备考2024年中考数学核心素养二十一 几何图形的存在性问题

备考2024年中考数学核心素养专题二十一几何图形的存在性问题练习附解析

一'选择题

1.如图，在平行四边形4BCC中，AD=2AB=2,乙4BC=60。,E,F是对角线BD上

的动点，且=,M,N分别是边AD,边BC上的动点.下列四种说法：

①存在无数个平行四边形MENF；

②存在无数个矩形MENF；

③存在无数个菱形MENF；

④存在无数个正方形MENF.其中正确的个数是（）

4-------------------------770

2.如图，一副三角板（NC=NE=90。，Z.B=30°,ZD=45°）,AD=BC,顶点A重合，将小

ADE绕其顶点4旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是

3.如图，直线。II%，直线分别交d%于点4,B,NMAB=120。，以点B为圆心，BA长为半径

画弧，若在弧上存在点C使乙4cB=20。，则N1的度数是（）

A.80°B.75°C.70°D.60°

4.题目：“如图，在矩形4BCD中，AB=9,BC=15,P,Q分别是BC,上的点.”张老师要求

添加条件后，编制一道题目，并解决，甲、乙两人的做法如下.下列判断正确的是（）

甲：若CQ=4,则在BC上存在2个点P,使AABP与APCQ相似；

乙：若4P1PQ,贝UCQ的最大值为孕

A.甲对乙错B.甲错乙对C.甲、乙都对D.甲、乙都错

5.如图所示，矩形ABCD中，AD二a,AB=b,若要使BC边上至少存在一点P,使△ABP、

△APD、△CDP两两相似，则a,b间的关系一定满足（）.

A.a>2bB.a>-^bC.a>4bD.a>5b

6.如图，在RtAABC中，Z.BAC=90°,AB=AC=6,点D、E分别是AB、AC的中点.ADE

绕点A顺时针旋转60。，射线3。与射线CE交于点P,在这个旋转过程中有下列结论：

@^AEC②CP存在最大值为3+3遮；③BP存在最小值为3百—3;④点P运动的

路径长为2金兀.其中，正确的是（）

7.如图，矩形ZBCD中，AB>BC,E为40上一点（不含点A）,O为BC的中点，连接E。并延长，

交BC于点F,点G为。C上一点，DG^AE,连接EG,FG.甲、乙二位同学都对这个问题进行了研

究，并得出自己的结论.

甲：存在点E,使EG1FG；

乙：△EFG的面积存在最小值.

A.甲、乙都正确B.甲、乙都错误

C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确

8.两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C'重合在一起，将三角板IB/'绕直角顶点C按逆

时针方向旋转a（0。＜a490。），如图所示.以下结论错误的是（）

A.当a=30。时，A,C与4B的交点恰好为中点.

B.当a=60。时，//恰好经过点B.

C.在旋转过程中，存在某一时刻，使得力A=BBt

D.在旋转过程中，始终存在44'1BB''

9.某兴趣小组开展综合实践活动：在RtAABC中，NC=90。，CD=四,。为AC上一点，动点P以

每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C-4匀速运动，到达点Z时停止，以OP为边

作正方形DPEF,设点P的运动时间为ts,正方形OPEF的面积为S,当点P由点C运动到点2时，经探

究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻L，以，13«1＜以＜七）

对应的正方形DPE/的面积均相等，当t3=5G时，则正方形DPEF的面积为（）

34

A.3BR-VC.4D.5

10.在平面直角坐标系xOy中，点A在直线1上，以A为圆心，。4为半径的圆与y轴的另一个交点

为E,给出如下定义：若线段0E,和直线1上分别存在点B,点C和点D,使得四边形ZBCD是

矩形(点4B,C,。顺时针排列)，则称矩形4BC0为直线1的“理想矩形”.例如，右图中的矩形

4BCD为直线1的“理想矩形”.若点4(3,4),则直线y=kx+l(k丰0)的“理想矩形”的面积为

()

C.4V2D.3V2

二'填空题

11.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2,ZABC=60°,E,F是对角线BD上的动点，且

BE=DF,M,N分别是边AD,BC上的动点.有下列四种说法:

①存在无数个平行四边形MENF；

②存在无数个矩形MENF；

③存在无数个菱形MENF；

④存在无数个正方形MENF其中正确的是(填序号).

12.已知。。1的半径为1,。外的半径为r,圆心距002=5,如果在。外上存在一点P,使得

PO1=2,贝b的取值范围是.

13.如题图所示，在AABC中存在一面积为兀的内切圆，其圆心为点。，连接4。，若满足4B+ZC=

2a,BC=la,tanzOAC=与，则实数a的值为

14.如图，在边长为4的正方形ABC。中，点E在BC边上，且BE=1.点P是AB边上的动点，连接PE,

将线段PE绕点E顺时针旋转90。得到线段EQ.若在正方形内还存在一点M,则点M到点2、点。、点Q的

距离之和的最小值为.

