2024年上海市金山区中考数学二模试卷（含详细答案解析）

2024年上海市金山区中考数学二模试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.单项式-2a2b的系数和次数分别是（）

A.一2和2B.一2和3C.2和2D.2和3

2.下列多项式分解因式正确的是（）

A.a2-b2=（a-b）2B.a2+b2=(a+b)2

C.a?+2a—3=a（a+2）-3D.2a—4——2(a—2)

3.关于x的一元二次方程/一2x+a=0有实数根，那么。的取值范围是（）

A.a<1B.a>1C.a>1D.a<1

4.在气象学上，每天在规定时段采集若干气温的平均数是当天的平均气温，连续5天的平均气温在10℃以

上，这5天中的第1个平均气温大于10℃以上的日期即为春天的开始，那么下列表述正确的是（）

A.这5天中每天采集的若干气温中最高气温一定都大于10℃

B.这5天中每天采集的若干气温中最低气温一定都大于10℃

C.这5天中每天采集的若干气温的中位数一定都大于10℃

D.这5天中每天采集的若干气温的众数一定都大于10℃

5.在四边形A8CD中，AD//BC,AB=AD,对角线AC、8。相交于点。,下列说法能使四边形ABC。为菱

形的是（）

A.AB=CDB./-ACB=乙4CD

C.ABAC=/.DACD.AC=BD

6.下列命题中真命题是（）

A.相等的圆心角所对的弦相等

B.正多边形都是中心对称图形

C.如果两个图形全等，那么他们一定能通过平移后互相重合

D.如果一个四边形绕对角线的交点旋转90。后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形

二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

7.计算：a2-a3=.

8.已知=吉，fg）=.

9.已知关于x的方程“1—%=2,则久=.

10.不等式，x+1<0的解集是.

11.若反比例函数的图象经过点(1,-2),则该反比例函数的解析式(解析式也称表达式)为.

12.从1到10这十个自然数中抽取一个数，这个数是素数的概率是.

13.在△28C中，乙4和NB互余，那么NC=°.

14.正〃边形的内角等于外角的5倍，那么n=.

15.如图，已知平行四边形ABC。中，AB=a，前=1，E为上一点，AE=2ED,那么用落石表示

AE=.

16.数据显示，2023年全球电动汽车销量约1400万辆，其中市场份额前三的品牌和其它

品牌的市场份额扇形统计图如图所示，那么其它品牌的销量约为万辆.

17.如图，在RtaABC中，ZC=90°,AC=2,。是A8的中点，把△BCD沿

8所在的直线翻折，点2落在点E处，如果CE1AB,那么BE=.

18.如图，在Rt△ABC中，Z.C=90°,AB=5,BC=3,以点C为圆心作半径为1的

圆C,尸是上的一个点，以P为圆心，尸8为半径作圆尸，如果圆C和圆尸有公共

点，那么8P的取值范围是.

三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.（本小题10分）

计算：42-2sin60°-(1)-2-|>A3-2|.

20.（本小题10分）

x+4x

解方程:X2—XX—11.

21.（本小题10分）

如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额为（元）和销售量x（千克）的关系如射线

4所示，成本先（元）和销售量%（千克）的关系如射线，2所示.

（1）当销售量为.千克时，销售额和成本相等;

（2）每千克草莓的销售价格是一元;

（3）如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？

22.（本小题10分）

上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观

光等功能的超高层建筑.它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测

量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆,

量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度.进而在讨论测量

上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其

他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计）:

方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼（48）高度，分别在教学楼的楼顶（点4）和楼底地面（点B）分别

测得上海中心大厦（SH）的楼顶（点S）的仰角Na和通过计算就可以得到大厦的高度;

方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点C、D,先量得的长

度，再分别在点C、。测得上海中心大厦（SH）的楼顶（点S）的仰角zy和4氏通过计算就可以得到大厦的高

度.

测量并通过计算得：CD=60米，cota=10.667,cot0=10.161,coty=10.159,cot0=10.254.

