高中数学 相似三角形的判定及有关性质 相似三角形的性质学案

2．相似三角形的性质1．掌握相似三角形的性质．(重点)2．能利用相似三角形的性质解决有关问题．(难点)[基础·初探]教材整理相似三角形的性质阅读教材P16～P19“习题”以上部分，完成下列问题．1．相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．2．相似三角形周长的比等于相似比．3．相似三角形面积的比等于相似比的平方．4．相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．如图1­3­26，△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4cm，则DB等于()图1­3­26A．2cm B．6cmC．4cm D．8cm【解析】由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，∴eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(1,2)，∴DB＝4×2＝8(cm)．【答案】D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：[小组合作型]利用相似三角形性质进行证明(2016·南开中学模拟)如图1­3­27所示，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC.求证：BC2＝2AC·CD.【导学号：07370015】图1­3­27【精彩点拨】要证BC2＝2AC·CD，可考虑用三角形相似证明，但等式右边有常数2，故可考虑AC或CD的2倍，由图形知可考虑取BC的中点，也可考虑CD的2倍．【自主解答】法一取BC的中点E，连接AE.∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC.∴∠AEC＝∠BDC＝90°，∠C＝∠C.∴△BDC∽△AEC.∴eq\f(BC,AC)＝eq\f(CD,CE)，即BC·CE＝AC·CD.于是有eq\f(1,2)BC2＝AC·CD.即BC2＝2AC·CD.法二在DA上截取DF＝DC，连接BF.在△BFD和△BCD中，∵BD⊥CF，∴∠BDF＝∠BDC＝90°.又∵DF＝DC，BD＝BD，∴△BFD≌△BCD，∴∠BFC＝∠C.又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.则∠BFC＝∠ABC.∴△ABC∽△BFC.∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(BC,FC).∴BC2＝AC·FC＝2AC·CD.要证明线段相等、角相等、比例式成立等结论，有时需化归到相似三角形中加以证明，若不存在相似三角形，可添加辅助线，构造相似三角形，最终得到结论．[再练一题]1．如图1­3­28，在矩形ABCD中，E是DC的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE于G.求证：AG2＝AF·FC.图1­3­28【证明】∵E为矩形ABCD的边DC的中点，∴AE＝BE.又∵GF∥AB，∴EG＝EF，∴AG＝BF.∵BE⊥AC于F，∴Rt△ABF∽Rt△BCF，∴eq\f(BF,CF)＝eq\f(AF,BF)，∴BF2＝AF·FC，∴AG2＝AF·FC.[探究共研型]相似三角形的性质探究1两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？【提示】如图(1)(2)，△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′外接圆的直径．连接BD，B′D′，则∠ABD＝∠A′B′D′＝90°.∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C＝∠C′.而∠D＝∠C，∠D′＝∠C′，∴∠D＝∠D′.∴Rt△ABD∽Rt△A′B′D′.∴eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.∵⊙O的周长＝2π·eq\f(AD,2)＝π·AD，(2)⊙O′的周长＝2π·eq\f(A′D′,2)＝π·A′D′，∴⊙O的周长：⊙O′的周长＝eq\f(AD,A′D′)＝k.又∵⊙O的面积＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,2)))2，⊙O′的面积＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A′D′,2)))2，∴⊙O的面积：⊙O′的面积＝eq\f(AD2,A′D2)＝k2.探究2两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？如何证明？【提示】(1)(2)(1)如图(1)(2)，连接OB，OC，OD，O′B′，O′C′，O′D′.∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠ACD＝∠A′C′D′.∴∠OCD＝∠O′C′D′.又∵∠ODC＝∠O′D′C′＝90°，∴△OCD∽△O′C′D′.∴eq\f(r,r′)＝eq\f(CD,C′D′).同理可证eq\f(r,r′)＝eq\f(BD,B′D′).∴eq\f(CD,C′D′)＝eq\f(BD,B′D′)，即eq\f(CD,BD)＝eq\f(C′D′,B′D′).∴eq\f(CD＋BD,BD)＝eq\f(C′D′＋B′D′,B′D′)，即eq\f(BC,BD)＝eq\f(B′C′,B′D′).∴eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(BD,B′D′)＝eq\f(r,r′)＝k.∴eq\f(2r,2r′)＝k，即两个相似三角形内切圆的直径比等于相似比．(2)△ABC和△A′B′C′内切圆的周长分别为C＝2πr，C′＝2πr′.∴eq\f(C,C′)＝eq\f(2πr,2πr′)＝eq\f(r,r′)＝k.∴两个相似三角形内切圆的周长比等于相似比．(3)设△ABC和△A′B′C′内切圆的面积分别为S，S′，则S＝πr2，S′＝πr′2.∴eq\f(S,S′)＝eq\f(πr2,πr′2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,r′)))2＝k2.∴两个相似三角形内切圆的面积比等于相似比的平方．如图1­3­29所示，已知D是△ABC中AB边上一点，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE＝1，S△EFC＝4，则四边形BFED的面积等于多少？图1­3­29【精彩点拨】利用S四边形BFED＝S△ABC－S△ADE－S△EFC得到四边形BFED的面积．【自主解答】∵AB∥EF，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC.又S△ADE∶S△EFC＝1∶4，∴AE∶EC＝1∶2.∴AE∶AC＝1∶3.∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9.∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝9.∴S四边形BFED＝S△ABC－S△ADE－S△EFC＝9－1－4＝4.1．本题中显然△ADE∽△EFC，由面积比能得出相似比，再由相似比转化为面积比，求出整个△ABC的面积．2．利用相似三角形的性质定理进行有关的计算是近几年高考的热点之一，在求解过程中往往要注意对应边的比，进行相关运算时，要善于联想，变换比例式，构造三角形的边或面积间的关系．[再练一题]2．如图1­3­30，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，DE⊥AB，且AE∶EB＝1∶2，DE与AC交于点F，若△AEF的面积为6cm2，求△ABC的面积．图1­3­30【解】设AE＝x，EF＝y，则BE＝2x，eq\f(1,2)xy＝6，∴xy＝12.∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴eq\f(AE,CD)＝eq\f(EF,FD)，即eq\f(x,3x)＝eq\f(y,DF)，∴DF＝3y，∴DE＝4y，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·DE＝eq\f(1,2)·3x·4y＝6xy＝6×12＝72(cm2)．[构建·体系]1．已知△ABC∽△A′B′C′，且eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq\f(1,4)，BC＝2，则B′C′等于()A．2 B．4C．8 D．16【解析】∵eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,B′C′)))2＝eq\f(1,4)，∴eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(1,2)，又∵BC＝2，∴B′C′＝2BC＝4.【答案】B2．已知△ABC∽△A′B′C′，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(2,3)，△ABC外接圆的直径为4，则△A′B′C′外接圆的直径等于()【导学号：07370016】A．2 B．3C．6 D．9【解析】设△A′B′C′和△ABC外接圆的直径分别是r′，r，则eq\f(r′,r)＝eq\f(A′B′,AB)，∴eq\f(r′,4)＝eq\f(3,2)，∴r′＝6.【答案】C3．两个相似三角形对应边分别长6cm和18cm，若大三角形的面积是36cm2，则较小三角形的面积是()A．6cm2 B．4cm2C．18cm2 D．不确定【解析】相似比等于eq\f(6,18)＝eq\f(1,3)，则eq\f(S小,S大)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(1,9)，∴S小＝eq\f(1,9)S大＝eq\f(1,9)×36＝4(cm2)．【答案】B4．在比例尺为1∶500的地图上，测得一块三角形土地的周长是12cm，则这块地的实际周长是____________m.【解析】这块地的实际形状与在地图上的形状是两个相似三角形，其相似比为eq\f(1,500)，则实际周长为：12×500＝6000cm＝60m.【答案】605．如图1­3­31所示，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.图1­3­31(1)求证：EF∥BC；(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．【解】(1)证明：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，∴CF是△ACD的边AD上的中线．∴点F是AD的中点，又∵点E是AB的中点，∴EF∥BD，即EF∥BC.(2)∵EF∥BD，∴△AEF∽△ABD.∴eq\f(S△AEF,S△ABD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AE,AB)))2.又∵AE＝eq\f(1,2)AB，S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，∴eq\f(S△ABD－6,S△ABD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2，∴S△ABD＝8.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1­3­32，D，E，F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为eq\f(1,4)，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是()图1­3­32A.eq\f(9,2)，1 B．9,4C.eq\f(9,2)，8 D.eq\f(9,4)，16【解析】∵D，E，F分别为△ABC三边的中点，∴EF綊eq\f(1,2)BC，DE綊eq\f(1,2)AC，DF綊eq\f(1,2)AB.∴△DFE∽△ABC，且eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(l△DEF,l△ABC)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2).又∵l△ABC＝9，∴l△DEF＝eq\f(9,2).又∵eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\f(EF2,BC2)＝eq\f(1,4)，S△DEF＝eq\f(1,4)，∴S△ABC＝1，故选A.【答案】A2．如图1­3­33，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是()图1­3­33A．5 B．8.2C．6.4 D．1.8【解析】由△CBF∽△CDE，得eq\f(BF,DE)＝eq\f(CB,CD)，又点E是AD的中点，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，∴DE＝3，即eq\f(BF,3)＝eq\f(6,10)，∴BF＝1.8.【答案】D3．如图1­3­34所示，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB＝1∶3，则△ADE与四边形BCED的面积比为()图1­3­34A．1∶3 B．1∶9C．1∶15 D．1∶16【解析】因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.又因为AD∶DB＝1∶3.所以AD∶AB＝1∶4，其面积比为1∶16，则所求两部分面积比为1∶15.【答案】C4．