15.定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.如

图，在平面直角坐标系尤Oy中，矩形O4BC的边0A=3,OC=4,点M(2,0),在边A3存在点

P,使得△为“智慧三角形”，则点尸的坐标为：.

16.如图，在RtAABC中，ZC=90°,记*=人。y=BC-AC,在平面直角坐标系xOy中，定义

(x,y)为这个直角三角形的坐标，R3ABC为点(x,y)对应的直角三角形.有下列结论：①在

x轴正半轴上的任意点(x,y)对应的直角三角形均满足AB=V^BC；②在函数丫=竽(x>0)

的图象上存在两点P,Q,使得它们对应的直角三角形相似；③对于函数y=(x-2020)2-1(x>0)

的图象上的任意一点P,都存在该函数图象上的另一点Q,使得这两个点对应的直角三角形相似；

④在函数y=-2x+2020(x>0)的图象上存在无数对点P,Q(P与Q不重合)，使得它们对应的直

角三角形全等.所有正确结论的序号是

A

17.如图，在R3ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=6,BD=2,以点B为圆心，BD长为半径

作圆，点E为。B上的动点，连结EC,作FC_LCE,垂足为C,点F在直线BC的上方，且满足

CF=^CE,连结BF.当点E与点D重合时，BF的值为.点E在。B上运动过程中，BF存

在最大值为.

三、解答题

18.如图所示，已知在四边形ABCD中，AD//BC,乙4=90°,AB=7,4)=2,BC=3.在线段

AB上是否存在一点P,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似?若存

在，这样的点P有几个?若不存在.请说明理由.

19.已知二次函数y=ax?+bx+c的图象过点(-1,0),且对任意实数x,都有4K-12Wa/+bx+

<:<2/+8兀+6.二次函数与*轴的正半轴交点为人，与y轴交点为C；点M是中二次函数图象上

的动点.在x轴上存在点N,使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.请求出所有满足条

件的点N的坐标.

20.平面上有n个点(n>3,n为自然数)，其中任何三点不在同一直线上.证明：一定存在三点，以

这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于.

n

21.数学课上，老师给出题目：如图所示，在RtA/BC中乙4cB=90。，AC=BC=2,点。，E分

别是边力B和边BC上的动点，且40=BE,连接AE,CD.请探究AE+CD是否存在最小值？并说明

理由.

嘉淇的想法是把4E和CD转移到某处，并使它们“接在一起”，然后利用“两点之间，线段最短”尝试

探索，并成功解决了问题.以下是她的探索思路，请你按要求补充具体解题过程.

（1）在射线ZC上取点产，使=把ATWC绕点A顺时针旋转，使点。落在点尸处，点C

落在点G处.

①请你运用尺规作图（保留作图痕迹，不用给出证明），作出AAFG,并连接BF；

②求证：AE=BF.

（2）在（1）的基础上，请你通过探索，求出CD+4E的最小值，并直接写出此时4。的长度.

22.小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCO绕点A顺

时针旋转a（0。（证90。），得到矩形连结

［探究1］如图1,当a=90。时，点。恰好在D8延长线上.若48=1,求3C的长.

［探究2］如图2,连结AC,过点。作。交3。于点M.线段。M与0M相等吗？请说明

理由.

［探究3］在探究2的条件下，射线。3分别交A。，AC于点尸，N（如图3）,发现线段DMMN,

PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.

四、综合题

23.对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ,给出如下定义：若存在使得S“QR=PQ2,则称△

PQR为线段PQ的“等事三角形”，点R称为线段PQ的“等幕点”.

九

5-

4-

3-

2-

1-

II[I_______________L□-----------1----------1——>

-4-3-2-101234x

-1-

-2-

-3-

-4-

一5-

(1)已知力(2,0),若存在等腰△OAB是线段04的“等事三角形”，求点B的坐标;

(2)已知点C的坐标为C(2,-1),点D在直线y=x—3上，记图形M为以点7(1,0)为圆

心，2为半径的OT位于x轴上方的部分.若图形M上存在点E,使得线段CD的“等嘉三角形”△

CDE为锐角三角形，直接写出点D的横坐标%D的取值范围.

24.在平面直角坐标系xOy中，对于△OAB和点P(不与点。重合)给出如下定义：若边。A,OB上分

别存在点M,点N,使得点。与点P关于直线MN对称，则称点P为AOAB的“翻折点”.

(1)已知/(3,0),B(0,3V3).

