2024届吉林省高三年级下册考前数学最后一卷试题含答案

2024届吉林省高三下学期考前数学最后一卷试题含答案

绝密★启用前7.已知数列也}的通项公式为则是““6.，。”“。”的

2024届高考考前最后一卷(新课标II卷)A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

x—1

8.若不等式加e'+121n―(m>0)在％w(l,+oo)上恒成立，则机的最小值为

数学m

A.—rB.eC.—D.e2

本卷满分150分，考试时间120分钟。ee

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

注意事项：

O目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。9.某气象社团记录了当地2月1日至9日这9天的最高气温(单位：。C),并整理数据作出了

O

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如折线图，如图，则这9天最高气温的

A.平均数大约为10.4B.第80百分位数为15

O需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

O3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知集合彳={xwN仅2—5x—2440},8={-2,0,2,4},则=

A.{-2,0,2,4}B.{0,2,4}C.{2,4}D.[0,4]

2.已知]是复数z的共轨复数，若z=2"3i3-l，则z的虚部为

A.—iB.iC.—1D.1

教3.已知在平面直角坐标系中，坐标原点为0,向量a=(1,2),丽=(3,0)，若AC=^CB，则点C的

坐标为

A.蚌令B.(|,|)C.(*|)D.(|,1)

4.2023年11月27日上午，全国中学生数学奥林匹克竞赛(决赛)暨第39届全国中学生数过点。(U)作直线48的垂线，垂足为“，则

学冬令营在武汉市武钢三中开幕.开幕式上艺术展演环节准备了混声合唱《我歌唱的理由有A.点。与圆C上一点距离的最大值为6+遥

很多》、小提琴合奏《查尔达什舞曲》、戏曲舞蹈《梨园京韵》、管弦乐合奏《我的祖国》，B.4PB的最大值为120。

若当时用抽签的方式确定这四个节目的出场顺序，则小提琴合奏与管弦乐合奏不相邻的概C.点〃的轨迹方程为(％-7)2+&-：)2=：

率为442

D.点。到直线48距离的最大值为立

忠

A.—B.-C.-D.一

23462

11.如图，在社会实践活动中，李明同学设计了一款很"萌''的圆台形台灯，台灯内装有两个相

5.已知在正项等比数列{〃”}中，的4=16,且生，10，5成等差数列，则《+%+%=

切且球心均在圆台的轴上的球形灯泡，上、下两灯泡的球面分别与圆台的上、下底面相切,

A.157B.156C.74D.73且都与圆台的侧面相切，若上、下两球形灯泡的半径分别为1和9,则

6.已知品，玛分别为椭圆C：4+《=l(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆C上一点，A.圆台形台灯的母线所在直线与下底面所成角的大小为]

ab

B.圆台形台灯的上、下底面半径之积为9

的平分线交X轴于。点，所=4所西，且则椭圆C的离心率为

31+4C.圆台形台灯的母线长为竽

A.-B.—C.—D.-

孙2233D.圆台形台灯的侧面积大于2800

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。赛规则如下：①比赛采用每球得分制，每球胜方得1分，负方不得分，得分方发球，并采

77

12.(X+K)(X-3)，的展开式中/的系数为.(用数字作答)用三局两胜制，先胜两局的队获胜，比赛结束；②当1：1平局时，应进行决胜局，前两

X

局每局先得21分者为胜一局，决胜局先得15分即获胜，比赛结束.经过激烈的比拼，高

13.将抛物线丁=小？(加＞o)绕其顶点逆时针旋转仇0＜。＜今后，其准线方程为

一教师队和高三教师队进入决胜局.经统计，可知当高一教师队发球时，高一教师队得分

y=—x-^^~,则实数加=.

的概率为《，当高三教师队发球时，高一教师队得分的概率为g.

33

tanx-sin2x,x^—+kii,keZ(1)在决胜局比赛中，通过抽签高三教师队拥有起始发球权，求高一教师队在前3个球

14.已知函数〃x)=，2，若/(x)在区间(-a,a)(a＞0)上恰有8个零点,

71中恰好获得2分的概率；

|sinx|+sinxix=—+kit,kGZ

(2)在决胜局比赛中，现两队12：12平，并由高一教师队继续发球，求本局比赛还需比

则实数。的取值范围是.

赛球数X的分布列和数学期望.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.(17分)

15.(13分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点片(-4,0)，玛(4,0)，动点P满足|P用，|尸。|,|尸耳|成等比

在中，内角48,。所对的边分别为。，瓦c,且矶sin4-cosCsin8)-c(cos力sin8

3数列，

-sinC)=—asinC.

