2024年中考数学二轮题型突破函数的实际应用（复习讲义）

题型八函数的实际应用（复习讲义）

【考点总结I典例分析】

3）要点打纳

考点01一次函数

一、一次函数图象与图形面积

解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两

条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高.如果围成的三

角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法.

二、一次函数的实际应用

1.主要题型：（1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际

问题的最值等.

2.用一次函数解决实际问题的一般步骤为：

（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程（组）与待定系数法求一次函数关

系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否

符合实际意义；（6）答.

3.方案最值问题：

对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不

等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多

少种方案.

4.方法技巧

求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进

行比较；

（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直

接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再

进行比较.

显然，第（2）种方法更简单快捷.

典例解析

1.（2023•吉林长春•统考中考真题）甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行

登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度

y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示.

（1）当15（尤<40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；

（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度.

【答案】（l）y=12180；（2）180

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；

（2）求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=4x+60（254x460）,联立

y-12x-180（15<x<40）,即可求角建

【详解】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为>=履+%，将（15,0）,

（40,300）代入得,

15左+6=0

40%+6=300

k=n

解得:

6=-180

Aj=12x-180（15<x<40）；

（2）设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=Kx+4（25VxV60）

将点（25,160）,（60,300）代入得,

25%+4=160

60Z]+4=300

勺二4

解得:

4=60’

y=4x+60（25<x<60）；

y=12x-180

联立

y=4x+60

x=30

解得:

y=180

，乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米

【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键.

2.（2023•全国•统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖

掘长度均保持不变,合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务,

甲、乙两组挖掘的长度之和y（rn）与甲组挖掘时间X（天）之间的关系如图所示.

（1）甲组比乙组多挖掘了天.

（2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数.

【答案】（1）30；（2）y=3x+120（30<x<60）；（3）10天

【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；

（2）设乙组停工后y关于尤的函数解析式为>用待定系数法求解，再结合图象即

可得到自变量x的取值范围；

（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组己停工的天

数为。，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可.

【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，

甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，

60-30=30（天）

甲组比乙组多挖掘了30天，

故答案为：30；

（2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为>=区+》,

210=30左+6

将（30,210）和（60,300）两个点代入，可得

300=60左+6

k=3

解得

5=120

y=3x+120（30<x<60）

（3）解：甲组每天挖吸誓=3（千米）

60-30

210

甲乙合作每天挖q=7（千米）

，乙组每天挖7-3=4（千米），乙组挖掘的总长度为30x4=120（千米）

设乙组己停工的天数为。，

则3（30+a）=120,

解得a=10,

答：乙组己停工的天数为10天.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到

有用信息是解题的关键.

3.（2023・浙江•统考中考真题）我市“共富工坊”问海借力,某公司产品销售量得到大幅提升.为

促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公

司签订合同.看图解答下列问题：

（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；

（2）求方案二y关于x的函数表达式；

（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案.

【答案】（1）30件；（2）y=20x+600；（3）若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；

若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数

超过30件，则选择方案一

【分析】（1）由图象的交点坐标即可得到解答；

（2）由图象可得点（0,600）,（30,1200）,设方案二的函数表达式为y=版+》，利用待定系数

法即可得到方案二>关于x的函数表达式；

（3）利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论.

【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为（30,1200）,即员工生产30件产品时，两种方案付

给的报酬一样多；

（2）由图象可得点（0,600）,（30,1200）,设方案二的函数表达式为y=履+》，

把（0,600）,（30,1200）代入上式,得

g[oA6+=66=001,200.解,得左=20,

6=600.

•••方案二的函数表达式为V=20%+600.

（3）若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；

若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；

若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一.

【点睛】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确信

息和掌握待定系数法是解题的关键.

4.如图1,平面直角坐标系中，等腰AABC的底边在x轴上，BC=8,顶点A在》

的正半轴上，OA=2,一动点E从（3,0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，

到达03的中点停止.另一动点歹从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点。停

止.已知点E、尸同时出发，以跖为边作正方形ER汨，使正方形跖GH和AA5C在

的同侧.设运动的时间为/秒CN0）.