(1)教学楼(48)的高度为米；

(2)请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦(SH)的高度(精确到1米).

图1图2

23.(本小题12分)

如图，已知：。是△ABC的边上一点，点E在AABC外部，S.ABAE=^CAD,^LACD=AADC=

^ADE,DE交AB于点、F.

(1)求证：AB=AE；

(2)如果=AF,求证：EF2=BF-AB.

24.(本小题12分)

已知：抛物线y=/+。久+c经过点4(3,0)、B(0,-3),顶点为P.

(1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标；

(2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点。在直线上，且点。在y轴右侧.

①若点2平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式；

②若平移后的抛物线与y轴相交于点。，且ABDQ是直角三角形，求此时抛物线的解析式.

y

o

25.(本小题14分)

如图，已知：等腰梯形A8C。中，AD//BC,AB=DC,以A为圆心，A8为半径的圆与8C相交于点区

与相交于点E联结4E、AC、BF,设AE、AC分别与8尸相交于点G、H,其中反是AC的中点.

(1)求证：四边形AEC£＞为平行四边形;

(2)如图1,如果4E1BF,求需的值;

(3)如图2,如果8G=GH,求乙48c的余弦值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：单项式-2a2b的系数和次数分别是-2和3,

故选：B.

数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；

由此计算即可.

本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数、次数的定义是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：A、a2-b2=Qa+bXa-b),故本选项不符合题意；

B、口2+》2不能因式分解，故本选项不符合题意；

C、a2+2a-3=(a+3)(a-1),故本选项不符合题意；

D、2a-4=2(a-2),故本选项符合题意；

故选：D.

根据平方差公式和完全平方公式对各选项分析判断后利用排除法求解.

本题考查了用公式法正确进行因式分解的能力，熟记平方差公式和完全平方公式结构是解题的关键.

3.【答案】A

【解析】解：根据题意得/=(一2)2-4a20,

解得a<1,

即。的取值范围为aW1.

故选：A.

根据根的判别式的意义得到4=(-2>-4aN0,然后解不等式即可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c=0(a片0)的根与4=一4ac有如下关系：当4>0

时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当/<0时，方程无实数根.

4.【答案】A

【解析】解：•••这5天中的第1个平均气温大于10℃以上的日期即为春天的开始，

.•.这5天中每天采集的若干气温中最高气温一定都大于10℃,故A符合题意，8不符合题意；

这5天中每天采集的若干气温的中位数不一定都大于10℃,故C不符合题意；

这5天中每天采集的若干气温的众数不一定都大于10℃,故。不符合题意，

故选：A.

根据众数，加权平均数，中位数的定义判断即可.

本题考查了众数，加权平均数，中位数，熟练掌握众数，加权平均数，中位数的定义是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：能使四边形为菱形的是=理由如下：

如图，•••AD//BC,//

.­•乙BCA=乙DAC,B~~O~~X口

•••4BAC=^DAC,

C

・••Z-BCA=Z-BAC,

AB=BC,

AB=AD,

•••AD=BC,

••・四边形ABCD是平行四边形，

又：AB=AD,

・•.平行四边形ABC。为菱形，

故选：C.

证明NBC4=NB4C,得AB=BC,再证明AD=BC,则四边形ABCO是平行四边形，然后由菱形的判定即

可得出结论.

本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定，

证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；

3、正多边形都是轴对称图形，但不都是中心对称图形，故本选项命题是假命题，不符合题意；

C、两个图形全等，它们不一定能通过平移后互相重合，故本选项命题是假命题，不符合题意；

。、如果一个四边形绕对角线的交点旋转90。后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形，

是真命题，符合题意；

故选：D.

根据圆心角、弧、弦的关系定理、中心对称图形的概念、平移的性质、旋转变换以及正方形的判定定理判

断即可.

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要

熟悉课本中的性质定理.

7.【答案】

【解析】解：a2xa3=a2+3=a5.

故答案为:a5.

根据同底数的幕的乘法，底数不变，指数相加，计算即可.

