2023-2024学年上海市高考数学5月模拟试题(二模)含解析

2023-2024学年上海市高考数学5月模拟试题（二模）

一、填空题

1.不等式log?x＜3的解集是.

【正确答案】（0,8）

【分析】由对数函数的单调性可出原不等式的解集.

【详解】因为函数＞=皿2工在（0,+动上为增函数，由log2X＜3=log28可得0＜》＜8.

因此，不等式在2工＜3的解集为（0,8）.

故答案为.（0,8）

2.若复数z是Y+x+2=0的一个根，则忖=.

【正确答案】41

【分析】设设Z=a+6i,代入z2+z+2=0中，得到方程组，求出。力，求出

模长.

【详解】由题意得z2+z+2=0,设z=a+6i,a,beR,b^0,

则a2+2abi—b~+a+6i+2=0,HPo2-b2+a+2+(2ab+b^i=0,

a—-b~+a+2=0

所以

2ab+b=0

iii7

因为6H0,所以a=—,故62=a?+a+2=----1-2=一,

2424

故也

3.（1-石）5的展开式中，/的系数为.（用数字作答）

【正确答案】5

【分析】利用二项展开式的通项公式可求得结果.

【详解】（1-4尸的展开式的通项公式为&]=c（_«y=（_iyc&5"-二0423,4,5,

令;尸=2,得r=4,

所以/的系数为（-I），C；=5.

故5

4.在平面直角坐标系中，角a的终边经过点尸（3,-4）,则sin2a=.

24

【正确答案】--/-0.96

【分析】利用三角函数的定义结合二倍角的正弦公式可求得sin2a的值.

【详解】在平面直角坐标系中，角a的终边经过点尸（3,-4）,

43

由三角函数定义可得sm£Z=cosa=

因止匕，sin2a=2sinacosa=2x

故答案为.-五■

5.已知直线/的一个法向量为（百,1）,则直线/的倾斜角为.

【正确答案】120°

【分析】根据法向量求直线的方向向量，由方向向量即可求出倾斜角.

【详解】因为直线/的一个法向量为（百,1）,

所以直线I的一个方向向量为（1,-V3）,

所以直线/的斜率为-6，

倾斜角为120°.

故120°

本题考查了求直线的方向向量、由方向向量求直线的倾斜角，考查了基本知识的掌握情况,

属于基础题.

6.等轴双曲线&>0）的焦距为.

【正确答案】2&

【分析】根据等轴双曲线定义得到/=02=1,进而求出°=应，得到焦距.

【详解】由题意得，a2=b2=l,故C2=/+〃=2,故°=及，焦距为2c=2®.

故2夜

7.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的概率为

9

【正确答案】—/0.9

【分析】把另3编号，用列举法写出从5人中任选3人的所有基本事件，可得出甲、乙至

少一人入选的基本事件，记数后由概率公式计算概率.

【详解】另三名同学记为1,2,3,由从5人中选3名同学基本事件有：甲乙1,甲乙2,

甲乙3,甲12,甲13,甲23,乙12,乙13,乙23,123共10个，

其中甲、乙至少一人入选的基本事件有甲乙1,甲乙2,甲乙3,甲12,甲13,甲23,乙

12,乙13,乙23共9个，

所以所求概率为尸=\.

故2

^10,

8.已知/(x)=sins(o＞0),若在0,|上恰有两个不相等的实数。满足

/⑷+/仅)=2,则实数。的取值范围是.

【正确答案】［5,9)

【分析】由OVxvg可得出分析可知函数f(x)在/鼻上恰有两个最大值点,

可得出关于。的不等式，解之即可.

【详解】因为OWxV：,所以OWsV理，

22

因为在0金上恰有两个不相等的实数。、6满足〃。)+/(6)=2,且/(工)=$吊8(0＞0),

所以，函数/'(x)在上恰有两个最大值点，

Lr*r、t57rTLCO97r&力/口

所以，一＜——＜一,斛得54。＜9,

222

因此，实数。的取值范围是［5,9).

故答案为.［5,9)

9.已知/'(x)=e-l,g(x)=lnx+l,请写出与〃司和g(x)均相切的一条直线方程

.(只需写一条)

【正确答案】J=ex-1(或了=无，只要答一个即可).

【分析】设函数y=/(x)图象上的切点为(国,必)，函数夕=8*)图象上切点为(%,%),求出

导函数，利用/'&)=g'(X2)=匕二2k列方程组求得再,马后可得切线方程.

