9.4对坐标的曲面积分

新课引入上一节我们讲述了对面积的曲面积分，这一节我们就来讲对坐标的曲面积分。前面我们讲述了两类曲线积分：对弧长曲线积分（第一类）

对坐标曲线积分（第二类）。同样我们也要讲述两类曲面积分：对面积的曲面积分（第一类）对坐标的曲面积分（第二类）。6/16/20241第五节对坐标的曲面积分第九章（Surfaceintegralofcoordinate)一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算三、两类曲面积分之间的联系四、小结与思考练习6/16/20242曲面的侧

设连通曲面

S上到处都有连续变动的切平面

(

或法线

),曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时,另一个指向就是负方向.又设为

S上任一点,L为S上任一经过点且不超出S边界的闭曲线.当

S上的动点

M从出发沿

L连续移动一周而回到时,6/16/20243否则,若由某一点出发,沿

S上某一封闭曲线回到时,其法线方向与出发时的方向相反,则称S是单侧曲面.我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面.单侧曲面的

一个典型例子是默比乌斯(Möbius)带.

它的构造方法如下:取一矩形长纸条ABCD(如图22-4(a)),将其一端扭转后与另一端粘合在一起

(

即让

A

与

C

重合,B

与

D

重合,如图22-4(b)所示

).出发时

M与取相同的法线方向,而回来时仍保持原来的法线方向不变,则称该曲面

S是双侧的.

如果有如下特征:6/16/20244默比乌斯(Möbius,A.F.1790－1868,德国)6/16/20245通常由所表示的曲面都是双侧曲面,

其法

线方向与

z轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧,

另一侧称为下侧.

当

S为封闭曲面时,法线方向朝外的一侧称为外侧，另一侧称为内侧.

习惯上把上侧

作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为

正侧,

内侧作为负侧.曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.6/16/20246•曲面分类

双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)

6/16/20247曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面6/16/20248莫比乌斯带典型单侧曲面:播放6/16/20249莫比乌斯带典型单侧曲面:6/16/202410典型单侧曲面:莫比乌斯带6/16/202411典型单侧曲面:莫比乌斯带6/16/202412典型单侧曲面:莫比乌斯带6/16/202413典型单侧曲面:莫比乌斯带6/16/202414典型单侧曲面:莫比乌斯带6/16/202415典型单侧曲面:莫比乌斯带6/16/202416典型单侧曲面:莫比乌斯带6/16/202417典型单侧曲面:莫比乌斯带6/16/202418典型单侧曲面:莫比乌斯带6/16/202419典型单侧曲面:莫比乌斯带6/16/202420典型单侧曲面:莫比乌斯带6/16/202421典型单侧曲面:莫比乌斯带6/16/202422典型单侧曲面:莫比乌斯带6/16/202423典型单侧曲面:莫比乌斯带6/16/202424典型单侧曲面:莫比乌斯带6/16/202425曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:一、对坐标的曲面积分的概念与性质1.有向曲面及其在坐标面上的投影概念以后如未作特别说明，我们所讨论的曲面都是双侧的.6/16/202426的投影区域的面积,它们的符号由的方向来确定:

分别表示在三个坐标面上6/16/2024272.流向曲面一侧的流量计算6/16/2024286/16/2024291.分割则该点流速为.法向量为.6/16/2024302.求和6/16/2024313.取极限6/16/2024323.对坐标的曲面积分的概念6/16/202433被积函数积分曲面类似可定义6/16/202434存在条件:组合形式:物理意义:6/16/2024354.对坐标的曲面积分的性质6/16/202436二、对坐标的曲面积分的计算6/16/2024376/16/2024386/16/202439注意:第二型的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.“一投,二代,三定号”6/16/2024406/16/2024416/16/2024426/16/2024436/16/202444例3.

计算

其中S

是由平面x=0,y=0,z=0和x+y+z=1所围的四面体表面的外侧.解设S1

是取上侧

S2

是S

的底部取下侧在xy

坐标面上的投影区域为Dxy

先计算积分6/16/202445由对称性6/16/202446三、两类曲面积分之间的联系6/16/2024476/16/2024486/16/2024496/16/2024506/16/2024516/16/202452解6/16/2024536/16/202454内容小结1.对坐标曲面积分的物理意义2.对坐标曲面积分的计算时