四类数列题型-2024新高考数学大题秒杀技巧（解析版）

四类数列题型-2024年高考数学大题秒杀技巧

数列求和问题一般分为四类：

类型1：错位相减；

类型2：裂项相消求和；

类型3：分组求和；

类型4：含（-1）”类进行求和。

下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.

数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：

①当高考数列大题出现《4与％+1》或《册与％T》递推关系且关系式中系数为1时，应遵循以下步骤第一

步:作差第二步:列举第三步:求和一简称《知差求和》

注意：列举时最后一项必须是an-a“_i

②当高考数列大题出现《册与册+i》或《册与册_1》递推关系且关系式中系数不为1时，应遵循以下步骤第

一步:秒求所配系数第二步：寻找新的等比数列第三步:求新数列的通项第四步反解册一简称《构造

法》

③当高考数列大题出现《册与a”.》或《册与册_1》递推关系，关系式中出现倍数关系时,应分为两种情况,

第一种情况:若/（"）是常数时，可归为等比数列，第二种情况:若/（九）可求积，应遵循以下步骤第一步:

出现商的形式第二步:列举第三步:求积出现册—简称《知商求积》

类型1：错位相减;

71

an—(An+B)-C

第一步:求和(求和x公比)

S”=(A+B)-C1+(A-2+B)-C2+(A-3+B)-C3+……+[A•(n-1)+B]-•n+B)-C"1

C-Sn=(A+B)-C2+(A-2+B)•C3+(A•3+B)-C4+……+[4•(九-1)+B]•Cm+G4“+B)-CT+i①

式一②式得

x23+1

Sn-C-S”=(A+B)-C+A-C+A-C+……+A-CT-(A-n+B)•<7"

S„(l—C)=A•Cx+A-C'2+A-C3+……+A-Cn+B-C1-(A-n+B)-C"+1

..O)+口.O_(A-n+B)-CT+1

T^c

0.(1—C"),BCG4R+B)-C"+I_c_4c—C7+1B。、(4"+功.6"+；_

'(1-C)2+1-C1-C「(C-l)2c-l+C-1n~

AnB_______A___I厂+1_rB_______A___1「

.c-lc-i(c-1)2J*-Lc-i-(c-i)2J*•••

错位相减专项训练

意目「已知等差数列｛日前八项和为S”，的=1,S9=9a6-18.

(1)求｛an｝的通项公式；

n+1

(2)若数列｛吼｝满足。也+。2b2+—\-anbn=(2n—3),2+6，求和：黑=a1bn+a2bn-1-\--FQ九_也+。九仇,

题目可数歹U｛an｝中，s=2,记4=°与2。3…Q”｛耳｝是公差为1的等差数列.

⑴求｛Q/的通项公式；

(2)令bn=签,求数列｛0｝的前n项和S”.

题目33已知数列｛飙｝满足电=-1,且2%+1一册=

(1)求｛2%册｝的通项公式；

(2)求数列｛册｝的前几项和S”.

题目⑷己知数列｛册｝的前71项和为S“,©=0,且&+产2s0+2(neN*).

(1)求数列｛厮｝的通项公式；

(2)设数列｛bn｝满足勾=(log2ali+J2,求｛册+4｝的前n项和Tn.

题目回已知等差数列｛an｝的公差不为零，其前几项和为S”,且a?是a1和as的等比中项，a2“=2ali

+1(nCN*).

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵若bn=2%+i，令c„=，求数列｛品｝的前几项和Tn.

类型2：裂项相消求和

①a“=/(九+1)—/伍)

②jin：-------------=tan(n+1)0—tann0

cosncos(n+1)

③°"=(=-—"

n(n+1)TIn+1

@a=___________________________________

n(2n-l)(2n+l)2、2n—12n+l

n(n—1)(n+2)2Ln(n+1)(n+1)(n+2)

几+2.J__2(n+1)_n.J__1

n---，-J-J--n则S=1----------------

n(n+l)・~T~n(n+l),~T~n・2一】(n+l)2"(n+l)2"

⑦Q=_________1________=_________

n(An+B)(An+C)C-ByAn+BAn+C>

⑧an=—一1=Vn+1—Vn,—尸二-—VF)

Vn+Vn+1Va+VFQ-b

21]

⑨册=loga^=log«(n+l)-logan⑩&九—1)jz"+i_1)=

2"+1-1

裂项相消求和专项训练

题目回已知在等差数列｛%｝中,ai+a5=18,06=15.