(1)求动点尸的轨迹E的方程；

(1)求cos8；

(2)若(力。0)为轨迹E上一点，过点R作直线4与轨迹E相切，过点R作直线

(2)设。为边4C的中点，AC=2,求线段长度的最大值.

16.(15分)

/2垂直于直线4,直线乙与％轴交于点T,直线4与％轴交于点0

如图，在四棱锥尸—4BCQ中，AB=BC=CD=DA=AC=2,PD=PB=.

①求直线4的方程(用点R的坐标表示)，并证明直线班和盟关于直线4对称；

②若直线上有四个点48,C,。满足照=喘，则称C,D调和分割4B,求证：调

16cl

和分割耳，居.

19.(17分)

已知函数/(x)=?-lnx(m3-；),其图象在点。，/⑴)处的切线为/,且直线/在x轴、y

(1)求证：DB1PCi

(2)若二面角尸-8。-C的大小为生，求直线P3与平面PCQ所成角的正弦值.

轴上的截距分别为矶⑼,仪M.

3

17.(15分)(1)求研加)+优加)的单调区间；

气排球运动是一项各年龄人群均可参与的新型体育健身项目，因为气排球具有质量轻、质(2)若/(%)的图象与％轴交于43两点，证明：|48|＜而、0加.

地软、有弹性、运动缓、易控制等特点，所以深受大家的喜爱.某校工会组织职工气排球

比赛，有初中三个年级教师队、高中三个年级教师队以及行政队共七个球队报名参赛.比

新课标II卷数学第3页(共4页)新课标n卷数学第4页(共4页)

2024届高考考前最后一卷（新课标II卷）

数学•全解全析及评分标准

1234567891011

BCDADCBAABDABBCD

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.B【解析】因为/=&€汛/一5》一2440}={0,1,2,3,4广、8},8={-2,0,2,4},所以/口8={0,2,4}.故选B.

2.C【解析】令z=a+6i（a,beR）,则a+历=2（a-6i）-3i-1,所以Z>=-2，-3,解得b=-l.故选C.

—►1——►—►—►1—►—►3—►—►1—►15

3.D【解析】因为所以OC-O/=5（O3-OC）,所以50c=。4+不。3=（1,2）+5（3,0）=（5,2）,

所以—℃=［5《4），所以点C的坐标为（:5学4.故选D.

4.A【解析】用抽签的方式确定这四个节目的出场顺序有A：种方法，小提琴合奏与管弦乐合奏不相邻的排

A2A21

列有A；A；种方法，由古典概型，得小提琴合奏与管弦乐合奏不相邻的概率尸=—*=：.故选A.

A42

5.D【解析】由题意，知名=而？=4.由。3，10，£成等差数列，得20=%+今，所以。6=32,所以

4

等比数列{4}的公比9==2,所以％=得=1,a4=a3q=S,ay=a3q=64,所以4+%+%=73.

y。3q

故选D.

—•—■2——■1

6.C【解析】设椭圆C的半焦距为水>0）,因为点。在x轴上，且尸。所以％=§,所以

-2I1—.1—,2------1—.——.2-----■—•1—.2------

=_由力=得pQ=尸乙+时,所以（尸。一尸片）=（柩-P。），即闩耳。=；。鸟,所以

1+Z453jjj55

耳0=2甄，即因0|=2|凿|.因为尸。平分所以解

III丫^2\1

又IPFJ+I尸工|=2。，所以|P4|=?，

在△尸耳苞中，由余弦定理的推论,

/4a、2/2Q、2/c\2

(y)+(y)-(2c)2

J

得cos/片Pg=

_4。2a2

mm2x——x——16a4

339

数学全解全析及评分标准第1页（共14页）

化简，得4=2,即椭圆c的离心率6=逅.故选c.

a233

7.B【解析】二次函数了=/+〃x图象的对称轴是直线x=4，当时，了=Y+〃x单调递减，

y=e*"也单调递减，当x>《时，y=f+〃x单调递增，>=1+“，也单调递增.因为%=6'2+""中的自

变量"为正整数，所以由V〃eN*,*%。，得詈一斤巨，所以-21W〃V79,所以是

“V〃eN*,a“加°”的必要不充分条件.故选B.

Y—1

8.A【解析】mex+l>ln——(加>0)等价于1n.+121n(x—1)—In加，

m

令t=ex+hlm，则才+1之ln(x-l)-(ln/-x),即£+ln£Nln(x-l)+x-l.

