湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年高二年级下册期末数学试题（解析版）

2023年高二上学期期末考试试卷

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.

1,已知集合4=8={-1,1,2,3},则ACB等于

A.{1,2}B.{2,3}C.{1,2,3}D.{-1,1,2,3）

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：AcB是由集合A,B的相同的元素构成的，由已知条件可得Ac3={l,2,3}

考点：第合的交集运算

2.已知复数z=2上-i,其中i为虚数单位，则复数z的实部与虚部之和为（）

2-1

112

A.—B.-C.—D.

555

【答案】c

【解析】

【分析】利用复数的四则运算法则计算出z=w得到实部和虚部，得到答案.

2

2+i,=（2+i）,_3+4i3-i

【详解】由题意得,2^T-1-（2-i）（2+i）-1-5

312

所以实部为W，虚部为-《，实部与虚部之和为二.

故选：C

3.若向量。，匕满足a=（T,3）,h=（5,12）,则向量b在向量。上的投影向量为（）

f.64竺］64生］64—竺）64481

，-

（65565J125'25J252sJ65，-65j

【答案】B

【解析】

【分析】由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量b在向量。上的

投影向量.

【详解】设向量G与/2的夹角为。,

2监一3(5,12)_16

则而,|4=5,仰=13.

5x13

|B|cos。6448)

则。在。上的投影向量为I」。=

同25,25]

故选：B.

4.若不等式的2+如一4<2/+2x—I对任意实数X均成立，则实数"的取值范围是()

A.(-2,2)B.(-10,2]C.(—00,—2)kJ[2,4-00)D.oo,—2]

【答案】B

【解析】

【分析】化简己知不等式，对加进行分类讨论，结合一元二次不等式的知识求得加的取值范围.

【详解】依题意，不等式/n/+7nx一4<2/+2》一1对任意实数》均成立,

即不等式(，篦-2)x?+(,篦—2)x—3<0恒成立，

当加=2时，不等式可化为一3<0恒成立，

当/〃<2时，+12(m-2)=机2+8加—20

=(m+10)(m-2)<0,解得一1()<2,

综上所述，加的取值范围是(-10,2].

故选：B

5.今天星期四，经过62°23天后是星期()

A.-B.三C.四D.五

【答案】B

【解析】

【分析】利用二项展开式求一个数除以7的余数，从而求得结果.

【详解】因

6如=“-1产=小力侬(-1)°+4产2(-I)+C募72⑼(-I,++C强7。㈠产

因为前展开式中的前2023项都包含有7的倍数，

所以62°23最后除以7的余数取决于最后一项即T除以7的余数，为6,

所以应该是星期三,

故选：B.

6.(x+»(x—的展开式中K2y4的系数为()

A.88B.104C.-40D.-24

【答案】D

【解析】

【分析】分别求(x+y)2、。一2刃4的二项式展开式通项7；e、T„+i,可得原式的通项7=，+工+1,结

合指定项的指数值求加、〃，进而求该项的系数.

【详解】由题设，(x+y)2的通项为由牛=C^x2-mym,(x-2y)4的通项为力川=C；x4-n(-2y)n；

.•.原多项式的展开式通项可写为丁=7“+2川=(-2)/,c™q/-m->m+n,

6-m-n=2

m+n=4fm=0fm=l[m=2

，IMc，可得I/或〈r或1c，

0<m<2[n=4[〃=3[n=2

0<<4

:.X2/的系数为(—2)4或C：+(—2)3c；c：+(—2)26盘=—24.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：将原式分成两个二项式分别求通项，结合指定项未知数的指数值求参数，进而求

该项的系数.

7.设随机变量X~N(3,b?),若P(X>〃z)=0.3,则P(XN6-m)=()

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知，利用尸(X>"2)=0.3,可得P(X<6-根)，即得.

【详解】随机变量X服从正态分布N(3,CT2),且正态曲线的对称轴是：X=3,由P(X>m)=0.3,可

得「(乂<6-〃。=0.3,则尸(X26)=1-0.3=0.7.

