北京市通州区2020-2021学年高一年级下册期末考试数学试卷-(含解析)

北京市通州区2020-2021学年高一下学期期末考试

数学试卷

一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.）

1.设Z1=3—由,2=—2+,则4+z2在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.下列说法不正确的是（）

A.平行六面体的侧面和底面均为平行四边形

B.直棱柱的侧棱长与高相等

C.斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高

D.直四棱柱是长方体

3.下列命题正确的是（）

A.三点确定一个平面

B.梯形确定一个平面

C.两条直线确定一个平面

D.四边形确定一个平面

4.已知点AG直线1,又AG平面a,贝1J（）

A.l//a

B.ZC\a=A

C.lua

D.la=A或Ica

5.先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为

（）

A.正面，反面

B.｛正面，反面｝

C.｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝

D.｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝

6.给定空间中的直线I与平面a，则“直线I与平面a垂直”是“直线I垂直于a平面内

无数条直线”的（）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,如果P(AB)=0,那么P(AUB)等于()

A.0.8B.0.5C.0.3D.0.2

8.已知afp是平面，m、n是直线，则下列命题正确的是()

A.若m//a,m1n,贝Un//a

B.若m1a,m1p,则仇〃S

C.若m1a,a1p,则m//^

D.若m//a,n//a,则m//n

9.在AABC中,D为BC中点，点E为AD上靠近D点的一个三等分点，若BE=AAB+fiAC，

则a+〃=()

311

A.lB-C.--D.--

432

10.将边长为1的正方形ABCD沿4寸角线AC折起，使得平面ADC上平面ABC,在折起后

形成的三棱锥D—ABC中，给出下列四个命题：©ACXBD；②BD与平面ABC所成的角

为£；③ADBC是等边三角形；④三棱锥D—ABC的体积是史.其中正确命题的个数有

44

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)

11.已知2(1+2])=4+3[,则2=.

12.袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随

机摸出2球，则2球颜色相同的概率等于.

13.已知半径为R的球，其表面积为S,体积为V,若$=丫,则口=.

14.如图，在正方体ABCD-AiBiQDi中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题:

①DiP〃平面AiBCi；②DiPJ_BD；③平面PDB」平面AIBCi；④三棱锥Ai-BPCi的体积

不变.则其中所有正确的命题的序号是.

TB

15.在一次文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打

分，下面是两组评委对同一选手的打分：

2

小组A424548465247495542514745

小组B553670667549466842625847

B小组的第75百分位数是；从评委打分相似性上看更像专业人士组成的小组是

16.已知点A(1,1),点B(5,3),将向量AB绕点A逆时针旋转］,得到向量AC，

则点C坐标为；\BC\=.

三、解答题(本题共6小题，共80分

17.某公司入职笔试中有两道必答题，某应试者答对第一题的概率为0.9,答对第二题的概率

为0.8,假设每道题目是否答对是相互独立的.

(1)求该应试者两道题都答对的概率；

(2)求该应试者只答对一题的概率.

18.某校从参加高一年级期中考试的学生中抽取n名学生，统计了他们的某科成绩(成绩均

为整数，且满分为100分)，绘制成频率分布直方图如图所示，已知分数在［40,50)的频

数为2.

(1)求a,n的值；

(2)抽取n名学生中，甲同学期中该科成绩为45分，乙同学期中该科成绩为93分.若从

［40,50)内的两名同学中选一人，从［90,100］中选出两名同学组成学习小组，求甲、乙两

同学恰好在该小组的概率；

(3)假设［40,50)内的两名同学在期末考试中，甲同学该科考了68分，另一名考了72分,

样本中其他学生该科期末成绩不变，试比较n名学生期中成绩方差si与期末成绩方差si

的大小、(结论不要求证明)

3

19.如图，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,AC=BC,F是BE中点.

(1)求证：DC〃平面AEB；

(2)求证：DF_L平面AEB.

20.已知向量m=(y,cos0),n=(l,-2sin0),0e[0,TT].

(1)求向量m的模的取值范围；

(2)从条件①：S//n，②：mln这两个条件中选择一个作为条件，求向量a=

(cos仇sin。)与n夹角的余弦值.(注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分)

21.在AABC中，已知AB=2,NBAC=巴,cos/ACB=""，D为AC中点.

319

(1)求BC的长；

(2)求BD的长及ABCD的面积.