⑴求｛册｝的通项公式；

（2）求数列（二一J的前几项和Sn.

题目已已知数列｛册｝的前几项和为S”,且满足5=an+Sk£=0（九＞2）.

（1）求数列｛厮｝的通项公式；

（2）求数列｛（2n+1）潞｝的前n项和.

题目回已知公差不为0的等差数列｛册｝的前几项和为S”,且的,a2,as成等比数列，a2a3=a8.

（1）求数列｛aj的通项公式an；

（2）若71》2,3号+PT+…＞景"，求满足条件的九的最小值.

5—1S3—1on—L4U

自］|同从①(Qrl+l)2=Q乙+4Qr^+2Qr^_l+l(n>2),QT1>0,②?^Q九+l=(7^+l)Qr^+l,③前n项和S九满足仁生

b九十72

=n+1中任选一个,补充在下面的横线上,再解答.

已知数列｛册｝的首项s=L且.

(1)求｛aj的通项公式；

(2)若bn——-—，求数列｛bj的前几项和黑.

。九。九十1

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

［题目io［已知数列｛。九｝满足电=:，(2-an)an+1=l.

O

(1)证明:数列是等差数列，并求数列｛册｝的通项公式;

(2)设数列｛册｝的前几项的积为方,证明：7］冕+冕力+…+北方+1<4.

•M

类型3：分组求和

n(Qi+aJn(n—1)

①等差数列求和公式：5九=nQi+d

22

nai(q=i)

②等比数列求和公式：S=-滑_(1q

nn(g)

1—q1—g

③Sk之k=-yn(n+1)

k=l/

④sn=泰力(九+1)(2n+1)

A；=Ib

n

⑤&=\肥=[1yn(n+I)]2

类型3:分组求和专项训练

题目口已知数列｛册｝的前ri项和为%,©=3,2$“=3砺—3.

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)设数列低｝满足：bn=an+log3册，记｛&„)的前九项和为黑，求

n-1

题目12)已知数列｛册｝满足：5=3,a„—a„_1+2(n2,nGTV*).

(1)求数列｛a„｝的通项公式；

(2)令bn—an—l+(-l)"log2(an-l),求数列低｝的前n项和Tn.

题目□己在等比数列｛厮｝中，电，a2.&3分别是下表第一，第二，第三列中的某一个数，且电，a2.&3中的任何

两个数不在下表的同一行.

第一列第二列第三列

第一行-1-416

第二行2-6-10

第三行5128

(1)写出的,a2,a3,并求数列｛aj的通项公式；

⑵若数列｛鼠｝满足bn=Q九+log2Q，求数列｛鼠｝的前n项和Sn.

题目m已知数列｛册｝的前几项和为Sn,a产1,s”+产2S„+l(neN+).

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)设bn—anan+1+iog2｛anan+i)(nCN+'),求数列｛bn｝的前几项和.

［题目|15］己知数列｛an｝的前八项和等比数列｛0｝满足昆=&2,b3=a3+l.

(1)求数列｛册｝和｛&„｝的通项公式；

(2)若品=〃+亡鬻数，求数列｛%｝的前2n项和T2n.

【。滁加口为偶数

类型4：含(-1)”类进行求和

我们估且把这种求和的方法称为“并项法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通项公式为册=(-1)--

/(n)的摆动数列｛册｝前几项和的步骤如下：

第一步:首先获得并项后的一个通项公式,即先求当n为奇数时，源+册+i的表达式；

第二步:然后对n分奇、偶进行讨论，即当n为偶数时，由

Sn—(ai+a2)+(«3+04)+(as+®6)H---F(a„-i+a„)求出S”；

第三步：当n为奇数且九＞1时，由S0=S“_i+a”求出S”,特别注意对n=1时要单独讨论，即$要单独求

出.

第四步:将Si代入当"为奇数且九＞1时S”的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表

示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示

含(-1)”雄行求和专项训练

题目16〕设&为数列｛a“｝的前ri项和，a„＞0,点+2%+1=4S„.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)求数列的前项和T.

vnn

Ianan+1/J

题目［TF］数列｛%｝的前几项的和为sn,已知di=1,a2=3,当n>2时，S“+i+SnT=2Sn+n+1.

