高数定积分的换元积分

关于高数定积分的换元积分营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621先来看一个例子例1换元求不定积分令则故第2页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621为去掉根号令则

当x

从0连续地增加到4时，t相应地从1连续地增加到3于是尝试一下直接换元求定积分第3页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621将上例一般化就得到定积分的换元积分公式

由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量第4页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621一、换元公式第5页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621证第6页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621第7页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621应用换元公式时应注意:（1）（2）第8页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621计算解1由定积分的几何意义等于圆周的第一象限部分的面积解2

故o例2第9页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621令解4令仍可得到上述结果解3第10页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621解令

例3计算第11页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621定积分的换元积分公式也可以反过来使用为方便计将换元公式的左、右两边对调同时把

x

换成

t

，

t

换成

x这说明可用引入新变量但须注意如明确引入新变量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把整体视为新变量，则不必换限注第12页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621例4计算解第13页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621例5计算解原式第14页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621例6计算解一令原式第15页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621解二接解一对令则第16页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621证第17页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621即：奇函数在对称区间上的积分等于0

偶函数在对称区间上的积分等于对称的部分区间上积分的两倍由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的第18页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621例8计算解原式偶函数奇函数四分之一单位圆的面积第19页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621第20页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621（1）设（2）设证第21页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621第22页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621另证将上式改写为奇函数第23页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621例10设

f(x)是以L为周期的连续函数，证明证明与

a

的值无关第24页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621例11设

f(x)连续，常数a>0证明证明比较等式两边的被积函数知，第25页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621第26页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621例12设f(x)连续解第27页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621第28页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621第29页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621定积分的换元法几个特殊积分、定积分的几个等式

二、小结第30页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题解令第31页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621

思考题解答计算中第二步是错误的.正确解法是第32页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题第33页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621第34页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高等教育QQ群54356621第35页,共38页，星期六，2024年，5月营口地区成人高