熟练掌握同底数的塞的乘法的运算法则是解题的关键.

8.【答案】72+1

【解析】解：/(遍)=高

_1

-(72-1)(AA2+1)

=V-2+1.

故答案为：72+1.

把x=直接代入函数/(久)=六，即可求出函数值.

本题主要考查了函数值，熟练掌握函数值的计算方法进行求解是解决本题的关键.

9.【答案】-3

【解析】解：V1-%=2,

方程两边平方，得1一久=4,

—x=4—1,

—X=3,

x=-3,

经检验：乂=-3是方程的解.

故答案为：-3.

方程两边平方得出1-乂=4,求出方程的解，再进行检验即可.

本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键.

10.【答案】%<-2

1

2-

1

%<1

2-

则久<-2,

故答案为：%<-2.

根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得.

本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式

两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.

11.【答案】y=—2

JX

【解析】解：设y=g

把点（1,一2）代入函数y=§得k=-2,

则反比例函数的解析式为y=-1，

故答案为y=-|.

先设y=g再把已知点的坐标代入可求出左值，即得到反比例函数的解析式.

主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

12.【答案】|

【解析】解：从1到10这十个自然数中，素数有4个，

则抽到这个数是素数的概率是白=I

故答案为：

先找出素数的个数，再根据概率公式即可得出答案.

此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

13.【答案】90

【解析】解：,；乙4和NB互余，

Z-A+Z-B=90°,

根据三角形内角和定理得：N2+NB+NC=90。，

zC=90°.

故答案为：90.

首先根据乙4和N8互余得NA+ZB=90。，然后再根据三角形内角和定理即可求出NC的度数.

此题主要考查了互为余角的定义，三角形的内角和定理，理解互为余角的定义，熟练掌握三角形的内角和

定理是解决问题的关键.

14.【答案】12

【解析】解：,•,正〃边形的内角等于工0-2）x180。，外角等于工X360。，

nvyn

又•••正”边形的内角等于外角的5倍，

・•・久1几-2）X180°=5x（1x360°,

解得：n=12.

经检验得n=12是该分式方程的根，

故答案为：12.

根据正〃边形的内角等于工0—2）x180°,外角等于工x360。可列出方程工（九一2）x180。=5x^x360°,

nvynnvyn

解此方程求出〃即可.

此题主要考查了正〃边形的内角和外角，熟练掌握正〃边形的内角的度数和外角度数公式是解决问题的关

键.

15.【答案】—|a

【解析】M：-.-AB=a,AC=b,

：.BC=AC-AB=b-a.

•••AE=2ED,

2

：.AE=^AD.

在口ABC。中，AD=BC,AD〃BC,

：.AE=|BC,AD=^C.

：.AE=|前，

一2-2一

•*«AE=W力—W0.

故答案为：I—1

利用三角形法则，可求得同，由平行四边形的对边平行且相等和已知条件可以推知：AE^BC,继而求

得答案；

此题考查了平面向量的知识.此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应

用.

16.【答案】378

【解析】解：1一39%-21%-13%=27%

27%X1400=378（万辆）

故答案为：378.

先根据扇形统计图求出其他品牌的销量占比，再用其他品牌的销量占比乘总体销量即可求出其它品牌的销

量.

本题考查了扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

17.【答案】2/3

【解析】解：••・乙ACB=90。，。是的中点，木

CD=BD=AD=^AB,/\

•••把△BCD沿CD所在的直线翻折，点2落在点E处，\

•••ED=BD,BC=CE,

CE

CD=ED,

CE1AB,AC=2,

・••ZB垂直平分CE,

•••BE—BC—CE,

・•.△BCE是等边三角形，

・•.Z,CBE=60°,

1

・•・/.ABC=乙ABE="CBE=30°,

・•.AB=2AC=4,

BE=BC=AB2-AC2=V42-22=2G

故答案为：2A/3.