(1)求数列｛®｝的通项公式a”；

(2)设b=(-1)71-册，求｛0｝的前2m(mEN*)项和T2m.

题目B设正项数列｛a0｝的前几项和为S”，已知a3=5,且鼠+产4slz+4九+1.

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)若b=,求数例」｛现｝的前几项和Tn.

^n^n+l

羁目叵正项数列｛a„｝的前门项和为S”,已知2斯5“=源+1.

(1)求证:数列｛S：｝为等差数列,并求出Sn,an-,

(2)若幻=上工1,求数列拈“｝的前2023项和7^023.

题目［-20］已知正项等比数列｛册｝的前几项和为S九,且满足Q1=1,Q2a3。4=64,数列｛心｝满足仇=1也+］戾

----H—b=b—l(nEN*).

O----------TVnn+1

⑴求数列｛4｝,｛&｝的通项公式;

(2)设c=an+(-l)"(2fe„+l)，求数列｛cj的前2九项和T2n.

四类数列题型-2023年高考数学大题秒杀技巧

数列求和问题一般分为四类：

类型1：错位相减；

类型2,裂项相消聊,

类型3：分组求和；

类型4：含（-1广类进行求和.

下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.

数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：

①当高考数列大题出现《4与％+1》或《册与％T》递推关系且关系式中系数为1时，应遵循以下步骤第一

步:作差第二步:列举第三步:求和一简称《知差求和》

注意：列举时最后一项必须是an-a“_i

②当高考数列大题出现《册与册+i》或《册与册_1》递推关系且关系式中系数不为1时，应遵循以下步骤第

一步:秒求所配系数第二步：寻找新的等比数列第三步:求新数列的通项第四步反解册—简称《构造

法》

③当高考数列大题出现《册与a”.》或《册与册_1》递推关系，关系式中出现倍数关系时,应分为两种情况,

第一种情况:若/⑺）是常数时，可归为等比数列，第二种情况:若/（九）可求积，应遵循以下步骤第一步:

出现商的形式第二步:列举第三步:求积出现册-＞简称《知商求积》

类型1:错位相减；

册=(An+B)-Cn

第一步:求和(求和X公比)

r23

Sn=(A+B)•C+(A•2+B)-C+(A•3+B)-C+……+[A•(n-1)+B]­-n+B)-

234+1

C-Sn=(A+B)-C+(A-2+B)-C+(A-3+B)-C+……+[A•(n-1)+B]-C"+(A-n+B)•(T①

式—②式得

r31+1

Sn-C-Sn=(A+B)-C+A-CP+A-C+……+A-C-(A-n+B)-Cr

S„(l-C)=A-Cx+A-C2+A-C3+……+A-Cn+B-C1-(A-n+B)-Cn+1

1

AtC-(ljy-)+B.C1_(A,n+B).^

S—

n1-C

c-q-c-)B-C1AC-C"+1B-C1(A-n+B)-6m+i

S=A,nS=S—

n(i-c)2i-cl-Cn(C—1)2C-ln

q+_s_______^_i.i________

Lc-ic-i(c-i)2」Lc-i(c-i)2」

错位相减专项训练

题目F己知等差数列｛斯｝前n项和为Sn,ai=1,Ss=9a6-18.

（1）求｛厮｝的通项公式;

(2)若数列｛0｝满足<1也+<12b2+—Ha滁"=(2n-3)•2"+6,求和：a16n+a2&n-i+—卜%-也+时加

【答案】(1)%=2n—1

(2)3x2n+1-4n-6

【详解】⑴因为等差数列｛aj前n项和为Sn,

Q9(的+<29)9X2a5o

所以Sg=-------=---=9a5,

=

又S9=9a6—18,所以9a5=9a6—18=>d=a6—a59=2,

9

又Q1=1,所以｛aj是首项为1,公差为2的等差数列，

=

所以｛厮｝的通项公式为CLn1+2(71-1)=2n—1.

