河北省秦皇岛市2024届高三年级下册5月模拟考试数学试题

河北省秦皇岛市青龙满族自治县第一中学2024届高三下学期5

月模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数z满足iz+4^-15=0,则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知椭圆T—+£=1的离心率为，1,则，w=（）

m+2m3

A.±72B.±2C.±2也D.±4

3.若集合A={x]«Va},B={X|X2-2X-3<0},且则°的取值范围为（）

A.[0,1]B.[0,6]C.（-8』D.「昭向

4.设a,夕是两个不同的平面，加，/是两条不同的直线，且a〃=/则“相///"是“篦〃/

且加〃的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个晚会都必须有人去，去几人自行决定，

且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（）

A.8种B.12种C.16种D.24种

6.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且B=2C,。=缶，贝U（）

A.A3c为直角三角形B.ABC为锐角三角形

C.ABC为钝角三角形D.ABC的形状无法确定

7.已知0是函数的极大值点，则a的取值范围为（）

A.（-«,0）B.（0,+8）C.[-00厂|']D.[-■|'+GO）

8.假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常

细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常

细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（）

A.215+2B.216-2C.217D.218

二、多选题

9.已知函数f（x）=**°sx,则（）

A.“X）是偶函数；B.“X）是周期为兀的周期函数；

C.“X）在私手上单调递增；D.的最小值为孝.

22

10.设4，4是双曲线c京毋=1（。＞0）＞0,。叫的两条渐近线，若直线由与直线y=x

关于直线〃对称，则双曲线C的离心率的平方可能为（）

A.5+2石B.5-26C.8+4若D.8-4百

11.在长方形A5co中，AB=6,AD=l,点E在线段AB上（不包含端点），沿DE将VADE

折起，使二面角A—DE—C的大小为6,兀），贝U（）

A.存在某个位置，使得AELOC

B.存在某个位置，使得直线BC//平面ADE

C.四棱锥A-3CZ见体积的最大值为迪

3

D.当。时，线段AC长度的最小值为2近

三、填空题

12.（Y—y2）（2x+y）6的展开式中Jy4的系数为.

13.已知奇函数〃x）的定义域为R,f（x+3）=-f（-x）,且"2）=0,则在［0,6］上

的零点个数的最小值为.

14.设"c＞0,则。+2，区+4疝的最大值为_______.

a+b+^c

四、解答题

15.已知机＞0,函数/（x）=e£-2无+机的图象在点（0,〃0））处的切线与两坐标轴围成的三

角形的面积为2.

（1）求机的值；

试卷第2页，共4页

(2)求〃x)在［-1,2］上的值域.

16.教练统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数,得到如下数据:

甲777377818581778593737781

乙7181737371738573

已知甲12次投篮次数的方差乙8次投篮次数的方差s；=23.

(1)求这20次投篮次数的平均数］与方差52.

(2)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中

4

则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为二，乙每次投篮的命中

3

率均为;已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了3次，X表示甲投篮的次数，求X

4

的分布列与期望.

17.如图，在三棱柱ABC-A4cl中，CA=CB,四边形人台片片为菱形，ZABBt=-,

Aq1B.C.

(1)证明：BC=BB>

(2)已知平面平面,求二面角B-CG-A的正弦值.

18.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”

需要用到函数b("),记函数b(〃):V〃eN+，b⑻为〃的所有正因数之和.

⑴判断28是否为完全数，并说明理由.

⑵己知〃eN+，若2向-1为质数，证明：2"(2向-1)为完全数.

(3)已知“cN+，求「(30”)的值.

19.已知0为坐标原点，经过点(4,0)的直线/与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B(A,

8异于点。)两点，且以AB为直径的圆过点。.

(1)求C的方程；

(2)己知N,P是C上的三点，若△MVP为正三角形，。为△MVP的中心，求直线

斜率的最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

/、/a=4

【分析】设z=〃+历(a,b£R),根据共粗复数结合复数运算可得I、1,再结合复数的几何

意义分析判断.

【详角军】设z=a+历(a,Z?£R),贝！|5=a-Z?i(a,Z?£R).