X—1

而y=x+lnx在(0,+8)上单调递增，所以％"-1,即加e'Nx-l,即加

e

Y—12—x

令/(%)=—%w(i,+8)),则广(%)=一,当分。,2)时,r(x)>oja)单调递增，

ee

当xe(2,+oo)时，/'(x)<0J(x)单调递减，所以/(x)在x=2处取得极大值，即最大值为"2)=4,所

e

以机2—.故选A.

e

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.ABD【解析】由题图，得这9天最高气温数据从小到大排列为7,7,8,9,10,10,12,15,16,

7+7+8+9+10+10+12+15+16

所以平均数于=々10.4,所以A正确;

9

因为9x0.8=7.2,所以第80百分位数为第8个数据，为15,所以B正确;

因为数据7和10都出现2次，所以众数为7和10,所以C错误；

因为这9天最高气温数据的最大值为16,最小值为7,所以极差为16-7=9,所以D正确.

故选ABD.

10.AB【解析】由题意，知点C(-1,0),圆C的半径为".

对于A,点0与圆C上一点距离的最大值为I。。加上圆C的半径，所以点0与圆C上一点距离的最

大值为行+而，故A正确;

对于B,因为sin幺”W、,所以要使//必最大，则PC的长最小，此时上。=昙粤=2收，

C|VI+1

所以//尸8=120。，故B正确;

数学全解全析及评分标准第2页(共14页)

对于c,由题意，知P,A,C,B四点在以PC为直径的圆上，设尸(〃,3-4),则该圆方程为

(x-a?I,+(,_3.与2_(4+1)；(3^),即+>2_(〃_l)x—(3一d)y—Q=0.

又圆C：(X+1)2+/=6,所以公共弦48所在直线的方程为(o+l)x+(3-〃)y+q-5=0,即

1

x-y+1=0213

a{x一歹+1)+工+3〉一5=0.由，得卜所以直线AB恒过定点，点7/在以

x+3y—5=0

。。为直径的圆上，其轨迹方程为(％-：3)2+"-：5)2=1W，故C错误;

对于D,根据题意，知点Q到直线AB的距离的最大值为|D。|=^(1-1)2+(1-1)2

又。(1,1),。(1若3)，所以直线。。的斜率为-1,又直线/民。。互相垂直，所以直线功的斜率为1,所

以-92=1，即-。-1=3-。，方程无解，所以取不到最大值，故D错误.

3-6Z

(因为所在直线的方程为(a+l)x+(3-a)y+a-5=0,所以当。=1时，点0(1,1)在直线N3上，此

时点2(1,1)到直线AB的距离为0,

当aw1时，点。(口)到直线AB的距离

d|<7+1+3-Q+a-5||CL-11I(tz—1)^

7(«+1)2+(3-6Z)2J(q+1)2+(3-q)2I(Q+1)2+(3-a)2

("1)2二I("1)2二](a-1)2

Q?+2a+1+9—6Q+a?V2Q?—4a+1012(a—I)2+8

]V|

c,8<7.故D错误.)故选AB.

(f

11.BCD【解析】如图是圆台形台灯的轴截面/BCD和上、下两球形灯泡的截面大圆a，。2,过点a，o2

分别作于点E,尸上CB于点F,再过点a作a尸于点G.

对于A,设NC2N=29(0<夕<?),则/OQ2G=20,

9-14371

在Rt/^aaG中,3端9+7­,所以sin20=7所以故A错误;

对于B,由cos261=l-2sin26=2cos26-1,得sin6=@^,cos<9=,所以tan6="

10103

设圆台形台灯上、下底面半径分别为厂，R,连接。。，则在Rt^CQE中，r=C£=ltan0=1.

9

连接型,在母△畋尸中，尺"=做=27,所以i=9,故B正确;

数学全解全析及评分标准第3页(共14页)

3

对于C,因为跖=00=0020由2。=(1+9)x,=6,

所以圆台形台灯的母线长/=C2=r+EF+R=g+6+27=?,故C正确;

对于D,圆台形台灯的侧面积为戒•&+尺)=兀、与x(g+27)=8产，因为华£>900n>2800,故

D正确.

故选BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.-2160【解析】因为(》-3)8的展开式中一的系数为CK-3)i,斤=0,1,…,8,

所以(x+—)(x-3)8的展开式中f的系数为c；x(-3)3+27C；x(-3)--2160.故填-2160.

13.1【解析】因为抛物线>=加/(加>0)旋转后对应的准线方程为y=-孚，且点(0,0)到直线

心了一空的距离为］.由/=_Ly,知=-=1,解得加=9•故填:.

33m4m44

14.(2,3兀］【解析】当了。&+左兀,左EZ时，由/(x)=0,得sinx(-----sinx)=0,当---sinx=0时,

22cosxcosx

得sin2x=2,与〉=sin2x在R上的值域为矛盾，所以-----sinxW0，所以sinx=0.