①若点M与点4重合，点N与点B重合，直接写出AOAB的“翻折点”的坐标；

②P是线段AB上一动点，当P是AOAB的“翻折点”时，求AP长的取值范围；

(2)直线y=—|x+b(b>0)与久轴，y轴分别交于4B两点，若存在以直线4?为对称轴，且斜

边长为2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为AOAB的“翻折点”，直接写出b的取值

范围.

25.问题背景：如图1,在等腰△ABC中，AB=AC,AD1BC,垂足为点D,在AAEF中，乙AEF=

90°,^EAF=^BAC,连接BF,M/BF中点，连接EM颓)M,在△4EF绕点A旋转过程中，线段

EM颓)M之间存在怎样的数量关系？

(1)观察发现：

为了探究线段EM和。M之间的数量关系，可先将图形位置特殊化，将AZEF绕点A旋转，使

■与4B重合，如图2,易知EM和DM之间的数量关系为

(2)操作证明：

继续将△AEF绕点A旋转，使AE与AD重合时，如图3,(1)中线段EM颓)M之间的数量关系仍

然成立，请加以证明.

(3)问题解决：

根据上述探究的经验，我们回到一般情况，如图1,在其他条件不变的情况下，上述的结论还成

立吗？请说明你的理由.

26.在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的尸，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点

P,x轴正半轴上存在点Q,使PP'//QQ',且Nl=/2=a(如图1),则称点P与点Q为

a—关联点.

(1)在点Qi(3,1),Q2(5,2)中，与(1,3)为45。一关联点的是；

(2)如图2,"(6,4),N(8,4),P(m,8)(m>1).若线段MN上存在点Q,使点

P与点Q为45。一关联点，结合图象，求m的取值范围;

O123456789*

图2

(3)已知点4(1,8)，B(n,6)(n>1).若线段AB上至少存在一对30。一关联点，直接

写出n的取值范围.

27.给定图形卬和点P,Q,若图形皿上存在两个不重合的点M,N,使得点P关于点M的对称点与点

Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形小双对合.在平面直角坐标系xOy中，已知点

力(—1,—2)93(5,—2),C(—1,4)•

(1)在点0(-4,0)，E(2,2),F(6,0)中，与点。关于线段AB双对合的点是；

(2)点K是%轴上一动点，OK的直径为1.

①若点4与点7(0,t)关于。K双对合，求t的取值范围；

②当点K运动时，若△ABC上存在一点与QK上任意一点关于OK双对合，直接写出点K的横坐

标k的取值范围.

28.对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ,给出如下定义：若存在XPQR使得S^PQR=

PQ2,则称&PQR为线段PQ的“等事三角形”，点A称为线段PQ的“等嘉点”.

3-23

-3,

A,

-S­

(1)已知4(2,0)-

①在点Pi(2,4),P2(l,2),P3(-4,1),P4(l,-4)中，线段0A的“等幕点”是▲;

②若存在等腰AOAB是线段OA的“等幕三角形”，求点3的坐标；

(2)已知点C的坐标为C(2,-1)，点。在直线y=x-3上，记图形M为以点7(1,0)

为圆心，2为半径的OT位于x轴上方的部分.若图形M上存在点£,使得线段CD的“等鬲三角

形"ACDE为锐角三角形，直接写出点。的横坐标孙的取值范围.

29.定义:在一个三角形中，若存在两条边x和》使得数量上y=N,则称此三角形为“平方三角

形”，尤称为平方边.

(1)如图，XABC中,ZC=90°,NB=NCAD,D是BC边上一点、.C£>=1,证明△ABC是平

方三角形；

(2)在(1)的条件下，若AC=2,求tan/DAB.

(3)若a,b,c是平方三角形的三条边，平方边。=2,若三角形中存在一个角为60。，求c的

值；

五'实践探究题

30.已知P为△ABC所在平面内一点，连接PA,PB,PC,在APAB,APBC和APAC中，若存在

一个三角形与△ABC相似(全等除外)那么就称P为小ABC的共相似点”根据“共相似点”是否落在

三角形的内部，边上或外部，可将其分为内共相似点”，“边共相似点或“外共相似点”.

(1)据定义可知，等边三角形(填“存在”或“不存在)共相似点

(2)如图1,若△ABC的一个边共相似点P与其对角顶点B的连线，将△ABC分割成的两个三

角形恰与原三角形均相似，试判断△ABC的形状，并说明理由.

【探究】用边共相似点探究三角形的形状

【探究2】用内共相似点探究三角形的内角关系

(3)如图2,在△ABC中，ZA<ZB<ZC,高线CD与角平分线BE交于点P,若P是△ABC

的一个内共相似点试说明点E是△ABC的边共相似点，并直接写出/A的度数；

【探究】探究直角三角形共相似点的个数

(4)如图3,在RAABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=V3，若△PBC与△ABC相以，贝ij

满足条件的P点共有个.

