上海市黄浦区2024届高三二模数学试题（含答案解析）

上海市黄浦区2024届高三二模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.若集合Z=[1,4],5=[2,5],则.

2.抛物线V2=4X的焦点到准线的距离是.

3.若a=(3cos8,sin。)，S=(cos^,3sin^),其中贝[.

4.若一个圆柱的底面半径为2,母线长为3,则此圆柱的侧面积为.

5.若(依2+工)5的展开式中一的系数是一80,则实数。=.

X

,3

6.在48c中，cosA=――,AB=1,AC=5,贝I]3C=.

7.随机变量X服从正态分布NQ,/),若尸(2<XW2.5)=0.36,贝I]

P(|X-2|>0.5)=.

8.若实系数一元二次方程/+依+6=0有一个虚数根的模为4,贝IJ。的取值范围

是.

9.某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过

抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为.

10.己知数列{%}是给定的等差数列，其前〃项和为5“，若%%(><。，且当加与"=〃0时,

瓦(m,ne{x|.r<30,xeN*})取得最大值，则厢-的值为.

11.如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分(它由线段CE,。厂与分别以OC,OD

为直径的半圆弧组成)表示一条步道.其中的点C,D是线段N8上的动点，点。为线段/民

的中点，点E,尸在以4g为直径的半圆弧上，且NOCE,。尸均为直角.若=1百米，贝U

此步道的最大长度为百米.

12.在四面体尸/8C中，2PD=PA+PB，5PE=2PB+3PC，2尸尸=-尸C+3P/，设四面体尸48c

试卷第1页，共4页

与四面体尸。斯的体积分别为匕、V,则,的值为_________.

2v\

二、单选题

13.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和

高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同

A.C孰+C短B.

20

D。•~05200,C^300

71

14.函数y=l—2cos2X--是（

A.最小正周期为1的奇函数B.最小正周期为1的偶函数

71jr

C.D.最小正周期为］的偶函数

I—+20—4<x<0

15.设函数/（力=2；，"二，若〃x）>0恒成立，则实数°的取值范围是（）

''Iizx2-2x+3,0<x<4

16.设数列｛«„）的前〃项和为S„,若对任意的"eN*,S.都是数列｛为｝中的项，则称数列｛%｝

为“T数列”.对于命题：①存在“T数列”｛%｝,使得数列｛SJ为公比不为1的等比数列；②对

于任意的实数%,都存在实数d,使得以外为首项、d为公差的等差数列｛%｝为“7数列”.

下列判断正确的是（）

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题

三、解答题

17.设aeR,函数

⑴求。的值，使得了=/（尤）为奇函数；

（2）若/'（2）=a,求满足〃x）>a的实数x的取值范围.

试卷第2页，共4页

18.如图，在四棱锥尸-4BCD中，底面48co为矩形，点£是棱尸D上的一点，尸3〃平

面4EC.

⑴求证：点£是棱PD的中点；

⑵若P/工平面48C。，AP=2,4。=2百，尸C与平面48CD所成角的正切值为g,求二

面角。-4E-C的大小.

19.某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总,

得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格.

组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

频数926655347

（1）该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放2个随机红包，不

合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额（单位：元）的分布为口:.若从这200个

成年市民中随机选取1人，记X（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求X的分布

及数学期望；

（2）已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%,该社区所有成年市民中60岁以下人

员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合

格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.

20.如图，已知一是中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，门是以口的焦点片,此为顶点

的等轴双曲线，点Mg］）是一与匕的一个交点，动点尸在门的右支上且异于顶点.

试卷第3页，共4页

⑴求「与12的方程；

(2)若直线尸区的倾斜角是直线期的倾斜角的2倍，求点P的坐标;

⑶设直线尸耳/耳的斜率分别为勺他，直线不与一相交于点48,直线时与一相交于点

C,D,\AFx\-\BFx\=m,\CF2\-\DF2\=n,求证：左右=1且存在常数s使得加+〃=的.

21.若函数＞=/(x)的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数y=/(x)

的图象的“自公切线”，称这两点为函数y=/(x)的图象的一对“同切点”.

⑴分别判断函数力(x)=sin元与启x)=lnx的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；

⑵若aeR,求证：函数g(x)=tan尤-x+a(xe(-■!，■!))有唯一零点且该函数的图象不存在“自

公切线”;

(3)设"eN*,h(x)=tanx-x+〃n(xe的零点为fe(—5,5),求证：“存在,

使得点(s,sins)与(r,sinr)是函数y=sinx的图象的一对，同切点，”的充要条件是“》是数列{%}

中的项

试卷第4页，共4页

参考答案:

L[1,5]

【分析】由交集的定义求解即可.