COSX

jr

当X=：+而水eZ时，由/(X)=0,得sinx=-1，所以〃x)在［0,+oo)上的零点按照从小到大排列前5个

依次为0,私三37r,2兀,3无J(x)在(-8,0)上的零点按照从大到小排列前5个依次为-］7T-无,-2'-拳SJT-3元.

SjTTT3冗

因为“X)在区间(-。，。)(。>0)上恰有8个零点，则这8个零点为-拳-2兀fgo,兀£,2兀，所以

5兀

<a<2,所以与<aW37t.故填4,3兀］.

2兀V3兀-,

说明：

1.第12题没有化简为数字作答不给分；

57r57r

2.第14题写成受<。43无或｛。|了<。43兀｝,也给5分.

数学全解全析及评分标准第4页(共14页)

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

_3

【解析】（1）由^（sinA-cosCsinB）-c（cosAsinB-sinC）=—asinC,

3

tzsin^4+csinC-sinB{acosC+ccosA）=—asinC.（1分）

因为sin5=sin（4+C）,所以sinB=sin/cosC+cosZsinC,

3

由正弦定理，得6=QCOSC+CCOS4,所以asinZ+csinC-bsinBU'asinC.（2分）

3

由正弦定理，得（3分）

由余弦定理的推论，得COS8=3+C一。.（4分）

2ac

3

—acr

=2_=2.（5分）

Zac4

3

（2）由余弦定理，得/=/+02-2qccos5,即4=。2+，一5。。，（6分）

3

所以/+/=4+5〃22因，当且仅当°=c=2近时等号成立，所以acW8.（7分）

—■1—•—.

又BD=3（BA+BC）,（8分）

所以丽2」同+西2」而+2第反+反^2）（9分）

44

=-（BA+2\BA\-\BC\cosZABC+BC2）3（10分）

4

113

=—（c2+2accos/ABC+a1）--（^2+^2+~〃c）（11分）

1331

=—（4+—tzc+—ac）=—（4+3ac）<7,（12分）

所以|丽区近，所以线段2。长度的最大值为近.（13分）

说明：

第一问：

3

1.1分段得出“asin^+csinC-sinB（acosC+ccos/）=—asinC”；

2.2分段利用射影定理化简，不给出射影定理（6=acosC+ccos/）的证明，扣1分;

3.3分段利用正弦定理化角为边；

4.4分段由余弦定理的推论，写出cosB：

5.5分段代入算出cos3的值.

数学全解全析及评分标准第5页（共14页）

第二问：

1.6分段由余弦定理得出出。的关系；

2.7分段由均值不等式得出ac的取值范围，不写等号成立条件°=c=2应不扣分；

3.8分段写出丽；

4.9分段将向量式平方转化为数量积计算；

5.10分段利用数量积公式化简；

6.11分段化简得出而2即用表示的代数式；

7.12分段化简为关于ac的关系式，得出前2的取值范围；

8.13分段得出5。长度的最大值.

另解：

3

由余弦定理，得〃=a?+/-2Q°COS5,即4=/+，—,4。，（6分）

2Q22

Xa2+c2=4+-ac<4+--^-^,（7分）

222

所以力+c2Vl6.（8分）

由|丽+画2+屈一小2=2而+交），（9分）

2

|2BD|2+1S|2=2（|12+15C|）,（10分）

所以4|丽|2+4=2（1+°2）,（11分）

所以4|而|2+4V32,即|丽『47,（12分）

所以|丽区近，所以线段8。长度的最大值为b.（13分）

说明：

1.6分段由余弦定理得出。的关系；

2.7分段由均值不等式转化为/+02的不等式；

3.8分段得出/+Cz的取值范围；

4.9分段写出瓶+南『+|荔-阮『=2（互反;2）,,；

5.10分段写出''|2而『+|石『=2（1瓦12+|就「）"；

6.11分段得出丽2与/+CZ的关系；

7.12分段化简得出血2的取值范围；

8.13分段得出2。长度的最大值；

9.9分段不写⑸+元/+|加-而『=2（回?+前，，直接写出|2丽『+|石『=2（由『+|前『）不

扣分.

