湖南省郴州市嘉禾县某中学2022-2023学年高二年级下册期末摸底数学试题（解析版）

2022-2023学年下学期高二期末摸底考试

数学试卷

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对

应题的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出翕题区域书写的答客元效，在试卷、草稿纸上作答无效.

3.本卷命题范围：高中全部内容.

一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合1111>,IIJ,则A万一()

A.[1,+co)B.[-1,+<»)C.(0,1]D,(0,1)

【答案】C

【解析】

【分析】解绝对值不等式、指数不等式求集合，再应用交运算求集合即可.

【详解】由题设A=｛x[—B=｛x|x>0｝,

所以Ac3=(0,1].

故选：C

2.若iz=2+i，则1=()

A.l+2iB.-l+2iC.l-2iD.-l-2i

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的运算规则以及共轨复数的定义即可.

【详解】2=»i=l—2i,z=i+2i;

1

故选：A.

3.若等差数列｛叫和等比数列也｝满足q=4，/="=2,&=16,则｛%｝的公差为()

A.1B.-1C.-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差等比数列的通项公式转化为首项与公比，公差的关系求解.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列｛%｝的公比为q

%=仇=2

二a1+d=伪•q,又q=伪

二6+d=4-q=2

又.幺=4•/=%./=（q.q）.g3=2/=]6

q—1,6=l,d=1

故选：A

4.在财务审计中，我们可以用本福特定律来检验数据是否造假.本福特定律指出，在一组没有人为编造的

自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零数字是1,2,L,9这九个事件并不是等可能的.具体来说，

假设随机变量X是一组没有人为编造的数据的首位非零数字，则P（X=Q=lg」，左=1,2,.、9.根

k

据本福特定律，首位非零数字是1的概率与首位非零数字是8的概率之比约为（）

（参考数据：lg2ao.301,1g3。0.477）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意结合对数运算求解.

P（X=1）=lg2=lg2=lg2〜0.301〜6

【详解】由题意可得：=8）9~Ig9-lg8-21g3-31g2~3x0.477-3x0.301~•

§8

故选：C.

5.在，中，点。满足=则AO=（）

一一1121

A.2AB—ACB.—AB+2ACC.—AB+—ACD.—AB+—AC

2233

【答案】A

【解析】

【分析】根据共线向量定理可得8为CD的中点，再根据向量的加法和减法法则，即可得答案；

【详解】二3为CD的中点，

2

AD=AB+BD=AB+CB=AB+(AB-AC)=2AB-AC,

故选：A.

【点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量加法和减法的几何意义，求解时注意回路的选择.

22

6.椭圆\+\=l（a〉G）的左、右焦点分别为耳，工，A为上顶点，若工的面积为招，则△△月工

的周长为（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】C

【解析】

【分析】设椭圆的半焦距为c,由条件利用c表示片乙的面积，由条件列方程求。，再由仇c关系求

”,根据椭圆定义求耳|+|48|,由此可求“月耳的周长.

22

【详解】设椭圆—+4=l（a〉G）的半短轴长为〃，半焦距为。，

则6=退，AAE月的面积S=g山村为=限

由题知&=若，

所以c=1，a—y/b2+c2=2，

由椭圆的定义知|A£|+|A与|=2a=4,又|耳口=2c=2,

所以AAKg的周长为4+2=6.

故选：C.

7.设a=log,7t,b=sinl,0=@，则（）

2

A.a>b>cB.b>a>C

C.a>c>bD.c>b>a

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数函数、正弦函数的性质判断即可.

【详解】因为走=sin工<sinl<sin1=l，即也〈沃1,

2422

又a=log27r>log22=l,所以a>"c.

故选：A

8.已知函数的定义域为R,且/(x)<l—/'(x),/(0)=4,则不等式〃%)<1+三解集为

()

A,(1,+<»)B.(-oo,l)C,(0,+oo)D.(-oo,0)

【答案】C

【解析】

3

【分析】不等式〃X)<1+京的解集等价于e"(x)—优―3<0的解集，构造函数

F(x)=exf(x)-ex-3,利用导数及相关条件可以判断出函数歹(%)在R上单调递减，从而可得原不等

式的解集.