图1图2

（1）当点H落在AC边上时，求才的值；（2）设正方形跳与AABC重叠面积为S,

91

请问是存在/值，使得5=0？若存在，求出/值；若不存在，请说明理由；（3）如图2,

取AC的中点。，连结8,当点E、歹开始运动时，点般从点。出发，以每秒26个

单位的速度沿。D-OC-CD-OO运动，到达点。停止运动.请问在点E的整个运动过

程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形石EGH

内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由.

1434,45,

【答案】（l）t=l；（2）存在，/=—,理由见解析；（3）可能，一W/W—或一WfW—或3<f<5

35533

理由见解析

【分析】（1）用待定系数法求出直线AC的解析式，根据题意用t表示出点H的坐标，代入

求解即可；

（2）根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，

即不存在t,使重叠面积为S=—，故t>4,用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点H

36

落在BC边上时的t值，求出此时重叠面积为更〈见，进一步求出重叠面积关于t的表达

936

式，代入解t的方程即可解得t值；

(3)由已知求得点D(2,1),AC=2非，OD=OC=OA=J^，结合图形分情况讨论即可得

出符合条件的时长.

【解析】(1)由题意，A(0,2),B(-4,0),C(4,0),设直线AC的函数解析式为y=kx+b,

,『1

4左+/?=0k=—

将点A、C坐标代入，得：1c，解得：｛2,・••直线AC的函数解析式为

b=27八

y=--x+2,

2

当点〃落在AC边上时，点E(3-t,0),点H(3-t,1),将点H代入y=—』x+2,得：

-2

1=-1(3-0+2,解得：t=l；

1491

(2)存在，t=—,使得5=0.

336

根据己知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即

91

不存在3使重叠面积为S=—，故t>4,设直线AB的函数解析式为丫=业+!1,

36

一f1

—4m+n-Onm=—

将点A、B坐标代入，得：｛「，解得：\2,J直线AC的函数解析式为

n=2c

i[n=2

1c

y--x+2,

2

当t>4时，点E(3-t,0)点H(3-t,t-3),G(0,t-3),

1113

当点H落在AB边上时，将点H代入y=—%+2,得：1―3=—(3—。+2,解得：t=一；

223

此时重叠的面积为(53)2=(g—3)2=T，

A—<t<5,如图1,设GH交AB于S,EH交AB于T,

9363

将y二t-3代入y=Q%+2得：/■—3=—x+2,解得：x=2t-10,・••点S(2t-10,t-3),

将x=3-t代入y=gx+2得：y=；(3_/)+2=g(7_/),.•.点T(3—/,；(7_/)),

111,

.*.AG=5-t,SG=10-2t,BE=7-t,ET=-(7-Z),=--BE-ET=-(7-0,

1

92

SMSG=--AG.SG=(5-t)

iS27133

所以重叠面积S=%°B一一S^G=4-小7-/)2-(5-)2=-72+耳"丁’

452271339114.92―.14

由一一t+-t-----=一得ZB：t.=一L=yy>5(舍去)，..，=§

4243613

图1

3

(3)可能，gWtWl或t=4.:点D为AC的中点，且OA=2,OC=4,

.•.点D(2,1),AC=26OD=OC=OA=&\

易知M点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；

当0<“工时，M在线段0D上，H未到达D点，所以M与正方形不相遇；

2

1113

当一<t<l时，一+—+(1+4)=一秒，

2225

3134

・•・/=《时M与正方形相遇，经过1+(1+4)=1秒后，M点不在正方行内部，则二W二；

当t=l时，由(1)知，点F运动到原E点处，M点到达C处；

41

当lWtW2时，当仁1+1+(4-1)二一秒时，点M追上G点，经过1+(4-1)二一秒，点M

33

45

都在正方形EFGH内(含边界)，-<t<-

33

当仁2时，点M运动返回到点O处停止运动，

当t=3时，点E运动返回到点。处，当t=4时，点F运动返回到点O处，

当3</<5时，点M都在正方形石FGH内(含边界)，

3445

综上，当二V/V=或一V/V；；或3<，<5时，点M可能在正方形瓦内(含边界).