某同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1­3­35所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5m，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是()【导学号：07370017】图1­3­35A．50cm B．500cmC．60cm D．600cm【解析】设屏幕上小树的高度为xcm，则eq\f(10,x)＝eq\f(30,30＋150)，解得x＝60(cm)．【答案】C5．如图1­3­36，△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于D，E，S△ADE＝2S△DCE，则eq\f(S△ADE,S△ABC)＝()图1­3­36A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,9)【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，由S△ADE＝2S△DCE，得eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(4,9).【答案】D二、填空题6．如图1­3­37，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．图1­3­37【解析】∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE，∴eq\f(BF,AE)＝eq\f(BG,GA)＝eq\f(3,1)，∵D为AC中点，∴eq\f(AE,CF)＝eq\f(AD,DC)＝1，∴AE＝CF，∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5.【答案】57．如图1­3­38，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.图1­3­38【解析】因为PE∥BC，所以∠C＝∠PED.又因为∠C＝∠A，所以∠A＝∠PED.又∠P＝∠P，所以△PDE∽△PEA，则eq\f(PD,PE)＝eq\f(PE,PA)，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)8．(2016·湛江高三调研)如图1­3­39，在△ABC中，已知DE∥BC，△ADE的面积是a2，梯形DBCE的面积是8a2，则eq\f(AD,AB)＝________.图1­3­39【解析】∵S△ADE＝a2，SDBCE＝8a2，∴S△ABC＝S△ADE＋SBDCE＝a2＋8a2＝9a2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,AB)))2＝eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(a2,9a2)＝eq\f(1,9)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)三、解答题9．如图1­3­40，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.图1­3­40(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．【解】(1)证明：∵DE⊥BC，D是BC的中点，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1，又∵AD＝AC，∴∠2＝∠ACB.∴△ABC∽△FCD.(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M.∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴eq\f(S△ABC,S△FCD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,CD)))2＝4.又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.∵S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AM，BC＝10，∴20＝eq\f(1,2)×10×AM，∴AM＝4.又∵DE∥AM，∴eq\f(DE,AM)＝eq\f(BD,BM).∵DM＝eq\f(1,2)DC＝eq\f(1,4)BC＝eq\f(5,2)，BM＝BD＋DM，BD＝eq\f(1,2)BC＝5，∴eq\f(DE,4)＝eq\f(5,5＋\f(5,2))，∴DE＝eq\f(8,3).10．如图1­3­41，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200mm，高AD＝300mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个矩形零件的边长．图1­3­41【解】设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E，H分别在AB，AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为xmm.∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴eq\f(AP,AD)＝eq\f(EH,BC)，∴eq\f(300－2x,300)＝eq\f(x,200)，解得x＝eq\f(600,7)(mm)，2x＝eq\f(1200,7)(mm)．答：加工成的矩形零件的边长分别为eq\f(600,7)mm和eq\f(1200,7)mm.[能力提升]1．如图1­3­42所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于()图1­3­42A．1∶3 B．1∶4C．1∶2 D．2∶3【解析】设正方形边长为x，则由△AFE∽△ACB，可得AF∶AC＝FE∶CB，即eq\f(x,2)＝eq\f(1－x,1)，所以x＝eq\f(2,3)，于是eq\f(AF,FC)＝eq\f(1,2).【答案】C2．如图1­3­43，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是()图1­3­43A．10 B．12C．16 D．18【解析】∵AB∥EF∥CD，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AB,DC)＝eq\f(20,80)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(EC,AC)＝eq\f(4,5)，∴EF＝eq\f(4,5)AB＝eq\f(4,5)×20＝16.【答案】C3．在△ABC中，如图1­3­44所示，BC＝m，DE∥BC，DE分别交AB，AC于E，D两点，且S△ADE＝S四边形BCDE，则DE＝________.【导学号：07370018】图1­3­44【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB.又∵S△ADE＋S四边形BCDE