故选：D

【点睛】本题考查正态分布曲线的性质，属于基础题.

8.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学

为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，"几何原本”，“什么是数学”

四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则

每位同学的不同选修方式有()

A.60种B.78种C.84种D.144种

【答案】B

【解析】

【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.

【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是

则先将4门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由

乘法原理可得共有・用=36种，若是0,1,3,则先将4门学科分成三组共种不同方式，再

分配到三个学年共有用种不同分配方式，由乘法原理可得共有•阕=24种，若是0,2,2,则先将

c2c2

门学科分成三组共种不同方式,再分配到三个学年共有种不同分配方式,由乘法原理可得共有

c2c2

安・目=18种

4

所以每位同学的不同选修方式有36+24+18=78种，

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.

9.特值法就是选取一个恰当的特殊值代替一般的情况，将复杂或抽象的问题简单化具体化的方法，例如:

若g(x)是定义域为R的奇函数，且g(x+7i)是偶函数，g(—兀)=一1,则可以选择g(x)=sinj由此

计算出结果.己知函数/(力是定义域为R的偶函数，且"0)=1,/(x+3)是奇函数，则()

A.〃-9)=0B.*6)=0C./(18)=-1D.424)=1

【答案】ACD

【解析】

【分析1根据题中“X)时偶函数的性质及〃x+3)是奇函数的性质，可先判断出周期，再结合/(0)=1

列举出一个具体的实例，即可得出答案的结果.

【详解】由函数“X)是定义域为R的偶函数，且"0)=1,/(x+3)是奇函数，可以选择

f(x)=cos^x,

6

QIT

则〃-9)=cos(-一)=0,故A正确,

6

67r

/(6)=cos—=-l,故B错误，

6

]x元

/(18)=cos—=-l,故C正确，

6

24TT

/(24)=cos-=1,故D正确，

6

故选：ACD.

10.双曲线与一方=1的离心率为，，双曲线2r—鼻=1的离心率为02,则4+e2的值不可能是（）

crc145

A.3B.2>/2C.—D.一

52

【答案】CD

【解析】

【分析】根据双曲线的离心率表示（4+02『=2+±+。2"+4>+2,利用基本不等式即可得出范

围，求得所求范围.

2

【详解】+e2)=e^+el+2e}e2

a2+b2a2+b2、\la2+b2\Ja2+b2

=——z—+——-—+2x-------x-------

a4+b4+2a2b2

=2+7+F+2

2222

=2+/b+瓦a+2.6a+/b+2.

>2+2+272+2=8.

22

当且仅当b勺=^a即^二人时取等号,

a2b2

所以4+02220.

故选：CD.

11.若3*—3>'<47-47,则下列结论正确的是（）

A.B.x<yC.2'y<TxD.尸>一

【答案】BC

【解析】

【分析】将不等式变形后得到3*—4T<3>—4->，构造函数，根据函数的单调性得到％<丫，从而AD可

举出反例，C可根据函数单调性得到.

【详解】由3'-3V<4-x-4r变形得到3'-4T<3,-，

令/（力=3*-4-，,显然“X）在R上为增函数，

所以显然B正确；

A选项，若x<0或y<0时，A不满足要求，舍去；

c选项，-x>—y,故2-y<2-x，c正确；

D选项，不妨设x=2,y=3,则3一3<2-3,即了3<厂3,口错误.

故选：BC

12.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加

工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的30%,30%,40%,则下列选项

正确的有（）

A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06

B.任取一个零件是次品的概率为0.053

C.如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为"

53

20

D.如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为一

53

【答案】BCD

【解析】

【分析】记事件A：车床加工的零件为次品，记事件第i台车床加工的零件，则P（A|4）=6%,

P（A|B2）=P（A|B3）=5%,P（B,）=30%,尸（生）=30%,尸（员）=40%,再依次求选项中的概率即可.