31.阅读材料，回答问题：

小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1,在RSABC中，如果

ZC=90°,Z=30°,BC=a=l,AC=b=V3，AB=c=2,那么=2.通过上网查阅资

sin/1sinB

料，他又知上出90。=1"，因此他得至广在含30。角的直角三角形中，存在着卷=磊=薪的

关系.

这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：

(1)如图2,在RAABC中，NC=90。，BC=a,AC=b,AB=C,请判断此时“岛=工=

sin/1sinB

薪”的关系是否成立？

(2)完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC,上述关系还成立吗？”因此他又继续进行

了如下的探究：如图3,在锐角△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,请判断此时“荒=&=

sin/1sinB

薪”的关系是否成立？并证明你的判断.(提示：过点C作CDLAB于D,过点A作AHLBC,

再结合定义或其它方法证明).

32.阅读资料：

如图1,在平面直角坐标系xOy中，A,B两点的坐标分别为A(xi,yi),B(x2,y2),由勾股

22222

定理得AB=|X2-xi|+|y2-yi|,所以A,B两点间的距离为AB=I(%2-%x)+(y2-y^.

我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2,在平面直角坐标系xOy中，

A(x,y)为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA2=|x-OF+|y-OF，当。0的半径0A

为r时，。。的方程可写为：x2+y2=r2.

问题拓展：

如果圆心坐标为P(a,b),半径为r,那么。P的方程可以写为(x-a)2+(y-b)2T~2.

综合应用：

如图3,OP与x轴相切于原点0,P点坐标为(0,6),A是。P上一点，连接OA,使

ZPOA=30°,作PDL0A,垂足为D,延长PD交x轴于点B,连接AB.

①证明AB是。P的切线；

②是否存在到四点0,P,A,B距离都相等的点Q?若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆

心，OQ长为半径的。Q的方程；若不存在，说明理由.

答案解析部分

L【答案】C

【解析】【解答】解：连接AC交BD于点0,连接MN,MF,NF,ME,NE,

V四边形ABCD是平行四边形,

；.0A=0C,AD/7BC,0B=0D

ZMAO=ZNCO,

在仆MAO和仆NCO中

AMAO=乙NCO

AO=CO

.^AOM=乙CON

.*.△MAO^ANCO(ASA)

AOM=ON；

VBE=DF,

；.OE=OF,

四边形MENF是平行四边形，

VM,N是边AD,BC上的动点，点E,F是BD上的动点，

当0M=0N时四边形MENF一定是平行四边形，

二存在无数个平行四边形MENF,故①正确；

•/四边形MENF是平行四边形，

当MN=EF时，四边形MENF是矩形，

VM,N是边AD,BC上的动点，点E,F是BD上的动点，

.•.存在无数个矩形MENF,故②正确；

•.•点E,F是BD上的动点，

二只需MN_LEF,0M=0N,

就存在无数个菱形MENF,故③正确；

只要MN=EF,MN_LEF,OM=ON,则四边形MENF是正方形,

而符合要求的正方形只有一个，故④不符合题意；

正确结论的个数有3个.

故答案为：C.

【分析】连接AC交BD于点0,连接MN,MF,NF,ME,NE,利用平行四边形的性质可证得

OA=OC,AD〃BC,OB=OD,利用平行线的性质可得到NMAO=NNCO,利用ASA证明

△MAO四△NCO,利用全等三角形的性质去证明OE=OF,根据对角线互相平分的四边形是平行四

边形，可证得四边形MENF是平行四边形，利用M,N是边AD,BC上的动点，点E,F是BD上

的动点，可对①作出判断；易证四边形MENF是平行四边形，利用对角线相等的四边形是矩形，可

对②作出判断；利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，利用点E,F是动点，可对③作出判

断；只要MN=EF,MN±EF,0M=0N,则四边形MENF是正方形，这样的正方形只有一个，可对

④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.

2.【答案】D

【解析】【解答】A：.，3.一3由图可得：ZC=ZC=9O。，ZC4F=ZB=30。，：.AACF~A

BC4故不符合题意；

CE

B：由图可得：乙4C。=：LDE0=90°,^AOC=^LDOE,AC。〜△CEO,故

AB

不符合题意；

E

C：由图可得：/-BCA-=ADEA=90°,ZCXF=LEAD,•••△ACF-A4ED,故

不符合题意；

D：.没有相似三角形,故符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用相似三角形的判定定理进行逐一判断即可求解.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：由作法可得：BA=BC,

：.^BAC=^ACB=20°,

,.,ZMAB=120°,

ZMAC=120°-20°=100°,

•.•直线11//12.

