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素能培优(六)破解“双变量问题”的基本策略高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025在近几年的高考试题中,常常涉及“双变量”的相关问题,以求参数的取值范围和证明不等式为主,这类问题难度较大,对能力要求较高.破解这类问题的关键:一是转化,由已知条件入手,寻找双变量所满足的等量关系,将双变量化为单变量进行求解;二是巧妙构造函数,再借助导数,研究函数的单调性、极值和最值,进而解决问题.命题点1转化为函数单调性问题求解在双变量问题中,如果已知函数的两个自变量x1,x2及其对应的函数值f(x1),f(x2)所满足的一个不等关系,则可根据函数单调性的定义,转化为一个与f(x)相关的函数的单调性问题,然后利用导数进行求解.例1(2024·安徽合肥模拟)设a∈R,函数f(x)=aln(-x)+(a+1)x2+1.(1)讨论函数f(x)在定义域上的单调性;(2)若函数f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线与直线8x+y-2=0平行,且对任意x1,x2∈(-∞,0),x1≠x2,不等式

恒成立,求实数m的取值范围.[对点训练1](2024·山东聊城模拟)已知函数f(x)=(a+1)ln

x+ax2+1.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)设a≤-2,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.命题点2转化单变量问题求解在双变量问题中,如果能够依据题目条件得出双变量所满足的等量关系式,则可转化为含单变量的问题,然后再构造函数,利用导数研究该函数的单调性、极值,进而解决问题.例2(2024·青海西宁模拟)已知函数f(x)=-x+aln

x存在两个极值点x1,x2.(1)求a的取值范围;(2)求f(x1)+f(x2)-3a的最小值.[对点训练2](2024·江苏宿迁模拟)已知函数f(x)=x2-2ax+ln

x(a为常数).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)设函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2(x1<x2),求f(x2)的取值范围.命题点3构造对称和(差)证明双变量不等式如果双变量问题是证明与函数的两个零点之和(之差)有关的不等式,可以利用构造对称和(差)的方法证明不等式,一般步骤如下:例3(2024·山西太原模拟)已知函数f(x)=ln

x++mx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x1)-mx1=f(x2)-mx2(0<x1<x2),求证:x1+x2>2.[对点训练3](2024·广东佛山模拟)已知函数(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)设f(x)的两个零点为x1,x2,证明:x1+x2>2.命题点4构造“根商”证明双变量不等式[对点训练4](2024·山东日照模拟)已知函数f(x)=ln

x+.(1)求f

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