=rl+1

(2)因为(2161+0262+—F(zn&n(2n—3),2+6,

n

所以Q/I+Q2b2+—l-an_i6n_i=(2n—5),2+6(n>2),

=n

两式相减得：d7ibn(2TI-3)•2"+】+6—(2n-5),2"—6=(2n—1),2(n>2),

又。也=2满足上式，所以册氏=(2n-l)-2n(nG7V*),

n

又an=2八一1,所以bn=2.

所以或=1x2n+3x2n-1+5x2n-2+•••+(2n-3)x4+(2n-l)x2,

2或=1x2n+1+3x2n+5x2n-1+…+(2九-3)x8+(2九一1)x4,

两式相减得：或=2n+1+2n+1+2n+-••+8-(2n-l)x2

o_QH+2

=2"+1+亭3-—(2n-l)x2=3x2n+1-4n-6.

1—2

、题目区数列｛a“｝中，的=2,记室=.2a3…a”，｛雹｝是公差为1的等差数列.

（1）求｛aj的通项公式;

⑵令勾=赞,求数歹U｛bn｝的前九项和S”.

【答案】⑴斯="1

n

⑵Sn=3—歹

【详解】（1）当72=1时，7]=Cli=2

所以£=7]+(n—1)X1=n+1

所以a1。2a3…an=几+1

当n>2时，的。2a3…an-l=n

72

所以an=11(九>2)

又。1=2符合an=)+1

n

缶-

所以“=-n--+--1.

n

n+1

（2）由（1）得勾=

T

121

所以丛=■1■+g+々+…+」T+士［①

222232”Tr

f/la2।3।4।I71/.Tv+1z^\

所以万&="+了+了+…+9+L②

①一②得；Sn=+f+以+…+/)一卡

_］扑一(打"In+1

1_X2n+1

12

_3^_/1\nn+1

2I2J2n+1

所以s0=3—3士&.

题目"3^］已知数列｛册｝满足的=—1,且2an+i—an=

⑴求｛2%册｝的通项公式；

(2)求数列｛%｝的前几项和丛.

【答案】(1)2%n=n—3

(2)&尸一卫会1―1

【详解】⑴解：因为数歹”｛Q九｝满足Qi=—1,且2a九+i—CLn~

在等式2Q九+i—CL=~~两边同时乘以2"可得2rz+%九+i—2na=1,且2a尸一2,

n2nn

所以，数列｛2%即｝是以一2为首项，公差为1的等差数列，

所以，2%九=-2+n—l=n—3.

⑵解：由⑴可得纵=耍，所以，&=瞪+录+*+…+耍，①

可得4&,=+=+…+2二生+②

2n2223T2"+1

①一②可得为=—1+已+4+…+£一暇=—1+《I「

2

因此，S0=一展―L

题目④已知数列｛册｝的前几项和为S0,ai=O,且S“+i=2Sn+2(neN*).

(1)求数列｛册｝的通项公式;

⑵设数列｛6„｝满足鼠=(log2a”+i)2,求(a„+16„)的前九项和

n=1

【答案】(1)%=

灯)2

(2)7；=(n2-2n+3)x2n+1-6

【详解】(1)令几=1时S=。1+电=2a1+2=2

2•••

*/Qi=0,・，・a2=2

=

,**Sn+i2szi+2,…①

・••九＞2时,S九=25时1+2,…②

由①一②得o-n+1—2M.

JO,n=1

22

(2)由(1)知bn=(log2an+i)=n.

2

令cn—an+1bn=n-T,则

2X222

.=C1+C2+C3+—Fcn—lx2+2X2+3X2’+—…③

2T=12X22+22X23+…+(n-l)2x2n+n2n+1...④

③—④得：

一■=1X2*+3x22+5X23+•••+(2n-l)x2"-n22n+1

令G=1x2】+3x22+5x23+•••+(2n-l)x2n...⑤

23n+1

2Gn=1x2+3x2+•••+(2n-3)X2"+(2n-1)x2...@

⑤—⑥得：

J23n+1

-Gn=1x2+2x2+2x2+••■+2X2"-(2n-1)X2

=2+2(22+23+…2”)—(2n-l)x2n+1

=2+-(2n-1)x2n+1

1—：2)

=-(2n-3)x2n+1-6

G=(2n-3)x2n+I+6

：.-T^=(2n-3)x2n+1+6-n22n+1

/.北=(n2-2n+3)x2"+1-6

题目回已知等差数列｛斯｝的公差不为零，其前n项和为S”,且a?是的和的等比中项，a2n=2M

+1”N*).