.\Z2=ZMAC=100o,

.•.Zl=180o-Z2=80°,

故答案为：A.

【分析】根据等腰三角形的性质先求出ABAC=乙4cB=20。，再根据平行线的性质计算求解即可。

4.【答案】B

【解析】【解答】解：甲：:△ABP与APCQ相似，ZB=ZC=9O。，

.•.分AABPfPCQ与AABPsAQCP两种情况求解：

①当△ABPs^PCQ时，设BP=x,贝l]PC=15—%,

.AB_吐即9_%

,-PC~CQ,K|15=^=4'

解得：x=3或x=12,

②当△ABPsAQCP时，设BP=久，则PC=15—%,

•_BP明9_x

''QC-'CP,即4=

解得：％=警，

综上所述，当CQ=4,在BC上存在3个点P,使ATlBP与APCQ相似，故甲不符合题意；

乙:VAP1PQ,

：.^APQ=90°,

・••乙4PB+/CPQ=90°,

又：乙力P5+/34P=90。，

:•乙CPQ=^BAP,

：.△ABP八PCQ,

•,国=顶

设3P=%,贝UPC=15-x,

口n9X

即正三E=CQ'

1「乙

•*-=(15r)久=一(%F)+丁,

rn-9-9

,•"—(%—芋)2«0,

.•.当久=竽时，CQ最大，且CQ=竽，故乙符合题意;

故答案为：B.

【分析】分△力BP“APCQ与AABPsAQCP两种情况求解：①当△ABPPCQ时，设BP=K,

则PC=15—久，②当AABPQCP时，设BP=无，贝”C=15—%，再分别列出算式求解即可。

5.【答案】A

【解析】【解答】解：若设PC=x,则BP=a-x,

VAABP^APCD,

.ABBPba—x

••PC=CD，即m亍=丁

即x2-ax+b2=0方程有解的条件是：△=a2-4b2>0,

...(a+2b)(a-2b)>0,则a-2b>0,

a>2b.

故答案为：A.

【分析】设PC=x,则BP=a-x,先证出△ABPs^PCD,可得禁=黑，即占=7，再利用根的判

PCCDxb

别式列出不等式(a+2b)(a-2b)>0,则a-2bK),最后求出吟2b即可。

6.【答案】C

【解析】【解答】解：设AB与CP交于G,如图2所示：

VZBAC=90°,

AB=AC=6,点D、E分别是ABAC的中点，

图2

二♦AD=AE=3,ZDAE=90°,

ZDAB=90°-ZBAE=ZEAC

在仆ADB中，

'AE=AD

-Z-EAC=/.DAB,

、AC=AB

.*.△AEC^AADB(SAS),故①正确；

ZDBA=ZECA,

ZECA+ZAGC=90°ZAGC=ZBGP,

.\ZDBA+ZBGP=90°,ZBPC=90°,

.\BP=BCsinZBCP,.当/BCP最小时，BP最小，

在RtAABC中，由勾股定理得：

BC=y/AB2+AC2=V62+62=6班

在R3BCP中，斜边BC一定，当BP最小时，CP最大,

当NBCP最小时，BP最小，而

ZACB=45°,

.•.当NACE最大时，ZBCP

最小，此时AELCP,如图3所示：

在RtAAEC中，AE=3,AC=6,

图3

-,-EC=y/AC2-AE2=V62-32=373

VAE=AD,

ZEAC=90°-ZBAE=ZDAB,AC=AB,

；.△AEC丝△ADB(SAS),

.*.BD=EC=3V3»

ZADB=ZAEC=90°,

四边形ADPE是正方形，

；.PD=PE=AE=3,

ABP=BD-PD=3V3-3

CP=PE+CE=3+36，

，CP存在最大值为3+38，BP存在最小值为38-3,故②正确，③正确;

