四川省成都市2024届高三年级下册4月分推考试数学（理科）模拟试题（含答案）

四川省成都市2024届高三下学期4月分推考试数学（理科）

模拟试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合。｛…1叫（1）｝,集—M”3｝,则低N）c8=（）

A.（°」）B.[°』C,0D.｛°1｝

2.设i为虚数单位，且z（"i）=2,则三=（）

A.-1-iB.1-iC.-1+iD.1+i

3.若向量/满足⑷=4,⑻=3,且②-3孙（22+司=61,则2在♦上的投影向量为（）

1-1-2-2-

——b--b-b--b

A.2B.3c.3D.3

耳

4.已知等比数列｛%｝的前"项和为S"，%+%=12且%，%+6,生成等差数列，则1为（）

A.244B.243C.242D.241

5.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名

大学生将前往3个场馆450开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不

去场馆A时，场馆3仅有2名志愿者的概率为（）

3213

A.5B.50C.11D.4

6.己知函数/（x）=ln（e+x）-ln（e-x）,则“幻是（）

A.奇函数，且在（°3）上是增函数B.奇函数，且在（°3）上是减函数

C.偶函数，且在（°，e）上是增函数D.偶函数，且在（°，e）上是减函数

JTT

xsin6+一歹一1=0q1八O--

7.“直线2与x+ycos6+l=0平行,，是“4，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

/y2

8.已知双曲线"21仅>°'>°）的左、右焦点分别为耳，工，A为C的右顶点，以

片修为直径的圆与C的一条渐近线交于P,Q两点，且4,则双曲线C的离心率为

()

V21

B.亍C.亚

x+--1

展开式中常数项为（

B.-H

71

f(x)=3cosa)x+—（）恒有/34/（2兀），且y（x）在

10.若函数上单调递减,

则0的值为（

115H

A.6C.6D.不或6

11.在棱长为1的正方体中，E、尸分别为/8、2c的中点，则下列说法不

正确的是（）

A.当三棱锥4一8跖的所有顶点都在球。的表面上时，球。的表面积为5

275

B.异面直线与3尸所成角的余弦值为可

c.点尸为正方形44GA内一点，当。尸〃平面片跖时，。尸的最小值为工

D.过点口、E、尸的平面截正方体44GA所得的截面周长为3行+百

22

».0nC:—r+-^-r-=l（tz>6>0）

12.若点尸既在直线/•x—V+2=°上，又在椭圆/b2上，°的左、右焦点

分别为打，巴，山闾=2,且/£时的平分线与/垂直，则C的长轴长为（）

VioM叵Vw

A.2B.屈C.2或4D,而或2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

cos（a+2£）=9,tan（a+尸）tan1=-4

13.已知6,写出符合条件的一个角a的值为.

abA

14.在正三棱台“8C-44G中，AB=2,>A（侧棱与底面ABC所成角的正切

值为五.若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为.

15.已知函数/（x）=x3+"2+8满足对任意的实数m,n都有

/（%〃）=/（初/（〃）+2/（加）+2/（〃）+2,则曲线尸/（》）在x=-l处的切线方程为.

16.在锐角03c中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为〃台。的面积，且

2〃+/

2

2S=a-(b-Cy则be的取值范围为.

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为

必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.已知｛“"｝是公差不为零的等差数列，且％2，生成等比数列.

⑴求数列｛氏｝的通项公式；

⑵若见q+i,求他)的前1012项和A。。.

18.在直角梯形/BCD中，AD//BC,BC=2AD=2AB=2C,448c=90。，如图(1).把

△/助沿2。翻折，使得平面48。，平面BCD.

(1)求证：CD±AB.

BN

(2)在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60°?若存在，求出BC的值;

若不存在，说明理由.

19.正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型

随机变量X,定义其累积分布函数为尸(x)=P(XWx).已知某系统由一个电源和并联的A,

B,C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常

运行，电源及各元件之间工作相互独立.