由乙4cB=90。，。是AB的中点，得CD=BD=抻,由翻折得ED=BD,BC=CE,所以CD=ED,而

CELAB,则AB垂直平分CE,所以BE=BC=CE,则NCBE=60。，求得N&8C=g/CBE=30。，贝U

AB=2AC=4,所以BE=BC=7AB?-AC?=2/1，于是得到问题的答案.

此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、轴对称的性质、等腰三角形的“三线合一”、线

段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半、

勾股定理等知识，证明△BCE是等边三角形是解题的关键.

18.【答案】y<<5

【解析】解：当OP与oc外切时，如图1,连接

CP,过点P作PM1BC,垂足为

在ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,

AC=7AB?—BC2=4,

由「而一smB一下一三

设PB=X,贝"PC=x+1,

43

PM=1x,BM=|x,

PC=x+l,PM=^x,CM=3-|x,由勾股定理得,

CM2+PM2=PC2,

即（3-翔2+（%）2=（久+1）2,

解得X=当

当OP与OC内切时，如图2,

设PB=y,则PC=y—1,PM=^y,BM—|y,

在RtAPCM中,PC=y-l,PM=^y,CM=3-|y,由勾股定理得,

CM2+PM2=PC2,

BP(3-|y)2+(|y)2=(y-l)2)

解得y=5；

当圆C和圆尸有公共点，B尸的取值范围为学WBP<5.

故答案为：y<BP<5.

分两种情况进行解答，即当当OP与OC外切，0。与0。外切，分别画出相应的图形，根据直角三角形

的边角关系，锐角三角函数的定义以及勾股定理列方程求出外切、内切情况下8P的值即可.

本题考查圆与圆的位置关系，直角三角形的边角关系，掌握圆与圆的位置关系，直角三角形的边角关系以

及锐角三角函数的定义是正确解答的关键.

19.【答案】解：4-2sin60。—(犷2-|73-2|

=-9.

【解析】直接利用分数指数塞、特殊角的三角函数值，负整数指数塞以及绝对值的性质分别化简得出答

案.

本题考查了实数的运算，掌握分数指数暴、特殊角的三角函数值，负整数指数幕以及绝对值的性质是解题

的关键.

20.【答案】解:答—告=1,

xL—xx—i

x+4x4

方程两边都乘X(X-1),得X+4—-1),

x+4—x2—x2—x,

整理得：2——2久一4=0,

x2—x—2=0,

(x-2)(x+1)=0,

解得：久1=2,x2--1,

经检验：%=2和x=-1都是原方程的解，

所以分式方程的解是/=2,%2=-1.

【解析】方程两边都乘双K―1)得出x+4—/=久加—1),求出方程的解，再进行检验即可.

本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.

21.【答案】2020

【解析】解：(1)由图可知，当销售量为20千克时，销售额和成本相等；

故答案为：20；

⑵；400+20=20(元/千克)，

二每千克草莓的销售价格是20元；

故答案为：20；

(3)设%=mx,y2—nx+b,

根据图象可知，20m=400,"二个?

<20n+b=400

解得巾=20,1=

3=200

.・.y1=20%,y2=10%+200,

,•,销售利润为2000元，

.­,20x-(10x+200)=2000,

解得x=220,

••.如果销售利润为2000元，那么销售量为多220千克.

(1)由图直接可得答案；

(2)由20千克草莓销售额为400元列式计算即可；

(3)求出力_=20x,y2=10%+200,再根据销售利润为2000元列方程计算即可.

本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息.

22.【答案】30

【解析】解：(1)设教学楼(4B)的高度为x米，

根据题意得住=3

1.0

解得x=30,

答：教学楼(4B)的高度为30米，

故答案为：30；图1

(2)方案1,设SH=x米，过点A作力E1SH,垂足为点E,

.­.乙ABH=乙EHB=AAEH=90°,

••・四边形是矩形，

EA=HB,EH=AB=30(米)

在RtAAES中,AAES=90°,AE=SE-cos^SAE=10.667(%-30),

在RtABHS中，ABHS=90°,BHSH-cot^SBH=10.161%,

10.667(%-30)=10.161X,

解得：x-632,

•••上海中心大厦(SH)的高度为632米；

方案2,设SH=x米，

在Rt△5//£1中，Z.SHC=90°,CH=SH-cot^SCH=10.159%,

在RtASZ/D中，4SHD=90°,DHSH-cotzSDH=10.254%,

10.254%-10.159%=60,

解得x=632,

•••上海中心大厦(SH)的高度为632米.

