人教版八年级下册数学教案第十六章 二次根式

第十六章二次根式

16.1二次根式

第1课时二次根式的概念

教材分析

本节课是在七年级学习平方根的基础上，继续学习二次根式的概念，是初中阶段对“数与式”的进一步拓展，

为后面勾股定理、一元二次方程等内容的学习打下基础.本课时主要对二次根式的概念以及二次根式有意义的条件

进行研究，教学时要注意强调二次根式被开方数大于等于零，教学过程中应注重培养学生的归纳概括能力.

备课素材

GL新课里人设比

【情景导入】

如果已知学校正方形花坛的面积为20m2,那么你知道正方形花坛的边长是多少吗？

如果已知学校圆形花坛的面积为Sm2,那么你知道圆形花坛的半径是多少吗？

【说明与建议】说明：从学生熟悉的情境入手，感受二次根式与实际生活的紧密联系，体会学习二次根式

的必要性.建议：让学生相互讨论，使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流的学习习惯，通过解决所

设置的问题，使学生充分理解二次根式的概念.

【置疑导入】

1.4的平方根是,0的平方根是,-16平方根.

2.5的平方根是,5的算术平方根是.

3.若正方形的面积为S,则它的边长为.

【说明与建议】说明：让学生在填空过程中得到一些需要开平方的式子，结合平方根的概念，引导学生理解

所给的式子的实际意义，从而自然地给出二次根式的概念.建议：让学生独立完成上述问题，教师进行适当引导和

评价.注意让学生体会由特殊到一般的思维过程，培养学生的概括能力.

㈡命题热点)

命题角度1用定义判断一个式子是不是二次根式

1.下列式子中，不是二次根式的是(C)

A.B.C.X2—1D.^/x2+l

2.下列各式：乖,65,7—3,诉，y/x—1(x2l),yjx2+2x+l中，一定是二次根式的有(B)

A.3个B.4个C.5个D.6个

命题角度2二次根式有意义的条件

3.二次根式十:1中字母x的取值可以是(D)

A.-1C.0D.3

4.要使式子力中有意义，字母x的取值范围必须满足x2—3.

命题角度3二次根式非负性的应用

5.已知实数m,n满足|m+3|+)n—1=0,贝!Jm=二n=l.

教学设计

课题16.1第1课时二次根式的概念授课人

1.理解二次根式的概念.

2.理解并掌握二次根式有意义的条件.

素养目标3.通过对二次根式的概念的探究，提高数学探究和归纳能力.

4.经历观察、归纳、总结等数学活动，感受数学的严谨性和趣

味性.

教学重点二次根式的概念以及被开方数的取值范围.

教学难点二次根式双重非负性的应用.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

学生回忆平方根

还记得“厂”表示什么吗？事又读作什么呢？你知道平方根和算术平方根的

回顾

与算术平方根之间有什么区别吗？内容，为突破本节

难点做准备.

【课堂引入】

请同学们回答下列问题：

(1)面积为3的正方形的边长为________,面积为S的正方形的

从学生已有的知

边长为________;

活动一：创设情识出发，由平方根

(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m②，则它的宽

境、导入新课过渡到二次根式

为________m;

的学习.

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)

与开始落下的高度h(单位：in)满足关系式h=5t2.若用含有h的

式子表示t,则t=________.

【探究新知】

1.二次根式的概念

(1)观察上面得到的式子小，乖，对，,分别表示什

么意义？它们有什么共同特征？

(2)你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？

归纳：一般地，我们把形如雨(a20)的式子叫做二次根式，

“厂”称为二次根号.

通过观察、归纳、

2.二次根式有意义的条件

总结等过程,让学

问题1被开方数需要满足什么样的条件？

生发现二次根式

问题2为什么要满足这样的条件？

的概念及有意义

活动二：实践探问题3当x是怎样的实数时，炉在实数范围内有意义？或

的条件，教师提问

究、交流新知呢？

进一步发现二次

师生活动：学生独立思考，教师引导学生回顾在实数范围内，负

根式的双重非负

数无平方根，所以被开方数只能是非负数.x为任意实数时，x2

性,从而培养学生

都为非负数，V7都有意义.x20时，X，为非负数，或有意

的抽象逻辑思维.

义.

总结：二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.

3.乖的双重非负性

请同学们想一想，事有没有可能小于零？为什么？

由平方根的意义可得/(a20)表示非负数a的算术平方根，一

定也是非负的.由此可得的双重非负性：被开方数a》0,a

的算术平方根/'0.

【典型例题】1.典型例题进一

例1(教材第2页例1)当x是怎样的实数时，4口在实数范

步巩固新知，培养

围内有意义？学生的思维习惯，

活动三：开放训解：由x—220,得xN2.加强学生对二次

当x22时，Vx-2在实数范围内有意义.

练、体现应用根式相关概念的

例2若42x—1+W—2x+1在实数范围内有意义，则x满足

理解.

的条件是(C)2.变式训练使学

J11

A.x三5B.xW]C.x="D.xW]生进一步体会二

师生活动：学生先独立完成作答，教师对二次根式被开方数大于次根式被开方数

等于零再次进行强调.为非负数的条件.

【变式训练】

当X是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

x；(2)^/2x—3；(3)^/l+x2；x2.

3

解：⑴xWL(2)x》g.(3)x为任意实数.⑷一IWxWL

师生活动：学生独立思考并作答，教师进行提问并及时对回答正

确的同学给予肯定.