(1)已知电源电压X(单位：V)服从正态分布阳40,4),且X的累积分布函数为尸(x),求

尸(44)-尸(38).

(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量

T(单位：天)表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为

G(/)=11

1----

⑴设…＞0,证明：尸(7＞4口＞幻=尸(7＞「外；

(ii)若第"天元件A发生故障，求第〃+1天系统正常运行的概率.

附：若随机变量/服从正态分布N(〃，/),则尸(*一川＜6=0.6827,尸(*-川＜2b)=0.9545,

P(\Y-JLI\＜3cr)=0.9973

20.己知抛物线氏「=4x的焦点为F,若O8C的三个顶点都在抛物线E上，且满足

FA+FB+FC=0,则称该三角形为“核心三角形”.

(1)设“核心三角形”5C，，的一边所在直线的斜率为2,求直线AB的方程；

⑵已知08C是“核心三角形,，，证明："BC三个顶点的横坐标都小于2.

f(x)=]nx+a

21.已知函数

⑴若/(x)之。恒成立，求a的取值集合;

sin-----+sin-------1—+sin——<ln2(nGN,)

(2)证明：«+1〃+22〃

(二)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分.选修4-4：坐标系与参数方程

x=2coscr

22.己知曲线0的参数方程为L=Gsina为参数)，直线/过点尸(°/).

(1)求曲线C的普通方程；

---------1--------------

⑵若直线/与曲线C交于A,8两点，且2,求直线/的倾斜角.

选修4-5：不等式选讲

”n/mNWr/(%)=*-2x-3|

23.已知函数''।।.

(1)求不等式/(X)'5的解集；

⑵设函数g(x)=/(x)+B+"+2的最小值为加，若。＞01＞0且2a+6=加，求证:

4a2+b2>2

1.D

【分析】先表示出集合45,再由交集和补集的运算得出结果即可.

［详解］集合4={乂/=1085(%_1)}={“1>1},集合3={蚱胃0«”3}={0,1,2,3},

集合Q/={x|x《l},所以(QZ)c3={0,1}

故选：D

2.D

【分析】根据复数的除法运算求z,进而可得共朝复数.

_2_2(l-i)

z-----------------=1—1

【详解】由题意可得：1+i0+i)0-i),

所以z=1+i.

故选：D.

3.D

【分析】由向量数量积的运算律可得屋各=-6,再由投影向量的定义求£在B上的投影向量.

—►―,―►—►―►2~~►―►-*2

【详解】由(2”36)•(2〃+b)=4o—4a,b-3b=61,则£*=-6,

a-bb-61727

------=—X—/?=—b

由Z在石上的投影向量IN⑸333_

故选：D

4.A

【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前〃项和公式，即可求解.

【详解】由题意可知,%+%=12且卬+%=2(%+6),

设等比数列的公比为九

2

贝I%+a］q=2%q+q+,得q=3,

.(T)

鼠=—广3lzj^=i+35=244

S5a,(l-35)1-35

1-3

故选：A

5.B

150x-=100

【分析】首先得甲去场馆B或C的总数为3，进一步由组合数排列数即可得所求概

率.

卜：+咨相=150

【详解】不考虑甲是否去场馆A,所有志愿者分配方案总数为IJ,

甲去场馆4民0的概率相等，所以甲去场馆B或c的总数为3,

甲不去场馆A,分两种情况讨论，

情形一，甲去场馆3,场馆3有两名志愿者共有C；C；/；=24种；

情形二，甲去场馆0,场馆B场馆C均有两人共有C；C；=12种，

场馆8场馆A均有两人共有C；=6种，所以甲不去场馆A时，

24+12+64221

场馆8仅有2名志愿者的概率为100~100~50.

故选：B.

6.A

【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义及复合函数的单调性法则判断即可.