【详解】因为集合/=8=[2,5],则么°2=口,5].

故答案为：口，5].

2.2

【详解】焦点尸(1,0),准线方程x--1，.♦•焦点到准线的距离是2.

3.3

【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】a-b=3cos20+3sin23=3<

故答案为：3

4.12兀

【分析】将圆柱的侧面展开，得到矩形的两边长，求出面积即可.

【详解】将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3,另一边为2兀x2=4兀，

故侧面积为3x47r=127t.

故答案为：12兀

5.-2

【分析】根据通项公式得到10-3r=4,求出r=2,从而得到方程，求出。=-2.

r5rl02rr

【详解】通项公式为=C5a-x~-x-=

令10-3r=4,解得厂=2,

故C；a3=_80,解得q=-2.

故答案为：-2

6.4A历

【分析】根据余弦定理建立方程，可得答案.

【详解】在“中，根据余弦定理可得：cos/J炉+/°2―8.2,

2-AB-AC

设3C=x(x>0),则J25f2,整理可得f=32,解得x=4后，

故BC=4后.

故答案为：4vL

答案第1页，共15页

7

7.0.28/—

25

【分析】根据正态曲线的性质计算可得.

【详解】因为X~N(2,b2)且尸(2<X42.5)=0.36,

所以尸(1.54X<2)=P(2<XV2.5)=0.36,

贝l]P(|X-2|>0.5)=l-2尸(2<X42.5)=1-2x0.36=0.28.

故答案为：0.28

8.(-8,8)

【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共辗，可设两根分别为"7+疝和

m-m,则/+〃2=]6,又6=(加+叫(切一汨)=历=16,再由△<0可求。的取值范围.

[详解】设实系数一元二次方程x2+ax+b=0的两个虚数根为“+和加-〃i,

则7722+n2=16.

所以6=(〃?+叫(机-叫=〃/+n2=16.

由A<0=>a2-4xl6<0n-8<a<8.

故答案为：(-8,8)

3

9.~/0.6

【分析】求出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的场数和抽签总共的可能场数，即可得出甲、

乙两位选手上场顺序不相邻的概率.

【详解】由题意，

若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有C；A；=3x3x2x1=18种，

若甲第二个上场,乙则可以第4,5个上场，有C；A；=2x3x2x1=12种,

若甲第三个上场,乙则可以第1,5个上场，有C；A；=2x3x2x1=12种,

若甲第四个上场,乙则可以第1,2个上场，有C；A；=2x3x2x1=12种,

若甲第五个上场,乙则可以第1,2,3个上场，有C；A；=3x3x2x1=18种,

共有18+12+12+12+18=72种,

而所有的上场顺序有m=5x4x3x2x1=120种,

答案第2页，共15页

723

・・・甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：尸=而=不，

3

故答案为：

10.21

【分析】不妨设数列｛与｝的公差大于零，不妨取别>〃，则S,“-s”=X。,，设

i-n+1

30

左=国0-$9|=£为，再分">9,%=30和〃<9,“2=30两种情况讨论，可得出既的值，再讨论

M0

加<30,即可求出冽0，即可得解.

【详解】不妨设数列｛%｝的公差大于零，

由于得〃90°，。10>0,

且〃K9时，4〃<0,时，4〃>0,

不妨取m>n,则S,"-S”=Zq，

i-n+1

30

设左=闻一$9|=£%，

M0

30

若〃>9,加=30,则国。一>“归,此时式子取不了最大值；

Z=MO+1

9

若〃<9,加=3。,则国一色区,

Z=/JQ+1

又区9时，”0,

因为际-Sjv2ai+k<k,此时式子取不了最大值;

Z=MO+1

因此这就说明〃=〃0=9必成立.

加0

若加<30,则囚加-59|<<左,

i=10

这也就说明叫<30不成立，因此犯）=30,

所以陶-%|=21.

故答案为：21.

2

答案第3页，共15页

【分析】设半圆步道直径为X百米，连接/及8£,借助相似三角形性质用X表示CE,结合

对称性求出步道长度关于x的函数关系，利用导数求出最大值即得.

