2024年中考数学复习：相似三角形常考模型实战演练

A字”“斜A”模型

⑴在图①中:DE//BC,则AADEsZXABC.

(2)在图②中:NAED=NB,则△AEDs/XABC.

困①田②

模型证明

⑴证明:：DE〃BC,

ZADE=ZB,ZAED=ZC.

/.△ADE^AABC.

⑵证明:依题意NAED=NB,NDAE=NBAC,，Z\AEDsZ^ABC.

经典例题

如图,ZXABC中，点D,E是BC边上的点,BD:DE:EC=3:2:1,点M在AC边上,CM:MA=1:2,BM分别交AD,AE于H,G两点则B

H：HG：GM等于().

A.3:2:1B.5:3:1

C.25:12:5D,51:24:10

解:连接EM.

疗而』

依您导C演M=布CE=士1

・・・ME〃AD.

.'.△CEM^ACDA,

△BHD^ABME.

ME_CE_1HD_BD_3

"AD-CD_31ME~BE~S'

设HD=x,贝!]ME=^x,AD=5y

AH=AD-HD=5x-x=4x.

又・..AH〃ME,

/.△AHG^AEMG.

.AH_HG_4x_12

设MG=5y,则HG=12y,

.\HM=17y.

p.BH_BD_3

乂,•丽一丽一5，

:，BH=—y.

2J

:.BH:HG:GM=^y\12y:5y

=51:24:10.

实战演练

1.如图,4ABC中,AB=AC=4,BC=2但以AB为直径的。O分别交AC,BC于D,E两点，连接ED,则CD的长为（）.

35

A.1BfC.2D.-

2.如图，仕△4BC甲，点M,N分别走J2AB,AC上的点,AM=^AB.AN=；4C,则________________________△4MN的面积与四

44

边形MBCN的面积比为

3.如图，四边形ABCD和四边形ABEC均为平行四边形，点H为BE的中点，连接DH,分别交AC,BC于点F,G,已知平

行四边形ABCD的面积为852厕4ADF的面积为—（cm2.

4.如图.在菱形ABCD中,已知.^ABC=60。,,直线EF过点D,且与BA,BC的延长线分别交于点E,F,点M是CE与AF的交点.

若CM=4,EM=5,贝[]AC=

，，8字，，“反8字”模型

⑴在图①中:.4B||CD,则AABO~ADC。、

(2)在图②中:ZA=NC,则.AAB/-△CD].

模型证明

⑴证明:TAB〃CD,

.,.ZA=ZD,ZB=ZC.

.,.△ABO^ADCO.

(2)证明:依题意NA=NC,NAJB=NCJD,

AABJ^ACDJ.

经典例题

如图，在。ABCD中,AB=10,AD=15,ZBAD的角平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F.BG1AE于点G,若BG=8.则ACE

F的周长为().

A.16B.17C.24D.25

答A

解:依题意AB//DC,ZBAF=ZDAF,AB=CD=10.

•；AB〃DC,

:.ZBAF=ZF.

:.Z-DAF=Z-F

在RtAABG中,AG=7AB?—BG2=6.

又「在AABE中,AB=BE且BG_LAE,

・・・AG=EG=6,即AE=2AG=12.

•e•C^BE=10+10+12=32.

又•・,AB//CF,JZXCEFsABEA.

CF51

.——FnCCEF_1

，e

AB~10~CABE_21

CcEF=16.

实战演练

1.如图,在平行四边形ABCD中，点E在边DC上,DE:EC=4:1,连接AE交BD于点FjljADEF的面积与4BAF的面积之比为（）.

A.3:4B.9:16

C.16:25D.3:5

2.如图，四边形ABDC内接于圆，已知AC=BC,延长AD至！］点F,使得DF=BD=3,已知NAEB=90。,且AE:ED=3:1则BE的长为（）.

A.2.5B.2V2C当D.3

3如图，点F在平行四边形ABCD的边AD上，延长BF交CD的延长线于点E，交AC于点。，若薨/则好一

E

4.如图，正方形ABCD边长为2,点E,F分别为边AB,BC中点,AF分别交线段DE,DB于点M,NJ!JSDMN=

5.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点M为DE的中点,BM分别交AC和CD于点P,Q,若A48c的面积

为6,则图中阴影部分的面积为

一线三等角相似模型

一线三等角相似模型是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景的模型.