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)若bn—2%+i,令cn—anbn,求数列｛品｝的前几项和Tn.

【答案】(1)。九=2n—1

⑵雹=答+(等g)x4"+L

【详解】⑴设等差数列｛厮｝的首项为5,公差为dWO,

又。2是Q1和。5的等比中项，得,即(。1+砌2=。1@+4初,

即d=2的，①

又a2n=2an+l(n6N*)，取?i=1时，a2=2。1+1,即的+d=2。1+1,②

将①②联立解得。产1,d=2,

a=2n-1,

n•••

2n

⑵由题意可知，bn=2"=4",cn=(2n-1)-4,

7；=1X4+3X42+5X43+•■■+(2n-3)x4n-1+(2n-l)x4n,

47；=1x42+3x43+5x44+...+(2n-3)x4n+(2n-l)x4n+1

-37；=4+2X42+2X43+...+2X4”一(2"-1)x4"+1,

n+1

-37；=4+2x_(2九_x)x4,

-37；-^+(1--2n)x4n+),

Z产罟+(争告)xL

类型2：裂项相消求和

①a“=/(九+1)-/(n)

②----。吗=tan(n+D°—tann°

cosncos(n+1)

1=1]

n(n+1)nn+1

(2户”1

④厮=

(2n—1)(2n+1)22n—1

n(n-l)(n+2)=i[^H7]

⑤

(71+1)(72+2)

7Z+212(九+1)—n.」_=」________1_则5=1______1_

⑥。九=

n(n+1)2nn(n+1)Tn-T-1(n+l)2n，'”(n+l)2n

⑦a=_________I_________:-J—__________

"(An+B)(An+C)C-B^An+BAn+C>

1

⑧an=-1,一=Vn+1—4n,—十=-(Va—V6)

⑨a“=log。*=loga(n+l)-logan⑩a,尸已一).?”_】)=下片一

裂项相消求和专项训练

题目口已知在等差数列｛a„｝中，ar+a5—18,a6=15.

（1）求｛aj的通项公式;

⑵求数列的前n项和S”.

IQ?l—J

【答案】（1）册=2n+3

（2）~--

v76n+9

【详解】⑴设｛为｝的公差为d.由。1+。5=18,可得劭=9.

因为劭=15,所以3d=痣一。3=15—9=6,所以d=2.因为a^—Qi+2d=9,所以a尸5,

故a=2n+3.

n•••

（2）因为a—2n+3,所以]=________1________=Xf1

n人）

an-xan(2n+l)(2n+3)2\2n+l

—

题目0已知数列｛册｝的前几项和为S”，且满足的=｝,厮+S“_6”=0（71>2）.

（1）求数列｛册｝的通项公式;

（2）求数列｛（2n+1谒｝的前n项和.

y,n=l,

【答案】（1）。九二

-^Zn)n>2-

n(n+2)

(2)7；=

仇+1)2

【详解】⑴当72=1时，Si=ai=y,

===

当n>2时，dnSn-Sn-ifSn—Sn-i-\-Sn-iSn0,即Sn-i—SnSn-iSn,

丁S_i,S九W0,/.

n~S]^1,

是首项为2,公差为1的等差数列，

1

/=2+(n—l)xl=n+l,Sn=

n+1

••an=~^n-l^n~(~+0,

fy,n=l,

（2）"a'l=n\n+iy，'（2"+1）*=nj；：；y=4

(n+]1)2

记数列｛（2rz+l）a2的前几项和为北，

+3-$)+…-总+/-

1_n(n+2)

(n+1)2—(n+1)2•

题目回已知公差不为0的等差数列｛飙｝的前几项和为S”,且aiQQ成等比数列，a2a3=a8.

（1）求数列｛Q/的通项公式Q九；

（2）若九>2,------1-------P,•,------>M，求满足条件的n的最小值.

s2-lS3—1S„-l

【答案】（1）。九=2n—1

⑵4•••

【详解】⑴解:设等差数列｛册｝的公差为d,因为的,电,。5成等比，所以届=­

可得Ql(Ql+4d)=(Qi+d)2,整理得20血=屋，

又因为dWO,所以2a产d,

因为a2-a3=08,所以@+d)@+2d)=&+7d,

可得a：—Qi=0,解得a尸0或者Q尸1,

当。尸0时，d=2ai=0,不合题意舍去；

当Q尸1时，d—2。尸2,则an=2n—1,

所以数列｛册｝的通项公式为an=2n—1.