22.如图，在四棱锥P—ABCD中，ABCD是正方形，PDL平面ABCD,PD=AB=2,点E,

F分别是PD,BC的中点.

(1)求证：平面PBC_L平面PDC；

(2)在线段PC上确定一点G,使平面EFG〃平面PAB,并给出证明;

(3)求二面角P—AC—D的正弦值，并求出D到平面PAC的距离.

4

北京市通州区2020-2021学年高一下学期期末考试

数学试卷答案解析

一、单选题

1.设Z1=3—肉,2=—2+,则Z1+Z2在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】Zi=3—4pz2=—2+,贝!]Z]+z2=3—4—2+=1+i.

故复平面内对应的点位于一象限.

故答案为：A.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数代数形式的几何意义即可得出

答案。

2.下列说法不正确的是（）

A.平行六面体的侧面和底面均为平行四边形B.直棱柱的侧棱长与高相等

C.斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高D.直四棱柱是长方体

【答案】D

【考点】棱柱的结构特征

【解析】【解答】根据平行多面体的定义知：平行六面体的侧面和底面均为平行四边形，A

正确，不符合题意；

直棱柱的侧棱长与底面垂直，故与高相等，B正确，不符合题意；

斜棱柱的侧棱与高可构成以侧棱为斜边，高为直角边的直角三角形，斜边大于直角边，C正

确，不符合题意；

当直四棱柱的底面不是长方形时不是长方体，D错误，符合题意.

故答案为：D.

【分析】由棱柱的几何性质对选项逐一判断即可得出答案。

3.下列命题正确的是（）

A.三点确定一个平面B.梯形确定一个平面

C.两条直线确定一个平面D.四边形确定一个平面

【答案】B

【考点】平面的基本性质及推论

【解析】【解答】当三点共线时不能确定一个平面，A不符合题意；

5

梯形上底和下底平行，能确定一个平面，B符合题意；

两条直线异面时不能确定一个平面，C不符合题意；

空间四边形不能确定一个平面，D不符合题意.

故答案为：B.

【分析】根据题意由确定平面的定理对选项逐一判断即可得出答案。

4.已知点A©直线1,又Ad平面a,贝!］（）

A〃/aB.lC\a=A

C.lcaDIna=4或1ua

【答案】D

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系

【解析】【解答】点AG直线1,又AG平面a,则/与平面a至少有一个公共点，所

以IC\a—A或Ica.

故答案为：D.

【分析】由直线与平面的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。

5.先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为

（）

A.正面，反面

B.｛正面，反面｝

C.｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝

D.｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝

【答案】D

【考点】事件与基本事件空间

【解析】【解答】解：先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此

试验的样本空间为

｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝

故答案为：D

【分析】由基本事件的定义，列举出即可。

6.给定空间中的直线I与平面a，则“直线I与平面a垂直”是“直线I垂直于a平面内

无数条直线''的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，空间中直线与平面之间的位置关系

6

【解析】【解答】由题意，若“直线I与平面a垂直”则“直线I垂直于a平面内无数条

直线”成立的，所以充分性是成立的；

若“直线I垂直于a平面内无数条直线”则直线“直线I不一定平面a垂直”，所以必要性

不成立，

所以“直线I与平面a垂直”是“直线I垂直于a平面内无数条直线”成立的充分不必要

条件.

故答案为：A.

【分析】由直线与平面的位置关系结合充分和必要条件的定义即可得出答案。

7.已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,如果P(AB)=0,那么P(AuB)等于()

A.0.8B.0.5C.0.3D.0.2

【答案】A

【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式

【解析】【解答】PQ4UB)=PQ4)+P(B)-P(AB)=0.3+0.5-0=0.8.

故答案为：A.

【分析】由概率的计算公式计算出结果即可。

8.已知a,/?是平面，m、n是直线，则下列命题正确的是()

A.若m//a,m1n,则n//aB.若m1a,m10,贝1ja〃夕

C.若m1a,a1/7,则m///?D若m//a,n//a,则mlIn

【答案】B

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系

【解析】【解答】若m//a,m1n,则n//a或nua或ri与a相交，A不符合题意;

若m1a,m1P,则a//p,B符合题意；

若m_La,aJ.3,则m/或mu夕,C不符合题意；

若m//a,n//a,则m//n或m,n相交或m,n异面，D不符合题意.

故答案为：B.

