高考数学专题 导数及其应用讲学案理数(原卷)

【2016考纲解读】高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测2016年高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．【重点知识梳理】1．导数的定义f′(x)＝eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式①c′＝0(c为常数)；②(xm)′＝mxm－1；③(sinx)′＝cosx;④(cosx)′＝－sinx；⑤(ex)′＝ex;⑥(ax)′＝axlna；⑦(lnx)′＝eq\f(1,x)；⑧(logax)′＝eq\f(1,xlna).(2)导数的四则运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；③[eq\f(fx,gx)]′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x).④设y＝f(u)，u＝φ(x)，则y′x＝y′uu′x.4．函数的性质与导数在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．5．利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③求出交点坐标，确定积分的上、下限；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．特别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值．被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a<b)和y＝0所围成的曲边梯形的面积为S.①当f(x)>0时，S＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx；②当f(x)<0时，S＝－eq\i\in(a,b,)f(x)dx；③当x∈[a，c]时，f(x)>0；当x∈[c，b]时，f(x)<0，则S＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx－eq\i\in(c,b,)f(x)dx.【高频考点突破】考点一导数的几何意义例1、(1)抛物线x2＝eq\f(1,2)y在第一象限内图象上一点(ai,2aeq\o\al(2,i))处的切线与x轴交点的横坐标记为ai＋1，其中i∈N*，若a2＝32，则a2＋a4＋a6等于()A．64B．42C．32D．21(2)直线l：y＝kx与曲线C：y＝x3－3x2＋2x切于点P(x0，y0)(x0≠0)，则k＝________.【规律方法】1．求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．2．已知切线求参数问题利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．考点二利用导数研究函数的单调性例2、(1)若函数f(x)＝x2＋ax＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函数，试求a的取值范围．(2)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)．①若a≠0，则a，b满足什么条件时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)在x＝0处总有相同的切线？②当a＝1时，求函数h(x)＝eq\f(gx,fx)的单调递减区间．【规律方法】1．求函数的单调区间的“两个”方法(1)①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．(2)①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．2．已知函数y＝f(x)在(a，b)上的单调性，求参数的范围的方法(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”．考点三利用导数研究函数的极值和最值例3、(1)若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2,2]上的最大值为20，则它的最小值是________．(2)已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．①求a和b的值；②设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．【规律方法】研究极值、最值问题应注意的三个关注点(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后需作进一步的分析，切莫武断．(2)求函数的最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．(3)含参数时，要讨论参数的大小．考点四利用导数研究方程根的问题例4、已知函数f(x)＝ex，x∈R.若x>0，试讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m>0)公共点的个数．【规律方法】1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解的个数问题的一般思路(1)将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题．(2)利用导数研究出该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象．(3)结合图象求解．2．证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步：利用导数证明该函数在该区间上单调．第二步：证明端点值异号．考点五利用导数解决不等式问题例5、已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R)．(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．【规律方法】1．利用导数解决不等式恒成立问题的两种常用方法(1)分离参数法：第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题．第二步：利用导数求该函数的最值．第三步：根据要求得所求范围．(2)函数思想法：第一步：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题．第二步：利用导数求该函数的极值(最值)．第三步：构建不等式求解．2．利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形．(2)构造新的函数h(x)．(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．3．构造辅助函数的四种方法(1)移项法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))．(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．考点六利用导数解决生活中的优化问题例6、某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元．(π为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【规律方法】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．(2)求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)求最值；比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．(4)作答：回归实际问题作答．【经典考题精析】【2015高考江苏，19】（本小题满分16分）已知函数.（1）试讨论的单调性；（2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值.【2015高考四川，理21】已知函数，其中.（1）设是的导函数，评论的单调性；（2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.【2015高考广东，理19】设，函数．(1)求的单调区间；(2)证明：在上仅有一个零点；(3)若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行（是坐标原点）,证明：．（2014·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．（2014·安徽卷）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；(2)数列{an}满足a1＞ceq\f(1,p)，an＋1＝eq\f(p－1,p)an＋eq\f(c,p)aeq\o\al(1－p,n)，证明：an＞an＋1＞ceq\f(1,p).【2015高考新课标2，理12】设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．EMBEDEquation.DSMT4B．C．D．【2015高考新课标1，理12】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数EMBEDEquation.DSMT4，使得0，则的取值范围是（）(A)[-，1）(B)[-QUOTE32e，QUOTE34）(C)[QUOTE32e，QUOTE34）(D)[QUOTE32e，1）【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数．