2024届天津市九年级数学下学期4月联考模拟试题

2024届天津市九年级数学下学期4月联考模拟试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）

2

1.下列各点中，在反比例函数y=—图象上的点是（）

x

A.（-1,2）B.（-1,-2）C.（2,-1）D.（2,2）

2.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时测得一根旗杆的影长为25m,那么这根旗杆的高度为

（）

A.10mB.12mC.15mD.40m

3.在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x?+4x-3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点

坐标是（）

A.(-3,-6)B.(1,-4)C.(1,-6)D.(-3,-4)

4.计算cos260。的值是（）

C-TDZ

5.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019“竹

文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）

A.2%B.4.4%C.20%D.44%

6.如图，在菱形ABCD中，阳，：8（2于£,BE=EC,AC=2,则菱形ABCD的周长是（）

A.5B.10C.8D.12

k+2

7.已知反比例函数的表达式为y=——，它的图象在各自象限内具有y随上的增大而增大的特点，则"的取值范围

x

是（）.

A.k>-2B.k>-2C.左<一2D.k<-2

8.如图，点P是以A3为直径的半圆上的动点，CALAB,尸DLAC于点。，连接AP,设A-x,PA-PD=y,

则下列函数图象能反映y与1之间关系的是（）

D为。O上的两点，若AB=14,BC=1.则NBDC的度数是（）

B.30°C.45°D.60°

10.如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2,连接AE交BD于点F,则4DEF与4BAF的面积

5C.9：25

11.如果〃=2b（Q，b均为非零向量），那么下列结论错误的是（）

A・allbB・〃・2匕=°b--aW=2w

12.一元二次方程3/-x=0的解是（

B.xi=O,X2=3

二、填空题（每题4分，共24分）

13.已知二次函数y=x2-5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1,0）,则另一个交点的坐标

为.

14.如图，正三角形ABG与正五边形A3C0E内接于。O,若。。的半径为3,则台斤的长为.

15.如图，四边形ABC。内接于圆，点3关于对角线AC的对称点E落在边CD上，连接AE.若NA5C=115，则

NZME的度数为.

16.编号为2,3,4,5,6的乒乓球放在不透明的袋内，从中任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是一.

17.抛物线y=-*2+方x+c的部分图象如图所示，已知关于x的一元二次方程-*2+加升c=o的一个解为*1=1,贝!］该方

程的另一个解为由=.

18.将抛物线》=一5炉先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是.

三、解答题（共78分）

19.（8分）在平面直角坐标系中，点0（0,0）,点A（-3,0）.已知抛物线y=-x2+2mx+3（m为常数），顶点为P.

（1）当抛物线经过点A时，顶点P的坐标为；

（2）在（1）的条件下，此抛物线与x轴的另一个交点为点B,与y轴交于点C.点Q为直线AC上方抛物线上一动

点.

①如图1,连接QA、QC,求AQAC的面积最大值；

②如图2,若NCBQ=45。，请求出此时点Q坐标.

⑴观察填空

如图1,在RtaABC中，ZC=90°,AC=BC=4,点D为斜边AB上一动点（不与点A,B重合），把线段CD绕点C顺

时针旋转90。得到线段CE,连DE,BE,则

①NCBE的度数为；

②当BE=时，四边形CDBE为正方形.

⑵探究证明

如图2,在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=2AC=4,点D为斜边AB上一动点（不与点A,B重合），把线段CD绕点C

顺时针旋转90。后并延长为原来的两倍得到线段CE,连DE,BE则：

①在点D的运动过程中，请判断NCBE与NA的大小关系，并证明；

②当CDLAB时，求证：四边形CDBE为矩形

（3）拓展延伸

如图2,在点D的运动过程中，若aBCD恰好为等腰三角形，请直接写出此时AD的长.

21.（8分）计算：4CQS60°-|-2S比30°|+（to〃45°）1

22.（10分）如图，请在下列四个论断中选出两个作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明（写出一种

即可）.

D

①AD〃BC；②AB=CD；③NA=NC；④NB+NC=180".

已知：在四边形ABCD中，.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

23.（10分）如图，已知点D是ABC的边AC上的一点，连接BD./ABD=/C,AB=6,AD=4.

（1）求证：ABDs.ACB；

（2）求线段CD的长.

24.（10分）如图，AB是。。的直径，点C,D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作。。的切线，分别交

OA的延长线与OC的延长线于点E,F,连接BF.

（1）求证：BF是00的切线；

（2）已知圆的半径为1,求EF的长.

25.（12分）小明同学解一元二次方程产-6x-1=0的过程如图所示.

解：x2-6x=l…①

x2-6x+9=l…②

（x-3）2=1…③

x-3=±1…④

xi=4,X2=2…⑤

（1）小明解方程的方法是.