数学全解全析及评分标准第6页（共14页）

16.（15分）

【解析】（1）设相交于点O,因为/2=2。=。。="=2,所以四边形/8。是菱形，（1分）

所以。8_LZC,且。为AD的中点.（2分）

连接P。，因为尸。=尸2,所以。21尸。.（4分）

因为4C,尸。u平面尸/C,ACHPO=O,所以。2_L平面尸4C（6分）

因为PCu平面尸/C,所以。8_LPC.（7分）

（2）过点O作平面ABCD的垂线Oz,以OB,OC,Oz所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示

的空间直角坐标系，则8（摩,0,0）,。（0,1,0）,。（-6,0,0）.（8分）

因为DBL尸所以NPOC是二面角尸-5D-C的平面角，所以/尸。。=三.（10分）

因为尸。在平面yOz内，所以由已知及平面几何的性质，得「（（）,-｝孚），

所以斤=（o,：,-孚），的=（-6,；,-孚），丽=（6（,-平）.⑴分）

设平面PCD的法向量为〃=（x,y,z）,

（12分）

n•PD=0

令y=3后则z=5,x=-3,所以“=（-3,36,5）是平面尸CD的一个法向量.（13分）

设直线网与平面尸CD所成的角为6,所以加"篙/=

即直线网与平面尸CD所成角的正弦值为瓯.（15分）

说明:

第一问:

1.1分段得出四边形/2C。是菱形;

数学全解全析及评分标准第7页（共14页）

2.2分段得出。3L/C,且。为3。的中点，垂直和中点漏写一个都不给分；

3.4分段得出。8,尸。；

4.6分段得出。3,平面尸/C,两个条件NC,POu平面尸/C,/CnPO=。都不写扣1分，写了其

中一个不扣分；

5.7分段得出。8,PC,不写尸Cu平面尸/C不扣分.

第二问：

L8分段建立空间直角坐标系并写出3,C,D的坐标，能正确建立空间直角坐标系就给1分，左手系也给

分，若详细说明建系过程但没有在图中画出坐标系，不扣分；

2.10分段由定义指出NPOC是二面角-。的平面角；

3.11分段写出尸点和各向量的坐标，其中尸点和3个向量的坐标中对2个或2个以上则给1分；

4.12分段写出平面PCD的法向量满足的关系式；

5.13分段求出平面PCD的一个法向量；

6.15分段求出尸3与平面尸CD所成的角的正弦值，若先正确求出cos（屈,"），给1分，正确写出sin。，

给1分；

7.8分段坐标系建立错没有得分点时，能正确写出cos产点"）=给1分；

8.其他正确建立坐标系时也按相应步骤给分.

17.（15分）

【解析】（1）记事件4="第，•个球高一教师队得分”,8="高一教师队在前3个球中恰好获得2分”,

则P（B）=尸（444）+尸（444）+尸（444）（3分）

111111211

=—x—x——F—X—X—4——X—X—（5分）

322323332

4-(6分)

（2）X的所有可能取值为3,4,5,（7分）

尸（x=3）=（；r+；x25

（9分）

72

P(X=4)=(1)3X1X3+(1)2X(|)2+(I)2X|X|X2=||.(11分)

2525普，（13分）

尸(X=5)=l——

727236

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所以X的分布列为

X345

252511

P

72五36

…八c25,25ali95八、

E（X）=3x---F4X1-5x——=—.（15分）

72723624

说明：

第一问：

L3分段将事件2通过4表示，若用文字叙述为高一教师队在前3个球中恰好获得2分包含：第1,2

球得1分第3球得0分，第1,3球得1分第2球得。分，第2,3球得1分第1球得0分也给分；

2.5分段由概率公式得出口2）的计算式，分步写出高一教师队第1,2球得1分第3球得0分，第1,3

球得1分第2球得。分，第2,3球得1分第1球得0分的概率.3个概率，全对给2分，有1个对给

1分；

3.6分段计算得出尸（2）.

第二问：

1.7分段写出X的所有可能取值，有错不给分；

2.9分段写出尸（X=3）,列式对结果错给1分；

3.11分段写出尸（X=4）,列式对结果错给1分；

4.13分段写出尸（X=5）,列式对结果错给1分；

5.14分段写出分布列，分布列中有错不给分；

6.15分段求出E（X）,结果错不给分，结果正确但没有化简不扣分，没写过程不扣分.

18.（17分）

【解析】⑴设尸5历,因为|尸印，|尸。|，|巡|成等比数列,

所以|期||9|=|尸Of,（1分）

即J（x+4>+/.^（x-4）2+y2=x2+y2,（2分）

f2

整理得/-/=8,所以动点尸的轨迹E的方程为土-V匕=1.（4分）

88

（2）①因为尺（无口,打X”*0）为轨迹E上一点，所以云-式=8.

由题意，知直线乙的斜率存在，设直线4的方程为〉=区+机，

代入无2一/=8,得（1_42-2mkx-加2-8=0,（5分）

数学全解全析及评分标准第9页（共14页）

因为直