【分析】根据直线与平面的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。

9.在AABC中,D为BC中点，点E为AD上靠近D点的一个三等分点，若BE=AAB+fiAC,

则4+〃=()

311

A.1B,-C.--D--

【答案】C

【考点】向量加减混合运算及其几何意义，向量的线性运算性质及几何意义

【解析】【解答】BE=5X+4E=BX+|AD=B4+|X1(XB+XC)=-|AB+|ZC.

故,,A-+,ll=--2+,-1=-1-.

7

故答案为：c.

【分析】首先由向量加减的运算性质整理已知条件即可得出品=-26+3介，由此

33

即可得出答案。

10.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC，平面ABC,在折起后

形成的三棱锥D—ABC中，给出下列四个命题：①ACLBD；②BD与平面ABC所成的角

为；③^DBC是等边三角形；④三棱锥D—ABC的体积是更.其中正确命题的个数有

44

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面所成的角

【解析】【解答】如图所示：E为AC中点，连接DE.BE，则DE，"，BE1AC,

DEnBE=E,

D

/E.；:r/

A''''N

B

故AC1平面BDE,BDu平面BDE,故AC1BD,①正确；

平面ADCJ_平面ABC,DEVAC,故DE1平面ABC,乙DBE即BD与平面ABC所

成的角，正方形边长为1,故DE=BE=立，故tan/DBE=l,^DBEe[0,^],故

22

乙DBE=与,②正确；

4

在直角△DEB中，DE=BE=立，故DB=yjDE2+BE2=1,BC=CD=1,故4

2

DBC是等边三角形，③正确；

S^ABC=；xlxl=；,DE1平面ABC,故VD_ABC=工*在义工=在，④错误.

22u8几32212

故答案为：C.

【分析】结合折起后形成的三棱锥D-ABC进行分析，取AC中点O,连接OB、OD.通过

证明AC,平面OBD,可判断①；可证得BD与平面ABC所成的角为/DBO可判断②；

在Rt/XBOD中可求得BD长，可判断③；三棱锥D-ABC的底面为RtZ\ABC、高为OD,

计算其体积可判断④.，由此得出答案。

二、填空题

8

11.已知z(l+2p=4+3j,贝Iz=.

【答案】2-i

【考点】复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】由已知z=岩=舁黑言=匕臂堂=2—i.

1+4(1+卬(1-21)51

故答案为：2—i.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理即可得出答案。

12.袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随

机摸出2球，则2球颜色相同的概率等于.

【答案】

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率

【解析】【解答】2个红球编号为4B,2个白球编号为a,b,则依次取2球的基本事件

有：43,41,4),3£1,<8瓦仍共6个，其中2球颜色相同的事件有AB,ab共2个，

所求概率为P=l=l.

OJ

故答案为：I.

【分析】根据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到

概率的个数计算出结果即可。

13.已知半径为R的球，其表面积为S,体积为V,若$=丫，则口=.

【答案】3

【考点】球的体积和表面积

【解析】【解答】S=4兀/?2,U=)R3,s=U,故轨R2=>R3,解得R=3.

故答案为：3.

【分析】根据题意由球的表面积公式和体积公式结合已知条件整理计算出结果即可。

14.如图，在正方体ABCD-AiBiQDi中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题:

①DiP〃平面AiBCi；②DiPJ_BD；③平面PDBi_L平面AIBCi；④三棱锥Ai-BPCi的体积

不变.则其中所有正确的命题的序号是.

Si

4B

【答案】①③④

9

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的

判定，平面与平面垂直的判定

【解析】【解答】①：在正方体中，D1A/7BC1,D1C/7BA1,且DiACDCi=Di,：.

平面DiAC〃平面A1BC1；在面对角线AC上运动，；.DiP〃平面AiBCi；.*.①正确.

②当P位于AC的中点时，DiPLBD不成立，，②错误；

③：AiCi_L平面BDDiBi；.,.AiCiXBiD,同理AiB_LBQ,；.BiD_L平面A1BC1,...平

ffiBDDiBXffiACDi,平面PDBi_L平面A1BC1；.•.③正确.

____-1

④三棱锥Ai-BPCi的体积等于B-AiPCi的体积，△AiPCi的面积为定值5AiCi・AAi,B

到平面AiPCi的高为BP为定值，，三棱锥Ai-BPCi的体积不变，，④正确.