【详解】记事件A：车床加工的零件为次品，记事件用：第i台车床加工的零件，

则P（川4）=6%,尸（4电）=P（A|四）=5%,

P（BJ=30%,P（5,）=30%,尸（用）=40%,

对于选项A,任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为P(Aq)=6%x30%=0.018,故错误:

对于选项B,任取一个零件是次品的概率为

尸(A)=P(ABl)+P(AR2)+尸(ABJ=6%x30%+5%x30%+5%x40%=0.053,故正确;

对于选项C,如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为

故正确;

-尸(A)尸(A)0.05353

对于选项D，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为

3=返=32^=丝色20,,„

—>故正确;

尸(A)P(A)0.053

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.C?+C,“=

【答案】31

【解析】

【分析】根据组合数的定义及性质即可求解.

0<17—n<2/?

【详解】解：由题意,解得

0<3n<13+n32

又所以力=6,

所以CT+c磊=c；l+c；；=c：2+c：9=31,

故答案为：31.

14.已知(2-/nX)5=4)+4%+&2%2+44%4+火％5,若为=40,则加=

【答案】-1

【解析】

【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解.

323

【详解】«3x-Cf-2-(―mx),%=40,.,.加=一1.

故答案为：T.

15.为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10

人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为一.

【答案】g##0.5

【解析】

【分析】根据古典概型求解即可.

1Qx9xX

【详解】从10人中任选3人的事件个数为C：o==120,

103x2x1

6x5

恰有I名男生2名女生的事件个数为C；C：=4xJH=60,

2x1

601

则恰有1名男生2名女生的概率为------=—,

1202

故答案为：y

16.埃及金字塔是地球上的古文明之一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上

去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为20m的正

四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为m2.(注：球壳厚度不计).

【答案】800K

【解析】

【分析】由已知分析需求正四棱锥的外接球的半径，根据正四棱锥的性质和外接球的性质，构造直角三角

形，利用勾股定理，求得外接球的半径，从而求出金属球壳的表面积的最小值.

【详解】由题意，要使金属球壳的表面积最小，则金属球是正四棱锥的外接球.

如图所示，在正四棱锥中，SA=SB^SC=SD^2Q,AB=BC^CD=DA=20,

。为其外接球的球心，连接AC与BO相交点于。'，连接A。，

0'为顶点S在底面ABCO上的投影，即为正方形ABC。的中心，

设球的半径为R,表面积为S,

则在正方形ABCD中，A。'=1AC='yjAB'+BC2=->/202+202=10匹，

222

在Rt_SO'A中，SO'=1S代-A(y2=^202-(1072)2=1072-

则。O'=SO'—50=10匹—R，

在RCAO'O中，OA=R,。。=10夜—R，AO'=10后，

因为=AO"+oo,2,所以火2=(100)2+(l()V2-7?)2,

化简得400—20夜R=0>则R=IOQ，

所以外接球的表面积为S=4兀A?=4兀x(l()0)2=80()兀.

故答案为:8007t.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

■8+C

17.已知.ABC的内角A、B,C所对的边分别为a、b、c,且cos-----=l-cosA.

2

(I)求角4的值.

(II)若的面积为36，且b+c=7(0>c),求。的值.

【答案】(I)A=—；(II)a—VTs-

【解析】

A1-jr

【分析】(I)由三角形内角和为乃去掉3+C,二倍角公式化简可得sin5=于从而求出A=§；(H)代

入三角形面积公式可得匕。=12,结合条件解出b,c,余弦定理求〃.

【详解】解：⑴由cosB+C=1-cosA,得cos(三-4)=1一cos4,B|Jsin—=2sin2—,

22222

Vsin—0,sin—=-,

222

「A/八乃、A7t.冗

又一£(0,—),:.—=一,故A=二".