【详解】设半圆步道直径为x百米，连接显然乙4座=90。，

由点O为线段的中点，得两个半圆步道及直道CE。尸都关于过点。垂直于的直

线对称，

贝！|/C=L-X,8C=L+X,又CEJ.AB,则Rb/CEsRWEC5,^CE2=AC-BC,

22

即有。尸=CE=J；——,因此步道长f(x)=2^-x2+wc=A/1-4T2+世，0<x<；,

4x兀

求导得/'(x)=一下『+兀，由/'(幻=0,得％=•k=，

Vl-4x22，兀2+4

71711

当0<x<时,/'(x)〉0,函数递增，当/2<、<彳时,/'(x)<0,函数人/

2771+42J兀2+42

递减，

71712+4

因此当A定有时’/⑴曲一4(4^2+至二

2

所以步道的最大长度为如土上百米.

2

故答案为：勺

20

【分析】根据空间向量的加法与数乘运算，可得点的位置并作图，利用三角形的等积变换可

得底面的面积比，可得答案.

ULUUULUIH_/►►\—►—►__

【详解】由2如=乃+尸8,2PD=PA+PB-PA+PA>2（PD-PAj=PB-PA,贝上瓦二万;

LiuiL1L1LULU_______,____._______.rt____►____►

由5PE=2尸8+3尸C，5PE=2PB+3PC-3PB+3PB，5（尸£1一尸8）=3（尸（7—尸耳，贝1152£'=38。;

由2万一斤+3万，2PF=-PC+3PA-3PC+3PC2（PF-PC）=3（P5-PC）,贝!]

2CF=3CA;

显然四面体P43C与四面体PDEF共顶点且底面共面，则其高相同可设为〃,

结合题意可作图如下：

答案第4页，共15页

AC2AC21

由，即"=晨则，易知：成=

2CF=3C/~FC~-3;

JTC□AFBC3、&FBC

1,s〜BD11

BD易知［DBF-

由即可二2则一c~~BA~;

BA3ABF2,、AFBC6

V

=|,则。AECFEC_2

由砺就，

5=3W—V~BC~

nC"BCF5

,BD1BE3则专皿13易知乂理=±21

由---=—，-----=—,=—Xx—=一

BA2BC5'△ABC2510',△FBC1。35

7S737

」AFDE1~DBFjECFjDBE3FDE__x_—__

cccc-30，W302-20；

QAFBCn^FBC3BCFQ“FBC口“BC

La

匕=32\DEF7

匕20,

-hS△ABC

3'

一一•7

故答案为：--.

13.B

【分析】由分层抽样先求出初中部和高中部应抽取的学生，再由组合数公式和分步计数原理

即可得出答案.

【详解】该校初中部和高中部分别有500和300名学生，

所以初中部应抽取40x梏=40x，=25名学生，

8008

3003

高中部应抽取40x诉=40XQ=15名学生，

800O

答案第5页，共15页

所以不同的抽样结果的种数为。o-C—

故选：B.

14.A

【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简函数，再利用三角函数的周期公式以及奇偶函数

的定义即可求解.

因为/(-x)=-sin(-2x)=sin2x=-〃x),所以为奇函数,

周期7=看=万，

所以此函数最小正周期为万的奇函数，

故选：A.

15.D

【分析】分-44x40和0<xV4两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.

【详解】当-4VxV0时，一办+20>0恒成立，即办AX2-20恒成立,

当尤=0时，上式成立;

onof)

当-4V尤<0,a<x--,明显函数y=x-'在卜4,0)上单调递增,

XX

…20

所以>min=-4一/=1，所以3<1；

23

当0<x«4时，办2一21+3〉0恒成立，即。〉----^恒成立，

XX

令/=，€!，+"],贝Ua>2f-3〃在上恒成立，

x[4JL4)

又y=2/—3/开口向下，对称轴为­,+°°j,

所以了=2，-3/的最大值为2xg-3x

所以a>g,

综上：实数。的取值范围是]」

故选：D.

16.A

答案第6页，共15页

【分析】根据题意，结合“T数列”的定义，举出实例说明①②，即可得出答案.

【详解】对于命题①，对于数列｛与｝,

1,〃=1

则国=

2n~\n>2

数列｛S"｝为公比不为I的等比数歹U,

当〃=1时，H=i是数列｛%｝中的项,

当“22时，S"=2"T是数列｛&｝中的项,

所以对任意的“eN*,S“都是数列｛见｝中的项，

故命题①正确；

对于命题②，等差数列｛%｝,令%=-4，则4=，

贝ijs=〃(4+%)=〃[-d+("2”]=小-3)d,

'2一22

因为〃一22-1且〃一2eZ,

〃(九一3)（及一3）

且——LeZ

22

所以对任意的“eN*,S"都是数列｛0“｝中的项，

所以对于任意的实数为,都存在实数d,使得以为为首项、d为公差的等差数列｛与｝为“7

数列”，

故命题②正确；

故选：A.