取BC的中点为0,连接OA,OP,

VZBAC=ZBPC=90°,

...点P在以BC为直径的圆上运动，

OA=OP=OB=OC=1AB=1

X6V2=3V2

如图4,当AELCP时，

sinzlACb亦一弓一②

图4

.,.ZACE=30°,

.\ZCAE=60o,

ZAOP=2ZACE=60°,

•.•将△ADE绕点A顺时针旋转60°,

...点P在以点O为圆心，OA长为半径的圆上运动的轨迹为京，

...点P运动的路径长为：60鹭产=圆,

loU

故④不正确；

故答案为c

【分析】设AB与CP交于G,由SAS证AAEC故①正确，再由锐角三角函数定义得

BP=BCsinZBCP,在RtABCP中，斜边BC一定，当BP最小时，CP最大，当NACE最大时，

NBCP最小，止匕时AELCP,然后证△AEC三△4DB(SAS),得BD=EC=3g，则四边形ADPE是正

方形，求出BP=BD-PD=3g—3,CP=PE+CE=3+3旧，得CP存在最大值为3+3g,BP存在最小

值为38—3故②正确，③正确；取BC的中点为O,连接OA、OP,证点P在以BC为直径的圆

上运动OA=OP=OB=OC=3遮，当AE_LCP时，求出NACE=30。，则NCAE=60。，ZA0P=2ZACE

=60°,最后证点P在以点O为圆心，OA长为半径的圆上运动的轨迹为心，求出点P运动的路径长

即可。

7.【答案】D

【解析】【解答】解：•••四边形ABCD是矩形，

：.AD||BC,AD=BC,ZADC=ZC=90°,AB=CD,

ZODE=ZOBF,ZOED=ZOFB,

•.•O是BD的中点，

；.OB=OD,

.*.△EOD^AFOB(AAS),

；.DE=BF,

；.AE=CF,

又：AE=DG,

；.CF=DG,

假设存在点E使得EGXFG,

ZEGF=90°,

.\ZEGD+ZCGF=90°,

又；ZEGD+ZDEG=90°,

；.NDEG=NCGF,

又；ZEDG=ZGCF=90°,

EDG^AGCF(AAS),

；.DE=CG,

；.AE+DE=DG+CG,即AD=CD,

'：AB>BC,

ACD>AD,与AD=CD矛盾，

假设不成立，即不存在点E使得EG与GF垂直，故甲说法不符合题意；

设AB=CD=4,BC=AD=3,AE=DG=CF=x,贝！JBF=DE=3-x,CG=4-x,

..SAEFG-S梯形EDCF-SAEDG-SACFG

x+3-x11

-------Q-------4—%(4—X)—%(3—X)

=x2-+6

=（久_>+箸

即当％时，AEFG的面积有最小值，

同理假设AB=CD=4时，只要满足BCVAB,都能求出△EFG的面积关于线段AE的长的二次函数

关系式，即可求出AEFG的面积有最小值，故乙说法符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形和梯形的面积公式，结合图形判断求

解即可。

8.【答案】C

【解析】【解答】•・,直角三角板力和力®C'重合在一起，

.・・/C=ArC,BC=B'C,

4当a=30°时，^LA'CB=60°,

设4c与43交点为G,如图所示，

・・・乙B=60°,

・・・Z,CGB=60°,

・・.△BCG为等边三角形，

・•・BC=BG,

•••LA=30°,

1

BC=^AB,

1

・•.BG

即4c与43的交点为48的中点，故A正确;

B：当a=60。时，乙B'CB=60°,

•・・(B'=60°,

・•・以点B',C,B构成的三角形是等边三角形,

B'B=B'C,

vB'C=

B'B=

A'B'恰好经过B,故B正确；

C在旋转过程中，/-ACA!=/.BCB'=a,

又•.・AC=A'C,BC=B'C

AC_AC

菰=7D7L

AA'CBB'C,

I

AAAC

**-7=BC=y/3,

BB

・・・力力‘丰BB',

故C错误；

D：如图，设直线力力'与直线交于M,

•・•Z-ACA=AC=4'C，

••・ACAA'=Z.CA'力=g(180°-a)，

同理可得ZCBB=MBB=^(180°-a).

又乙4cB'=/_ACA'+N4CB'=90°+a，

^AMB=360。-NCAA'-乙CB'B-乙ACB'=360°-2X1(180°-a)-(90°+a)

90°,

AM1BM，

・••在旋转过程中，始终存在A41BB

故。正确；

故答案为：C.

