湖南省长沙市宁乡一中2025届高一下数学期末质量检测模拟试题含解析

湖南省长沙市宁乡一中2025届高一下数学期末质量检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，边上的高，且，则等于()A． B． C． D．2．在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为()A． B． C． D．3．已知函数的部分图象如图所示，则（）A． B．C． D．4．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是（）A．10 B．20 C．30 D．405．已知等比数列{an}中，a3•a13＝20，a6＝4，则a10的值是（）A．16 B．14 C．6 D．56．数列{an}的通项公式an＝，若{an}前n项和为24，则n为()．A．25 B．576 C．624 D．6257．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（）A． B． C． D．8．在四边形中，如果，，那么四边形的形状是（）A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．直角梯形9．已知a>0,b>0,a,b的等比中项为2，则a+1A．3 B．4 C．5 D．4210．一个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是()A．12π B．18π C．36π D．6π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．程的解为______.12．己知函数，有以下结论：①的图象关于直线轴对称②在区间上单调递减③的一个对称中心是④的最大值为则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.13．已知、、分别是的边、、的中点，为的外心，且，给出下列等式：①；②；③；④其中正确的等式是_________（填写所有正确等式的编号）.14．角的终边经过点，则___________________．15．已知，，，则的最小值为______．16．已知函数，下列说法：①图像关于对称；②的最小正周期为；③在区间上单调递减；④图像关于中心对称；⑤的最小正周期为；正确的是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量.（1）若，求的值；（2）记函数，求的最大值及单调递增区间.18．将函数的图像向右平移1个单位，得到函数的图像.(1)求的单调递增区间；(3)设为坐标原点，直线与函数的图像自左至右相交于点，，，求的值.19．如图半圆的直径为4，为直径延长线上一点，且，为半圆周上任一点，以为边作等边（、、按顺时针方向排列）（1）若等边边长为，，试写出关于的函数关系；（2）问为多少时，四边形的面积最大？这个最大面积为多少？20．设数列满足，；数列的前项和为，且（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和．21．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

在中得到，，在中得到，利用面积公式计算得到.【详解】如图所示：在中：，根据勾股定理得到在中：利用勾股定理得到，故故选A【点睛】本题考查了勾股定理，面积公式，意在考查学生解决问题的能力.2、A【解析】由得，，所以，由几何概型概率的计算公式得，，故选.考点：1.几何概型；2.对数函数的性质.3、D【解析】

由函数的最值求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,从而得出结论.【详解】根据函数的图象求出函数的周期,然后可以求出,通过函数经过的最大值点求出值,即可得到函数的解析式.由函数的图象可知:,

.

当,函数取得最大值1,所以,

，

故选D.4、B【解析】分析：要求圆柱的轴截面的面积，需先知道圆柱的轴截面是什么图形，圆柱的轴截面是矩形，由题意知该矩形的长、宽分别为，根据矩形面积公式可得结果.详解：因为圆柱的轴截面是矩形，由题意知该矩形的长是母线长，宽为底面圆的直径，所以轴截面的面积为，故选B.点睛：本题主要考查圆柱的性质以及圆柱轴截面的面积，属于简单题.5、D【解析】

用等比数列的性质求解．【详解】∵是等比数列，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查等比数列的性质，灵活运用等比数列的性质可以很快速地求解等比数列的问题．在等比数列中，正整数满足，则，特别地若，则．6、C【解析】an＝＝－()，前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)]＋…＋()]＝－1＝24，故n＝624.故选C.7、C【解析】

利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.【详解】函数，将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.若，则且，均为函数的最大值，由，解得；其中、是三角函数最高点的横坐标，的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C．【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8、C【解析】试题分析：因为，所以，即四边形的对角线互相垂直，排除选项AD；又因为，所以四边形对边平行且相等，即四边形为平行四边形，但不能确定邻边垂直，所以只能确定为菱形．考点：1．向量相等的定义；2．向量的垂直；9、C【解析】

由等比中项得：ab=4，目标式子变形为54【详解】∵a+1等号成立当且仅当a=b=2，∴原式的最小值为5.【点睛】利用基本不等式求最小值时，注意验证等号成立的条件.10、A【解析】

