江苏省南京鼓楼区五校联考2024届中考模拟考试联考数学试题含解析

江苏省南京鼓楼区五校联考2024届中考联考数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.-3的倒数是（）

1]_

A.——B.3c.D.±-

333

2.下列等式正确的是（）

A.(a+b)2=a2+b2B.3n+3n+3n=3n+1

C.aJ+a3=a6D.(ab)2=ab2

3.计算（-ab2）3的结果是（）

A.-3ab2B.a3b6C.-a3bsD.-a3b$

4.如图,已知点E在正方形内，满足/4版=90。2后=6,祝=8,则阴影部分的面积是（）

C.76D.80

5.袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中

摸出三个球.下列事件是必然事件的是（）

A.摸出的三个球中至少有一个球是黑球

B.摸出的三个球中至少有一个球是白球

C.摸出的三个球中至少有两个球是黑球

D.摸出的三个球中至少有两个球是白球

6.抛物线y=ax2-4ax+4a-1与x轴交于A,B两点，C（xi,m）和D（X2,n）也是抛物线上的点，且xiV2VX2,

Xl+X2<4,则下列判断正确的是（）

A.m<nB.m<nC.m>nD.m>n

7.如图，A、B、C、D是。。上的四点，BD为。O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则NADB的大小为（）

D

A.30°B.45°C.60°D.75°

8.点M(1,2)关于y轴对称点的坐标为()

A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(2,-1)

9.若关于"的一元二次方程3-2x+帆=0没有实数根，则实数机的取值是（）

A.mVlB.m>-1C.m>lD.mV-1

10.下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（）

x>2x<2x>2x<2

A.《B.<C.《D.{

x>—3x<—3x<—3x>-3

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点Bi在y轴上，顶点Ci,Ei,E2,C2,E3,E4,C3……在x轴上,

已知正方形AiBiCiDi的顶点G的坐标是(--,0),ZBiCiO=60°,B1C1//B2C2#BC……则正方形A2018B2018c2018D2018

233

的顶点D2018纵坐标是

12.27的立方根为

13.关于x的一元二次方程3%+c=o有两个不相等的实数根，请你写出一个满足条件的c值

14.如图，直线。经过正方形ABC。的顶点A，分别过此正方形的顶点3、。作族，4于点尸、于点E.若

DE=8,BF=5,则EF的长为

15.某公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%,则这种电子产品的标价为

元.

16.如图，点A,B是反比例函数y=&(x>0)图象上的两点，过点A,B分别作AC_Lx轴于点C,BD，x轴于点D,

x

连接OA,BC,已知点C(2,0),BD=2,SABCD=3,则SAAOC=__.

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)如下表所示，有A、B两组数:

第1个数第2个数第3个数第4个数...第9个数...第n个数

A组-6-5-2...58...n2-2n-5

B组14710...25...

(1)A组第4个数是；用含n的代数式表示B组第n个数是,并简述理由；在这两组数中，是否存

在同一列上的两个数相等，请说明.

18.(8分)如图，四边形中，ZC=90°,ADLDB,点E为A3的中点，DE//BC.

(1)求证：平分NA3C；

(2)连接EC,若NA=30。，DC=y[3,求EC的长.

19.(8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-攵+3的图象与反比例函数y=4(x>0,兀是常数)的图象交

2x

于A(a,2),B(4,b)两点.求反比例函数的表达式；点C是第一象限内一点，连接AC,BC,使AC〃x轴，BC//y

轴，连接。4,OB.若点尸在y轴上，且A的面积与四边形。4c3的面积相等，求点尸的坐标.

20.（8分）如图，已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD,坝顶宽AD是6米，坝高14米，背水坡AB的坡度为1：

3,迎水坡CD的坡度为1：1.

求：（1）背水坡AB的长度.

（1）坝底BC的长度.

21.（8分）如图，RtAABC^,ZC=90°,。。是R3ABC的外接圆，过点C作。。的切线交5A的延长线于点E,

3OLCE于点。，连接DO交BC于点M.

（1）求证：平分NZJR4；

修EA24DM

⑵若而二§'求的值.

MO

22.（10分）如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，NBAF的平分线交。O于点E,交。O的切线BC于

交AF的延长线于点D.

DE是。O的切线；若DE=3,CE=2.①求生的值；②若点G为AE上一点，求

AE

xx+y

23.（12分）解方程组：

--——=1

xx+y

24.某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，

投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数

关系如图所示.

（1）求y与X的函数关系式，并写出X的取值范围；

（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能

否销售完这批蜜柚？请说明理由.

Isol......1\

Ii，、_

0<0>57（元/千克）

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解题分析】

解：-3的倒数是-

3

故选A.

【题目点拨】

本题考查倒数，掌握概念正确计算是解题关键.