（4）直接开平方法（5）因式分解法（C）配方法（。）公式法

他的求解过程从第步开始出现错误.

(2)解这个方程.

26.用恰当的方法解下列方程.

(1)2x2-3x-1=0

(2)x2+2=2y/2x

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、B

【分析】把各点的坐标代入解析式，若成立，就在函数图象上.即满足xy=2.

【详解】只有选项B：-IX(-2)=2,所以，其他选项都不符合条件.

故选B

本题考核知识点：反比例函数的意义.解题关键点：理解反比例函数的意义.

2、C

【解析】根据同时同地物高与影长成正比，列式计算即可得解.

【详解】设旗杆高度为x米，

18x

由题意得，—,

325

解得：x=15,

故选C.

本题考查了相似三角形的应用，熟知同时同地物高与影长成比例是解题的关键.

3、C

【分析】首先得出二次函数y=2x?+4x-3=2(x+1)2-5,再求出将二次函数y=2(x+1)2-5的图象向右平移2个单位的解

析式，再求出向下平移1个单位的解析式即可y=2(x-1)Z6,从而求解.

【详解】解：y=2x2+4x-3=2(x+1)2-5,

•.•将二次函数y=2(x+1)Z5的图象向右平移2个单位的解析式，再求出向下平移1个单位，，y=2(x-1)2-6,

二顶点坐标为(1,-6).

故选C

本题考查二次函数的平移性质.

4、A

1(iY

【解析】先算cos6(F=—,再计算-即可.

212,

【详解】Vcos60=—

2

故答案选A.

本题考查特殊角的三角函数值，能够准确记忆60。角的余弦值是解题的关键.

5、C

【解析】分析：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,根据2017年及2019年“竹文化”旅游

收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

详解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,

根据题意得：2(1+x)2=2.88,

解得：xi=0.2=20%,X2=-2.2(不合题意，舍去).

答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%.

故选C.

点睛：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

6、C

【解析】连接AC,根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC=2,然后利用周长公式进行计算即可得答案.

【详解】如图连接AC,

BE=EC,AE±BC,

.-.AB=AC=2,

菱形ABCD的周长=4x2=8,

故选C.

本题考查了菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，熟练掌握的灵活应用相关知识是解题的关键.

7、C

【分析】先根据反比例数y=-一的图象在每一象限内y随x的增大而增大得出关于k的不等式，求出k的取值范围

x

即可.

k+2

【详解】解：•••反比例数y=——的图象在每一象限内y随x的增大而增大，

x

：.k+2<0,解得k<-l.

故选：C.

本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=&（后0）中，当k<o时，双曲线的两支分别位于第二、第四

X

象限，在每一象限内y随X的增大而增大是解答此题的关键

8、C

Ap1

【解析】设圆的半径为R,连接依，求出sinNABP=——二——九，根据CAJ_AB,求出

2R27?

111

PD=APsina=xx——=——%20,即可求出函数的解析式为y=PA—尸。=-一x20+x.

2R2R2R

【详解】设：圆的半径为R,连接P3,

4P1

则sinZABP=——=—x,

2R2R

CALAB,即AC是圆的切线，则

-V-1

则PD=APsina=xx——二——%2

2R2R

1

贝！1y=PA-PD=~——x29+x

27?

图象为开口向下的抛物线，

故选：C.

本题考查了圆、三角函数的应用,熟练掌握函数图像是解题的关键.

9、B

【解析】只要证明AOCB是等边三角形，可得NCDB=L/COB即可解决问题.

2

【详解】如图，连接OC,

VAB=14,BC=1,

.*.OB=OC=BC=1,

/.△OCB是等边三角形，

•,.ZCOB=60°,

/.ZCDB=-ZCOB=30°,

2

故选B.

本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题

型.

10、C

【分析】由平行四边形的性质得出CD〃AB,进而得出4DEF-ABAF,再利用相似三角形的性质可得出结果.

【详解】四边形ABCD为平行四边形，

，CD〃AB,

/.△DEF^ABAF.

VDE：EC=3：2,

.DE3_3

••BA-3+2-5*

.SDEF=(DE丫__9_

3A—25.

故选C.

本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平

方.

11,B

【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.a-2b=0.故错误.

故选B.

12、C

【解析】根据题意对方程提取公因式X,得到x(3x-l)=0的形式,则这两个相乘的数至少有一个为0,由此可以解出x

的值.

【详解】V3X2-X=0,

**.x（3x-1）=0,

...x=0或3x-1=0,

Xi=0,X2=-y,

故选c.

本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方

程的提点灵活选用合适的方法.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、（4,0）.

【分析】先把（1,0）代入广--5尤+,“求出，“得到抛物线解析式为尸/岳+4,然后解方程/8+4=0得到抛物线与x

轴的另一个交点的坐标.

