（2022.黑龙江・哈尔滨三中一模（理））关于圆周率兀，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著

名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计无的值：先请120名同学，

每人随机写下一个尤、y都小于1的正实数对（％y）,再统计x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对（％y）

的个数m最后再根据机来估计兀的值.假如统计结果是%=36,那么兀的估计值为.

13.（2022.河南•模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1,0,-2,3的不透明卡片，它们除数字外其余完全

相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作机不放回，再从余下的卡片中取一张记作九则点P（加㈤

在第二象限的概率为.

14.（2021.江西.新余市第一中学模拟预测（理））寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午

8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合.两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分

钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去.则两人能够在图书馆门口会合的概率是

专题05古典概型与几何概型

考向一古典概型

【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）

【母题题文】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为

【答案】—.

【试题解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有〃=C；=70个结果，这4个点在同一个

平面的有利=6+6=12个，故所求概率尸='=一=一.故答案为：—.

n703535

【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题

目，是历年高考的热点.

常见的命题角度有：

（1）列举法求古典概型的概率；（2）树状图法求古典概型的概率.

【得分要点】

（1）理解古典概型及其概率计算公式.

（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

考向二几何概型

【母题来源】2021年高考全国卷（理科）

7

【母题题文】在区间（。,1）与（L2）中各随机取1个数’则两数之和大于I的概率为（）

C.—D

32-1

【答案】B

圜题能回

【试题解析】设从区间(0,1),(1,2)中随机取出的数分别为X,y,则实验的所有结果构成区域

为£1={(%刈0<彳<1,1<><2},设事件A表示两数之和大于:，则构成的区域为

y[2,y)^\,分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概

A=<1,1<x+A

率公式即可解出.

【详解】

如图所示：

设从区间(。,1),(1,2)中随机取出的数分别为九,九则实验的所有结果

构成区域为。={(x,刈。<尤其面积为S0=1X1=1.

7

设事件A表示两数之和大于“则构成的区域为

A=1(x,y)[0<x<l,l<y〈2,x+y)W，即图中的阴影部分，其面积为

冷得，所以「⑷K

【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题

目，是历年高考的热点.

常见的命题角度有：

(2)由长度比求几何概型的概率；(2)由面积比求几何概型的概率；(3)由体积比求几

何概型的概率；

(4)由角度比求几何概型的概率.

【得分要点】

(1)能运用模拟方法估计概率.

(2)了解几何概型的意义.

一、单选题

1.(2022•河南许昌•高二期末(理))若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿

者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区.若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分

配到不同社区的概率是()

5

A.1B.9C.-D.

46312

【答案】B

【解析】

【分析】

计算出甲单独去分配的社区，甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，从而得到总的分配

方法，再计算出甲乙分配到同一舍去的方法，得到乙与甲分配到不同社区的方法，根据古典

概型求概率公式进行计算.

【详解】

甲单独去分配的社区，有将乙，丙，丁三人分为两组，再和另外两个社区进行全排列，有

C；C：A；=6种方法；

甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，其余两人和另外两个社区进行全排列，有C；A；=6

种方法；

其中甲乙分配到同一社区的方法有A；=2种，

则乙与甲分配到不同社区的方法有6+6-2=10种，

所以乙与甲分配到不同社区的概率是

6+66

故选：B

2.（2022・广东茂名•二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作

2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31

日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）

1c2"11c3

A.—B.—C.—D.—

353010

【答案】B

【解析】

【分析】

列举出三人所有工作日，由古典概型公式可得.

【详解】

解：甲工作的日期为1,2,4,5,7,8,10,29.

乙工作的日期为1,2,3,5,6,7,9,10,30.

丙工作的日期为1,2,3,4,6,7,8,9,29.

在同一天工作的日期为1,2,7,11,13,14,17,19,22,23,26,29

192

•1•三人同一天工作的概率为P=^=j.

故选：B.

3.（2022・辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，

一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种,

若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（

Dr.—19

20

【答案】D

【解析】

【分析】

由对立事件的概率公式计算.

【详解】

c11

没有买到中国疫苗的概率为q=e=而，

所以买到中国疫苗的概率为「=1-4=唾19.

故选：D.

4.（2022•河南安阳•模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进

高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目.现安排甲、

乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校

的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（）

A.1B.-C.-D.—

23416

【答案】D

【解析】

【分析】

由古典概型与对立事件的概率公式求解即可

【详解】

因为每所高校至少对接两家用人单位，所以每所高校共有C;+Cf=3+1=4种选择，

所以甲、乙两所高校共有4x4=16种选择，

其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位的情况有C；=3种，

所以甲、乙两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为尸=1-2=3,故选：D

5.（2022•全国•模拟预测（理））2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晚

20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序

除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场）、下届2026年冬季奥运会

主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中

文之美.现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与

抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力

诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（）

B-§C.一D.-

64

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出这六个国家的所有可能出场的顺序的排列数，再求出乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出

场的排列数，将即乌兹别克斯坦、安道尔看作一个国家，利用捆绑法，根据古典概型的概率

公式求得答案.