【分析】A项：由题意两个完全相同的三角形，根据全等三角形的性质可得AC=A'C,BC=BC,再

根据旋转角求出△BCG为等边三角形，可判断A正确；

B项：当旋转角为60。时，ABCB是等边三角形B'B=B'C,含30度的直角三角形对边是斜边一半，

BB=BC=1AB,故AB恰好经过点B,可判断B项正确；

C项：根据图可知：旋转过程中NACA'=NBCB'=a,AC=AC,BC=BC（根据两边对应成比例且夹角

相等，两三角形相似）即△AAC与ABB'相似，根据相似三角形的性质，可解得C项错；

D项：证明AA」BB'可分别延长两直线交点M,即证明/M是直角即可，可利用四边形AMB'C的内

角和，即可解答D项正确。

9.【答案】A

【解析】【解答】解：=奁，CP=t,

故当P在BC上运动时，DP2=CP2+PC2=t2+（V2）2=/+2，

即S=DP2=t2+2；

结合图象，当P与B重合时，S=6,

则t?+2=6时，

解得：ti=2或t2=-2（不符合题意，舍去），

；.CB=1x2=2,

当P在BA上时，从图象看ti、t2关于x=2对称，

故（0,2）关于x=2对称的点坐标为（4,2）,

即图象经过点（2,6）,则顶点坐标为（4,2）,

故设抛物线的解析式为S=a（t-4）2+2,

将（2,6）代入得:a（2-4）2+2=6,

解得:a=l,

.•.抛物线的解析式为S=（t-4）2+2,

从图象看tl、t2关于X=2对称，t2、t3关于X=4对称，

即tl+t2=4,t2+t3=8,

BPt2=4-tl,t2=8-t3,

4-ti=8-t3,

••t3-tl=4,

*.*t3=5tl,

・・5ti-ti=4,

当t口时,S=t2+2=l+2=3,

即正方形DPEF的面积为3；

故答案为：A.

【分析】根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可得DP?的值，结合正方形的面积

可得S=t2+2；结合图象可求得CB=2,根据二次函数的对称性可得ti、t2关于x=2对称，求得图象经

过点（2,6）,且顶点坐标为（4,2）,待定系数法求出抛物线的解析式，结合图象中ti、t2关于x=2

对称，t2、t3关于x=4对称，求得tl+t2=4,t2+t3=8,结合题意即可求出tl=L即可求解.

10.【答案】B

【解析】【解答】解：过点力作ZFly轴于点尸，连接4。、AC,如图.

•・•点力的坐标为（3,4）,

・•.AC=AO=V32+42=5,AF=3,OF=4.

1点4(3,4)在直线y=々％+1上,

・•・3/c+l=4,

解得k=1.

设直线y=x+1与y轴相交于点G,

当％=0时，y=1,点G(0,1),OG=1,

・・・FG=4—1=3=力9,

•••/-FGA=45°,AG=V32+32=3V2.

在Rt/GAB中，AB=AG-tan45°=3V2.

2

在Rt/MBC中，BC=VAC2-AB=Js2-(3V2)2=V7.

二所求“理想矩形"ZBGD面积为4B-BC=3A/2XV7=3V14;

故答案为：B.

【分析】过点4作4Fly轴于点F,连接Z。、AC,由点A坐标可求出AC=AO=5,AF=3,OF=4,

将点4(3,4)代入y=k%+l中求出k=l,即得y=x+l,可得G(0,1),△FGA为等腰直角三角形,

可得/FGA=45。，AG=3V2,利用解直角三角形求出AB的长，再利用勾股定理求出BC,根据矩形

的面积公式计算即可.

11•【答案】①②③

【解析】【解答】解：如图，连接AC,

••・四边形ABCD是平行四边形，

A。=CO,BO=OD,AD||BC,

•••2LMAO=Z.NCO,^AMO=乙CNO,

.-.AAOMC0N(44S),

MO=NO,

BE=DF,

OE=OF,

四边形MENF是平行四边形，

故只要MN经过点0,则存在无数个平行四边形MENF,①正确；

当MN=EF且MN经过点O时，平行四边形MENF是矩形，由于E,F是对角线BD上的动点，故

存在无数个矩形MENF,②正确；当MN，EF且MN经过点。时，平行四边形MENF是菱形，

由于E,F是对角线BD上的动点，故存在无数个菱形MENF,(3)正确；当MN=EF,MN1EF且

MN经过点。时，只有一条MN,故只有一个正方形MENF,④错误.

故答案为：①②③.

【分析】利用平行四边形的性质得到4。=CO,AMAO=乙NCO,AAMO=乙CNO,再通过AAS判

定△AOM三△CON得到OM=ON,进而证得四边形MENF是平行四边形，故只要MN经过点O,则

存在无数个平行四边形MENF,①正确；当MN=EF且MN经过点。时，平行四边形MENF是

矩形，由于E,F是对角线BD上的动点，故存在无数个矩形MENF,②正确；当MN1EF且

MN经过点O时，平行四边形MENF是菱形，由于E,F是对角线BD上的动点，故存在无数个菱

形MENF,③正确；当MN=EF,MNJ.EF且MN经过点。时，只有一条MN,故只有一个正方

形MENF,④错误.