【详解】解：把（1,0）代入了=，-5工+加得1-5+机=0,解得，〃=4,

所以抛物线解析式为y=x2-5x+4,

当y=0时，--5》+4=0,解得xi=l,X2=4,

所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（4,0）.

故答案为（4,0）.

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+&x+c（a,c是常数，aWO）与x轴的交点坐标问题转化为

解关于x的一元二次方程问题.

4万

14、——

5

【分析】连接OB,OF,根据正五边形和正三角形的性质求出NBAF=24°,再由圆周角定理得NBOF=48°,最后由

弧长公式求出BF的长.

【详解】解：连接OB,OF,如图，

根据正五边形、正三角形和圆是轴对称图形可知NBAF=NEAG,

VAAFG是等边三角形，

ZFAG=60°,

,五边形ABCDE是正五边形,

•/「Ar-右―2)x180。

・・X-KzKiL—-1vJof

"5

AZBAF=ZEAG=y(ZBAE-ZFAG)=；x(108°-60°)=24°,

/.ZBOF=2ZBAF=2X24°=48°,

的半径为3,

48^x34

BF的弧长为:-------71

1805

4-7T

故答案为：

本题主要考查正多边形与圆、弧长公式等知识，得出圆心角度数是解题关键.

15、50°

【分析】直接利用圆内接四边形对角互补，再结合三角形外角的性质即可得出答案.

【详解】解：•••四边形ABCD内接于圆，ZABC-115，

.,.ZADC=180o-115o=65°,

又•.•点3关于对角线AC的对称点E落在边CD上，

.,.ZAEC=ZABC=115°,

ZDAE=ZAEC-ZADC=115°-65o=50°.

故答案为：50°.

此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出NAEC和NADC的度数是解题关键.

3

16、一.

5

【解析】直接利用概率公式求解可得.

【详解】在这5个乒乓球中，编号是偶数的有3个，

3

所以编号是偶数的概率为二，

3

故答案为：—.

本题考查了概率公式，关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数+所有可能出现的结果数.

17、-1

【分析】函数的对称轴为：x=-l,由抛物线与x轴交点是关于对称轴的对称即可得到答案.

【详解】解：函数的对称轴为：x=-l,其中一个交点坐标为（1,0）,

则另外一个交点坐标为（-1,0）,

故答案为-L

本题考查了抛物线与X轴的交点，根据函数的对称性即可求解.

18、y=~5(x+2)2-1

【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可.

【详解】解：•••抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，

.••新抛物线顶点坐标为(-2,-1),

二所得到的新的抛物线的解析式为y=-5(x+2)M.

故答案为：y=-5(x+2)24.

本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键.

三、解答题(共78分)

2757

19、(1)(-1,4)；(2)①一；②Q(--,-).

824

【分析】(1)将点A坐标代入抛物线表达式并解得：m=-l,即可求解；

(2)①过点Q作y轴的平行线交AC于点N,先求出直线AC的解析式，点Q(x,-x2-2x+3),则点N(x,x+3),则

139

△QAC的面积S=+xQNxOA=-5x2-§x,然后根据二次函数的性质即可求解；

②tanNOCB=*=』，设HM=BM=x,则CM=3x,BC=BM+CM=4x=J10»解得：x=^^,CH=J10x=-,则

CO342

点H(0,-),同理可得：直线BH(Q)的表达式为：y=--x+-,即可求解.

222

【详解】解：(1)将点A(-3,0)代入抛物线表达式并解得，

0=-9-6m+3

.•・m=-1,

故抛物线的表达式为：y=-x2-2x+3=-(x+l>+4…①，

.,.点P(-l,4),

故答案为：(-1,4)；

(2)①过点Q作y轴的平行线交AC于点N,如图1,

设直线AC的解析式为y=kx+b,

将点A(-3,0)、C(0,3)的坐标代入一次函数表达式并解得,

-3k+b=Q

'b=3'

解得

k=l

1=3’

二直线AC的表达式为：y=x+3,

设点Q(x,-x2-2x+3),则点N(x,x+3),

1139

△QAC的面积S=—xQNxOA=—X(-X2-2X+3-X-3)X3=--x2--

2222

327

'—<0,故S有最大值为：—；

28

②如图2,设直线BQ交y轴于点H,过点H作HMLBC于点M,

BC=BM+CM=4x=VIU,解得：

4

CH-V10x--,则点H(0,-),

22

同直线AC的表达式的求法可得直线BH(Q)的表达式为：y=-'x+L...②，

22

联立①②并解得：

，11

-x2-2x+3=---x+—,

22

解得

x=l(舍去)或-3,

2

…57

故点Q(_,T)-

24

本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的图像与性质，锐角三角函数的定义，以及数形结合

能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出

线段之间的关系.