2、B

【解题分析】

(1)根据完全平方公式进行解答；

(2)根据合并同类项进行解答；

(3)根据合并同类项进行解答；

(4)根据塞的乘方进行解答.

【题目详解】

解：A>(a+b)2=a2+2ab+b2,故此选项错误；

B、3n+3n+3n=3n+1,正确；

C、a3+a3=2a3,故此选项错误；

D、(ab)2=a2%故此选项错误；

故选B.

【题目点拨】

本题考查整数指数幕和整式的运算，解题关键是掌握各自性质.

3^D

【解题分析】

根据积的乘方与塞的乘方计算可得.

【题目详解】

解：(-ab2)3=-a3b6,

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查塞的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方与塞的乘方的运算

法则.

4、C

【解题分析】

试题解析：VZAEB=90°,AE=6,BE=8,

二AB=7AE2+BE2=A/62+82=10

**•S阴影部分=3正方形ABCD-SRtAABE=102--x6x8

2

=100-24

=76.

故选C.

考点：勾股定理.

5、A

【解题分析】

根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可.

【题目详解】

A、是必然事件；

B、是随机事件，选项错误；

C、是随机事件，选项错误；

D、是随机事件，选项错误.

故选A.

6、C

【解题分析】

分析：将一般式配方成顶点式，得出对称轴方程尤=2,根据抛物线y=4ax+4a-1与x轴交于两点，得出

=（Taj-4ax（4a-1）>0,求得

a>0,距离对称轴越远，函数的值越大，根据王<2<%，石+%<4,判断出它们与对称轴之间的关系即可判定.

详解：y=ax2-4at+4<7-l=-1,

,此抛物线对称轴为尤=2,

,抛物线y=。公-4ax+4a-l与x轴交于A,3两点，

，当公2-4公+4°-1=0时，=（-4a）--4ax（4a-l）>0,得a>0,

,:x1<2<x2,+%2<4,

2—X]>x,-2,

m>n,

故选C.

点睛：考查二次函数的图象以及性质，开口向上，距离对称轴越远的点，对应的函数值越大，

7、A

【解题分析】

解：；四边形ABCO是平行四边形，且OA=OC,

二四边形ABCO是菱形，

；.AB=OA=OB,

.,.△OAB是等边三角形，

/.ZAOB=60°,

•.•BD是。O的直径，

.•.点B、D、O在同一直线上，

1

:.ZADB=-ZAOB=30°

2

故选A.

8、A

【解题分析】

关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标变为相反数.

【题目详解】

点2）关于y轴对称点的坐标为（一1,2）

【题目点拨】

本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，牢记关于坐标轴对称的点的性质是解题的关键.

9、C

【解题分析】

试题解析：关于X的一元二次方程％2一2%+加=0没有实数根，

A=Z?2—4ac=（-2）2-4xlxm=4-4m<0,

解得：m>1.

故选C.

10、D

【解题分析】

此题涉及的知识点是不等式组的表示方法，根据规律可得答案.

【题目详解】

fx<2

由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为,

x--3

故选D.

【题目点拨】

本题重点考查学生对于在数轴上表示不等式的解集的掌握程度，不等式组的解集的表示方法：大小小大取中间是解题

关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

“、lx（立）2

23

【解题分析】

利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案.

【题目详解】

解：,.,NBiCiO=60。，CiO=-,

2

；.BiCi=l,ZDiCiEi=30°,

1

,.,sinZDiCiEi=^^=-,

1

**•DiEi=—

29

•・・B1G〃B2C2〃B3C3〃一

・・・600=NBICIO=NB2c2O=NB3c30=…

]_1A/3

_2_=llB,C,-B3E3-2义1\(6)2

B3'sin/B3c3OG3

VT

3)

故正方形AnBnCnDn的边长=（

3

；•B2018c2018=()2.

3

1J3

D2018E2018=-x(-------)2,

23

；.D的纵坐标为

2

故答案为Lx(1)2.

23

【题目点拨】

此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键

12、1

【解题分析】

找到立方等于27的数即可.

解：•.•#=27,

；.27的立方根是1,

故答案为1.

考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算

13、1

【解题分析】

先根据根的判别式求出c的取值范围，然后在范围内随便取一个值即可.

【题目详解】

b2-4ac—（-3f-4xlxc=9-4c〉0

9

解得c<一

4

所以可以取c=0

故答案为：L

【题目点拨】

本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根个数的关系是解题的关键.