3

【详解】由/(x)<l+=得e"(x)</+3,即e"(x)-e，-3<0,

令尸(x)=e"(x)—d—3,

F(x)=exf(x)+exf'(%)-e*

“="[/(x)+/(x)T

因为y(x)<l—/'(x),即/■(x)+/(x)—l<0,且e'>0,

所以尸(x)<0,

故函数b(x)在R上单调递减，

由尸—=4—1—3=0,

3

故/(x)<0,即+/的解集是(0,+力).

故选：C.

二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.以下四个命题中，真命题的有（）

A.在回归分析中，可用相关指数尺2值判断模型的拟合效果，收越大，模型的拟合效果越好；

B.回归模型中残差是实际值/与估计值夕的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越

高；

C.对分类变量X与y的统计量力2来说，力2值越小，判断“X与y有关系，，的把握程度越大.

D.已知随机变量X服从二项分布若石（3X+1）=6,则〃=6.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据相关指数的定义确定A；

根据残差的性质确定B；

根据独立性检验确定C；

根据二项分布与均值的运算确定D.

【详解】对于A,由相关指数的定义知：尺2越大，模型的拟合效果越好，A正确；

对于B,残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B正确；

对于C,由独立性检验的思想知：??值越大，"x与y有关系，，的把握程度越大，c错误.

对于D,E（3X+1）=3E（X）+1=6,又XE（X）=|=j,解

得：n=5,D错误.

故选：AB.

10.已知函数/（x）=sinox+cosox（0>O）图象的最小正周期是万，则（）

A./（%）的图象关于点1寸称

B.将/（力的图象向左平移三个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称

8

jr

C.外可在0,万上的值域为［—1』

D./（%）在-j,0上单调递增

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用赋值角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出0,即可得到函数的解析式，由正弦

函数的对称性可判断A；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断B；根据x的范围和正弦函

数的性质直接求解可判断C；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断D.

【详解】解：因为/(x)=sinox+cosox=0sin|a)x+—\,

函数的最小正周期是万，：.T=TV=—,

0)

G=2,/(x)=^/2sinJ2x+—71j,

4

.f_3K.八•••/(可关于］?，°］对称,故正确.

sm2x----1——=sm»=。A

I84

+=V2sin^2x+^j=V2cos2x,...+(J关于,轴对称，故B正确.

当0<x〈工时，有0<2xVn,则工42工+工〈9乃，所以一Y^<sin(2x+K]<1,

244424J

.\/(x)e[-l,V2],故C错误.

.兀_7V7V..37V

由——<2x+—<—,解得一一7l<x<—,

24288

3TZ"TCTTJ7TTT

所以/(x)的一个单调增区间为---,而-•-,0o---,

|_OOJ|_4J|_OO_

.•./(力在-?,0上单调递增，故D正确.

故选：ABD

11.已知函数/(x)=%3一x+2,贝!]()

A.函数/(%)在R上单调递增B./(%)有三个零点

C.”X)有两个极值点D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

【答案】CD

【解析】

【分析】利用导数研究函数单调性和极值，通过极值判断函数零点个数，通过导数的几何意义求已知斜率

A.AM与4G是异面直线B.ACL\M

C.平面ABC将三棱柱截成两个四面体D.AM+MC的最小值是Jj而

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据展开图还原直三棱柱，根据其结构特征及线面垂直的性质判断A、B、C,将面A4耳5和

面CC"8展开展开为一个平面，利用三点共线求4河+"C的最小值.

【详解】由题设，可得如下直三棱柱：

AB

由直三棱柱的结构特征知：AM与4G是异面直线，A正确；

因为BA±AC,且AAcBA=A,则又人加＜=面9片3,故

AC,B正确;

由图知：面ASC将三棱柱截成四棱锥用-AC£4和三棱锥耳-A3C,一个五面体和一个四面体，C

错误：

将面44,耳3和面CGB乃展开展开为一个平面，如下图：

当A，M,C共线时，AA/+MC最小为，既，D正确.

故选：ABD

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13已知平面向量a=(6,1),人=0,—君)，求卜+24=.

【答案】275

【解析】

【分析】利用向量坐标的加减运算和模长计算公式得到答案.

【详解】«+2&=(V3,l)+2(l,-73)=(73+2,1-273),所以模长为

\a+20=,(用2『+(1—2⑹2=2A/5.