22263

(II)由」15。面积5=,反5吊4=‘历乂'^=3\/5,得〃c=12,

222

又b+c=7(b>c),

b=4,c=3,

由余弦定理a?=b2+c2-2/?ccosA=16+9-2x4x3x—=13,

2

••a=>/1-3•

18.从A,B,C等8人中选出5人排成一排.

(1)4必须在内，有多少种排法？

(2)4,B,C三人不全在内，有多少种排法？

(3)A,B,C都在内，且A,8必须相邻，C与A,8都不相邻，都多少种排法?

(4)A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间(第三位)，有多少种排法？

【答案】⑴4200

(2)5520(3)240

(4)4440

【解析】

【分析】(1)先选后排，然后根据分步乘法原理计算即可；

(2)正难则反，从反面出发，用全部的排法减去A,B,C三人全在内的排法即可；

(3)相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，分步计算即可；

(4)对所选的5人有无A,8进行分类讨论即可.

【小问1详解】

由题意，先从余下的7人中选4人共有C：种不同结果，再将这4人与A进行全排列有A；种不同的排

法，

故由乘法原理可知共有C；A；=4200种不同排法；

【小问2详解】

从8人中任选5人排列共有A：种不同排法，A,B,C三人全在内有C；A；种不同排法，

由间接法可得A,B,C三人不全在内共有A；-C；A；=5520种不同排法；

【小问3详解】

因A,B,C都在内，所以只需从余下5人中选2人有C；种不同结果，A,8必须相邻，有A；种不同排

法，由于C与A,夕都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有用种不同排法，再将A、B这个整体与C

插入到选出的2人所产生的3个空位中有A；种不同排法，由乘法原理可得共有C；A；A；A；=240种不同

排法;

【小问4详解】

分四类：第一类：所选的5人无A、B,共有A：=720种排法；

第二类：所选5人有A、无B,共有C：C；A：=1()8()种排法；

第三类：所选的5人无A、有8,共有C：C；A：=1440种排法；

第四类：所选的5人有A、B,若4排中间时，有C：A：种排法，

若A不排中间时•，有C：C；C；A；种排法，共有C：(A：+C；C；A；)=1200种排法；

综上，共有4440种不同排法.

19.如图，正三棱柱ABC-AfG中，E，F分别是棱A41，B片上的点，AiE=BF=-AAi.

（1）证明：平面CEF，平面ACGA；

（2）若AC=A£=2,求二面角E—CF—G的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵—

4

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直；

（2）求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求出二面角的余弦值.

【小问1详解】

证明：取BC的中点0,连接。4,

在正三棱柱ABC-A用G中，不妨设4B=2a,AA=3；

以。为原点，。仇。4分别为x轴和y轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

则C（-a,0,0）,A（0,Ga,0）,F（a,0,l）,E（0,6a,2）,

CF=（2a,0,1）,CE=1,乖＞a,2）,C4=（a,6a,0）,CC,=（0,0,3）；

/、[n-CF=0[2ax+z=0

设平面CE产的一个法向量为”=（x,y,z）,则《，{广，

[n-CE=0[ax+J3ay+2z=0

取x=-l,则'=-6,z=2a,即〃=（一1,一6,2。）；

.,、”CA=0

设平面ACG4的一个法向量为〃?=（wx，zj,则，

m-CC}=0

即卜+岛x=0,取％=一1得而=（GTO）.

3zl=0\，

因为加•n=-也+6=。，所以平面CEVJ■平面ACGA；

易知平面CFG的一个法向量为0A=（0,73,0）,

n-OA__3_V6

|/7||OA|-78x73-4

二面角E-什-G的余弦值为迈•

4

20.设函数/(1)=办2-2(a+l)x+b(a,6eR).

（1）若不等式〃x）＜0的解集为（1,2）,求a,b的值；

（2）若6=4,求不等式/（x）＞0的解集.

【答案】（I）a=2,b=4

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（D由不等式的解转换为方程的解，利用韦达定理求解；

（2）8=4时，不等式可化为（at—2）（x—2）＞0,讨论a=0,a＞0,a＜0,分别求出不等式的解集.