14、13

【解题分析】

根据正方形的性质得出AD=AB,ZBAD=90°,根据垂直得出NDEA=NAFB=90。，求出NEDA=NFAB,根据AAS推

出小AED^ABFA,根据全等三角形的性质得出AE=BF=5,AF=DE=8,即可求出答案；

【题目详解】

VABCD是正方形（已知），

.,.AB=AD,ZABC=ZBAD=90°；

又；ZFAB+ZFBA=ZFAB+ZEAD=90°,

二NFBA=NEAD（等量代换）；

•.•BFLa于点F,DEJ_a于点E,

二在RtAAFB和RtAAED中，

ZAFB=ZDEA=90°

;{NFBA=NEAD,

AB=DA

：.△AFBAAED(AAS),

•*.AF=DE=8,BF=AE=5(全等三角形的对应边相等)，

，EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13.

故答案为13.

点睛：本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，能求出AAED之4BFA是解此题的关

键.

15、28

【解题分析】

设这种电子产品的标价为x元，

由题意得：0.9X-21=21X20%,

解得：x=28,

所以这种电子产品的标价为28元.

故答案为28.

16、1.

【解题分析】

由三角形BCD为直角三角形，根据已知面积与BD的长求出CD的长，由OC+CD求出OD的长，确定出B的坐标,

代入反比例解析式求出k的值，利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOC面积即可.

【题目详解】

VBD±CD,BD=2,

1

•••SABCD=-BD«CD=2,

2

即CD=2.

,-C(2,0),

即OC=2,

.\OD=OC+CD=2+2=1,

AB(1,2),代入反比例解析式得：k=10,

10

即nny=—>

x

则SAAOC=L

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义

是解答本题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)3；(2)3n—2,理由见解析；理由见解析(3)不存在，理由见解析

【解题分析】

(1)将"=4代入n2-2n-5中即可求解；

(2)当”=1,2,3,9,时对应的数分别为3x1-2,3x2-2,3x3-2,...»3x9-2...,由此可归纳出第“个数是

3n-2；

(3)“在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等”，将问题转换为层-2〃-5=3"-2有无正整数解的问题.

【题目详解】

解:(1))TA组第n个数为后2"-5,

•*.A组第4个数是42-2x4-5=3,

故答案为3；

(2)第"个数是3"—2.

理由如下：

•••第1个数为1,可写成3x12

第2个数为4,可写成3x2-2；

第3个数为7,可写成3x3-2；

第4个数为10,可写成3x4-2；

第9个数为25,可写成3x9-2；

第n个数为3/1-2；

故答案为3/Z-2；

(3)不存在同一位置上存在两个数据相等

由题意得，n2-2n-5=3/7-2,

解之得,*

由于九是正整数，所以不存在列上两个数相等.

【题目点拨】

本题考查了数字的变化类，正确的找出规律是解题的关键.

18、(1)见解析；(2)EC=近.

【解题分析】

(1)直接利用直角三角形的性质得出DE=BE=工A3,再利用OE〃5C,得出N2=N3,进而得出答案;

2

(2)利用已知得出在RtA5C£>中，Z3=60°,DC=6得出。8的长，进而得出EC的长.

【题目详解】

(1)证明：'：AD±DB,点E为4B的中点，

:.DE=BE=-AB.

2

/.Z1=Z2.

-：DE//BC,

；.N2=N3.

/.Z1=Z3.

.•.50平分NABC.

(2)解：，：AD_LDB,ZA=30°,

.*.Zl=60°.

/.Z3=Z2=60°.

VZBC£>=90°,

/.Z4=30°.

NC£)E=/2+N4=90。.

在RtABC。中，N3=60。，DC=6，

：.DB=2.

'：DE=BE,Zl=60°,

：.DE=DB=2.

•••EC=SIDE2+DC2=V4+3=V7-

此题主要考查了直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，正确得出DB,DE的长是解题关键.

19、(1)反比例函数的表达式为y=[(x>0);(2)点尸的坐标为(0,4)或(0,-4)

【解题分析】

(1)根据点A(«,2),B(4,b)在一次函数y=-4x+3的图象上求出.、分的值，得出A、5两点的坐标，再运用

2

待定系数法解答即可；

(2)延长CA交y轴于点E,延长CB交x轴于点F,构建矩形OECF,根据S四边形04cB=S^OECF-SAOAE-SAOBF,

设点P(0,机)，根据反比例函数的几何意义解答即可.

【题目详解】

(1),点A(a,2),B(4,b)在一次函数y=-夕+3的图象上，

2

:.-,。+3=2,b=-孕4+3,

22

：・a=2,b=l9

.•.点A的坐标为(2,2),点B的坐标为(4,1),

又•.•点A(2,2)在反比例函数y=*的图象上，

X

.,.A:=2x2=4,

.••反比例函数的表达式为y=W(x>0)；

X

(2)延长C4交了轴于点瓦延长C5交X轴于点R

TAC〃工轴，5C〃y轴，

则有丁轴，轴，点。的坐标为(4,2)

・•・四边形。£。尸为矩形，且CE=4,CF=29

•e•S四边形OACB=S矩形OECF-SAOAE-SAOBF

=2x4-7x2x2-7x4x1

22

=4,

设点尸的坐标为(0,m),

则SAO4P=,X2•阳=4,

2

.\m=±4,

二点尸的坐标为(0,4)或(0,-4).