故答案为：2节.

14.已知定义在R上的偶函数/(%)满足/(l+x)=/(3—x),则/(%)的一个解析式为f(x)=

【答案】cos1]xj(答案不唯一)

【解析】

【分析】由已知条件可推出了(%)的周期为4,从而得解.

【详解】•••/(%)为R上的偶函数，；./(—*)=/(£)，

又/(1+X)=/(3-助，；.用3+%替换工，得/(%+4)=/(—%),

.•./(x+4)=的周期为4,

则/(X)的一个解析式可以为/(x)=cos1]x]

故答案为：cos]]\](答案不唯一).

15.有三台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为0.06,第二三台加工的次品率均为0.05,加

工出来的零件混放在一起.已知第一，二，三台车床加工的零件数分别占总数的0.25,0.3,0.45,任取一

个零件，求它是次品的概率.

【答案】0.0525

【解析】

【分析】利用三台车床的次品率和零件数占比求得正确结论.

【详解】依题意，任取一个零件，求它是次品的概率为

0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05=0.0525.

故答案为：0.0525

为奇数

16.在数列｛4｝中，已知q=l,a，当九为偶数时，区

n+la“+2,〃为偶数'

【答案】159②•2x3?-3

【解析】

【分析】根据递推式求解出％,令n=2k—l,则出&=3〃-1，令n=2k,则=%+2,从而可

得。2%+2=3%*+6,进而可求出当”为偶数时的通项公式.

（为奇数

【详解】因为在数列%｝中，已知％=1,an+1=\:

4+2,〃为偶数

所以4=3。］=3,。3=%+2=5,〃4=3。3=15,。5=〃4+2=17,

%—3%—51,%=4+2=53,4=3%=159,

令n=2k-l，则心=3/I，a2k+2=3a?*+i，

令n=2k,则=a2k+2,

所以。2*+2=3阳+6,

所以a2n2+3=3（。21t+3）,

所以数列｛a2K+3｝是以3为公比，6为首项的等比数列，

所以42^+3=6x31=2x3。

所以a2A=2x3”一3,

所以4=2x3，-3，

所以当〃为偶数时，a“=2x3、_3，

故答案为：159,2x^-3-

四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在平面四边形ABCD中，ZADB=45°,ZBAD=105°,AD^—,BC=2,AC=3.

(2)2n2+n

【解析】

【分析】(1)由等差、等比数列的性质计算即可；

(2)先求出的通项，再用并项求和法求和即可.

【小问1详解】

设等差数列｛%｝的公差为d,又q=1,所以4=1+("-1)2.

因为见吗,%是一个等比数列的前三项，所以%%=蜡.

即l+4d=(l+d)2,又dwo,所以d=2,

所以数列｛%｝的通项公式为4=2"—l,"eN*

【小问2详解】

由(1)知数列｛4｝的前〃项和S,,=—^^xn=n2

所以(―1)"S〃=(—1)"〃2,数列｛(_1)"反｝的前2九项的和为

(-12)+22+(-32)+42+-(2“-1)2+(2“)2=1+2+3+4++(2“-1)+2”

1+2〃__2

=-----x2〃=2〃+〃

2

19.飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的

新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，

得到如下列联表：

飞盘运动

性别合计

不爱好爱好

男61622

女42428

合计104050

(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取

3人访谈，记参与访谈的男性人数为X,求X的分布列和数学期望；

(2)依据小概率值。=0.01的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数

据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联

性，结论还一样吗？请解释其中的原因.

n(ad-bc)

附:/=(——、/、，其中〃=a+Z?+c+d

a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

【答案】（1）答案见解析

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）分别写出对相应概率列分布列求数学期望即可；

（2）先求力2再根据数表对应判断相关性即可，对比两次的值可以得出结论说明原因.

【小问1详解】

样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性16人，女性24人，比例为4:6，

按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，则抽取男性4人，女性6人.

随机变量X的取值为：0』,2,3.

P(x=o)=*q,

Jo6

P(X=1)=*=；,

Jo乙

d

P(X=2)=^C2c=-3,

I)c：。10

p(X=3)=与」，

I)C：030

随机变量X分布列为

X0123

j_j_31

p

6~21030

随机变量X的数学期望E(X)=0X!+1X；+2X2+3X±="

oZ10JUJ

【小问2详解】

零假设为“0：爱好飞盘运动与性别无关联.