因为iz+41-15=0，贝Ii（^+&i）+4（tz-Z?i）-15=4^-Z?-15+（6Z-4Z?）i=0,

4a—6—15=0<2=4

可得，解得

a—4b=0b=l

即z=4+i,所以复数z在复平面内对应的点为(4,1),位于第一象限.

故选：A.

2.B

【分析】根据椭圆的方程，结合离心率的定义和求法，列出方程，即可求解.

22

【详解】由椭圆T^+j=l,可得a2=加+2,廿=苏，则C2=02-62=2,

m+2m

所以e?=：=';="，解得加=±2・

a2"+213J

故选：B.

3.D

【分析】首先解一元二次不等式求出集合8,再分。<0、两种情况讨论，确定集合A,

再根据集合的包含关系得到不等式，解得即可.

【详解】由％2_2x—3W0,即(％+l)(x—3)40,解得

所以3={x|九2—2x—3W0}=[—1,3],

当avO时，A=^x\-Jx<a^=0f符合

当a20时，由Vx<a,解得0<x<a2，

所以A={x|y[x<0<x<a2j,

p2<3

因为所以一-,解得0Va<6.

a>0

答案第1页，共13页

综上可得a的取值范围为（一8,可

故选：D

4.C

【分析】根据题意，利用线面平行的判定定理与性质定理，结合充分条件、必要条件的判定

方法，即可求解.

【详解】当机///时，机可能在a内或者夕内，故不能推出相〃力且〃”/a,所以充分性不成

立；

当加〃〃且机〃0时，设存在直线WUCX,且〃〃相，

因为机//月,所以w〃6，根据直线与平面平行的性质定理，可知〃〃/,

所以m/儿,即必要性成立，故“血//”是“〃/且机//a”的必要不充分条件.

故选：C.

5.B

【分析】根据参加晚会的人数分类讨论，利用排列组合数求解即可.

【详解】第一种情况，只有两人参加晚会，有A；=6种去法；

第二种情况，三人参加晚会，有C；A；=6种去法，共12种去法.

故选：B

6.A

【分析】由正弦定理得sin8=0sinA，利用正余弦的二倍角公式、两角和与差的正弦展开

式化简可得4&cos2C-2cosc-&=0，解方程可得答案.

【详解】由6=可得sin3=0sinA,

则sin2C=V2sin（7t-3C）=V2sin3C,

sin2C=y/2sin2CcosC+41cos2C-sinC，

2cosc=2A/2COS2C+A/2^2COS2C-l^,

即4jicos2c-2cosc-忘=0，

由3=2C>C,故C只能为锐角，可得cosC=«2,

2

因为0<C<],所以C=：,B=三.

故选：A.

答案第2页，共13页

7.A

【分析】分类讨论。＜0、〃=0与。＞0三种情况，结合导数与极值点的定义即可得解.

【详解】因为〃=+办2+],所以尸（%）=3%2+2以=兀（3%+2〃）,

令尸⑺=0,可得x=0或x=_等，

当一g＞0,即“＜0时，

令制x）＞0,得彳＜0或无〉一条令/（“＜0,得0＜》＜卷；

所以“X）在（-8，。），上单调递增，在（0，-5）上单调递减，

所以x=0是函数“X）的极大值点，满足题意；

当一彳=0,即°=0时，­（x）=x（3x+0）N0恒成立，

则/（X）在R上单调递增，没有极值点，不满足题意；

当一g＜0,即a＞0时，

令制x）＞0,得.g或》＞0；令尸（力＜0,得=＜x＜0；

所以在5），（。，+8）上单调递增，在[-'，。）上单调递减，

所以无=。是函数/（X）的极小值点，不满足题意；

综上，a＜0,即。的取值范围为（-8,。）.

故选：A.

8.C

【分析】经过九小时，有a„个正常细菌，b”个非正常细菌，由题意可得an+1=2an,bn+l=an+2b,,,

进一步求出％,或的通项公式，即可得出答案.