故答案为：①③④.

【分析】利用正方体的结构特征结合已知条件，用线面平行的判定定理、线线垂直的判断

方法、面面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，从而找出正确命题的序号。

15.在一次文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打

分，下面是两组评委对同一选手的打分：

小组A424548465247495542514745

小组B553670667549466842625847

B小组的第75百分位数是；从评委打分相似性上看更像专业人士组成的小组是

【答案】67；A

【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差

【解析】【解答】将小组B的数据进行排序得到：36,42,46,47,49,55,58,62,66,68,70,75,

12X75%=9,B小组的第75百分位数是等=67.

瓦屋(42+45+48+46+52+47+49+55+42+51+47+45)=47,

SA2=2[(42-47/+(45-47)2+…+(45-47)2]«17.08.

_1

XB=适(55+36+70+66+75+49+46+68+42+62+58+47)=56

SB2屋[(55-56产+(36—56)2+…+(47-56)2]«139.

22

SA<SB,A小组更像专业人士组成的小组.

故答案为：67；A.

【分析】根据题意将B小组的分数进行升序排序，取第9个和第10个的平均值，即为小

组的第75百分位数，分别求出A,B两组的方差，即可确定那组评委为专业人士组成，即

可求解.

10

16.已知点A(1,1),点B(5,3),将向量AB绕点A逆时针旋转］,得到向量AC，

则点C坐标为；\BC\=.

【答案】(—1,5)；2V10

【考点】向量的模，平面向量的坐标运算

【解析】【解答】解：设点C的坐标为(x,y),

因为点A(1,1),点B(5,3),所以湎=(4,2),4=(x-l,y-1),

因为向量AB绕点A逆时针旋转；，得到向量AC,

所以荏•而=0,\AB\=\AC\,

所以4(x-1)+2(y-1)=0,且(x-I)2+(y-I)2=20,

解得或&：］，

因为逆时针旋转，所以点C的坐标为(-1,5),

所以瓯=(-6,2),

所以|也=7(-6)2+22=2V10,

故答案为：(—1,5),2V10

【分析】由于向量荏不绕点A逆时针旋转］，得到向量左，结合旋转后两个向量互

相垂直，以及向量的模相等，可得点C坐标，再结合向量的模长公式，即可求解。

三、解答题

17.某公司入职笔试中有两道必答题，某应试者答对第一题的概率为0.9,答对第二题的概率

为0.8,假设每道题目是否答对是相互独立的.

(1)求该应试者两道题都答对的概率；

(2)求该应试者只答对一题的概率.

【答案】(1)设应试者两道题都答对的事件为A,则P(4)=0,9X0.8=0.72.

(2)设应试者答对一题的事件为B,

贝ijP(B)=0,9X(1-0.8)+0.8X(1-0.9)=0.18+0.08=0.26.

【考点】互斥事件的概率加法公式，等可能事件的概率，相互独立事件的概率乘法公式

【解析】【分析】(1)根据题意由概率乘法公式代入数值计算出结果即可。

(2)由对立事件和概率加法公式结合已知条件计算出结果即可。

18.某校从参加高一年级期中考试的学生中抽取n名学生，统计了他们的某科成绩(成绩均

为整数，且满分为100分)，绘制成频率分布直方图如图所示，已知分数在［40,50)的频

数为2.

11

（1）求a,n的值；

（2）抽取n名学生中，甲同学期中该科成绩为45分，乙同学期中该科成绩为93分.若从

[40,50）内的两名同学中选一人，从[90,100]中选出两名同学组成学习小组，求甲、乙两

同学恰好在该小组的概率；

（3）假设[40,50）内的两名同学在期末考试中，甲同学该科考了68分，另一名考了72分,

样本中其他学生该科期末成绩不变，试比较n名学生期中成绩方差si与期末成绩方差

的大小、（结论不要求证明）

【答案】（1）根据频率分布直方图的性质知：（0.004+0.006+a+0.024+0.028+

0.030）X10=1,

解得a=0.008.

[40,50）的频率为0.004X10=0.04,故n=2+0.04=50.

（2）[40,50）中有2人，记作A,B,[90,100]中有50x0.008x10=4人，记作a,b,c,d,

甲同学为A,另外一个同学为a,

故共有Aab,Aac,Aad,Abe,Abd,Acd,Bab,Bae,Bad,Bbc,Bbd,Bed共12种情况，

P=-=-.