【详解】

由题意得，乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国所有可能的出场顺

序有A：种，

其中乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的顺序有A；A：种，

A2A§1

故乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率为卡=不，

故选：B

6.（2022•北京・北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每

种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为

（）

.1c8八17

A.—B.—C.—D.—

52271352

【答案】C

【解析】

【分析】

直接根据古典概型概率计算公式即可得结果.

【详解】

依题意，样本空间包含样本点为52,抽到的牌为“红桃”或“A”包含的样本点为16,

所以抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为116|=石4，故选：C.

7.（2022•湖北省仙桃中学模拟预测）定义：

abcde=10000a+1000b+100c+\0d+e,（a,b,c,d,eeZ）,当a>b<c>d<e时，称这个数

为波动数，由L2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（）

【答案】B

【解析】

【分析】

先判断出由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数有120种，列举出波动数有

个，即可求出波动数的概率.

【详解】

由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数一共有A：=120种.

而构成波动数，需满足a>b<c>d<e,有：31425,31524,41325,41523,51324,51423,

32415,32514,42315,42513,52314,52413,21435,21534,53412,43512一共16个.

所以波动数的概率为=

故选：B.

8.（2022.河南省杞县高中模拟预测（理））在区间［0』上随机取两个数，则这两个数差的绝

对值大于1的概率为（）

A.—B.gC.—D.—

4248

【答案】C

【解析】

【分析】

设在［0』上取的两数为x,y,满足画出不等式表示的平面区域，结合面积比的

几何概型，即可求解.

【详解】

111

设在［0』上取的两数为x,y,则即或画出可行域，如图

所示，

则或所表示的区域为图中阴影部分，易求阴影部分的面积为:，故所

224

£

求概率

r=—=一1;

14

故选：C.

9.（2022・全国•哈师大附中模拟预测）若在区间［-U］内随机取一个实数乙则直线>=氏与

双曲线工-丁=1的左、右两支各有一个交点的概率为（）

4

A.—B.gC.-D.—

4284

【答案】B

【解析】

【分析】

求出双曲线渐近线的斜率，根据已知条件可得出，的取值范围，结合几何概型的概率公式可

求得所求事件的概率.

【详解】

双曲线的渐近线斜率为±；,则,<：，即-;</<；,故所求概率为尸=；,

故选：B.

10.（2022•陕西•西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在"地见

面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者

没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（）.

A.-B.-C.-D.-

3698

【答案】B

【解析】

【分析】

从早上7点开始计时，设甲经过尤十分钟到达，乙经过y十分钟到达，可得x、y满足的不

等式线组对应的平面区域为如图的正方形A8CD,而甲乙能够见面，X、y满足的平面区域

是图中的四边形耳<汨.分别算出图中正方形和四边形的面积，根据面积型几何概型的概

率公式计算可得.

【详解】

解：从早上7点开始计时，设甲经过X十分钟到达，乙经过y十分钟到达，

f0<x<6

则X、y满足/C，作出不等式组对应的平面区域，得到图中的正方形ABC。，

［3<y<9

若甲乙能够见面，则x、y满足|x-y区面

该不等式对应的平面区域是图中的四边形,

^ABCD=6x6=36,SEFGH=SBEH—SBFG=—x4x4——x2x2=6

因此，甲乙能见面的概率尸=沁=!=:

^ABCD°

故选：B.

11.（2022•上海青浦・二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸

检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是.（结果用最简分数

表示）

【答案】|

【解析】

【分析】

先计算总共的选择数，再计算三个核酸检测点都有志愿者到位的数量，即可得答案.

【详解】

解：四个志愿者总的选择共N=3x3x3x3=81种，

要满足三个核酸检测点都有志愿者到位，则必有2个人到同一核酸检测点，故从4人中选择

2人出来，共有C：=6种，再将这2人看成整体1人和其他2人共3人，选择三个核酸检测

点，共A；=6种，

n364

所以〃=6x6=36,所以尸=77=77=入.

N819

4

故答案为：—.

12.（2022•黑龙江・哈尔滨三中一模（理））关于圆周率兀，数学发展史上出现过许多很有创

意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来

估计兀的值：先请120名同学，每人随机写下一个小y都小于1的正实数对（x,y）,再统计

小y两数能与1构成钝角三角形时的数对（x,y）的个数如最后再