Je-x>0

【详解】若函数/(x)=ln(e+x)-ln(e-x)有意义，则[e+x>0,解得_e<x<e,

即函数“X)的定义域为(-e,e),

因为/(r)=ln(er)Tn(e+x)=_[ln(e+x)-ln(e-x)]=-/⑴，所以函数仆)是奇函数,

/(x)=ln(e+x)-ln(e-x)=In|e+—|=ln|-1+及|

函数Ve-xj,

犹二]।2e

因为函数“一一十三在(°，。)上递增，函数>=ln"在定义域上递增，

所以函数/(、)在(°，e)上是增函数.

故选：A

7.B

【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可.

xsin^H—y—1=0/■)1八

【详解】若直线2与x+ycos9+l=0平行，

。一

-s-in--=---2--w—1

易得：sinew0,cos6w0,故：1COS6^1,

Ill71IF

jsin0cos6=5,5sin2。=万,sin2。=1,29=5+2kli（kGZ）,<9=—+kn{kGZ）

0=-

得不到4,故不是充分条件；

八兀sin。2T.八I1八

0=-------=-------w——xsind+—y-l=0.八

反之，当4时Icos。l成立，故直线2与x+ycos6n+l=0平行，

是必要条件；

.I71

xsin^+—y-l=0[0=—

故“直线2"与x+ycosOn+l=n°平行,，是“4”的必要不充分条件，

故选：B.

8.C

71

【分析】联立圆与渐近线方程，得到尸（0/），0（-“，一6）,进而得到,利用直线斜

率得到方程，求出6=2。，得到离心率.

【详解】由题意得，以月月为直径的圆的方程为/+/=',/（凡°）,

.b

y=±—x

渐近线方程为。，

x2+y2=c2

.b

y=­x

联立〔。，解得X=±〃，

不妨令P（Q'b），Q（~a，-b）,

ZOAP=-

故2

ZPAQ=—ZOAQ=—--=-

因为4,所以424

-b-0

所以七°=tan—=1

-Q—Cl4,解得6=2a,

_c

故离心率a

9.B

x+二"c：(x+4)r-i)'(x+gj

【分析】将x看成一个整体，得到,再展开X2得到

4-r-3m=0,分别取值得到答案.

1

-

【详解】将X工+T2看成一个整体，展开得到:

X

(X+F)"'

X的展开式为:

、.一2mcm4-r-3m

•%=C4_rx

取4一/一3加=0

当机=0时，r=4系数为：C4XCQx(-l)4=1

当相=1时，r=1系数为：C：xC；x(一『=-12

常数项为172=71

故答案选B

1

xH—7

本题考查了二项式定理，将X看成整体展开，再用一次二项式展开是解题的关键，计算

较为复杂.

10.D

兀1

r2TIOH—=2kjtco=k—

【分析】由题意可得当x=2兀时，JUI取得最大值，所以3，可求出6,

斗,3

再由3I6J2,求出。的范围，即可得出答案.

-27i6y+—=2kn

【详解】由题意可得当》=2兀时，/(町取得最大值，所以3,

co=k--

6,kGZ

由/(%)在［］可上单调递减，得§16j~2,

511511

CD———CD———

所以°＜。＜2.所以6或6.经检验，6或6均满足条件.

故选：D.

11.D

【分析】对于A：转化为长方体的外接球分析运算；对于B：根据异面直线夹角分析运算;

对于C：根据面面平行分析判断；对于D：根据平行关系求截面，进而可得周长.

