2024新课标高考数学模拟试题及答案 (一)

1.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛

得分如下：91,89,90,92,94,87,93,96,91,85,则这组数据的80%分位数为

（）

A.93B.93.5C.94D.94.5

2.若函数〃制=111俨-6）在区间（2,5）上单调递增，则实数。的取值范围是（）

A.（-oo,5]B.C.（-℃,2]D.[5,+oo）

3.已知等差数列｛"“｝满足%+%+%=4,前〃项和为S“,则S9=（）

A.8B.12C.16D.24

4.甲、乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲

和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（）

5.已知椭圆、+丁=1,点P是椭圆上的任一点，则点P到直线x+2y-忘=0的最大距离

是（）_

A.3屈B.也C.屈D.也

55

6.如图所示的四棱锥P-A5CO中，底面A5CO为正方形，且各棱长均相等，£是心的中

C.3D.逅

36

7.已知函数/（九）=工，若A,5是锐角ABC的两个内角，则下列结论一定正确的是

x

()

A./(sinA)>/(sinB)B./(cosA)>/(cosB)

C./(sinA)>/(cosB)D./(cosA)>/(sinB)

8.实数满足（2（j-屉+6y+（J12-3c2-21）2=0,则（“-0尸+（万一"）？的最小值为

()

4

A.-B.aD.

7777

高三年级数学试卷第1页共4页

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.

9.近年来，中国电影行业发展迅猛，消费者追求电影剧情的高质量，重视电影内容正面传

达的积极情绪，并且愿意为其买单.某机构调查到观众在观看电影时除了关注电影的剧

情、情节外，还会关注电影的幕后团队、精神内涵价值观、参演人员等方面.如图所示为

该机构调查的2023年中国网民观看电影时关注方面占比的统计表，则下列结论正确的是

()

2023年中国网民睨石电影时关注方而占比

剧情.情V-58.32%

有演人员4.97%

尼杵团队37.W

5后,队31.090°

精神内涵价值观52.41%

刷111凤暴、布置44W.

剧中杼乐2655%

历史.版脩、饮自净文化27.65%

A.2023年中国网民观看电影时超过40%的网民会关注参演人员

B.这8个方面占比的极差是31.77%

C.这8个方面占比的中位数为37.69%

D.2023年中国网民观看电影时至少有10.73%的网民既关注剧情、情节，又关注精神

内涵价值观

10.已知函数〃x)及其导函数尸(尤)的定义域均为R,若外力是奇函数，

/(2)=-/(1)*0,且对任意x,yeR,〃x+y)=〃x)r(y)+r(x)〃y),则()

A.r(l)=1B."9)=0

2020

C.Z/(M=1D.»(k)=T

k=lk=l

11.如图，在正方体ABC。-中，点尸为线段4。上的动点，则下列结论正确的是

()

___?

B.当=。时,D.PLAP

JT

C.若平面4BCO上的动点M满足NMO|C=z，则点M的轨迹是椭圆

O

D.直线与平面4Ap所成角的正弦值是:

第H卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

高三年级数学试卷第2页共4页

12.已知集合A={a-2,a2+4a,10},且-3wA,则。=.

13.设等比数列{4}的前〃项和为S”，若第=2向+4,则实数2=.

14.为求方程方-1=0的虚根,可把原式变形为。-1)，+办+1)(/+云+1)=0,由此可得

原方程的一个虚根的实部为.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=/+(7/+bx+c在尤=-1和x=3处取得极值.

(1)求。力的值及f(x)的单调区间；

⑵若对任意xe口，5],不等式/(尤)<。2恒成立，求c的取值范围.

16.某面包店的面包师声称自己店里所出售的每个面包的质量均服从期望为1000g,标准

差为50g的正态分布.

(1)已知如下结论：若乂~"(〃。2),从X的取值中随机抽取K(KeN*,K22)个数

据，记这K个数据的平均值为匕则随机变量请利用该结论解决问题；假设

面包师的说法是真实的，那么从面包店里随机购买25个面包，记这25个面包质量的平均

值为匕求P(y<980)；

(2)假设有两箱面包(面包除颜色外，其它都一样)，已知第一箱中共装有6个面包，其中

黄色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黄色面包有3个，现随机挑选一箱，然

后从该箱中随机取出2个面包，求取出黄色面包个数的分布列及数学期望.

附：随机变量〃服从正态分布N(〃Q)贝"(〃一b"4〃+。)=0.6827,

//+2cr)=0.9545,P(jLi-3a<r/<〃+3b)=0.9973.

高三年级数学试卷第3页共4页

17.如图，是半球。的直径，AB=4,",N依次是底面AB上的两个三等分点，P是

半球面上一点，且NPON=60。.

(2)若点P在底面圆上的射影为ON中点，求直线PM与平面PAB所成的角的正弦值.

18.已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点尸(2,2)在C上，点尸与C的

上、下焦点连线所在直线的斜率之积为-g.

(1)求双曲线C的标准方程；

⑵经过点A(0,l)的直线4与双曲线C交于E,尸两点(异于点尸)，过点尸作平行于X轴的直

线4，直线PE与4交于点。，且O尸=28尸求直线的斜率.

19.记U={1,2,…，100}.对数列同}(ndN*)和U的子集T,若T=0,定义ST=O;

若T={h，t2，…，t。,定义+…+%k,例如:T={1,3,66}时，Si=ai+a3

+a66.现设{an}(nGN*)是公比为3的等比数列，且当T={2,4}时，ST=30.