(1)设教学楼(48)的高度为x米，根据题意列方程即可得到结论;

(2)方案1,设SH=%米，过点A作AELS”，垂足为点£,根据矩形的性质得到瓦4=”8,EH=AB=

30(米)解直角三角形得到上海中心大厦(S”)的高度为632米；方案2,设S”=%米，解直角三角形即可得

到结论.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键.

23.【答案】证明：⑴•・•匕ACD=乙4DC,

AC=AD,

•・•Z-BAE=Z.CAD,

Z.BAC=Z.EAD,

•••Z-ACD=乙ADE,

-.AABC^^AED(ASA)9

・•.AB=AE；

(2)•・•AD=AF,

•••Z-ADF=Z-AFD,

・•・^DAF=180°-2乙ADF,

Z-ACD=Z-ADC,

・•・乙CAD=180°-2乙ADC,

•••Z.ADC=Z.ADE,

Z.CAD=Z-DAF,

•••Z-BAE=Z.CAD,

・•・/.DAF=乙BAE,

^^ABC^^AED,

AB=AE,

ABD会△AEF(SZS),

BD=EF,

•••Z-BDF=180°-2^ADF,

•••Z-BDF=Z.BAD,

Z-B=Z-B,

BDFs^BAD,

.RD_BF

“函一丽’

BD2=BF,AB,

EF2=FB-AB.

【解析】(1)根据NACD=N4DC可以得出AD=4C,再根据NB4E=NCAD得出NB4C=NE4D,从而得出

△AB04AED,即可证明；

(2)根据4。=力尸可以得出；.ADF=NAFD,进而可以证明NR4B=倨傲BAD,在根据NB=Z.E,可以得出

AAEFS^ABD,从而得出结论.

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，综合运用等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性

质是本题解题的关键.

24.【答案】解：(1)由题意得：

vc=—3

故抛物线的解析式为y=/一2%一3=Q-1)2-4,

••・顶点尸的坐标是(1,-4)；

(2)①设直线AB的解析式是y=mx+n,

则｛3巾+:=°,解得：｛m=\,

in=—3in=—3

・,・直线AB的解析式是y=%-3,

设。点的坐标是。七一3),其中t>0,此时抛物线的解析式是y=(%-t)2+t-3,

,・•点5平移后得到的点。在x轴上，

・•・抛物线向上平移了3个单位，

t-3=-1,即t=2,

・•・此时抛物线的解析式是y=(%-2/一1=/一4%+3；

2

②抛物线y=(%-t)+t-3与y轴的交点是。(OY+t-3),

如果乙BDQ=90°,即DQ1y轴不合题意，

如果48QD=90°,

••・AAOB=90°,AO=BO,

・•.Z.OAB=Z.OBA=45°,

Z.QBD=(BDQ=45°,

QB=QD,

QE=t,BD=t2+t,

i-

t=-(t2+t),

解得：t=0(不合题意，舍去)或1,

•••t=1,

则此时抛物线的解析式是y=(x-I)2+1-3=x2-2%-1.

【解析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)①设。点的坐标是(t,t-3),其中t>0,此时抛物线的解析式是y=(x-t)2+t-3,由平移的性质

知，t-3=-1,即可求解；

②如果NBDQ=90。，即DQly轴不合题意；如果NBQD=90。，证明QB=QD,得到BE=DE,即可求

解.

本题考查了二次函数综合运用，涉及到图象的平移、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键.

25.【答案】⑴证明：,••48=2E,

Z.ABE=乙AEB,

•••等腰梯形ABCD中，