【详解】对于A：三棱锥片一2£尸的外接球即为以8片、BE、8尸为邻边的长方体的外接球,

BE=BF=-

因为班1=12

R=-JB.B2+BE2+BF2=-.Il+-x2=—

可得外接球的半径22，44,

S=4TT7?2=—

所以外接球的表面积2,故A正确;

BF=-

对于B：因为DRBB\,则异面直线与87所成角为尸，且2

口金c。山B、F=2=正

B、F=JBB;+BF2=

可得42,所以B.F5

275

所以，异面直线02与3尸所成角的余弦值为甘，故B正确;

对于C：取44、42、GA的中点河、°、N,连接NM、MN、QN、DN,,

由题意可得：AEHB\M,AE=B、M,贝产仍附为平行四边形，所以及£

因为四边形4用GD为正方形，M、N分别为44、的中点，则4M//RN,

AXM=D、N

所以，四边形7VM为平行四边形，所以，MN"g,MN=g,

又因为/。//"a，40=4。，可得MN//4D,MN=AD,

则“脑VD为平行四边形，所以AM//DN,可得B\E〃DN,

因为耳£u平面瓦环，ON<z平面为即，则ON〃平面耳即，

因为/4〃CG,44]=CG,则四边形"4G。为平行四边形，则"〃4Q,

因为E、尸分别为48、3c的中点，则EF//4C,同理可得QN//4G,则所〃4G,可得

QN//EF,

因为EFu平面片0N<Z平面片£尸，则”〃平面片£尸，

因为ONIQN=N,DN、QNu平面DNQ,所以平面0N0〃平面片跖，

CXTQN=-A.C.=—

则点P在线段”上，可得22,

DQ=QN=1DD；+DN=]

所以当点P为线段0N的中点时，DP1QN,

JDQ2-(-QN)=逑

。尸取到最小值，且最小值为'12J4,故c正确；

DiNG

对于D：连接/c、4G,

因为E、F为AB、8C的中点，则跖〃/C,

又因为/4〃CG,N4=CC],则/4GC为平行四边形，可得/C//4G,

则所//4G,

过作KL//&G,设AZn44=K,KZn

DtB©=L,则.〃所，

可得必=幽，g=BG,

连接KE、LF,设K£n44=G,L「nCC]="，连接〃G、D[H,

可得过点〃、E、尸的平面截正方体力3C。-44GA所得的截面为五边形以旧。。,

22

-7CFG/]=2/G=—

因为A4-Z力气Ljrd一4/则]3,HC{=2CH=—3,

D八心G=Dn,Hu=-----G「E口=H口F口=--£F=—y/2

可得}3,6,2,

V2

2,故D错误;

方法点睛:解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几

何问题求解，其解题思维流程如下:

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到

接点的距离相等且为半径;

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素

以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的;

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

12.B

【分析】过点耳、为分别作耳/垂直直线/于点N、M,由/可根的平分线与/垂直

可得HPN=ZF…M,即可得叫尸N与AGPM相似，结合点到直线的距离可得相似比，从

而可求出归耳IP闻，结合椭圆定义即可得长轴长.

【详解】过点耳、月分别作々N、垂直直线/于点N、M,

作/耳尸耳的平分线PH与x轴交于H,

由闺段=2,故耳(TO)、£。，0),

II|—1+2|

则।1即26件唔二容

由尸》口且「〃为/母”的平分线，故NF\PH=2FFH,

故5PN=NFFM,

又片N_L/、F2M11故*PN与△耳PM相似,

4i

F{NNPPRF=i

F2MMPPF?3V23

故2

由/：x-y+2=0,令y=0,则x=-2,

故直线/与x轴交于点G(-2，°)

\F{N\NP\

由即T百两=3

故M[=*M=?Kl=|w-

叼Iff3710

附=PTW+E

44

故

由椭圆定义可知，四网明=2。故”乎乎3

故选：B.

关键点睛：本题关键在于作出片N、垂直直线/于点N、M,再将/月尸月的平分线与

/垂直这个条件转化为/耳=从而得到相似三角形，结合点到直线距离公式及

但周=2得到照［圈的值.

2兀

13.3(答案不唯一)

12

cos(a+B)cosB=—sin(a+Q)sinB=——

【分析】根据题目条件得到6和'3,从而求出

cosa=cosF(a+S}-S~\=---=

LJ632,进而求出角。的值.