X]一％

【详解】设函数y=/(x)图象上的切点为(国,乂)，函数y=g(x)图象上切点为(%，%)，

/'(x)=e*,g'(x)=-,乂=ef一1,%=也9+1,

由/'(再)=g\x)=1“得,，消去巧得(占-1)(9-1)=0,%=1或％=o,

2X.—X.

从而有＜]_或

又/⑴=e-l,/(0)=0,

所以切线方程为/一作一1)=6。.1)或了=工，即〉=5_1或了=尤,

故/=d-1(或y=x,只要答一个即可).

10.在48c中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,Z5=1,N8的平分线交NC于

D,若BD=追,贝!Ia+2c的最小值为___.

【正确答案】3+2V2/2V2+3

【分析】利用S皿cnS猾o+Sm,可得出工+1=1,然后将。+2c与工+工相乘，展开后利用

acac

基本不等式可求得a+2c的最小值.

【详解】因为4=(,的平分线交/C于。，且BD=6

[.兀[.兀].71

由S=SABD+SCBD,即—acsin—=—c-BDsin——I■—a-BDsin—,

整理可得——ac=——(c+a),所以,

acac

因止匕，a+2c=(a+

ac=a+ca=y[2+1

当且仅当2c_a时，即当行时，等号成立，

一=-c=\+——

[。c[2

因此，Q+2C的最小值为3+2后.

故答案为.3+2万

11.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点48

的距离之比为定值2(4Hl)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿

波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知动点尸(见")在圆O:f+V=i上，若点点

则2%+|PC|的最小值为

【正确答案】回

【分析】先利用阿氏圆定义设出川%%),由|尸叫=2|尸/|得到8(-2,0),利用

2网+|PC卜母|+因|邛C|,即可求出最小值.

【详解】设尸(x,y),不妨取3u。,比),使得归同=2归/|,所以

22

(x-x0)+(y-y0)=4

整理得./++t3X+2+生.=NUT

333

‘4+2%―

2

解得：，丁，即8(—2,0).

此方程与/+/=1为同一方程，所以-^-=0

2

%2十,为2T1=]

3一

所以2|%+|PC卜附+因|邛C|(当且仅当尸、B、C三点共线时等号成立)

止匕时BC=^(-2-1)2+(0-1)2=V10.

所以2|P/|+|PC|的最小值为丽.

故答案为.丽

12.已知工为单位向量，向量满足归-2目=2,3@=3,则的取值范围是

【正确答案】[-3,24]

【分析】建立平面直角坐标系，设。=(1,0)石=(苍力2=(见力，确定点/,3的轨迹，从而

设/(2+2cosa,2sina),3(3+3cos〃,3sin0,求出£片的表达式结合三角恒等变换化简，再结

合二次函数性质即可求得答案.

【详解】如图，建立平面直角坐标系，令。=(1,0),刀=馍,砺=石,

设Z(x,y),5(加,〃)贝！J由卜_24=2,0_3d=3可得(x—2)2+、2=4,(加_3『+〃2=9,

即点4轨迹为以。1(2,0)为圆心，半径为2的圆，

点5轨迹为以Q(3,0)为圆心，半径为3的圆，

则设A(2+2cosa,2sina),5(3+3cos夕,3sin/?),

则5=(2+2cosa)(3+3cos/?)+2sinaBsin°

=6+6cosa+6cos6+6cosacos夕+6sinasin夕

=6+6cos夕+6si叨sina+(6cos尸+6)cosa

=6+6cos/3+6^sin2>0+(1+cos/3)2sin(a+°),(。为辅助角)

=6+6cos/3+6y]sin2+1+2cos[3+cos2/3sin(a+夕)

=6+6cos0+6,2+2cos°sin(a+9),

令,2+2cos/3=2,贝！J2+2cosp=A2,?.2cos/?=22-2,

则万=6+3Z2-6+62sin(6z+(p)=322+62sinQ+°),

又一1Wsin(a+夕)W1,/.3储-6A<a-b<322+62,

而一"cos/WL0V4V2,'322-62G[-3^,322+62G[Q2|,

故-34小否424,故五./的取值范围是[-3,24],

故[-3,24]

本题是关于向量和三角函数的综合性题目，综合性较强，解答时要注意建立坐标系，利用向

量的坐标运算结合三角函数的恒等变换进行解答，难点在于化简鼠6的表达式时，计算较为

复杂，要注意计算的准确性.

二、单选题

13.下列函数中，在定义域内不是奇函数的是()

A.y=lg(x+-而B.…(M)

【正确答案】A

【分析】求出各选项的函数定义域，再利用奇函数的定义判断作答.