12.【答案】3<r<7

【解析】【解答】解：由题意得当O01位于。。2的外部，且P，。1，。2位于同一直线上时，r存在最

小值，如图所示：

最小值r=5-2=3,

当O。1位于O。2的内部，且P，。0。2位于同一直线上时，r存在最大值，如图所示:

最大值r=5+2=7,

的取值范围是3WrW7,

故答案为：3WrW7

【分析】直接根据圆与圆的位置关系结合题意进行分类讨论即可求解。

13.【答案】4

【解析】【解答】解：连接B。，0C,过点。分别向AB,AC,BC作垂线，垂足分别为F,N,G,如图

所示:

A

由三角形内切圆性质，根据切线长定理可知4F=AN,BF=BG,CG=CN,

•••该内切圆的面积为兀，

••.由圆面积公式可知该内切圆的半径为1,即。N=0G=0F=1,

vON=1,ONVAC,在中，tanZOAC=与，

ON_16a2

.•,丽=滔，则miI人”宿

a2

・•.AF=AN=金，

2

设BG=FB=x,贝!J/B=BF+AF=%+3，

16

vAB+AC=2a,

•e•AC—2a-AB=2a—(%+

***NC=AC—AN=[2a-(%+y^)]—=2a—g—%’

a2

：.NC=CG=2a—*—x，

o

q2q2

*'•BC=BG+CG=1+(2ci—g—x)=2a—g-,

3

...2a—4=L，解得a=4或a=0(舍去)，

oL

・•・a=4,

故答案为：4.

【分析】先求出ON=OG=。尸=1,再求出NC=CG=2a—《—久，最后求解即可。

O

14.【答案】2V3+3

【解析】【解答】解：如图，过点Q作QKLBC于K.

.四边形ABCD是正方形，

.\ZB=90°,

又•；/PEQ=90。，QK_LBC,

即ZB=ZQKE=ZPEQ=90°,

ZPEB+ZQEK=90°,ZQEK+ZEQK=90°,

.\ZPEB=ZEQK,

VEP=EQ,ZPEB=ZEQK,ZB=ZQKE,

.*.△PBE^AEKQ(AAS),

；.BE=QK=1,

.•.点Q在直线BC的上方到直线BC的距离为1的直线1上运动，

将△ADM绕点D顺时针旋转60。得到ANDP，，连接AN,PN,P，M,

VAD=DN,ZADN=60°,DM=DP\/MDP，=60。，

则AADN,APDM都是等边三角形，

.\MA=P,N,MD=MP\

MA+MQ+MD=PN+MP，+QM,

过点N作NHL直线1于H,

根据垂线段最短可知，当N,P',M,Q共线且与NH重合时，P，N+MP，+QM的值最小，即

MA+MQ+MD的值最小，

点N到AD的距离为,42-方=2百，

NH=2^3+4-1=2A/3+3,

故最小值为2旧+3

故答案为：2V5+3.

【分析】根据正方形的四个角都是直角推得/B=NQKE=NPEQ=90。，求得/PEB=NEQK,根据两

个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得BE=QK=1,根

据旋转的旋转可得AD=DN,ZADN=60°,DM=DP\/MDP，=60。，根据有一个角是60。的等腰三角

形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等可得MA=P，N,MD=MP\即可得到

MA+MQ+MD=PN+MP4QM,根据连接直线外一点和直线上的点中，垂线段最短可得当N,P',

M,Q共线且与NH重合时，MA+MQ+MD的值最小，结合勾股定理即可得出结论.

15.【答案】(3,分或(3,1)或(3,3)

【解析】【解答】解：由题可知，“智慧三角形”是直角三角形，/CPM=90。或NCMP=90°

设点P(3,a),则AP=a,BP=4-a

①若/CPM=90。，在R3BCP中，

CP2=BP2+*=9+(4-a)2

在RtAMPA中，MP2=MA2+AP2=1+a2

在RtAMCP中，CM2=MP2+CP?=9+(4_0)2+i+=2a2-8a+26

又；CM2=0M2+C02=20

.\2a2-8a+26=20

即(a-3)(a-l)=0

解得a=3或a=l

...P(3,3)或(3,1)

②若/CMP=90。，在RtABCP中

CP2=BP2+CB2=9+(4-a)2

在RtAMPA中，MP2=MA2+AP21+a2

"：CM2=OM2+CO2=20

在RtAMCP中，CM?+Mp2=cp2=20+I+=9+(4一&)2

即a=

1

综上所述，点P的坐标为(3,3或(3,1)或(3,3)

故答案为：(3,3或(3,1)或(3,3).

【分析】由题可知，“智慧三角形”是直角三角形，/CPM=90。或NCMP=90。，设点P(3,a),贝U

AP=a,BP=4-a,进而分类讨论：①若NCPM=90。，②若NCMP=90。，从而运用勾股定理结合题意

即可求解。

16.【答案】①③④

【解析】【解答】解：①•••点(x,y)在x轴的正半轴上，

•*.y=0,

：.BC-AC=0,n\iAC=BC,

ZC=90°,

.'-AB=y/AC2+BC2=y[2BC,故此说法符合题意;

②设P点坐标为(K口——),Q点坐标为(冷，f—)，

人1