2024年新高考数学一轮复习-数列的综合应用（学生版）

专题40数列的综合应用

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题.

2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.

【方法技巧】

1.数列应用问题常见模型

⑴等差模型：后一个量比前一个量增加（或减少）的是同一个固定值.

⑵等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数.

（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑为与4

+i（或者相邻三项）之间的递推关系，或者S与S+“或者相邻三项）之间的递推关系.

2.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系.数列的求和主要是等差、等

比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用4=1,

流0证明不等式成立.另外本题在探求｛aj与｛以｝的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法.

3.数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前〃项

和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.

二、【题型归类】

【题型一】数学文化与数列的实际应用

【典例1】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心

石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后

一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形

石板（不含天心石）（）

A.3699块B.3474块

C.3402块D.3339块

［典例2］某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20

dmX12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmX12dm,20dmX

6dm两种规格的图形，它们的面积之和S=240dm2,对折2次共可以得到5dmX12dm,10dmX6dm,20

dmX3dm三种规格的图形，它们的面积之和S=180dm:以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形

的种数为;如果对折〃次，那么Z&=dm2.

k=l

【典例3］《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、

立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5

尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日为春分时节，其日影长为()

A.4.5尺B.3.5尺

C.2.5尺D.1.5尺

【题型二】等差、等比数列的综合

【典例1］设｛a〃｝是等差数列，且a=ln2,a2+a3=51n2.

⑴求｛2｝的通项公式；

(2)求eai+eazd----\~ea„.

【典例2】设S为数列｛aj的前〃项和，已知az=3,a„+i=2an+l.

(1)证明：｛a+1｝为等比数列；

⑵求｛a｝的通项公式，并判断〃，a”，S是否成等差数列？说明理由.

【典例3］已知等差数列｛aj和等比数列伉｝满足琐=2,4=4,a„—2,log2b„,〃eN*.

⑴求数列｛aj,｛4｝的通项公式；

⑵设数列口中不在数列伉｝中的项按从小到大的顺序构成数列｛以｝,记数列匕｝的前n项和为S,求Soo.

【题型三】数列与其他知识的交汇

9

【典例1］已知数列｛aj是公比不等于1的正项等比数列，且lga+lg切必=0,若函数f(x)=讦］，则

+f(a2)H-\-f^ai021)=()

A.2020B.4040

C.2021D.4042

【典例2］已知S是数列｛4｝的前刀项和，51=1,且V刀£N*,2s=(刀+1)%，4=S(cos-^―+sin

则数列｛4｝的前2020项之和T2020=.

【典例3】设数列自｝的通项公式为4=2〃一1,记数列的前〃项和为北，若对任意的〃GN*,不等式

4北a恒成立，则实数a的取值范围为.

三、【培优训练】

【训练一】已知数列｛aj满足a〃+a-(如〃eN*)且4=1,若［x］表示不超过x的最大整数,则数列『答］］

的前10项和为()

A.12B.—

5

C.24D.40

【训练二】(多选)已知在△/及;中，4,笈分别是边54,%的中点，4,凡分别是线段448避的中点，…,

4,尻分别是线段4-M,B“_、B(nGN,〃>1)的中点，设数列｛aj,亿｝满足百大=a〃西+4近(〃GN*),给出

下列四个结论，其中正确的是()

A.数列｛a.｝是递增数列，数列｛4｝是递减数列

B.数列面+4｝是等比数列

C.数歹琮｝(〃GN*,〃>1)既有最小值，又有最大值

D.若在△49C中，C=90°,CA=CB,贝”百%J最小时，an+b„=^

【训练三】某地区2018年人口总数为45万.实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：

从2019年开始到2028年，每年人口总数比上一年增加0.5万人，从2029年开始到2038年，每年人口总

数为上一年的99%.

(1)求实施“二孩”政策后第〃年的人口总数当(单位：万人)的表达式(注：2019年为第一年)；

(2)若“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万,则需调整政策，否则继续实施，问

到2038年结束后是否需要调整政策？(参考数据：0.9砂心0.9)

【训练四】已知在等差数列｛aj中，a2=5,&+续=22,在数列｛4｝中，(=3,4=24-1+1(〃22).

⑴分别求数列｛&｝,｛4｝的通项公式；

⑵定义户㈤+(x),㈤是x的整数部分，(x)是x的小数部分，且0W(x)<1.记数列｛以｝满足c“=

求数列｛以｝的前〃项和.