定义：两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所

确定的线段上或线段的延长线上，另外两边分别位于直线的同侧或异侧与两等角两边相交，会形成一组相似三角形，我们习惯把该组

相似三角形称为“一线三等角”型的相似三角形（也就是说一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似三角形）.

基本模型：

已知，点E在线段BC上,NB=/C=/1.求证:/XABEs/kECD.

模型证明

证明:•・•ZAEC=ZA+ZB,ZAEC=ZDEC+Z1,ZB=Z1,

JZA=ZDEC.

又・・・NB=NC,

/.△ABE^AECD.

一线三等角相似模型按角分类：

①角在同侧时：

钝角形的一线三等角直角形的一线三等角钝角形的一线三等角

②角在异侧时:

筑角形的一线三等角直角形的一线三等角钝角形的一线三等角

经典例题

如图，点D,E.F分别是等腰三角形ABC边BC,CA,AB上的点，如果AB=AC,BD=2,CD=3,CE=4,AE=43,那么AF的

长为（）.

A.5.5B.4C.4.5D.3.5

答:B.

解:依题意NB=NC=NFDE,AB=AC=AE+CE=5.5.

•.♦/FDC=NFDE+NEDC,且NFDC=NBFD+NB,

:.ZEDC=ZBFD.

.,.△BDF^ACED.

BF_BD

'''CD~'CE

.33_2

••3-4,

则AF=AB-BF=5.5-1.5=4.

实战演练

1.如图①，在等边三角形ABC中，点P为边BC上的任意一点，目A.APD=60。,，PD交AC于点D,设线段PB的长度为x,

CD的长度为y,若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（）.

A.4R4V3

C.8V3D.16V3

2.如图在△ABC中,/BAC=90o,AB=AC=4,点D是边BC上一动点（不与点B,C重合）,NADE=45>DE交AC于点E,下列结论:

①4ADE与△ACD一定相似；

②△ABD与4DCE一定相似；

③当AD=3时CE=\-,

④0VCEW2.其中正确的结论有（）.

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上.每本书的

厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm,则FI的长为

4.如图，正方形ABCD的边长为1,点E为BC边上的一动点(不与点B,C重合)，过点E作EF_L4E,交CD于点F.则线段CF

A

的最大值为

5.已知，矩形ABCD中,AB=6,BC=9,,点F在AB边上，且AF=2,点E是BC边上的一个点，连接EF，作线段EF的垂直平分

线HG,分别交边AD,BC于点H,G,连接FH,EH.当点E和点C重合时(如图①),DH=；;当点B,M,D三点共线时(如图②),.DH=

6如图①，抛物线y=必+bx+c与x轴交于点4(-3,0),B,,与y轴交于点C(0,-3).

⑴求抛物线的解析式.

(2)在抛物线上求点P,使SBCP=2sBeo,求点P的坐标.

(3)如图②，直线.y=x+3交抛物线于第一象限的点M,若点N是抛物线y=必+"+c上一点，且./.MAN=zOCB,,求点N的坐

7。)问题

如图①,在四边形ABCD中，点P为AB上一点,当NDPC=乙4=ZB=90。时,求证:ADBC=APBP.

(2)探究

若将90。角改为锐角或钝角(如图②)，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由.

(3)应用

如图③,在.A4BC中,AB=2V2,乙B=45。，以点A为直角顶点作等腰直角三角形ADE.点D在BC上，点E在AC上，点F在

BC上,且.乙EFD=45。,若CE=时，求CD的长.

，，母子，，模型

已知:NACD=NABC或NADC=NACB或4cz=ADx4B..求证:△ACDS/\ABC.

模型证明

证明:依题意NDAC=NBAC.

®ZACD=ZABC,ZDAC=ZBAC,AAACD^AABC(AA).

②ZADC=ZACB,ZDAC=ZBAC,△ACDsAABC(AA).

2

circles•••AC=40xAB,AD—AC

又•・・NDAC=NBAC,・・・4ACDs^ABC(SAS).

已知:CD_LAB,AC_LBC,求证：

①△ACDCBD^CD2=ADXBD).

②△ACD〜&ABC^AC2=ADxAB).

③△BACBCDiBC2=BDxAB).

模型证明

证明:依题意NACB=NADC=NBDC=90。.