[详解]cos(a+2/?)=cos[(0+夕)+川=cos(a+)cos/_sin(a+/)sin/?

故cos(a+6)cosp-sin(a+尸)sinP=~

sin(a+/)sin/?

=-4

tan(a+〃)tan/=-4即cos(a+/3)cosP

故sin(a+〃)sin/=—4cos(a+/)cos[3

5cos(a+J3)cos/3=—cos(a+/?)cos(3=—

故6,即6,

2

卬sin(a+/?)sin/?=一4cos(a+£)cos/3=-—

21

则cosa=cos[(a+/)—/」=cos(a+夕)cos夕+sin(a+/?)sin(3

32,

可取3

2TI

故3

7后

14.12

【分析】取BC和4G的中点分别为p,Q,上、下底面的中心分别为02,设4A=x

内切球半径为r,根据题意求出侧棱长以及°?尸，°©,再根据切线的性质及等腰梯形

BB&C和梯形AAXQP的几何特点列方程组求出半径即可.

【详解】如图，取BC和4a的中点分别为P,Q,

上、下底面的中心分别为°、°?,

设内切球半径为r,因为tan///a=亚，棱台的高为2r,

AAt=BB、=Cq=J(2r)2+伊rj=后

所以

。"》"4所与,同理强邛x

因为内切球与平切，切点在2°上,

所以加盟尸十°比不（、+2）①,

2

②,

2-xJ(X+2)2

6r2

"I-।12

由①②得

\2

PQ2=（2r）2+----------X

36J

在梯形"4°尸中，③，

r-h=2r=

由②③得2-x=j6r,代入得x=l,则棱台的高3,

展“旦旦4+回.X而-------=7立---------

442312

所以棱台的体积为J

故答案为.E

【分析】构造函数g(x)=/3+2,将已知等式转化为g(皿)=g(〃?)g(〃)，再利用赋值法求

得g(0)与g⑴，进而求得6,再利用利用导数的几何意义即可得解.

【详解】因为/(加")=/(")/(〃)+2/(加)+2/(〃)+2,

所以/(相")+2=(/(加)+2)(/(〃)+2)

设8(工)=/(工)+2=/+办2+6+2

则g6m)=g(m)g6).

令加=〃=0,则g(o)=g2(o),则g(o)=o,或g(o)=l,

若g(°)=i,则由g(o)=g㈣g(0),")=1,显然不成立，

所以g(o)=o,即6+2=0,则6=-2

令加=1,则g(〃)=g0)g(〃)，由于g(")不恒为0,

故g°)=L即l+i+b+2=l,贝九。=0,

此时“x)=x3一2,经检验，满足要求，

则/(-1)=-3,r(x)=3一,所以r(-1)=3,

所以曲线V=/(x)在x=-l处的切线方程为y+3=3(x+l),即3*7=0.

故=0

16.

【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得sin/+2cos/=2,再根据同角关系式可得

b43

——=--------1—

s'/,然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得。5tanC5,结合条件可得

bbb2+c21

——=t------=t—

tanC取值范围，进而求得c的取值范围，令c,则bet,然后由对勾函数的单调

性即可求出.

【详解】在“8C中，由余弦定理得。2=/+。2_2加《«/,

S=—besin/

且〜3c的面积2,

由2S="—（b—c^,得AcsinZ=26c-26ccosZ,化简得sinZ+2cosZ=2,

7T

22A—\联立得

又N°',sin^4+cosySsin?4-4sinZ=0,

sin/=一

解得5或sin/=°（舍去），

bsin5sin（力+C）sinAcosC+cosAsinC4十3

所以。sinCsinCsinC5tanC5,

因为必BC为锐角三角形，

<C<冗兀

0fB=rc-A-C<---A<C<-

所以2,所以22

tanC>tan|-^4|=-J—=----b

所以0）tanA4,所以tanC13人所以c

bJ35）b2+c2bc1

设展;其中七'旬，所以be一1+厂"7,

由对勾函数单调性知上单调递减，在上单调递增,

334534

c/=-y=—t=-y=—

当f=l时，y=2；当5时，15.当3时，.15,

/2,肖3口当

所以L15人即be的取值范围是L15人

故答案为.