【详解】对于A,令/(x)=lg(x+Jx?+10)，由Jx?+10>J?2-x，得/(x)的定义域为R,

”-x)+/(x)=lg[-x+?+10]+lg(x+AP+IO)=I，函数/(x)不是奇函数；

x

对于B,令g(x)=ln(1SQ」—x),由1仁f)—一〉0,得-10<x<10,即函数g(x)的定义域为(-1040),

10+x10+x

g(-X)+g(x)=In(学三)+In(法三)=0,函数g(x)是奇函数；

10-x10+x

对于C,令〃(x)="二1,显然函数〃(X)的定义域为R,幽_助="上1=上任=_/心)，

10x+15+1l+10x

函数〃(x)是奇函数；

对于D,令0(x)=x-W,函数0(x)的定义域为{xeR|xwO},

X

夕(-x)=-x+竺=-p(x),函数0(x)是奇函数.

X

故选：A

14.下列关于统计概率知识的判断，正确的是()

A.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1、E

和S；、S；,且已知X=E，则总体方差$2=，s：+s；)

B.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数「越接近于1

C.若P(3|/)=0.3,P(S)=0.3,则事件A、B相互独立

D.某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10、3、8、3、2、18、7、4,则该样

本数据的第50百分位数为4

【正确答案】C

【分析】利用方差公式可判断A选项；利用相关系数与线性相关关系可判断B选项；利用

条件概率公式以及独立事件的定义可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，设2层数据分别为为、。2、L、％,；4、白、L、

因为鼻=E,所以，总体平均数为1=加西+”电

m+n

所以,s：

Z=1Z=1Z=1Z=1

21

所以,总体方差为Y=之（4+£（4-qmf2+

m+nZ=普1'）仁Z=1'）m+n

mn

s；2+—

m+nm+n

则

〃（一”）（；；）

m1n1mr-nm-25s—s

s2s：+S：

m+n2m+n2m+》m+ijm+

=gl：+s；），否则dwgll+s；）

所以，当机=〃或S；=S；时，52,A错;

对于B选项,在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数〃的绝对值越接近于

1,B错;

由条件概率公式可得尸（引/）=TT，所以，p（/8）=尸（⑷尸（司⑷,

对于C选项,

P（AB）

所以，尸（4）=人弱,

…⑶=宜…0.3

所以，事件A、3相互独立，C对;

对于D选项，将样本数据由小到大排列分别为2、3、3、4、7、8、10、18,

4+7

所以，该样本数据的第50百分位数为=5.5,D错.

2

故选：C.

15.《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖腌”，在长方体

/BCD-44GA中，鳖席的个数为（）

A.48B.36C.24D.12

【正确答案】C

【分析】每个顶点对应6个鳖席，所以8个顶点对应48个鳖席.但每个鳖席都重复一次，再

除2,即可得解.

【详解】在正方体N8CO-跖中，当顶点为A时，三棱锥Z-E/7G、A—EFG、A-DCG、

A-DHG、A-BCG、/-3尸G均为鳖腌.

所以8个顶点为8x6=48个.但每个鳖席都重复一次,

所以,鳖席的个数为了=2"

故选：B.

16.已知｛%｝是等差数列，4=sin(%),且存在正整数乙使得对任意的正整数"都有

bn+t=b„.若集合S=｛x|x=6","eN*｝中只含有4个元素，贝"的取值不可能是()

A.4B.5C.6D.7

【正确答案】B

【分析】根据｛%｝为等差数列，写出通项，根据题意列出之间的关系，进而找到两个

数列基本量之间的关系，分别就f=4,"5,=6,"7四种情况讨论，选出符合题意的值，进而

判断选项即可.

【详解】解：设等差数列｛%｝首项为％,公差为d,则%=%+(〃T)d,”=sin(a3

由题知，存在正整数乙使得4+,="，〃eN*,

若集合｛x|x=6",〃wN*｝有4个不同元素，贝心24,

当1=4时,%4=4，即sin(a,+4)=，sin(aj,即sin(%+4")=sin(a*；+2后qZ,

所以Q〃+4d=〃〃+2hr,或%+4d+a〃+2E=兀,后eZ,

因为｛6｝是等差数列，各项均唯一，所以%+4d+a“+2析=无,后eZ舍去，

故解得"=^#eZ,取左=1时，d=~,

此时在单位圆上的4等分点可取到4个不同的正弦值，

即集合5=卜卜=6",〃€江｝可取4个元素，

当"5时，"+5=4，即sin(%+5)=sin(a")，即sin(a,+5")=sin(%+2")«eZ,

所以a〃+5d=%+2hr,或%+5d+%+2hi=兀，后EZ,（舍）,

故解得"=专，左eZ,此时在单位圆上的5等分点,

取到的?，?，自，?，竽，不可能取到4个不同的正弦值，故不成立，

同理可得当t=6j=7时，集合5=卜卜=6",〃€江｝可取4个元素.