124

（3）期中平均成绩为：

0.04X45+0.06X55+0.28X65+0.3X75+0.24X85+0.08X95=73.8.

其他同学成绩不变的情况下，期末成绩更接近平均值，故方差更小，即sl>sl.

【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差，列举法计算基本

事件数及事件发生的概率

【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质，计算出结果即可。

（2）根据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的

个数计算出结果即可。

12

(3)根据题意由平均数公式代入数值计算出结果，再由方差公式计算出结果然后再与标准值

进行比较即可得出结论。

19.如图，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,AC=BC,F是BE中点.

...J"

(1)求证：DC〃平面AEB；

(2)求证：DF_L平面AEB.

【答案】(1)证明：EA和DC都垂直于平面ABC,故DCII4E,DC电平面AEB,

AEu平面AEB,

DC〃平面AEB.

(2)证明：G为AB中点，连接FG,CG,F是BE中点，G为AB中点，

DI

......\A

1/o

则『Gil泊，

DC||AE,EA=2DC,故"011，故四边形DCFG为平行四边形，DF||CG,

AC=BC,G为AB中点，故CG_L4B,

EA1平面ABC,CGu平面ABC，故CG1AE,AEnAB=A,故CG1平面

ABE,

DF||CG,故DF1平面ABE.

【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质

【解析】【分析】(1)由题意即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。

(2)由已知条件作出辅助线，结合中点的性质得出线线平行，由此得出四边形DCFG为平

13

行四边形，从而得出线线平行，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。

20.已知向量m=(y,cos0),n=(l,-2sin0),0G[0,n].

(1)求向量m的模的取值范围；

(2)从条件①：fi//n，②：mln这两个条件中选择一个作为条件，求向量2=

(cos。,sin。)与n夹角的余弦值.(注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分)

【答案】(1)万=(今cos。)，则\m\=J(-y)2+COS20=+COS20,。e[0,兀],

故COS26(G[0,1]，故师I=J|+COS20e[y,y].

(2)若选择条件①：m=(y,cos0),n=(1,-2sin0),0e[0,TT]>fl//0,

则?x(—2sin0)=1xcos0,即cos。=—\/3sin0,即tan。=—g，。e[0,兀],

故。=%

o

d=(—今3，Hl)，故cos优力=器=石=_当_亨.

若选择条件②：m=(Y，cos0),n=(1,—2sin0),0G[O,TT],mln,

则m-n=-yx1+cos3x(—2sin0)=0,即sin20=当,8W[0,扪，29E[0,2n],

故26=g或?，故e=£或

D3oo

当6=公时，五=(?])，元=(L-1)，故cos(d,n)=蒿g==--—•

622\'|a|-|n|lxV244

__1_3

当8屋时，d=Cr，元=(1,一次)，故cos值力=品=2=W.

乙乙ILlI|IL|[八4L.

综上所述：当记1元时，cos(a,n)=^-^或一J.

【考点】向量的模，平面向量的坐标运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，数量积

表示两个向量的夹角

【解析】【分析】(1)根据题意由向量模的坐标公式，计算出同=J(m2+cos2J=

J；+COS2®再由余弦函数的性质即可得出向量模的取值范围。

(2)若选择条件①由共线向量的坐标公式代入数值计算出tan。=-日,由此得出角。=

?然后再由夹角的数量积坐标公式计算出结果即可。若选择条件②，根据数量积的坐标公

O

式代入数值计算出

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sin2B=如由此得到角的大小再由夹角的数量积公式计算出结果即可。

2

21.在AABC中，已知AB=2,NBAC=二cos/ACB="竺，D为AC中点.

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(1)求BC的长；

(2)求BD的长及ABCD的面积.

【答案】(1)coszXCB=—,e(0,兀),贝」sinZTlCB=>1—COS2N4CB=迫,

19k719

ADBC2____

根据正弦定理：£=-^―,即福=可，解得BC=g.

s\nAsmz.ACB—3-

(2)在AABC中：根据余弦定理，BC2=AB2+AC2-2AB-AC-coszBXC,

即19=4+AC2-2AC,解得AC=5(舍去负值)，故AD=|.

在△4BD中，根据余弦定理：

BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cosAC=4+—-5=—,故BD=—.

442

S.D=~BC-CD-sin乙4cB=-xV19x-x—=—.

△以〃2221