【小问1详解】

函数/（%）=办2-2（a+l）x+b（a,beR）,

由不等式〃x)<0解集为(1,2),得a>0,

且1和2是方程cix~-2(a+l)x+Z?=0的两根;

1+2=①

则，a,解得。=2,。=4

1।x2c=—b

、a

【小问2详解】

匕=4时，不等式为oi?-2（。+1）X+4>0,

可化为（公-2）（x-2）>0,贝ij

当a=0时，不等式为-2（龙一2）>0,解得x<2

当a〉0时，不等式化为［％一一（x-2）>0,令2=2,得。=1,

ka）a

22

当a>l时，一<2,解不等式得x<一或x>2；

aa

当a=l时，不等式为（x-2）2>0,解得x#2；

22

当0<。<1时，一>2,解不等式得XV2或无>—;

aa

当时，不等式化为（无一■|）（x-2）<0,且1<2,

2

解不等式得一<%<2

a

综上知：当a>l时，不等式的解集为（一8,（2,+00）；

当。=1时，不等式的解集为｛x|xw2｝；

当0<°<1时，不等式的解集为（一叫2川仔,+"；

当。=0时，不等式的解集为（YO,2）；

当。<0时，不等式的解集为2）.

21.某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y

（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①y=a+£f,②

y=eZt+,,其中均为常数，e为自然对数的底数.

现该公司收集了近12年的年研发资金投入量玉和年销售额外的数据，i=l,2,.,12,并对这些数据作了

初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值.令(i=l,2,,12),经计算得如下数

据:

12_

X7UV

<=1/=1

20667702004604.20

12^(x,.-X)(v,.-V)

f(匕-刃2

Z(%-%)(»-一》)

/=1/=1*=!(=1

3125000215000.30814

(1)设｛〃,｝和｛%｝的相关系数为彳，和｛匕｝的相关系数为弓，请从相关系数的角度，选择一个拟合

程度更好的模型；

(2)(i)根据(1)的选择及表中数据，建立了关于x的回归方程(系数精确到0.01)；

(ii)若下一•年销售额V需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？

-丁)

附：①相关系数r==-.....=＞回归直线9=。+以中斜率和截距的最小二乘估计公式

f(七-方£(刃-7)2

Vz=li=l

_

x)(y—y)

分别为：匕=上—------2-----，a=9一位；

■苦-X)2

/=1

②参考数据：308=4x77,回=9.4868，e4-4998®90.

【答案】(1)模型产片拟合程度更好；(2)(i)；=0.02x+3.84;(ii)32.99亿元.

【解析】

【分析】(1)由相关系数求出两个系数，比较大小可得；

(2)(i)先建立V关于X的线性回归方程，从而得出y关于X的回归方程;

(ii)把y=90代入(i)中的回归方程可得X值.

【详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用

意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素

养,体现基础性、综合性与应用性.

£（%-〃）（％一y）

21500_21500_43_086

解：⑴4=_匕_73125000x200-25000"50-,，

V«=1/=1

£（xz.-x）（v.-v）

j=l_____________________________1410

0.91

J-=7^377x0.2TT

、＜=1i=\

则用＜|臼，因此从相关系数的角度，模型＞=的拟合程度更好

(2)(i)先建立u关于％的线性回归方程.

由）‘二』"'，得lny=r+；U,HPv=t+Ax.

12___

Z（x,-x）（v,-v）

由于4=-----------=——«0.018,

770

f=l

=4.20-0.018x20=3.84,

所以v关于x的线性回归方程为'0.02%+3.84-

所以Iny=0.02x+3.84,贝ij»=叫

(ii)下一年销售额y需达到90亿元，即y=90,

代入9=6°如+3.84得,C^Q_^0.02A+3.84

44998

又e»90.所以4.4998=0.02%+3.84,

4.4998-3.84

所以x==32.99，

0.02

所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元

【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义

等基础知识，考查推理论证能