⑴求数列{a。}的通项公式；

(2)对任意正整数k(l<k<100),若T{1,2,k},求证：ST<ak+l;

(3)设C=U,D^U,SC>SD,求证：Sc+ScnD>2SD.

高三年级数学试卷第4页共4页

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

12345678

BCBCDDDA

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.

91011

ABDBDABC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.-313.-214.T一二或T+—

44

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.(1)/,(X)=3X2+2OX+/J,

,•函数/(尤)=x3+ax?+法+C在x=-1和x=3处取得极值.

.■./,(3)=27+6«+/?=0,/,(-1)=3-2«+^=0,

联立解得：a=-3,b=-9.

/,(%)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),

令(⑺=0,解得x=3和尤=-l,

xe-l)时,>0,函数单调递增；xe(-l,3)时，f\x)<0,函数/⑴单调递

减；XW(3,~H»)时，>0,函数f(x)单调递增.

故x=—1和x=3是/(X)的极值点，

故函数/(x)单调递增区间为(3,+8);函数"X)单调递减区间为(-1,3).

(2)由(1)知/'(x)=X3-39-9x+c在(1,3)单调递减，在(3,5)单调递增，

要使得对任意xw[1,5],不等式恒成立，则需/⑴<c?且/(5)<02,

^/(1)=-11+C<C2M/(5)=5+C<C2,

解得c>l±要，或，<二手，

22

.­.C的取值范围是(-8,D(匕产,+8).

16.(1)由题意〃=1000,cr=50,K=25,则？=观=100,

K25

所以y：wooo,io2),于是随机变量y的期望为"=1000,标准差为b'=io,

因P(980<Y<1020)=0.9545,

故P(Y<980)=J0(98°41020)=1—0；545=002275

(2)设取出黄色面包个数为随机变量则自的可能取值为0,1,2.

尸24cl35c449

q=l)=gx—x—x2H—x—x—x2—------

65287840

2113273

X—X——I——X—X—

65287840

故随机变量J的分布列为:

012

5344973

p

140840840

所以数学期望为:至X0+$+卫X2』

17.(1)连接

因为M,N依次是底面AB上的两个三等分点，

所以四边形。AWB是菱形，设MBcON=。，则。为CW中点，且CW_LM8,

又因为。尸=ON,/尸。N=60。，故。尸N是等边三角形，

连接尸。，则ONLP。，

又因为MB,PQu面PM8,MBcPQ=Q,所以。"_1面「河2,

因为PBu面所以0N_LP8,

因为M,N依次是底面AB上的两个三等分点，所以ON//AM,所以

又因为A8是半球。的直径，P是半球面上一点，所以尸8_LPA,

因为面PAM,AMoPA=A,所以尸8_1面上4加，

又因为RWu面PAM,所以

(2)因为点P在底面圆上的射影为ON中点，

所以尸。上面AM8,

因为W,QNu面所以尸Q，QM,PQ，QN,

又因为Q0LQN,

所以以｛QW,QN,QP｝为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

所以尸(0,0,⑹，以百,0,0),网-后0,0),A(后-2,0),

所以尸M=(60,-⑹，尸4=(6-2,-@,&4=仅6-2,0卜

设平面PAB的法向量〃=(x,y,z),

n-PA=A/3X-2y—J§z=0

则<r，令X=1,

n-BA=2J3x—2y=0

设直线尸M与平面PAB所成角为《04"]

2石M

则sing=kosPM,〃|=P"J

1।\PM\-\n\A/6xV55

所以直线PM与平面PAB所成角的正弦值为眄

5

18.(1)第一步：根据点尸在双曲线上得a,6的关系式

22

由题意设双曲线C的方程为当一3=1(。＞0⑦＞。)，

ab

44

由点尸(2,2)在C上，得/-庐=1.①

第二步：根据直线的斜率公式得a,6的关系式

)_co_1_r1

设C的上、下焦点分别为耳(o,c),巴(0,-c),则丁•丁=-5,解得/=6,

所以"+》2=6.②

第三步：联立方程解得力,〃的值

由①②得"=2,从=%

第四步：得双曲线C的标准方程

22

故双曲线C的标准方程为工-土=1.

24

(2)第一步：设直线方程，联立方程得根与系数的关系由题意可知，直线跖的斜率不为0,

设直线E厂的方程为了=加(丁-1)(m。2),£(石,X),/(无2,%)，

x=m(y-l)

联立，得方程组片,

百一了一

整理得(加之_2)y2_2my+m2+4=0

所以■w4,△=(-2加之)—4(疗—2)(川+4)＞0,解得病＜4,

2m2m2+4

所以X+%=

m2-2府—2

则3(乂+%)―2%%=4.

第二步：用X，为表示点。的坐标

当直线PE的斜率不存在时，易得E(2,-2),小，与，呜与，此时直线

N8的斜率为当直线尸£的斜率存在时，直线尸£的方程为丁二21二|(X-2)+2,所以点

NXy-Z

。的坐标为―空―2+2,必，

I%-2)

由玉=加(％-1),可得

(%-2)(%-2),。-2],c777(7,-l)(j2-2)+2(^-y2)

r—I-/一,

yx-1

第三步：用乂，内表示点8的坐标

由DF=2BF，得点8为。尸的中点，所以

_1fMx-1)(%-2)+2(%-%)工研2yly2-3(%+%)+4]+2(%-%)_y1-y2

21y-2J