5533

图2

【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、

直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题,

提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、

发现和计算.

5.为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快

递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时

间X（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸

货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时.

（1）求ME的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间.（3）求

两车最后一次相遇时离武汉的距离.（直接写出答案）

17

【答案】（1）y=50x+50；（2）货车返回时与快递车途中相遇的时间与7/z：（3）100km

【分析】（1）由图象可知点M和点E的坐标，运用待定系数法求ME的解析式即可；

（2）运用待定系数法求出BC,CD,FG的解析式，分别联立方程组，求出交点坐标即可得

到结果；

（3）由（2）知两车最后一次相遇时快递车行驶1小时，根据路程=速度X时间可得结论.

【解析】解：（1）由图象可知：M（0,50）,E（3,200）设ME的解析式＞=履+6（左。0）

把M（0,5。），E（3,200）代入得：kb+=5人02。。，解得[/?储=550。

.•.腔的解析式为丁=50工+50(0<x<3)；

(2)由图象知B(4,0),C(6,200)设的解析式V=m+〃，

4m+n=0m=100

把B(4,0),C(6,2。。)代入得'6加+〃=2。。‘解得‘

n=-400

•••BC的解析式为：y=100%-400由图象知F(5,200),G(9,0)

5p+q=200

设尸G的解析式丁=加+4，把F(5,200),G(9,0)代入上式得，<

9p+q=0

p=-50

解得，1故bG的解析式为：y=-50x+450

4=450

y=100%-40017

联立方程组得，<，解得x=—/z；由图象得，C(6,200),D(8,0)

y=—50x+4503

6r+s=200

设CD的解析式为y=rx+s,把C(6,200),D(8,0)代入上式得，《，解得,

8r+s=0

r=-100

[s=800

故CD的解析式为尸1。。、+8。。,联立方程组得]y==—-15000%/4+580。0‘解得＞7"

答：货车返回时与快递车途中相遇的时间一%,7/i

3

（3）由（2）知，最后一次相遇时快递车行驶1小时，其速度为：200+2=100（km/h）

所以，两车最后一次相遇时离武汉的距离为：100X1=100（km）

【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，相遇问题,

读懂题目信息，理解两车的运动过程是解题的关键

⑥要点归纳

考点02反比例函数

一、反比例函数中IA/的几何意义

1.反比例函数图象中有关图形的面积

当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解.

(1)正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，必咨桁|用；

(2)如图②，已知一次函数与反比例函数y=公交于A6两点，且一次函数与x轴交于

X

+

点C,则S^AOB^SAAOCS/^BOC^—0C'|yA|+—OC'|yB|=-OC,(Iy4I+1I)；

(3)如图③，已知反比例函数y=七的图象上的两点，其坐标分别为(4,%)，(/，%)，

C为28延长线与x轴的交点，则S△加尸丛AOC-SABOL^OC-\yA\~^OC-\yB\-

^OC-(\yA\-\yB\).

二、反比例函数与一次函数的综合

1.涉及自变量取值范围型

当一次函数%=左述+人与反比例函数%=8相交时，联立两个解析式，构造方程组，然

X

后求出交点坐标.针对％＞为时自变量X的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比

例函数图象的部分所对应的X的范围.例如，如下图，当为〉%时，X的取值范围为%＞马

或XB＜X＜0；同理，当为＜%时，X的取值范围为0＜%＜》4或

不。X

2.求一次函数与反比例函数的交点坐标

（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.

①A值同号，两个函数必有两个交点；②“值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可

有两个交点；

（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的

情况.

三、反比例函数的实际应用

解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别

注意自变量的取值范围.

6）典例解析

1”

6.（2023•山东・统考中考真题）如图，正比例函数y=7%和反比例函数必=一（兀〉°）的图像

2x

交于点4（九2）.