(2)解:由an=2九一1,可得Sn="1+—―=n,

所以券=—D'S"，

当心2时，.+.+…+/=/(1.)+已—

=43」__」)

2V2nn+\＞，

2^2nn+1'40'n+n+120,

即9n2—31n—20=(9n+5)(n—4)＞0,解得九＞4,所以九的最小值为4.

题目可从①(0九+1)2=。，―1+40^+2。九—1+1(九＞2),册＞0,②71%+产(n+1)Q九+1,③前n项和S九满足吃，

on+n

=n+l中任选一个,补充在下面的横线上,再解答.

已知数列｛册｝的首项a产1,且.

⑴求｛©｝的通项公式；

(2)若bn——Z—，求数列｛b„)的前几项和

^"n^n+1

注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

【答案】⑴®=2n-1

⑵方二十片

2n+1

【详解】(1)选①：

由(Q九+1)2=a^-1+4an+2an_1+l(n2),

可得(an+an—i)(册一an—i—2)=0.

因为an＞0,所以an—an_x—2m＞2),

所以｛an｝是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an=1+(n—1)x2=2n—1.

选②：

由nan+i=(n+1)。九+1,得九册+1+九=(n+1)0n+(n+1),

所以n(飙+什1)=S+1)(a0+l)，所以勺＞=巴也，

n+1n

故数列｛等;｝是常数列，

所以&

±1L=2,故a=2n—l.

nn

选③：

由蹙生二"+1,得口S^LS+1)&^^n+l),则多

5n+nn-\-in

｛崇｝是首项为1,公差为1的等差数列,

所以数列

所以—二1+(九一1)X1=几，则S=n2.

nn

2

当n>2时，an=Sn—Sn_i=re—(n—1)=2n—1,

易知Qi=1也满足上式,

故｛QJ的通项公式为an=2n—1.

（2）由（1）可得与=^^-2_______11

^n^n+l(2n—1)(2n+1)2n—12n+l

1

贝,玛=①+匕2H---bbn=(1-J)+(^--P")■1---1­(9-1—9-1)

\371357v2n—12n+17

112n

27i+12n+1

题目□□已知数列｛Q/满足Qi==，（2-册）“+户1.

o

⑴证明:数列［7二1是等差数列,并求数列｛册｝的通项公式；

｛L—an）

（2）设数列｛册｝的前几项的积为方,证明：7］笃+笃或+…+北方+1＜。.

【答案】（1）证明见解析，飙=争言；

2九+1

（2）证明见解析.

【详解】⑴由(2—a)a=1,得a=—，显然九GN*,aW1,否则Q产1,矛盾，

nn+1n+12-Qnn

112一册2一册111

------=-------=-------=-----=1H------,即----------------

1—%+i1---2—a—l1—a1一册11%+11—%

2一册nn

因此数列是首项为不」=公差为1的等差数列，

［l-an）l-o，i2

则不匚=曰+（九—1”1=丝＞,整理得册=争言，

所以数列（不匚］是等差数列，数列｛a0｝的通项公式是a0=等口.

11—anJ2n+1

1352n-11

⑵由⑴知，册=3T=aa-=-x-x-x.：x=

ai23a271+1271+1

于是北黑+1=2九+i-2n+3=2(2n+1春）

所以他+磔+…+北加制［（1春）+偿Y）+.•.+（五匕1)]—1(1____L_

2口+3〃2V32n+3<

类型3:分组求和

①等差数列求和公式：s”=

nai(q=i)

②等比数列求和公式：s“=一力_%q

Q1(1Q1—(q#l)

1—q1—q

③Sn=Zk=—n(n+1)

L=1/

J1

④Sn=汇1=--n(n+1)(2n+1)

左=i6

类型3:分组求和专项训练

题目①已知数列｛册｝的前ri项和为&,如=3,2$“=3厮一3.