【详解】设经过兀小时，有％个正常细菌，切个非正常细菌,

则%+i=2a“，bn+1=an+2bn.

n

又4=2,4=1,所以4=2"，bn+1=2b„+2,

则b也=h2+_1L则h也_曳b=_\1

(2向2，22向2n2

答案第3页，共13页

所以［小）是首项为和公差均为3的等差数列,

所以杷+*-1）$

所以2="•2'-1,所以％4+44=2-+14x爱3=16X2里=217.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到凡也的相关推递式，从而得解.

9.AD

【分析】利用偶函数的定义可判定A,利用周期的定义可判定B,利用复合函数的单调性可

判定C,根据周期性及单调性可判定D.

【详解】因为〃-x）=2bg）3㈠=2卜所以〃x）是偶函数，故A正确；

易知〃x+兀）=2血=2-曲加s，x〃尤）,故B错误;

57r1.

当工£71,-^-时，"=2曲目8sX=2-sinxcosx=2，sin2x,

因为2xe2私57彳r，所以k_}1sin2x在n.—57r上单调递减，

57r

又y=2、单调递增，所以/（x）在兀,彳上单调递减，故C错误；

易知/@+2兀）=/（耳，所以/（元）是周期为2兀的周期函数，

I-1s.m.zx「1

r/、I.।22,xe0,7i

当xer［0,2兀时，〃尤）=2向纲L」，

L」--sin2x/

22，1£（兀,2兀］

显然X£［0,7i］时jsinZxE~~2'~2，%£（兀，2兀］时一551112%£

则/（X）的最小值为2—=乎，故D正确.

故选：AD

10.CD

【分析】利用直线对称的夹角关系，分类讨论结合双曲线的性质计算即可.

【详解】由题可知4经过第二、四象限，4经过第一、三象限，设4的倾斜角为夕

当0工时，则36」,即。=1,tan6=tan=2-二,

<4J412<46J

即2=2-若，所以e2=4=l+4=8-4®

aaa

答案第4页，共13页

当时，28+8_；=兀，即e=tan=tan=73+2,

bl—「2序L

即2=2+6,所以e2=「=l+勺=8+4区

aaa

综上，双曲线C的离心率的平方为8±4括.

故选：CD

11.ACD

【分析】利用特殊位置可判定A,根据线面平行的性质可判定B,利用棱锥的体积公式及导

数研究函数的最值可判定C,利用空间向量数量积研究模长可判定D.

【详解】设点A在平面BC0历上的投影为4,即AALOC,

而当aE_L£»C时，A41cAE=A，A4pAEu平面AA]E,

所以CDJ_平面AEu平面AA]E,所以AELOC,

这种情况显然存在，故A正确；

若BC〃平面ADE,3Cu平面BC/汨，平面3cDEc平面ADE=DE,

所以BC〃上，显然矛盾，故B错误；

设NADE=a,tzG(0,ZADB),则点A到DE的距离为sincr,AE-tana,BE=6-tana,

要使得四棱锥A-3CDE的体积最大，则。=1，

此时四棱锥A_5cDE的体积丫=4x(6+6tana)xlxsiiia=」12sina一包,

326(cosa)

,I，、。2sinacos2a+sin3a\sma^1212.

VT7=-12cosa-----------------------------=-----------------2—tan2a,y=----------Z-tai?1在

6(cosaJ6(tana)tana

/3上单调递减，

12

且当tana=2时，------2-tan2a=0.

tana

答案第5页，共13页

令tan%=2,%£(0,Z-ADB^,则sin%=，cos%=此,

所以V在（0,4）上单调递增,在（%NADB）上单调递减,

即四棱锥A-BQ组体积的最大值为25,C正确.

3

过A,C作DE的垂线，垂足分别为M,N,从而得到AM.£)M=0,CNDE=0,

又AC=AM+MN+NC，

所以AC=(AM+MN+NC)=AM+MN+NC+2AM-MN+

2AM-NC+2MN-NC=\AM^+\MN^+\NC^+2AM-NC.

71

因为二面角A-JDE-C的大小为孑，所以AM与NC的夹角为120°.