⑴求反比例函数的解析式；

k

（2）将直线向上平移3个单位后，与y轴交于点8,与%=慢。＞0）的图像交于点C,连

接AB,AC,求，ABC的面积.

Q

【答案】（1）%=—；（2）3

X

【分析】（1）待定系数法求函数解析式;

（2）根据平移的性质求得平移后函数解析式，确定8点坐标，然后待定系数法求直线A3的

解析式，从而利用三角形面积公式分析计算.

【详解】（1）解：把A（办2）代入中,-m=2,

2

解得m=4,

：.A（4,2）,

/\kk

把A（4,2）代入％=（（尤＞。）中，-=2,

解得左=8,

Q

反比例函数的解析式为%=2;

X

（2）解：将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为y=；x+3,

当x=0时，y=3,

・••点5的坐标为（0,3）,

设直线AB的函数解析式为为C=，"+九，

4m+〃=2

将A（4,2）,3（0,3）代入可得

〃二3

1

m=——

解得4,

n=3

直线A3的函数解析式为为c=x+3,

y=—x+3

2=-8x2=2

联立方程组g，解得

%=j>2=4

y二一

X

；.C点坐标为（2,4）,

过点。作CM%轴，交AB于点、N,

22

13

,•S"BC=5*5*4=3.

【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用

数形结合思想解题是关键.

7.（2023・山东・统考中考真题）如图，已知坐标轴上两点4（0,4）,3（2,0）,连接A8,过点B

k

作交反比例函数＞=£在第一象限的图象于点C（。」）.

X

3

（2）将直线0c向上平移!■个单位，得到直线/,求直线/与反比例函数图象的交点坐标.

【答案】（l）y=J＞=（2）（2,2）或（-8，-与

X4V

【分析】（1）如图，过点C作CD^x轴于点O,证明利用相似三角形的性

k

质得到比＞=2,求出点C的坐标，代入y=人可得反比例函数解析式，设OC的表达式为

x

y=，将点c（4,1）代入即可得到直线oc的表达式；

（2）先求得直线/的解析式，联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标.

【详解】(1)如图，过点。作8口轴于点。,

BC.LAB,

：.ZABC=90°,

：.ZABO+ZCBD=9Q°,

•・・/CDB=90。,

：.ZBCD+ZCBD=90°,

：./BCD=ZABO,

：.ABO^BCD,

.OABD

••布—布’

VA（0,4）,B（2,0）,

/.0A=4,03=2,

.4_BD

••——，

21

/.BD=2,

・・・QD=2+2=4,

，点C（4』），

k

将点。代入y=*中，

X

可得左=4,

,_4

.・y=~9

X

设oc的表达式为y=1nx,

将点C（4,l）代入可得1=4M,

解得：”?=!,

4

二0C的表达式为y无；

4

13

（2）直线/的解析式为y=：x+=,

42

134

当两函数相交时，可得了尤+彳=—,

42x

解得％=2,x=-8,

代入反比例函数解析式,

直线/与反比例函数图象的交点坐标为（2,2）或18,-g

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，反比例函数与

一次函数的交点问题，一次函数的平移问题，解一元二次方程等知识.

8.南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土

石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天.设每天

打通土石方x千立方米.（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）由于

工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了

100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？

【答案】（1）y=®（0<x^600）；（2）实际挖掘了500天才能完成首期工程

x

【分析】（1）根据“工作时间=总工作量+每天工作量”，即可得出y关于x的函数关系式;

（2）根据工期比原计划提前了100天列方程求解即可.

【解析】解：（1）:共有土石方总量600千立方米，；.y=——（0<xW600）；

x

（2）由题意得幽——迎-=100,解得xl=l,x2=--（负值舍去），

xx+0.25

经检验x=l是原分式方程的解1+02=1.2千立方米，600+1.2=500天.

答：实际挖掘了500天才能完成首期工程.