643

——=--------1--

关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得c5tanC5,进而

可以求解.

*.⑴%=2〃-1

2024

⑵一2025

【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解;

(2)由裂项相消法可求出前1012项和.

【详解】(1)设等差数列｛""｝的公差为d,

又1=1则〃2=%+"=1+"%=4+4d=1+4d

因为为,外,%成等比数列，所以婚=%9,

即(l+d)2=lx(l+4d)

得d?-2d=0,

又因为｛"」是公差不为零的等差数列，所以d=2,

即〃“=%+(〃_l)d=1+(〃-l)x2=2n-l

(2)由(1)知

b,=(-D"+1=(-D"+1sYq=(T)"+彳占+3

an-an+i(2n-l)-(2n+l)\2n-l2n+\

^1012=bi+b2+&+"+…+4ou+篇12

1

+…++

2021/K/+短

12024

2025—2025

18.(1)证明见解析

BN1

⑵存在点N,此时2C4

【分析】(1)利用余弦定理和勾股定理可证明°工平面43。，再由线面垂直的性质即可得

CD1AB.

(2)以。为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得结果.

【详解】(1)因为"D//3C,”C=2AD=2AB=26,4B_LBC,

可得AD=/3=拒，BD=ylAB2+AD2=2,

、/noc…,CD=J22+(272^1-2x2x25/2cos45o=2

又因为ZD3C=//DB=45。，可得VV/,

所以必+DC?,则CD_L8D,

因为平面平面3cD,平面/5Dc平面BCD=50,且CZ）u平面2CZ）,

所以C£»l平面N5D,

又因为/8u平面

所以C。-8；

（2）因为C01平面/&）,且5Ou平面4B。，所以CDLBD,

如图所示，以点。为原点，建立空间直角坐标系，

可得/（1,0,1）,8（2,0,0）,C（0,2,0）,£>（0,0,0）,

所以函=（0,-2,0）,^5=（-1,0,-1）

n-CD=-2y=0

<

设平面4CD的法向量为五=G，%z）,则［n-AD=-x-z=0

令x=i,可得y=o，z=-i,所以元=（L°，T）,

假设存在点N,使得"N与平面所成角为60。，

设丽=2团，（其中0W条1）,则N（2-2424,0）,4N=（1-24,24,-1）,

,卜・丽11-2/1+116

所以同期J（1一2几）2+（2犹+（一16&2,

A---

整理得8万+24-1=0,解得一7或一一5（舍去），

BN_1

所以在线段8C上存在点N,使得/N与平面/CO所成角为60。，此时於一1.

19.（1）0.8186

7

⑵（i）证明见解析；（ii）16.

【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合产（%）=P（X〈x）的定义求解,

(2)(i)根据条件概率的计算公式集合尸&)=P(xWx)的定义以及G(r)的定义域即可求解,

(ii)根据独立事件的概率公式求解即可.

【详解】(1)由题设得尸(38<*<42)=0.6827,尸(36<X<44)=0.9545,

所以尸(44)一尸(38)=P(XW年3萍38)=P(40X44)+P(38X40)

=1x(0.6827+0.9545)=0.8186

(2)(i)由题设得：

p(T、tIT、,、—“)C(T>MP(T>tJ1-P(70)1-G(G

12

।P(T>t2]P(T>t2)l-P(T<t2)l-G(/2)

P(T>4_，2)=1_?(74乙一：2)=1-G(4-：2)=4'2F

?

所以尸(丁>小丁>才2)=尸(丁>「才2).