・・・ZACD+ZDCB=90°,ZDBC+ZDCB=90°,

:.ZACD=ZDBC.

@VZADC=ZBDC,AAACD^ACBD.

•••2=CD?=ADxBD.

BDCD

②•・,NACD=NABC,NADC=NACB,

“n.„„ACAD

ACD〜ABC.-=—.

ABAC

2

AAC=ADxAB.

@VNDBC=NABC,NBDC=NACB,

BAC〜BCD.

BDBC

BC2=BDxBA.

经典例题

如图，在Rt△ABC中，乙4cB=90。,点D是BC中点,CE_LAD,垂足为点E,若LCAB=40。,贝!］乙BED=

答:50°.

解:依题意NCED=NACD=90。.

ZCDE=ZADC,.,.△CDE^AADC.

CDr)f)

—•••,CD2=AD-DE.

ADCD

又CD=DB,DB?=ADDE.

.DB_DE

"''AD~~BD'

又「ZEDB=ZADB,AABDE^AADB.

:.NBED=NABD.

在ZkABC中，Z-ABD=180°-乙ACB-ACAB

=180°-90°-40°

=50°,

则NBED=50。.

实战演练

1.将前沿弦BC折叠,交直径AB于点D,若AD=4,DB=5,贝！］BC的长是().

43bB.8C.V65D.2V15

2.已知点D为△4BC边BC上一点，连接AD,2zC+ND=90,2乙BAD+ZB=150°,AC=5,AB=2m，则DC=,

3.已知关于x的方程.x2-2(a+b)x+c2+2ab=0有两个相等的实数根,其中a,b,c为△4BC的三边长.

⑴试判断.AABC的形状，并说明理由.

(2)若CD是AB边上的高,AC=2,AD=1,,求BD的长.

4.如图，在Rt△4cB中,/4CB=90。,，点D为AB边上一点，且8C=CD过点D作DE14B交AC于点E.

⑴求证:△CDE-△CAD.

(2)若BC=2,CE=1,求AD的长.

5如图,A4BC是0O的内接三角形，乙4CF=ZB,CF交BA的延长线于点F.

(1)求证:CF为。0的切线.

⑵若FC=4B,,求证：点A是BF的黄金分割点.

(3)若.AF=1,CF=2V2,AC=相求。O的直径.

(备用田)

旋转模型

基础模型一：放缩旋转相似模型.

如图，把^ABC绕点A旋转放缩得到AAFG,则△ABFs/iACG.

模型证明

证明:依题意△ABC"Z\AFG,

ABAC口”l"

・蜜，，血C=/F4G.

ACAG'^BAF=ACAG.

.,.△ABF^AACG.

基础模型二：全等旋转相似模型.

如图把AABC绕点A旋转得到AADE,

则:①△回(：名ZiADE;

②AABD是等腰三角形；

③4ACE是等腰三角形：

©AABD^AACE.

模型证明

证明:依题意AABC之Z\ADE①,

AB=AD,AC=AE,ZBAC=ZDAE.

，AABDfflAACE是等腰三角形.

又TZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

ZBAD=ZCAE.

•••——AB=——AC=1",

ADAE'

AB_AD

'''AC~~AE*

即aABDsaACE.

经典例题

问题背景：如图①，已知△ABCAOE,求证：△ABDUAACE.

尝试应用：如图②，在.△43c和△4DE中,N艮4c=^DAE=90°,ZABC=ZADE=30°,AC与DE相交于点F,点D在BC边上,

券：但求学勺值.

:.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC.

:.NBAD=NCAE.

A△ABDACE.

(2)解:如图，连接CE.

依题意NBAC=NDAE,NABC=NADE,

AAABC^AADE.

田②

tAB_AC

''~AD~~AE'

又：ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

:.ZBAD=ZCAE.

ABAD^ACAE.

=V3,ZB=Z-ACE=30。，即AE=y/3CE.

在RtADAE中,/ADE=30。,

：,AD=WAE=3CE.

又：NADE=NACE,NAFD=NEFC,

/.AAFD^AEFC.

DFAD„

•••—=—=3.

CFCE

实战演练

1如图.将△48c绕点A逆时针旋转一定角度后得到△连接BB'CC,已知AB=c,AC=b,BC=a，贝UBB,:CC等于（）.

A.c:bB.a:bC.c:aD.b:c

2.如图，在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点P是对角线AC