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数

量关系列出函数关系式；（2）根据工期比原计划提前了100天列出方程.

9.(2023・四川成都•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系尤Qy中，直线V=-x+5与y轴

k

交于点4与反比例函数y=—的图象的一个交点为B(a,4),过点8作A8的垂线/.

x

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；

⑵若点C在直线/上，且ASC的面积为5,求点C的坐标；

(3)P是直线I上一点，连接B4,以P为位似中心画APDE，使它与位似,相似比为m.若

点、D,E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及机的值.

【答案】(1)点A的坐标为(0,5),反比例函数的表达式为y=?；(2)点C的坐标为(6,9)或

x

(-4,-1)；(3)点尸的坐标为山的值为3

【分析】(1)利用直线？=-尤+5解析式可的点C的坐标，将点8(。,4)代入y=-x+5可得。

的值，再将点8代入反比例函数解析式可得人的值，从而得解；

(2)设直线/于y轴交于点由点8的坐标和直线/是A3的垂线先求出点M的坐标，

再用待定系数法求直线/的解析式y=x+3,C点坐标为。，♦+3),根据

SAABC=无C|=5(%,%分别代表点3与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而

得解；

(3)位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点8的对应点也在直线/上，不妨设为点

E,则点A的对应点是点。，直线/与双曲线的解析式联立方程组得到E(T,-1),由

△PABS/\PDE得到AB//DE,继而得到直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等,

设直线的解析式是：y=-x+b2,将召(-4,-1)代入y=-x+%求得OE的解析式是：

y=-x-5,再将直线OE与双曲线的解析式联立求得。(T,Y),再用待定系数法求出AD的

解析式是y=9x+5,利用直线AD的解析式与直线I的解析式联立求得点P的坐标为

再用两点间的距离公式得到吁卡，砂三④从而求得心二=3.

【详解】(1)解：令无=0,贝Ijy=-尤+5=5

二点A的坐标为(0,5),

将点5(。,4)代入y=—x+5得：4=—a+5

解得：a=l

・・・8(1,4)

将点8(1,4)代入y=幺得：4=1

x1

解得：％=4

4

；・反比例函数的表达式为〉=一；

x

(2)解：设直线/于y轴交于点直线y=-尤+5与x轴得交点为N,

令y=-x+5=0解得：%=5

N(5,0),

：.OA=ON=5,

又•:ZAON=9Q°,

：.NOW=45°

VA(0,5),8(1,4)

AB=^/(1-0)2+(4-5)2=72

又：直线/是AB的垂线即NABM=90。，N0W=45。,

AB=BM=应,AM=\lAB2+BM2=2

M(0,3)

设直线/得解析式是：y=klx+b[,

勺+4=4

将点M(0,3)，点3(1,4)代入产匕尤+可得:

4=3

勺二1

解得:

4=3

・•・直线/的解析式是：产％+3,

设点C的坐标是伍t+3)

VSAABC=物尤/=；创2|1|=5,(/,％分别代表点B与点C的横坐标)

解得：方=-4或6,

当％=—4时，，+3=—1；

当，=6时，/+3=9,

・,•点。的坐标为(6,9)或(-4,-1)

(3)・・,位似图形的对应点与位似中心三点共线，

・••点3的对应点也在直线/上，不妨设为点E,则点A的对应点是点。，

・••点E是直线/与双曲线y=?的另一个交点,

x

.4

y=——

将直线/与双曲线的解析式联立得：-尤

y=x+3

£（-4,-1）

画出图形如下:

yi

A

X

又：APABS^PDE

ZPAB=ZPDE

：.AB//DE

，直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等,

设直线的解析式是：y=-x+b2

将点E(T,-1)代入>=-x+4得：一1=—(T)+b2

解得：b2=-5

，直线DE的解析式是：y=-x-5

4

丁点。也在双曲线y=—上，

4

・•・点D是直线与双曲线y=2的另一个交点，

y=——

将直线OE与双曲线的解析式联立得：'x

y=-x-5

解得:

设直线AD的解析式是：y=k3x+b3

将点4(0,5),。(-1,-4)代入>=勺尤+4得:

解得:

直线AO的解析式是：y=9x+5,

y=9x+5

又将直线AD的解析式与直线I的解析式联立得:

y=x+3

x=-

解得：

..•点P的坐标为

【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，

反比例函数综合-几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立

方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键.