P(r>«+l|T>n)=P(r>l)=l-P(T^l)=l-G(l)=-

(ii)由⑴得4,

j_

所以第"+1天元件B,C正常工作的概率均为I.

为使第"+1天系统仍正常工作，元件B,C必须至少有一个正常工作,

1-(1--)2=—

因此所求概率为416.

20.⑴2x_yT=0

(2)证明见解析

【分析】(1)设NB的方程为>=2x+/,联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据

尸(1,。)及成+丽+元=0得到点C的坐标为(2+，，-2),代入抛物线方程，求出1=-1,得到

直线方程；

(2)设直线8c的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出点A的坐标为

(3-4/—2〃,-4")，代入抛物线方程，得到"5一"，由根的判别式得到〃>-近所以

m2<-

2,所以点A的横坐标4〃/<2,同理可证另两个顶点横坐标也小于2.

【详解】(1)设直线的方程为>=2x+f,与j?=4x联立得/-2y+2f=0,

1

由A=4-8t>0得2,

设/（国,必则%+%=2,必％=2/,

所以西+x2=^（yI+y2-2t）=l-t

由题意知尸（L°）,

因为苏+而+正=6,或=（占-1,必），丽定=（工3-1,%）,

所以（占+x2+x3-3,yI+y2+%）=（0,0）,

卜1+%2+工3=3卜3=3-（1-。=/+2

所以卜+%+%=0,故/=-2

即点C的坐标为（2+'，-2）,代入抛物线E的方程得：4=4（2+。，解得，=-1,

1

t<-

满足条件2,

所以直线班的方程为2x7-1=0.

（2）证明：设直线8c的方程为》=即+",与V=4x联立得/一4町-4〃=0,

2

A=16(m+«)>0,所以=4m,y2y3=-4n

所以/+当=m(%+%)+2n-4m2+2n

2

（xl+x2+x3=3\x1=3-4m-2n

由⑴知、+%+%=。,所以1%=-4加,

即点A的坐标为6-4疗-2〃,-4加）

3.

又点A在抛物线「=4x上，所以16苏=4（3-4疗-2"）,所以"-万一2,

21

1m<一79

又">一相，所以2,所以点A的横坐标3-4%-2〃=4"<2,

同理可证，B,C两点的横坐标也小于2.

所以"BC三个顶点的横坐标均小于2.

方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再

求这个函数的最值或范围.

21.（IM

（2）证明见解析

【分析】（1）利用导数求函数/G）的最小值，转化恒成立条件列不等式可求。的取值集合；

In2>----1------------1------------F•••H------

（2）利用小问（1）构造不等式，赋值结合累加法证明〃+1"+2〃+32”，再

结合正弦函数性质和不等式性质即可证明结论.

【详解】（1）由题可知函数/（X）的定义域为

a_x-a

,''y=令八x）=。，得』,

由x,"x）,（（无）列表如下

X(O,a)a3+8)

f(x)-0+

/'(x)递减极小值递增

/(x)mm=/S)=lna-a+l,

因为°恒成立，

所以InQ-q+lO,ae(0,+oo).

令g(x)=lnx-x+1,贝uxx,

由x,g(x),g'(x)列表如下

X（o」）1(l,+8)

g(x)+0-

g'(x)递增极大值递减

又Q£(0,1),g(〃)=lnQ-Q+l<g(l)=0

aG(l,+oo),g(〃)=lna-a+l<g(l)=0

•••“=1,故a的取值集合为{1}.

⑵由⑴可知，当。=1时，/w-0,

lnx+--l>0lnx>l--=——-

即X,XX,

y

/.ln(x+1)>----

X+1(当x=°时,"=”成立),

x=—(HGN+)

令〃,

十+i]>+=-L

)177+1\+n11

+1In>-->----

n则nn+1n+1,

由累加法可知

1

>--

n+\

1

In(2+n)-ln(«+l)>