设ZADE=c,«e(O,ZADB),则NCOE=：-a,

AM=sina,GV=6cosa,DM=cosa,DN=6sina,

所以朋N=|cosa-6sina\,

所以=(sintz)2+(cosa-6sina『+(6cosa『+2・sina.6cosa

=37-9sin2a.

故当a=:时，,C『有最小值28,故线段AC长度的最小值为2近，D正确.

故选：ACD

【点睛】思路点睛：对于C项，设NADE=a,利用a表示线段长，利用棱锥体积公式得

V=1|12sin«-^^|,通过导数研究其单调性计算最值即可；对于D项，根据空间向量

61cosaJ

数量积公式计算模长即可.

12.-180

【分析】化简（f-力自彳+弁二/包+馍一/⑵+城5,结合二项展开式性质，即可求

答案第6页，共13页

解.

6

【详解】由（尤2-力（2x+y）6=/（2x+一y2w+y）,

所以（尤2一y2）（2x+y）6的展开式中含尤4、4的项为f^/或y2=一^。//,

所以（V-y2）（2x+y）6的展开式中的系数为-180.

故答案为：T80.

13.9

【分析】由〃X+3）=-〃T）结合了（X）是奇函数可求出“X）的周期为3,即可求出

"0）="3）="6）=0,再由〃x）的对称性和周期性可得

/（2）=/（5）=/（1）=/（4）=/（1.5）=/（4.5）=0.

【详解】由仆+3）=-/（-力，可得“X）的图象关于点||,0卜寸称，

又了⑺是奇函数，所以/（x+3）=-〃T）=/（X）,

则〃x）的周期为3,所以〃0）=〃3）=/•⑹=0,

/（5）=/（2）=0,/（4）=/（1）=/（-2）=-/（2）=0,

而“1.5）=/（-1.5）=-/（1.5）,则41.5）="4.5）=0.

故在［0,6］上的零点个数的最小值为9.

故答案为：9.

14.2

【分析】设根,〃>0,利用基本不等式得至lja++WQ（/n+2〃+l）H---1,再将右

mn

式配凑成〃+b+4c的倍数，从而得解.

【详解】设九〃〉。，则2«F=2\am±<am+^,4yfac=4.an-—<2an+—,

\mmVnn

当且仅当〃加=2,6m=_£时，等号成立，

mn

Q+2Jab+4JacWQ（根+2〃+1）H---1---.

mn

i911

令+2〃+l）:一：一=1:1:4,解得根=一,n=—,

'7mn24

答案第7页，共13页

所以O+2«K+4疝++8c=2,当a=4b,a=16c时，等号成立.

a+b+^ca+b+^c

故答案为：2.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解.

15.(l)m=l

⑵［3-211124-31

【分析】(1)根据导数的几何意义，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程y=f+i+机，

求出切线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果；

(2)由(1)可得〃力在(历2,2］上单调递增,在［T/n2)上单调递减，求出〃-1),/(2),

/(ln2)的值可得结果.

【详解】⑴因为"x)=e*—2x+a,所以解(x)=e-2,贝心=〃0)=T.

因为/(。)=1+相，所以切点坐标为(0』+根)，

所以〃x)的图象在点(oj(o))处的切线方程为y=-x+1+也

令y=0,得X=l+M2,又〃7>0,所以gx(l+7〃)x(l+w)=2,所以〃7=1.

(2)由⑴可知尸(龙)=e'—2,令制x)>0,解得x>ln2,所以在(In2,2］上单调递

增.

令1f(x)<0,解得x<ln2,所以在［Tln2)上单调递减，

又/(-1)=3+5,f(2)=e2-3,J(ln2)=3-21n2,

所以在［T2］上的值域为［3-力也］-3］.

16.⑴平均数78,方差33；

⑵分布列见解析，芸。49

【分析】(1)利用平均数的计算公式及分层抽样的方差公式计算即可；

(2)利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可.

【详解】(1)甲12次投篮次数的平均数吊=80,乙8次投篮次数的平均数兀=75.