故选：B

思路点睛：该题考查集合间的基本关系，属于难题，关于新定义集合的思路有:

(1)根据题意，先写出几项，找出规律；

(2)找到新集合和旧集合之间的关系；

(3)分情况讨论，结合题意，找出适合的答案即可.

三、解答题

17.如图，在四棱锥尸-48CD中，底面/8CD为正方形，P/工平面/8CD,M,N分别

为梭PD,的中点，PA=AB=2.

⑴求证：1W〃平面P/8；

(2)求直线与平面尸CD所成角的正弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

回

10

【分析】(1)由线面平行的判定定理即可证明；

(2)以点A为坐标原点，AB、AD、/P分别为X、V、z轴，如图建立空间直角坐标系.

求出直线的方向向量和平面PBO的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.

【详解】(1)证明：在四棱锥中，

取尸/的中点E,连接E8、EM,

因为“是的中点，所以EM//AD,且

又因为底面/BCD是正方形，N是8c的中点，

所以BN//AD,且BN=LAD,所以EM"BN,EM=BN.

2

所以四边形跖VSE是平行四边形，所以MN//EB.

由于E2u平面P48,M/U平面P48,所以〃平面尸45.

(2)因为底面/BCD是正方形，所以AB_LAD.又因为P/_L平面48cD.

所以以点A为坐标原点，48、AD、/P分别为X、了、z轴，如图建立空间直角坐标系.

4(0,0,0),C(2,2,0),1)(0,2,0),尸(0,0,2),M(0,1,1),N(2,l,0).

定=(2,2,—2),CD=(-2,0,0),

—/、m-PC=0,\x+y—z=0,

设平面尸CD的法向量为加=x,y,z.有：_'即八’令y=l,则z=l,

m-CD=0,［尤=0,

所以碗=(0,1,1).加=(2,0,-1).设直线AGV与平面尸5。所成角为夕

阿甸|0x2+lx0+lx(-l)|_VW

有.sin。=|cos〈MN,加1=

M-|w|V5xV210

所以直线MN与平面尸CD所成角的正弦值为巫.

10

18.已知数列｛%｝的前n项和为S.，%=2,对任意的正整数"，点(。角,切)均在函数/(x)=x

图像上.

(1)证明：数列电,｝是等比数列;

(2)证明：｛%｝中任何不同三项不构成等差数歹

【正确答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)确定0=%=%「S”得到<=2尺,得到证明.

(2)确定数列的通项公式，假设存在2<他使得册,。“,与成等差数列，得到

2"+~，句+2…，根据奇偶性得到矛盾，得到证明.

【详解】⑴点(%+”$“)均在函数/㈤.图像上,则S"=%=S"「S",故S"+i=2S",

岳=%=2/0,故母｝是首项为2,公比为2的等比数列.

f2,n=1zX

(2)S“=2",故与=2"-、>2，%=02,且从第二项起｛%｝严格增，

假设存在2<m<n<p使得am,an,ap成等差数列，则2.2"一=2小+2小，

即2"+5=1+2广"，等式左边为偶数，右边为奇数，故假设不成立.

故｛凡｝中任何不同三项不构成等差数列.

19.一场始于烟火，归于真诚的邂逅，让无数人赴山赶海“进淄赶烤”，淄博某烧烤店趁机推

出15。元烧烤套餐.某同学调研发现，烧烤店成本y(单位：千元，包含人工成本、原料成

本、场地成本、设备损耗等各类成本)与每天卖出套餐数x(单位：份)的关系如下：

Xi3467

y56.577.58

了与X可用回归方程j=Algx+A(其中为常数)进行模拟.参考数据与公式：设/=lgx,

）（乂-刃

则线性回归直线S=£+/中，----------S=y-at.

i=l

55

ty£日-7)(％-刃

j=li=l

0.546.81.530.45

⑴试预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元.（利润=售价-成本，结果精确到I元）

（2）据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为淄博

配送的箱数的频率分布直方图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置"辆小

货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该

饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车

每天平均亏损200元.若”=3或4,请从每天的利润期望角度给出你的建议.

【正确答案】（1）3236元

（2）答案见解析

【分析】（1）根据所给数据求出3、务，即可求出回归方程，再代入x=100求出预测值，即

可得到利润；

（2）根据频率分布直方图，得到送货箱数的概率分布表，设该运输户购3辆车和购4辆车

时每天的利润分别为乂、乃元，求出分布列，计算出期望，即可判断.