17.(l)a=l

(2)(0,2)

【分析】(1)由奇函数的性质可得/(-1)=-/⑴，代入解方程即可得出答案；

(2)由1(2)=。，可得。=2,则二上＞2,由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.

2*-1

【详解】(1)由/(x)为奇函数,可知=

即一（1+2。）=—（2+。）,解得〃=1,

答案第7页，共15页

当。=1时，/㈤=±_-J(-x)=-~L三=—/(%)对一切非零实数X恒成立，

2X-12~x-11-2X

故。=1时，y=为奇函数.

(2)由/'(2)=。，可得手=%解得0=2,

所以/(x)>a=2+2>20工——-<0<^>1<2<4

2%-12X-1

解得：0<x<2,所以满足〃x)>。的实数x的取值范围是(0,2).

18.(1)证明见解析

(2)arctan2也

【分析】(1)作出辅助线，由线面平行得到线线平行，结合点尸是2。的中点，得到证明；

(2)方法一；作出辅助线，得到/尸C4就是尸C与平面/BCD所成角，从而根据正切值得

到/8=2逐，证明出线面垂直，得到/CGD是二面角D-/E-C的平面角，求出各边长，从

而得到ZCGD=arctan2也;

方法二：作出辅助线，得到/尸。就是PC与平面/BCD所成角，建立空间直角坐标系，得

到平面的法向量，利用法向量夹角余弦值得到二面角的大小.

【详解】(1)连接3。，它与/C交于点尸，连接斯，

四边形为矩形,

:.F为BD的中点，

PB//平面AEC,平面PBD经过PB且与平面AEC交于EF,

:.PB//EF,

又点、尸是BD的中点，

，点E是棱PD的中点.

(2)方法一：•.•为1_平面/38,/(7,/。,。<=平面48。,

答案第8页，共15页

PAIAC,PAIAD,PA，C。且/PCZ就是PC与平面ABCD所成的角,

/一尸421

故tan”。：就解得人2折

■■•四边形48CD为矩形，

AD1CD,又尸/_LCD,我与是平面为。内的两相交直线,

\CD"平面PAD.

在平面内作。G_LZE,垂足为G,连接G凡则CG_L/E,

.­.NCGD是二面角D-AE-C的平面角.

在直角三角形E4D中，•.•力=2,40=2退，点石是尸。的中点，

■：CD±平面PAD,DGu平面PAD,

:.CD±DG,故tan/CGZ)=—=+=2应，所以/CG。=arctan20，

DGV3

故二面角D-AE-C的大小为arctan2收.

方法二：,为_L平面/BCD,4。,/。,67)<=平面/8。。，

：.PA1AC,PA1AD,PA，CD且ZPCA就是PC与平面ABCD所成的角，

又,•・四边形48。为矩形，工NO,

分别以48,AD,4P为x,z轴，建立空间直角坐标系O-个，

答案第9页，共15页

设N5=/=(x,y,l)是平面AEC的一个法向量，二面角D-/E-C的大小为。,

P421

由tan/PC4=7^=1----^=三，可得(=2遍，

则近=(2如,2石,0),”=(0,V3,n，

=(x,y,l).℃,26,0)=26+26=0

??1-AE=(x,y,l)-^0,A/5',1)=忑y+1=0

解得x="且k-且，所以*=

63163)

又第=(1,0,0)是平面AEO的一个法向量，且。为锐角，

故cose=J：J=--11-----=-＞可得e=arccos-.

H-H居二33

所以二面角D-/E-C的大小为arccos；.

19.(1)分布列见解析，39

(2)36%,98:27

【分析】(1)依题意，X的所有可能取值为20,50,40,70,100,利用独立事件的概率乘法公

式求解相应的概率，进而得到X的分布，再结合期望公式求解即可；

(2)利用全概率公式和条件概率公式求解.