答案第8页，共13页

、、-c“A*、J®二八十tjg—12—8—3x80+2x75

这20次投篮次数的平均数彳==百+二尤2=-------z---------=78,

3x—+（80-78）2+2x[23+（75-78）1

——----------------------------------------------=33■

5

(2)X的可能取值为1,2,3,

则P（X=l）=[x

420

尸（X=3）=g

525

所以X的分布列为

X123

32116

P

2010025

249

E（X）=lx—+2x—+3x—

v72010025100

17.(1)证明见解析;

呜

【分析】(1)通过线面、面面的位置关系证平行四边形BCC瓦为菱形即可；

(2)先证40,平面ABC,根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解.

【详解】(1)

C

设。为AB的中点，连接co,Bp,ABltBC-

因为G4=CB,所以ABLOC,

答案第9页，共13页

jr

因为四边形ABBH为菱形，442耳=：，所以小珥为等边三角形，则

又。Cu平面。耳C,。用u平面。耳C,OC\\OB{=O,所以AB工平面。耳C,

因为4Cu平面。耳C,所以A3,用C,

因为AGJ__B[C,ABu平面平面4BC],AC】u平面ABC」

AC〕AB=A,所以B[C_L平面ABCt,

因为8C|U平面ABC」所以2G，4C,所以四边形BCG耳为菱形，即BC=BA.

(2)

因为平面ABCJ•平面ABB〕A,且平面ABCc平面ABBiA=A3，AB1OBi-

所以用。，平面ABC；

以。为坐标原点，OC,0A,。与所在直线分别为x,y,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2.

则0(0,0,0),C(V3,0,0),3(0,—1,0),耳(0,0,6)，A(0,l,0),

可得AC=(g,—1,0),BB、=CCT=(0,1,句,=(73,1,0).

/、m•BC=y/3x+y=0,

设平面BCC国的法向量为m=(x,y,z)，则/

m-CCl=y+yJ3z=09

令x=l,则y=-6，z=l,可得加=(1,一指,1).

/、n•AC=y/3a-Z?=0,

设平面ACGA的法向量为〃="c)，贝！!厂

令〃=1,贝ijh=6，c=—lf可得〃=(l,g,-1)

答案第10页，共13页

4

|cosm,H|=故二面角B-CQ-A的正弦值为不

18.(1)28是完全数，理由见解析;

⑵证明见解析；

【分析】(1)根据完全数的概念求解即可；

(2)根据完全数的概念结合等比数列求和公式计算证明即可；

(3)根据完全数的概念结合等比数列求和公式计算求解即可.

【详解】(1)28的所有正因数为1,2,4,7,14,28,

因为1+2+4+7+14+28=56=2x28,所以28是完全数.

(2)2"(2角一1)的正因数为2°,2、22,L,炉，2°(2角-1),2'(2«+1-1),22(2,,+1-1),

L,2"(2,,+1-1),

O-(2"(2,,+1-1))=(1+2+22+-+2")(2向-1+1)

_1

+1+1

=2~X2向=2"(2"-l)=2x2",

所以为完全数.

(3)10"=2”,5"的正因数为2°5°,2°5',2°52,L，2°5",215°,25,2'52,L,215",

L,2"5°,2"5'，2n52,L,2"5",

因为30"=2"，3"-5",

所以cr(30")=(l+2+22++2,!)(1+3+32++3n)(l+5+52++5")

+1+1+1

_l+2-；；l-3"；；l-5"_(2"+—)(3向7(5"+-1)

―1-2*1-3*1-5-8

19.(I)y2=4x

⑵*

答案第11页，共13页

【分析】（1）根据题意，联立直线与抛物线方程，由代入计算，即可得到抛物线方

程；

（2）根据题意，分&VWP有一边斜率不存在与△WP三边的斜率都存在讨论，分别表示

出左的，七一结合NNMP=60。代入计算，结合基本不等式即可得到直线。。斜率的最大值.

【详解】（1）设A6,%），3（4，%），人尤=叫+4,联立方程［2=短得

y2-2pmy-Sp=0,

?

则以+为=2。帆，yAyB=~>p-