根据列联表重的数据，经计算得到第2=50x(6x24-4x16)工1299<6635=尤…

10x40x22x28°

根据小概率值a=0.01的独立性检验，没有充分证据推断“°不成立，因此可以认为“0成立，即认为爱

好飞盘运动与性别无关联.

列联表中所有数据都扩大到原来的1。倍后,

500x(60x240-40xl60)2

~12.99>6.635=x,

100x400x220x280om

根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断“0不成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联.

所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断

结论发生了变化.

20.正三棱柱ABC-43G中，5。=。£=2,。为8。的中点，点石在44上.

(1)证明：8cl平面AA。；

(2)若二面角4一DE-G大小为30。，求以4，E,D,G为顶点的四面体体积・

【答案】(1)证明见解析

⑵好

6

【解析】

【分析】(1)由线面垂直的判定定理可证；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求出AE长度，再求以4,E,D,£为顶点的四面体体积.

【小问1详解】

正三棱柱ABC-4与。1，则AAJ■平面ABC,又BCu平面ABC,...3C，A41,

又。为6C的中点，则AO_ZBC,AD>A&u平面AAD,AOnAA=A>

.•.BC,平面AA。

由题意，JRC为正三角形，。为BC的中点，AD1BC,如图建立空间坐标系，

由(1)易知平面AED法向量勺=0,0,0)，

设AE=/z,则E(0,6/，，D(0,0,0),G(1,0,2),则55=倒,括，“西=(1,0,2),

uu\n7-DE=V3y+hz=Q

设平面DEC1的法向量为巧=(尤,y,z),则｛,,取z=6,则

n2-DCX=x+2z=0

kr42J3J3

由题意cos30°=^~~j—i—=1—=，解得/z=l或力二一1(舍去)，

H-hlgy+152

SAED=；xlx6=与,点C|到平面4即距离为1，

以A,E,G为顶点的四面体体积为V=上义11=旦

326

22

21.已知双曲线C:=-'=l(a>0,b>0)一条渐近线方程为石x+y=O,且左焦点歹到渐近线的距离

ab

为上,直线4、，2经过R且互相垂直(斜率都存在且不为0)，与双曲线。分别交于点48和M、N,O、E

分别为A&MN的中点.

(1)求双曲线C方程；

(2)证明：直线。E过定点.

2

【答案】(1)%2-^=1

3

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先由题给条件求得的值，进而得到双曲线。的方程;

（2）先利用设而不求的方法分别求得。,E两点的坐标，求得直线。石的方程，进而得到直线OE过定

点（1,0）.

【小问1详解】

22入

双曲线。:=一马=1的渐近线方程为氐+y=0,所以一=6,

aba

左焦点尸到渐近线的距离为石，所以J।=石，Xc2=a2+Z?2，

+1

C1=。2+/a=l

2

联立得。二2,解之得<c=2,所以双曲线C的方程为必一21=1.

L3

b-y[3ab=小

【小问2详解】

设直线4的方程为y=果（％+2）（左H土石卜令A6,%）

y=化（元+2）

联立29,整理得，（3—左2卜2_4左2%—4公—3=0,

X一可一

A=16/_4（3-左2）（—4左2-3）=36左2+36>0

所以西+々=4k言2,所以五±三2k2

23-k2

X+%=Mx[+々+4）=6k,则/2k26k]

~2_―23-k1'、）

-1（J3}、

设直线6的方程为丁=吃7（》+2）k^±-,令C（毛,%）,£>（%,%）

K3

尸-；（x+2）

K

联立《,整理得（3左2_1）X2_4x_3左2_4=0,

fV-1

3

A=16-4（3妤—1）（—3左2-4）=36左4+36〃>0,

4，所以三2

所以％+Z=

3k2-13k2T

,+乂左«+%+4)__6k,则E(2-6k

13〃—/3〃—J

~2——2—3—2—1

当上2。k22即人=±1时，直线OE的方程为x=l.

3-V3左2—1

当左w±l,左/土,kw+^/3时，

3

6k-6k

42弘