答案第10页，共15页

【详解】(1)随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为一—=50%,

1,

=100)=-x0.22=0.02,

P(X=70)=-xx0.2x0.8=0.16,

P(X=50)=|x0.2=0.1,

p(X=40)=|x0.82=0.32,

P(X=20)=|x0.8=0.4,

所以X的分布为

X20405070100

P0.40.320.10.160.02

£,(,¥)=100x0.02+70x0.16+50x0.1+40x0.32+20x0.4=39,

即X的数学期望为39；

(2)设“从该社区成年市区随机抽取1人，此人年龄在60岁以下”为事件A,“从该社区成

年市民随机抽取1人，此人安全知识合格”为事件3,

则P(A)=70%,尸(N)=30%,P{B\A)工56%,尸(3)x50%,

由P(B)=尸(/).P(B\A)+P(A)-P(B\A),

可得50%修70%•56%+30%•尸㈤A),所以5(HA)®36%,

.Ll..尸(削3)P(A)-P(B\A)P(B)70%-56%98

尸(兄3)P(B)P(A)-P{B\A)30%.36%ZT

估计60岁及以上人员的合格率约为36%,成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及

以上人数之比约为98:27.

22

20.⑴土+匕=1与x2-y2=1

54

⑵(2,6)

⑶证明见解析

22

【分析】⑴设一、「2的方程分别为*+4=13>6>0)与/=c2(c>0),将点”的

答案第11页，共15页

坐标代入r?的方程可求出c,利用椭圆的定义可求出。的值，从而可得6,进而可得■、r2

的方程；

（2）分点尸在第四象限和第一象限时两种情况讨论求出点P的坐标；

（3）利用两点的斜率公式及点尸在「2上即可证明占=（,设尸片的方程为y=Mx+l）,与

椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示""，化简工+工为常数，即可得出答案.

mn

22

【详解】（1）设口、「2的方程分别为=+4=1（。＞6＞0）与/-/=。2（£；＞0）,

ab

由得。=1，故片6的坐标分别为（T°），（l，°），

22

所以2Q=I+\MF21=—A/5+—y/~5=2\/5故q=#）,b=y/a-c=2，

22

故「与「2的方程分另U为上+匕=1与一一丁=1.

54'

（2）当点P在第四象限时，直线尸耳，时的倾斜角都为钝角，不适合题意;

当P在第一象限时，由直线PF2的倾斜角是直线PF、的倾斜角的2倍,

可知/外与尸=/£尸片，故归闾=|耳闾=2,

设尸点坐标为(%)),可知(％-1)2+.2=4且％2=1(%>0,,>0),

解得x=2/=VJ,故点。的坐标为（2,百），

（3）设直线尸片,桃的斜率分别为左，左2，点尸，4，B的坐标分别为（%，%），（西，弘），（%2，%），

yyy2/2t1

贝!I~~1,占左2=000=1,

XQ+1XQ_12_1XQ~_1

P片的方程为y=©x+i）,

22

代入?+?=1可得(4+5/)必一8@-16左2=0,

—16新

故必为=

4+5k2

所以加小耳=屋-I才修旧小血坐咨

答案第12页，共15页

,16(代+1)1,16（1+赌）

同理可得〃=,又a=1，故〃=

4+5片左4左；+5

11_4+5短4灯+59(蜉+1)9

m«16(4+1)]6(灯+1厂16(储+1116'

9

即加+〃二一mn,所以存在s,使得加+〃=5切”.

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【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

21.(1)函数工(x)的图象存在“自公切线”；函数人(无)的图象不存在“自公切线”，理由见解

析；

(2)证明见解析；

(3)证明见解析.

【分析】⑴由直线y=l切—的图象于点q,l),年,1)判断工(x)=sinx,由导数确定

意见性判断人(x)=lnx.

(2)利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”,

TT

利用导数的几何意义求出切线方程，证明2X]=sin2X]在(0,泉上无解即得.

(3)求出在点(邑sins)与亿sin。处的切线方程，利用(2)的结论，结合诱导公式，及充要

条件的证明方法推理即得.

【详解】(1)显然直线尸1切—的图象于点4,1)吟,1),

直线y=I是y=sinX的图象的一条“自公切线”，因此函数工(X)的图象存在“自公切线”；

对于f(x)=Inx,fr(x)=-(x>0)是严格减函数，则人(无)在不同点处的切线斜率不同，

22X

所以函数人(无)的图象不存在“自公切线

(2)由g，(x)=——一1="二=taifxNO恒成立，且仅当x=0时g'(x)=0,

cosXcosX

则V=g(x)是(-会IT会IT上的严格增函数，可得它至多有一个零点，

答案第13页，共15页

令g«)=sinx_(…)cosMxe《，沙

7Tjr

由y=gG)的图象是连续曲线，且4(-今&(g=t<o,

因此g(x)在(-5分上存在零点，即在(-EW)上g(x)=2存在零点，所以g(x)有唯