5

―5）

【详解】（1）根据题意，♦=上二----------=3.4,

X（T>045

Z=1

所以务=歹一-7=6.8-3.4x0.54=4.964,

所以j=3.4/+4.964,

又/=lgx,所以j=3.41gx+4.964,

所以x=100时，y=3.41g100+4.964=6.8+4.964=11.764（千元），

即卖出100份的成本为11764元，故利润15000-11764=3236（元）.

(2)根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为:

箱数[40,80)[80,120)[120,160)[160,200]

1_1_

P

84~28

设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为乂、A元,

则匕的可能取值为1500,800,100,其分布列为：

1500800100

511

P

848

故矶耳)=-xl500+-x800+-x100=1150,

848

则丫2的可能取值为2000,1300,600,-100,其分布列为

20001300600-1000

]_£]_

P

8~248

故E亿)=：x2000+gxl300+；x600+：x(-100)=1037.5,

因为E化)<£化)，即购置3辆小货车的利润更高，建议购买3辆车.

22

20.已知椭圆r：[+方=1(°>6>0)的左焦点为尸，左、右顶点分别为A,B,上顶点

为P.

(1)若△尸网为直角三角形，求「的离心率；

(2)若。=2,6=1,点。，。'是椭圆r上不同两点，试判断“户。|=|p。『，是“。，。'关于了轴

对称”的什么条件？并说明理由；

(3)若。=2,6=6，点7为直线x=4上的动点，直线以，75分别交椭圆「于C,。两点，

试问尸CD的周长是否为定值？请说明理由.

【正确答案】⑴正二)

2

(2)必要不充分条件，理由见解析

(3)是，理由见解析

【分析】(1)利用△PF5为直角三角形得到而.丽=0,转化为℃=62=/一C?即可得

cV5-1

?-.------.

a2

(2)根据椭圆的对称性可证必要性，又反例可知不满足充分性.

(3)先证直线CD过椭圆的右焦点，可得尸CD的周长为4a=8

如图尸(-c,0),尸(0,6),5(«,0),

PF=(-c,-b),PB=(a「b),

由题意丽.丽=0，BPac=b2=a2-c2,故e=1e2,

解得离心率e=1二

2

(2)必要不充分条件.

必要性：根据椭圆的对称性可知，当。，。关于y轴对称时，|尸。|=归。#成立;

充分性：椭圆方程为匕+/=1,设。(XJ),

4-

|PQ|2=x2+(y-1)2=-3/-2y+5,在上不单调,

2

所以可举反例：分别取必=0,%=一屋

即。(2,0),。'(孚,一§

使得|尸。|=|尸。#=百,但。,。'不关于了轴对称.

43

设7（4,。，则直线47的斜率为匚[]=、，方程为：y=；（x+2），

联立椭圆方程得（27+t2-）x2+4rx+4/2-108=0,

4r_54-2”代入/*2）得▼袅,

X+X=----7

A'Cc27+〃—27+7

54-2产18?

所以C（一

27+产27+产

同理直线37的方程为：y=j（x-2）,

联立椭圆方程得(3+t2)x2-4t2x+4尸T2=0,

At2,,2t2-6

马+“评’故~=『代入了=；（工一2）得力=芸,

所以。（之二?,工），

3+/3+产

18Z—6/

27+/3+/2书(7+9)_6t

所以e0=

54-2/2/-64(81—7)一9一产

27+/3+/

6t2r-6

直线方程为y-O

3+〃9-t2

令y=0,可得X=l,即直线co恒过椭圆的右焦点.

所以尸CD的周长为定值4a=8.

方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

（1）设直线方程，设交点坐标为（占,弘）,（9,力）;

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或V）的一元二次方程，必要时计算A；

（3）列出韦达定理;

（4）将所求问题或题中的关系转化为%+%、玉尤2（或%+%、%%）的形式;

（5）代入韦达定理求解.

21.已知函数/(尤Xd+bf+cx。ceR),其导函数为/'(x),

⑴若函数/(x)有三个零点再、声、4，且为+/+鼻=3丙％=-9,试比较/(3)-/(0)与3/(2)

的大小.

⑵若/'⑴=-2,试判断〃x)在区间(0,2)上是否存在极值点，并说明理由.

⑶在(1)的条件下，对任意的也"eR,总存在xe［0,3］使得|/(x)+加x+成立，求实数

，的最大值.

【正确答案］⑴"3)-40)=3广⑵

(2)存在，理由见解析

(3)2

【分析】(1)根据分析得到％=0,否是方程/+法+,=()的两根，由韦达定理得

b=-3,c=-9,计算出〃3)-/(0)=3/(2)；

(2)由导函数为二次函数，开口向上，结