【题目点拨】

此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，直线与坐标轴的交点，待定系数法

求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

20、（1）背水坡AB的长度为24丽米；（1）坝底的长度为116米.

【解题分析】

（1）分别过点A、D作AM_LBC,DNLBC垂足分别为点M、N,结合题意求得AM,MN,在RtAABM中,

得BM,再利用勾股定理即可.

（1）在RtADNC中，求得CN即可得到BC.

【题目详解】

（1）分别过点A、。作DNLBC垂足分别为点M、N,

根据题意，可知40=£W=24（米），MN=AD=6（米）

在中：生=』,，5M=72（米），

BM3

AB'=AM2+BM2,•*-AB=7242+722=24丽（米）•

答：背水坡AB的长度为24而米.

（1）在RtADNC中，----=—,

CN2

OV=48（米），

.,.50=72+6+48=126（米）

答：坝底的长度为116米.

【题目点拨】

本题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用-坡度坡角问

题.

Q

21、（1）证明见解析；（2）-

【解题分析】

分析：

（1）如下图，连接OC,由已知易得OCLDE,结合BDLDE可得OC〃BD,从而可得N1=N2,结合由OB=OC所

得的N1=N3,即可得到N2=N3,从而可得BC平分NDBA；

_EBDM

(2)由OC〃BD可得AEBDs^EOC和ADBAlsAOCM,由根据相似三角形的性质可得得——=——，由

EOMO

EA2DMEB8

---=—,设EA=2k,AO=3k可得OC=OA=OB=3k,由此即可得到-----=----=—.

AO3MOEO5

详解：

(1)证明：连结OC,

；DE与。O相切于点C,

/.OC1DE.

VBD1DE,

/.OC//BD..

/.Z1=Z2,

；OB=OC,

/.Z1=Z3,

•*.Z2=Z3,

即BC平分/DBA..

(2)VOC#BD,

/.△EBD^AEOC,ADBM^AOCM,.

•BD_EBBD_DM

,*CO-CO-MOJ

.EB_DM

*'EO-MO*

EA2

V——=-,设EA=2k,AO=3k,

AO3

，OC=OA=OB=3k.

.DMEB8

"MO~EO~5"

点睛：⑴作出如图所示的辅助线，由“切线的性质”得到OCJ_DE结合BD_LDE得到OC〃BD是解答第1小题的关

键；(2)解答第2小题的关键是由OC〃BD得到△EBD^AEOC和4DBM^AOCM这样利用相似三角形的性质结

合已知条件即可求得所求值了.

2

22、(1)证明见解析(2)①一②3

3

【解题分析】

(1)作辅助线，连接OE.根据切线的判定定理，只需证DELOE即可；

(2)①连接BE.根据BC、DE两切线的性质证明△ADEs^BEC；又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相

等求得△ABEsaAFD,所以—=—=—；

AEDE3

②连接OF,交AD于H,由①得NFOE=NFOA=60。,连接EF,贝！］△AOF、△EOF都是等边三角形，故四边形AOEF

是菱形，由对称性可知GO=GF,过点G作GM1OE于M,则GM=-EG,OG+』EG=GF+GM,根据两点之间线段最

22

短，当F、G、M三点共线，OG+^EG=GF+GM=FM最小，此时FM=3.故OG+^EG最小值是3.

22

【题目详解】

(1)连接OE

,/OA=OE,AZAEO=ZEAO

VZFAE=ZEAO,/.ZFAE=ZAEO

；.OE〃AF

VDE±AF,/.OE±DE

.'DE是。O的切线

(2)①解：连接BE

•直径AB/.ZAEB=90°

•.•圆O与BC相切

ZABC=90°

VZEAB+ZEBA=ZEBA+ZCBE=90°

/.ZEAB=ZCBE

ZDAE=ZCBE

VZADE=ZBEC=90°

.,.△ADE^ABEC

.BC_CE_2

**AE-DE-3

②连接OF,交AE于G,

由①，设BC=2x,则AE=3x

BCCE

VAABEC^AAABC:.——=——

ACBC

.2x_2

3%+22x

解得：xi=2,x=--（不合题意，舍去）

22

，AE=3x=6,BC=2x=4,AC=AE+CE=8

；.AB=45ZBAC=30°

，ZAEO=ZEAO=ZEAF=30°,/.ZFOE=2ZFAE=60°

...NFOE=NFOA=60。,连接EF,贝!]△AOF、△EOF都是等边三角形，二四边形AOEF是菱形

由对称性可知GO=GF,过点G作GM±OE于M,则GM=-EG,OG+^EG=GF+GM,根据两点之间线段最短，当F、