(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；（Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围．【2015江苏高考，17】（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.=1\*GB3①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；=2\*GB3②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.1．（2014·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．2．（2014·安徽卷）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；(2)数列{an}满足a1＞ceq\f(1,p)，an＋1＝eq\f(p－1,p)an＋eq\f(c,p)aeq\o\al(1－p,n)，证明：an＞an＋1＞ceq\f(1,p).3．（2014·福建卷）已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.4．（2014·广东卷）曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．5．（2014·江西卷）若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．6．（2014·江西卷）已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)eq\r(1－2x)(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))上单调递增，求b的取值范围．7．（2014·全国卷）曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．18．（2014·新课标全国卷Ⅱ）设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．39．（2014·陕西卷）设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．10．（2014·四川卷）设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－eq\f(1,ln2)，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))的前n项和Tn.11．（2014·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．12．（2014·安徽卷）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；(2)数列{an}满足a1＞ceq\f(1,p)，an＋1＝eq\f(p－1,p)an＋eq\f(c,p)aeq\o\al(1－p,n)，证明：an＞an＋1＞ceq\f(1,p).13．（2014·福建卷）已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.14．（2014·广东卷）曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．15．（2014·江西卷）若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．16．（2014·江西卷）已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)eq\r(1－2x)(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))上单调递增，求b的取值范围．17．（2014·全国卷）曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．118．（2014·新课标全国卷Ⅱ）设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．319．（2014·陕西卷）设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．20．（2014·四川卷）设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－eq\f(1,ln2)，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))的前n项和Tn.21．（2014·四川卷）已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．22．（2014·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．23．（2014·北京卷）已知函数f(x)＝xcosx－sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)求证：f(x)≤0；(2)若a<eq\f(sinx,x)<b对x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))恒成立，求a的最大值与b的最小值．24．（2014·福建卷）已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.25．（2014·湖北卷）π为圆周率，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝eq\f(lnx,x)的单调区间；(2)求e3，3e，eπ，πe，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．26．（2014·湖南卷）已知常数a＞0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－eq\f(2x,x＋2).(1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＞0，求a的取值范围．27．（2014·江西卷）已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)eq\r(1－2x)(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))上单调递增，求b的取值范围．28．（2014·辽宁卷）当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－5，－3]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－6，－\f(9,8)))C．[－6，－2]D．[－4，－3]29．（2014·全国卷）函数f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(ax,x＋a)(a>1)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a1＝1，an＋1＝ln(an＋1)，证明：eq\f(2,n＋2)<an≤eq\f(3,n＋2).30．（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)31．（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)＝aexlnx＋eq\f(bex－1,x)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1.32．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知函数f(x)＝ex－e－x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x＞0时，g(x)＞0，求b的最大值；(3)已知1.4142＜eq\r(2)＜1.4143，估计ln2的近似值(精确到0.001)．33．（2014·山东卷）设函数f(x)＝eq\f(ex,x2)－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋lnx))(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围．34．（2014·陕西卷）设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．35．（2014·天津卷）设f(x)＝x－aex(a∈R)，x∈R.已知函数y＝f(x)有两个零点x1，x2，且x1<x2.(1)求a的取值范围；(2)证明：eq\f(x2,x1)随着a的减小而增大；(3)证明：x1＋x2随着a的减小而增大．36．（2014·浙江卷）已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a∈R)．(1)若f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)；(2)设b∈R，若[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1，1]恒成立，求3a＋b37．（2014·重庆卷）已知函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．38．（2014·福建卷）如图1­4，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．图1­439．