⑴求｛斯｝的通项公式；

(2)设数列｛葭｝满足：bn=an+log3®,记｛bj的前71项和为黑，求

【答案】⑴斯=3"(neN*)

⑵4=3"+X+,+T—

【详解】⑴；2Sn=3斯—3①

当外>2时，2SnT=3alit—3②

①一②得：2%=3ali—3a“_i即an=3a„_i(n>2)

•••5=3,/.数列｛aj是以3为首项，3为公比的等比数列.

a„=3"(九GN")

(2)Vbn=a„+log3a„=3"+n.

nx

北=61+6?+—F&„_i+&n=(3」1)+(3，+2)H---F(3+n—1)+(3"+rz)

=(31+32+­••+3n-1+3n)+(1+2+…+n—1+n)

_3(1-3n)(l+n)n_3n+1+n2+n-3

—1-3+-2——2

所以｛6/的前九项和W=3"”+，+九—3.

n_1

题目12］已知数列｛aj满足：QI=3,an—an-i+2(n2,nGTV*).

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵令bn=an-l+(-l)"log2(M-l),求数列低｝的前n项和Tn.

【答案】(1)4=2n+l(nGTV*)•••

2日一2-玛±n=2k-l

(2)2；=且keN

2n+1-2+£，n=2k

【详解】⑴4T=2n-\n>2),

—

当n>2时an=cii+(a2ai)+(a3—a2)H----F(a„-i—a„_2)+(a„—a„-i)

=3+2+2?+…+2"7+2“T=2+¥L^=2"+1,检验知：当"=1时上式也成立，

1—2

n

故an=2+l(nEN*).

⑵・・・4=21+(-1)S.

当n为偶数时，北=2+22+…+2"+(—1)+2+(—3)+4+…+(—1)々=2(：—：'+?=2n+1-2+%;

当71为奇数时，玛=*+2"+(~l)nn=2n-2+四J+2n-n=2n+1-2—f且n>3,

又n=1时/=8=2-1=1满足上式，此时北=2"+1-2—气工；

暂+1_2_4_,n=2A:-1

方=<且kCN*.

(2"+i-2+会n=2k

题目［在等比数列｛厮｝中，的，的,&3分别是下表第一，第二，第三列中的某一个数，且的，a2,a3中的任何

两个数不在下表的同一行.

第一列第二列第三列

第一行-1-416

第二行2-6-10

第三行5128

(1)写出5,a2,as，并求数列｛册｝的通项公式；

⑵若数列｛bn｝满足勾=册+log2a3求数列｛bn｝的前几项和Sn.

【答案】(1)斯=(―1)"T.2"

9_|_/_

(2)S4=-----------------Fn(l+n)

o

—

【详解】(1)根据等比数列的定义和表格中数据，得到s=2,a2—4,&3=8,

即数列｛册｝是首项为2,公比为一2的等比数列，故期=2x(—2)1=(T)f2".

21

(2)因为a“+log2点=(-1)"工2"+10&2"=(-1)"--2"+2n,

数列｛(—1)"T.2r是首项为2,公比为一2的等比数列，｛2n｝是首项为2,公差为2的等差数列，所以

题目亘已知数列｛厮｝的前几项和为Sn.a^LSn+iuZS.+lSeM).

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)设b—aai+log(a„a„i)(nEN+),求数列｛b“｝的前几项和.

nJIn+2+•M

n

【答案】(l)a“=2-\nEN+

⑵寮4f+/

o

【详解】⑴因为s“+产2S.+1，所以S0+1+1=2(S„+1),又S1+1=O1+l=2,

所以数列｛Sn+1｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以S”+l=2x2”T=*即S"=2n-l,

-11-1

当n>2时，S『\=2"-1，所以an=S„-S„-1=2"-1—2^+1=2*,

当71=1时，的=1也适合，

n1

故an=2~,nEN+.

21

(2丸=a„a„+i+log2(arian+1)=2f2"+1咆(2-2")=2-+2n-1,

所以数列｛bj的前几项和为21+23+25+••-+22n'1+l+3+5+---+2n-l

2(1-4")n(l+2n-l)

—2.(4^_1)_|_n2

O

题目E已知数列｛%｝的前几项和S.=与"，等比数列｛0｝满足b2=a2,b3=a3+l.

（1）求数列｛册｝和｛bn｝的通项公式；

（2）若品