先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积.【详解】长方体的体对角线的长是，所以球的半径是：，所以该球的表面积是，故选A.【点睛】该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

设，即求二次方程的正实数根，即可解决问题.【详解】设,即转化为求方程的正实数根由得或(舍)所以，则故答案为：【点睛】本题考查指数型二次方程，考查换元法，属于基础题.12、②④【解析】

根据三角函数性质，逐一判断选项得到答案.【详解】，根据图像知：①的图象关于直线轴对称，错误②在区间上单调递减，正确③的一个对称中心是，错误④的最大值为，正确故答案为②④【点睛】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用.13、①②④.【解析】

根据向量的中点性质与向量的加法运算,可判断①②③.【详解】、、分别是的边、、的中点,为的外心,且,设三条中线交点为G,如下图所示:对于①,由三角形中线性质及向量加法运算可知,所以①正确;对于②,,所以②正确;对于③,,所以③错误;对于,由外心性质可知,所以故正确.综上可知,正确的为①②④.故答案为:①②④.【点睛】本题考查了向量的线性运算,三角形外心的性质及应用,属于基础题.14、【解析】

先求出到原点的距离,再利用正弦函数定义求解.【详解】因为,所以到原点距离,故.故答案为：.【点睛】设始边为的非负半轴,终边经过任意一点,则：15、【解析】

将所求的式子变形为，展开后可利用基本不等式求得最小值.【详解】解：，，，，当且仅当时取等号．故答案为1．【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式，属于基础题．由于已知条件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式来求得最小值了.16、②③⑤【解析】

将函数解析式改写成：，即可作出函数图象，根据图象即可判定.【详解】由题：，，所以函数为奇函数，，是该函数的周期，结合图象分析是其最小正周期，，作出函数图象：可得，该函数的最小正周期为，图像不关于对称；在区间上单调递减；图像不关于中心对称；故答案为：②③⑤【点睛】此题考查三角函数图象及其性质的辨析，涉及周期性，对称性和单调性，作为填空题，恰当地利用图象解决问题能够起到事半功倍的作用.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或，（2），增区间为：【解析】

（1）根据得到，再根据的范围解方程即可.（2）首先根据题意得到，再根据的范围即可得到函数的最大值和单调增区间.【详解】因为，所以，即.因为，.所以或，即或.（2）.因为，所以.所以，.因为，所以.令，得.因为，所以增区间为：.【点睛】本题第一问考查根据三角函数值求角，同时考查了平面向量平行的坐标运算，第二问考查了三角函数的最值和单调区间，属于中档题.18、（1）()；（2）【解析】

（1）通过“左加右减”可得到函数的解析式，从而求得的单调递增区间;（2）先求得直线与轴的交点为，则，又，关于点对称，所以，从而.【详解】(1)令，，的单调递增区间是()(2)直线与轴的交点为，即为函数的对称中心，且，关于点对称，【点睛】本题主要考查三角函数平移，增减区间的求解，对称中心的性质及向量的基本运算，意在考查学生的分析能力和计算能力.19、（1）；（2）θ＝时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为．【解析】

（1）根据余弦定理可求得（2）先表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．【详解】（1）由余弦定理得则（2）四边形OACB的面积＝△OAB的面积+△ABC的面积则△ABC的面积△OAB的面积•OA•OB•sinθ•2•4•sinθ＝4sinθ四边形OACB的面积4sinθ=sin（θ﹣）∴当θ﹣＝，即θ＝时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为．【点睛】本题考查利用正余弦定理求解面积最值，其中准确列出面积表达式是关键，考查化简求值能力，是中档题20、（1），；（2）【解析】

（1）分别利用累加法、数列的递推公式得到数列和数列的通项公式．（2）利用数列求和的错位相减即可得到数列的前项和．【详解】（1），……，，以上个式子相加得：当时，=当时，，符合上式，（2）①②①-②得【点睛】已知求数列的通项公式时，可采用累加法得到通项公式，通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式（等差等比数列相乘）的前项和采用错位相减法．21、（3）；（3）3．【解析】试题分析：（3）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．（3）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+3，根据直线和圆相交的弦长公式