（2014·湖北卷）若函数f(x)，g(x)满足eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sineq\f(1,2)x，g(x)＝coseq\f(1,2)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．40．（2014·湖南卷）已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且∫eq\f(2π,3)0f(x)dx＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是()A．x＝eq\f(5π,6)B．x＝eq\f(7π,12)C．x＝eq\f(π,3)D．x＝eq\f(π,6)41.（2014·江西卷）若f(x)＝x2＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，则eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝()A．－1B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3)D．142．（2014·山东卷）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2eq\r(2)B.4eq\r(2)C.2D.443．（2014·陕西卷）定积分eq\i\in(0,1,)(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－44．（2013·北京卷）直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.eq\f(4,3)B．2C.eq\f(8,3)D.eq\f(16\r(2),3)45．（2013·福建卷）当x∈R，|x|<1时，有如下表达式：1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝eq\f(1,1－x).两边同时积分得：∫eq\f(1,2)01dx＋∫eq\f(1,2)0xdx＋∫eq\f(1,2)0x2dx＋…＋∫eq\f(1,2)0xndx＋…＝∫eq\f(1,2)0eq\f(1,1－x)dx，从而得到如下等式：1×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋…＋eq\f(1,n＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n＋1)＋…＝ln2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：Ceq\o\al(0,n)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,n)×eq\f(1,2)2＋eq\f(1,3)Ceq\o\al(2,n)×eq\f(1,2)3＋…＋eq\f(1,n＋1)Ceq\o\al(n,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n＋1)＝__________．46．（2013·湖北卷）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25lneq\f(11,3)C．4＋25ln5D．4＋50ln247．（2013·湖南卷）若eq\i\in(0,T,)x2dx＝9，则常数T的值为________．48．（2013·江西卷）若S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx，S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx，S3＝eq\i\in(1,2,)exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1<S2<S3B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1D．S3<S2<S149．（2013·安徽卷）设函数fn(x)＝－1＋x＋eq\f(x2,22)＋eq\f(x3,32)＋…＋eq\f(xn,n2)(x∈R，n∈N*)．证明：(1)对每个n∈N*，存在唯一的xn∈eq\f(2,3)，1，满足fn(xn)＝0；(2)对任意p∈N*，由(1)中xn构成的数列{xn}满足0<xn－xn＋p<eq\f(1,n).50．（2013·安徽卷）设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．51．（2013·安徽卷）若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是()A．3B．4C．5D．652．（2013·福建卷）已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．53．（2013·湖北卷）设n是正整数，r为正有理数．(1)求函数f(x)＝(1＋x)r＋1－(r＋1)x－1(x>－1)的最小值；(2)证明：eq\f(nr＋1－（n－1）r＋1,r＋1)<nr<eq\f(（n＋1）r＋1－nr＋1,r＋1)；(3)设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，－eq\f(3,2)＝－1.令S＝eq\r(3,81)＋eq\r(3,82)＋eq\r(3,83)＋…＋eq\r(3,125)，求[S]的值．(参数数据：80eq\f(4,3)≈344.7，81eq\f(4,3)≈350.5，124eq\f(4,3)≈618.3，126eq\f(4,3)≈631.7)54．（2013·湖北卷）已知a为常数，函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则()A．f(x1)>0，f(x2)>－eq\f(1,2)B．f(x1)<0，f(x2)<－eq\f(1,2)C．f(x1)>0，f(x2)<－eq\f(1,2)D．f(x1)<0，f(x2)>－eq\f(1,2)55．（2013·江西卷）已知函数f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))))，a为常数且a>0.(1)证明：函数f(x)的图像关于直线x＝eq\f(1,2)对称；(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；(3)对于(2)中的x1，x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(x3，0)．记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．56．（2013·北京卷）设L为曲线C：y＝eq\f(lnx,x)在点(1，0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．57．（2013·辽宁卷）已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x，g(x)＝ax＋eq\f(x3,2)＋1＋2xcosx．当x∈[0，1]时，(1)求证：1－x≤f(x)≤eq\f(1,1＋x)；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．58．（2013·辽宁卷）设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝eq\f(ex,x)，f(2)＝eq\f(e2,8)，则x>0时，f(x)()A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值59．（2013·全国卷）已知函数f(x)＝ln(1＋x)－eq\f(x（1＋λx）,1＋x).(1)若x≥0时f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{an}的通项an＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，证明：a2n－an＋eq\f(1,4n)＞ln2.60．（2013·全国卷）若函数f(x)＝x2＋ax＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))是增函数，则a的取值范围是()A．[－1，0]B．[－1，＋∞)C．[0，3]D．[3，＋∞)61．（2013·山东卷）设函数f(x)＝eq\f(x,e2x)＋c(e＝2.71828…是自然对数的底数，c∈R)．(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数．62．（2013·陕西卷）已知函数f(x)＝ex，x∈R.(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值；(2)设x>0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m>0)公共点的个数；(3)设a<b，比较eq\f(f（a）＋f（b）,2)与eq\f(f（b）－f（a）,b－a)的大小，并说明理由．63．（2013·四川卷]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋a，x<0，,lnx，x>0，))其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图像上的两点，且x1<x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x2<0，求x2－x1的最小值；(3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．64．（2013·四川卷）设函数f(x)＝eq\r(ex＋x－