M要点归脑

考点03二次函数

1、函数存在性问题:解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线

或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他

点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否

符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在.

2、函数动点问题

（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等

有关的二次函数综合题.

（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动

时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题

小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案.

（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多

少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合

题干中与动点有关的条件进行计算.

。典例解析

10.（2023•浙江温州•统考中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，

球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面

3m.已知球门高为2.44m,现以。为原点建立如图所示直角坐标系.

（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）.

（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向

正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？

19

【答案】（1）＞=-3（》-2）-+3,球不能射进球门；（2）当时他应该带球向正后方移动1米射

门

【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求

出。的值即可得到函数表达式，再把x=0代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较

即可得到结论；

（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点（0,2.25）代入即可求解.

【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为（2,3）,

设抛物线解析式为y=°（无-2）2+3,

把点4（8,0）代入,得36a+3=0,

解得—~~T»

12

・•・抛物线的函数表达式为y=-，（x-2）2+3,

Q

当x=0时，y=->2.44,

•••球不能射进球门；

（2）设小明带球向正后方移动加米，则移动后的抛物线为y=-五（尤-2-优）一+3,

ftL点（0,2.25）代入得2.25=—5（-2-mf+3,

解得叫=-5（舍去），m2=l,

...当时他应该带球向正后方移动1米射门.

【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知

识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

11.2022年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求.防疫部门为了解学生错

峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数》（人）

与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9T5表示9<%<15）

时间X（分钟）01234567899~15

人数y（人）0170320450560650720770800810810

（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识

求出y与％之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2

个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部

考生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考

生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

-10x2+180%,0<x<9

【答案】（1）y=]；（2）队人数最多时是490人，全部考生都完

[810,9<%<15

成体温检测需要20.25分钟；（3）至少增加2个检测点

【分析】（1）先根据表中数据的变化趋势猜想：①当0WxW9时，y是X的二次函数.根

据提示设出抛物线的解析式y=再从表中选择两组对应数值，利用待定系数法求

函数解析式，再检验其它数据是否满足解析式，从而可得答案；（2）设第x分钟时的排队

人数是W,列出W与第X分钟的函数关系式，再根据函数的性质求排队的最多人数，利用

检测点的检测人数列方程求解检测时间；

(3)设从一开始就应该增加机个检测点，根据题意列出不等式，利用不等式在正整数解可

得答案.

【解析】解：(1)根据表中数据的变化趋势可知：

①当时，y是X的二次函数.：当x=0时，y=o,...二次函数的关系式可设

为y=ax1+bx.

当x=l时，y=170；当％=3时，y=450.

170=a+ba=—10

将它们分别代入关系式得《450=9a+3理得‘,，二次函数的关系式为

8=180

y=-10%2+180x.

将表格内的其他各组对应值代入此关系式，均满足.

-10x2+180x,0<x<9

②当9<x<15时,y=810.》与x的关系式为y=<

810,9<x<15

(2)设第x分钟时的排队人数是W,根据题意，得

,八f-10x2+180x-40x,0<x<9,

W=y-40%=<

810-40%,9<x<15

①当0WxW9时，W=—10x2+140x=—10(x—7)2+490..•.当x=7时，%大=490.

②当9<x<15时，W=810-40%,W随x的增大而减小，，210WW<450.

排队人数最多时是490人.要全部考生都完成体温检测，根据题意，

得810—40x=0,解得x=20.25排队人数最多时是490人，全部考生都完成体温检测

需要20.25分钟.

3

(3)设从一开始就应该增加m个检测点，根据题意，得12x20(m+2)2810,解得m21§.

3

:机是整数，.•.机的最