2025届湖南省雅礼中学高一下数学期末检测模拟试题含解析

2025届湖南省雅礼中学高一下数学期末检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若，则下列不等式成立的是A． B． C． D．2．已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为，则它的体积是()A． B． C． D．3．已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）.A． B． C． D．4．设均为正数，且，，．则（）A． B． C． D．5．在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为()A．（−3，4，5） B．（−3，−4，5）C．（3，−4，−5） D．（−3，4，−5）6．如图，向量，，，则向量可以表示为（）A．B．C．D．7．如图，在中，，，若，则()A． B． C． D．8．设数列的前项和为，且，则数列的前10项的和是（）A．290 B． C． D．9．在公比为2的等比数列中，，则等于（）A．4 B．8 C．12 D．2410．如图，圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点（与A、B均不重合），则图中直角三角形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若满足约束条件则的最大值为__________．12．对于数列，若存在，使得，则删去，依此操作，直到所得到的数列没有相同项，将最后得到的数列称为原数列的“基数列”.若，则数列的“基数列”的项数为__________________．13．某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥最长棱的棱长为．14．已知向量，，若向量与垂直，则__________．15．甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为_________.16．化简：________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知为数列的前项和，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；(Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.19．某制造商3月生产了一批乒乓球，从中随机抽样133个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据分组如下：分组

频数

频率

[1．95,1．97）

13

[1．97,1．99）

23

[1．99,2．31）

53

[2．31,2．33]

23

合计

133

（Ⅰ）请在上表中补充完成频率分布表（结果保留两位小数），并在图中画出频率分布直方图；（Ⅱ）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为2．33mm，试求这批球的直径误差不超过3．33mm的概率；（Ⅲ）统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值（例如区间[1．99,2．31）的中点值是2．33作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）．20．已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式;（2）设，求数列的前项和.21．如图，在中，为边上一点，，若.（1）若是锐角三角形，，求角的大小；（2）若锐角三角形，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

利用的单调性直接判断即可。【详解】因为在上递增，又，所以成立。故选：C【点睛】本题主要考查了幂函数的单调性，属于基础题。2、D【解析】

圆锥的底面周长，求出底面半径，然后求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【详解】∵圆锥的底面周长为

∴圆锥的底面半径

双∵圆锥的母线长∴圆锥的高为∴圆锥的体积为故选D.【点睛】本题是基础题，考查计算能力，圆锥的高的求法，熟练掌握公式是解题的关键．3、A【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．4、A【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，，的图象，与的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．5、A【解析】

由关于平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，即可得解.【详解】关于平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为（−3，4，5）．故选A．【点睛】本题主要考查了空间点的对称点的坐标求法，属于基础题.6、C【解析】

利用平面向量加法和减法的运算，求得的线性表示.【详解】依题意，即，故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，属于基础题.7、B【解析】∵∴又，∴故选B.8、C【解析】

由得为等差数列，求得，得利用裂项相消求解即可【详解】由得，当时，，整理得，所以是公差为4的等差数列，又，所以，从而，所以，数列的前10项的和.故选.【点睛】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得是等差数列是本题关键，是中档题9、D【解析】

由等比数列的性质可得，可求出，则答案可求解.【详解】等比数列的公比为2，由，即，所以舍所以故选：D【点睛】本题考查等比数列的性质和通项公式的应用，属于基础题.10、D【解析】

利用直径所对的圆周角为直角和线面垂直的判定定理和性质定理即可判断出答案．【详解】AB是圆O的直径，则AC⊥BC，由于PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，即有BC⊥平面PAC，则有BC⊥PC，则△PBC是直角三角形；由于PA⊥平面ABC，则PA⊥AB，PA⊥AC，则△PAB和△PAC都是直角三角形；再由AC⊥BC,得∠ACB=90°，则△ACB是直角三角形.综上可知：此三棱锥P−ABC的四个面都是直角三角形.故选D.【点睛】本题考查直线与平面垂直的性质，考查垂直关系的推理与证明，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.【详解】不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.【点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.12、10【解析】

由题意可得,只需计算所有可能取值的个数即可.【详解】因为求的可能取值个数,由周期性,故只需考虑的情况即可.此时.一共19个取值,故只需分析,又由,故,,即不同的取值个数一共为个.即“基数列”分别为和共10项.故答案为10【点睛】本题主要考查余弦函数的周期性.注意到随着的增大的值周期变化,故只需考虑一个周期内的情况.13、【解析】

先通过拔高法还原三视图为一个四棱锥，再根据图像找到最长棱计算即可。【详解】根据拔高法还原三视图，可得斜棱长最长，所以斜棱长为。【点睛】此题考查简单三视图还原，关键点通过拔高法将三视图还原易求解，属于较易题目。14、【解析】，所以，解得．15、【解析】

利用古典概型的概率求解.【详解】甲、乙两人选择交通工具总的选择有种，他们选择相同交通工具有3种情况，所以他们选择相同交通工具的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查古典概型，要用计数原理进行计数，属于基础题．16、【解析】

根据三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2).【解析】

（1）由即可求得通项公式；（2）由（1）中所求的，以及，可得，再用裂项求和求解前项和即可.【详解】（1）当时，整理得，即数列是以首项为，公比为2的等比数列，故（2）由（1）得，，故=故数列的前项和.【点睛】本题考查由和之间的关系求解数列的通项公式，以及用裂项求和求解前项和，属数列综合基础题.18、（1）（2）【解析】

古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果，可以列举出，而满足条件的事件数字之和大于7的，可以从列举出的结果中看出．（2）列举出每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字3，从前面列举出的结果中找出来．解：(Ⅰ)设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共4种，数字之和大于或等于7的是（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共3种，所以P(A)=.(Ⅱ)设B表示事件“至少一次抽到2”，第一次抽1张，放回后再抽取1张的全部可能结果为：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个事件B包含的结果有（1、2）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、2）（4、2），共7个所以所求事件的概率为P(B)=.19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3．9；（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据公式：频率=频数÷样本容量可补充完成频率分布表，然后作出频率分布直方图；（Ⅱ）直径误差不超过3．33mm的频率有3．53,3．53,3．53，所以这批球的直径误差不超过3．33mm的概率3．53+3．53+3．53=3．9；（Ⅲ）由平均值公式可求得试题解析：（Ⅰ）分组

频数

频率

[4．95,4．97）

43

3．43

[4．97,4．99）

53

3．53

[4．99,5．34）

53

3．53

[5．34,5．33]

53

3．53

合计

433

4

（Ⅱ）设误差不超过3．33的事件为，则．（Ⅲ）考点：4．频率分布直方图；5．求数值的平均值20、（1）；（2）.【解析】

（1）由递推公式，再递推一步，得，两式相减化简得，可以判断数列是等差数列，进而可以求出等差数列的通项公式;（2）根据（1）和对数的运算性质，用裂项相消法可以求出数列的前项和.【详解】解：（1）由知所以，即，从而所以，数列是以2为公比的等比数列又可得，综上所述，故.