20、(1)①45。，②2百；(2)①NCBE=ZA,理由见解析，②见解析；(3)6或26—4

【分析】(1)①由等腰直角三角形的性质得出NA=NABC=45°,由旋转的性质得：ZACD=ZBCE,CD=CE,

证明ABCEMAACD,即可得出结果；

②由①得NCBE=45°,求出NDBE=Z4BC+NCBE=90。，作EM,3c于〃，则是等腰直角三角形，证

出A&WE是等腰直角三角形，求出NBEC=90°,证出四边形CD5E是矩形，再由垂直平分线的性质得出5E=CE,

即可得出结论；

(2)①证明ABCESAACD,即可得出NCBE=NA；

②由垂直的定义得出NADC=NBDC=90°,由相似三角形的性质得出N6EC=NAT)C=9O。，即可得出结论；

(3)存在两种情况：①当时，证出CE>=BD=AD,由勾股定理求出A3,即可得出结果；

②当4时，得出AD=AB=8£>=26一4即可.

【详解】解：(D①ZACB=90%AC=BC,

:.ZA=ZABC=45°,

由旋转的性质得：ZACD=ZBCE,CD=CE,

BC=AC

在和AACD中，NBCE=NACr),

CE=CD

.-.ABCE^AACD(SAS),

:.ZCBE=ZA=45°；

故答案为：45°；

②当3E=2应时，四边形CD5E是正方形；理由如下:

由①得：ZCBE=45°,

ZDBE=ZABC+NCBE=90°,

作于如图所示：

则NBEM是等腰直角三角形，

BE=2V2，

:.BM=EM=2,

:.CM=BC-BM=2,

:.BM=CM=EM,

，ACME是等腰直角三角形，

；.NCEM=45。,

ZBEC=45°+45°=90°,

又ZACB=90°,

四边形CD3E是矩形，

又9/垂直平分8C,

BE-CE,

••・四边形a出石是正方形；

故答案为：2及；

(2)①/CBE=ZA,理由如下：

由旋转的性质得：ZBCE=ZACD,

BC=2AC9CE=2CD,

BCCEc

/.——=——=2,

ACCD

:.\BCE^^ACD,

:.Z.CBE=ZA}

②CD1AB,

ZADC=NBDC=90°,

由①得：ABCE^AACD,

:.ZBEC=ZADC=90°,

又ZDCE=90°,

..・四边形CD3E是矩形；

(3)在点。的运动过程中，若ABCD恰好为等腰三角形，存在两种情况:

①当CD=6£)时，则=

ZDBC+ZA=90°,ZACD+ZDCB=9Q°,

：.ZA=ZACD,

CD=AD，

CD=BD=AD9

:.AD=-AB,

2

AB=VAC2+BC2=V22+42=2下，

AD—y/5)

②当5/)=5。=4时，AD=AB-BD=2yf5-4;

综上所述：若ABCD恰好为等腰三角形，此时AD的长为遂或26-4.

本题是四边形综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定、

正方形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证

明三角形相似是解决问题的关键，注意分类讨论.

21、2

【分析】首先计算各锐角三角函数值，然后进行计算即可.

【详解】原式=4x；—-2x|+F1

=2-1+1

=2

此题主要考查锐角三角函数的相关计算，牢记锐角三角函数值是解题关键.

22、已知：①③（或①④或②④或③④），证明见解析.

【解析】试题分析：根据平行四边形的判定方法就可以组合出不同的结论，然后即可证明.

其中解法一是证明两组对角相等的四边形是平行四边形；

解法二是证明两组对边平行的四边形是平行四边形；

解法三是证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

解法四是证明两组对角相等的四边形是平行四边形.

试题解析：已知：①③，①④，②④，③④均可，其余均不可以.

解法一：

已知：在四边形ABCD中，①AD〃BC,③NA=NC,

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明：VAD/7BC,

.\ZA+ZB=180°,ZC+ZD=180°.

VZA=ZC,

.\ZB=ZD.

四边形ABCD是平行四边形.

解法二：

已知：在四边形ABCD中，①AD〃BC,@ZB+ZC=180°,

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明：VZB+ZCM800,

；.AB〃CD,

又；AD〃BC,

四边形ABCD是平行四边形；

解法三：

已知：在四边形ABCD中，②AB=CD,@ZB+ZC=180°,

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明：VZB+ZC=180°,

；.AB〃CD,

XVAB=CD,

...四边形ABCD是平行四边形；

解法四：

已知：在四边形ABCD中，③NA=NC,@ZB+ZC=180°,

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明：VZB+ZC=180°,

/.AB/7CD,

.,.ZA+ZD=180°,

又•../A=NC,

.\ZB=ZD,

二四边形ABCD是平行四边形.

考点：平行四边形的判定.

23、（1）参见解析；（2）1.

【分析】（1）利用两角法证得两个三角形相似；

（2）利用相似三角形的对应线段成比例求得CD长.

【详解】（1）VZABD=ZC,Z