【训练五】由整数构成的等差数列｛aj满足as=5,石i&=2a.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵若数列｛4｝的通项公式为4=2",将数列｛a｝,｛4｝的所有项按照“当〃为奇数时，4放在前面；当〃为

偶数时，a.放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列｛以｝,b、,&,a2,k,h,a3,a,b4,…，

求数列｛以｝的前(4/7+3)项和"+3.

【训练六】已知等差数列｛aj的公差为2,前〃项和为S,且S,S,S成等比数列.

⑴求数列｛a>｝的通项公式；

(2)令4=(—1)〃-'----,求数列｛4｝的前〃项和Tn.

1

四、【强化测试】

【单选题】

1.等比数列回｝中，35,a7是函数f（x）=x2—4x+3的两个零点，则a3・a9等于（）

A.-3B.3C.-4D.4

2.已知等差数列｛a｝的前〃项和为S,公差为一2,且a,是as与ag的等比中项，则S。的值为（）

A.-110B.-90C.90D.110

a?

3.若等差数列｛aj的公差后。且a”备，a7成等比数列，则一等于（）

31

321

A.-B.-C.-D.2

4.某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费

和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室

比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室

改建费用不能超过1700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（）

A.3233万元B.4706万元

C.4709万元D.4808万元

5.某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2020年开始每年比上一年

获利增加20%,则从（）年开始这家加工厂年获利超过60万元，己知1g220.3010,1g3-0.4771（）

A.2024年B.2025年

C.2026年D.2027年

6.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

即尸（1）=户（2）=1,户5）=15—1）+1（〃-2）（〃23,AGN*）.此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛

的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列｛aj,则数列｛aj的前2019项的和为（）

A.672B.673

C.1346D.2019

7.己知等差数列｛a｝的公差为一2,前〃项和为S.若a,a,&为某三角形的三边长，且该三角形有一个

内角为120。，则S的最大值为（）

A.5B.11

C.20D.25

8.定义：若数列｛2｝对任意的正整数A,都有|%+」+|%|="3为常数），则称|aj为“绝对和数列”，d

叫做"绝对公和”.已知“绝对和数列”｛aj中，④=2,绝对公和为3,则其前2019项的和国侬的最小

值为（）

A.-2019B.-3010

C.-3025D.-3027

【多选题】

9,南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三

角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列｛a｝，贝U()

A.QA—12

B.4+1=a+〃+1

C.aoo=5050

D.2a+1=2•<3/7+2

10.已知数列｛2｝是公差不为0的等差数列，前〃项和为S,满足a+5a3=&,下列选项正确的有()

A.aio—0B.So最小

C.S=SzD.S)=0

11.若数列｛aj满足：对任意的〃GN*且总存在工jCN*,使得i<n,J<n),则

称数列｛为｝是“7数列”.则下列数列是“7数歹『’的为()

A.｛277｝B.｛n｝

2

12.一个弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来的高度的可再落下.设它第〃次着地时，

经过的总路程记为S,则当时，下面说法正确的是()

A.&<500B.SW500

c.S的最小值为竽D.S的最大值为400

【填空题】

191

13.若数列｛2｝满足-----=0,则称｛a｝为“梦想数列”.已知正项数歹心了｝为“梦想数列”，且&+&

3，n+1Q-nUn

+&=1,贝!］加+益+左=.

14.已知在数列｛aj中，a,+i=2a；I-l,a=2,设其前〃项和为S,若对任意的〃GN*,(S+l—A)%22A—3

恒成立，则A的最小值为

15.若数列面｝满足为一标如一姓…匕一%《…，则称数列｛aj为“差半递增”数列.若数列｛aj为“差

半递增”数列，且其通项为与前〃项和S满足S=2a〃+2£—1(〃GN*),则实数t的取值范围是.

CCS

16.已知等差数列｛aj的首项以及公差d都是实数，且满足深+卷+2=0,则d的取值范围是.

【解答题】

17.已知S为等差数列｛品｝的前〃项和，且&=3,S=14.

(1)求为和S；

(2)若4=2%,求｛瓦｝的前〃项和北.

18.已知〃〃=己"+/—%+2"---alf~xA-!J(a>｛),b>0,〃£N*).

⑴当a=2,6=3时，求为；

⑵若刘=功求数列｛叫的前〃项和S.

19.已知数列｛品｝的前〃项和S满足7?eN),