【课堂检测】

1.下列式子中，不属于二次根式的是(C)

A.^5B.yp

C.广D.V

2.已知小是二次根式，则a的值可以是(C)针对本课时的主

A.-2B.-1C.2D.-7要问题，从多个角

活动四：课堂检

3.已知一个正方形的面积是6,那么它的边长为恒.度，分层检测，达

测

4•使式子《三有意义的x的取值范围是x>2.到了解课堂学习

效果的目的.

5.已知x,y都是实数，且y=7x-2+/—x+3,求x'的值.

解：根据二次根式的定义，得x—220,2—x20,

所以x=2,y=3.则X"=23=8.

师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、

讲解.

1.课堂小结：小结环节的设置

(1)二次根式的概念.能够让学生养成

课堂小结(2)怎样求二次根式的被开方数中字母的取值范围？自主归纳课堂重

2.布置作业：点的习惯，提高学

教材第3页练习第1,2题.生的学习能力.

反思，更进一步提

教学反思

升.

经典导学设计

详见电子资源

第2课时二次根式的性质

教材分析

本节课是在学习二次根式的概念之后，继续深入探索二次根式的性质，利用性质来对二次根式进行化简，为后

面学习二次根式的运算奠定基础.本课时从算术平方根的意义出发，探究二次根式的两条基本性质，引出代数式的

概念，使学生原有的知识结构得到扩充与发展.教学过程中，教师要注意强调对两条性质进行区分，培养学生的抽

象逻辑思维.

备课素材

⑥新课导入设比

【置疑导入】

你能指出下列运算过程中的错误吗？

1155

(2)2=(一］)2,可以写为(I—2)2=(2—5)2.

两边开平方，得(|-2)2=yj(2-1)2.

所戚-2=2-1,吗=-1.

学了今天的内容我们就彻底明白以上运算为什么错误了，让我们进入今天的探索吧！

【说明与建议】说明：设计纠错问题激发学生学习的主动性与积极性.建议：教学中教师要鼓励学生积极地

投入到观察、分析、计算、讨论中，让学生独立应用相关性质解决对应的问题，教师最后作适当点评.

◎命题热点〕

命题角度1利用二次根式的性质(,)2=a(a20)解题

1.计算：

⑴)1⑵(34)2；⑶)2；⑷(平)2-

357

解：(1)原式=弓.(2)原式=45.(3)原式=1.(4)原式=彳.

264

命题角度2逆用二次根式的性质(6)2=a(a20)解题

2.在实数范围内分解因式：X2-3=(x~^)(X+A/3).

命题角度3利用二次根式的性质声=a(a2O)解题

3.化简：

(1)^9；⑵、(—4)2；(3)^25；⑷7(T)-.

解：(1)原式=3.(2)原式=4.(3)原式=5.(4)原式=3.

4.若弋(x—3)2=3—x成立，则x满足的条件为(B)

A.x》3B.xW3C.x>3D.x<3

金数学文化拓展阅诋

根号的由来

现在，我们都认识了根号，并感受到它使用起来既简洁又方便.那么，根号是怎样产生和演变成现在这种样子

的呢？古时候，埃及人用记号“厂”表示平方根.印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka.1480年前后，德

国人用标注在数字前的一个点表示平方根，两个点表示四次方根，三个点表示立方根.到十六世纪初，可能是书写

快的缘故，小点上带了一条细长的尾巴.1525年，路多尔夫在他的代数著作中，首先采用了根号，但是他的写法未

得到普遍认可与采纳.与此同时，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一个字母的大写R来表示开方运算，并且

后面跟着拉丁文“平方”一词的第一个字母q或“立方”一词中的第一个字母c来表示开的是多少次方.直到十七

世纪，法国数学家笛卡尔(1596—1650)第一个使用了现在通用的根号.在一本书中，笛卡尔直接展示了现在所用的

根号的写法.这是出于什么考虑呢？有时候被开方数的项数较多，为了避免混淆，笛卡尔就用一条横线把这几项连

起来，前面放上根号]，不过，它比路多尔夫的根号多了一个小钩，这就是现在的根号形式.现在所用的立方根

符号出现得很晚，一直到十八世纪，才在一些书中看到立方根的符号.之后，现在所用的根号渐渐使用开来.

教学设计

课题16.1第2课时二次根式的性质授课人

1.理解二次根式的两个性质)2=a(a^0)WA/H5=a(a20).

2.会运用二次根式的性质进行有关计算和化简.

3.通过对声的化简，了解分类讨论的思想；利用乘方与开方互为

素养目标

逆运算推导结论(4)2=a(a^0),感受数学知识的内在联系.

4.经历对二次根式性质的探究活动，感受数学的探索性和创造性，

体验发现的快乐.

教学重点二次根式的两个性质：(*)2=a(a20),y/a=a(a>0).

教学难点二次根式性质的运用与化简.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

利用这两个式子复

问题：习算术平方根的基

回顾1.乖，6有意义吗？为什么？本形式和二次根式

2.邓表示的意义是什么？y[a表示的意义是什么？被开方数的取值范

围，为学习二次根式

的性质打下基础.

【课堂引入】

活动一：创

根据算术平方根的意义填空：为突破本节难点做

设情境、导

(币)2=________;W)2=________;

准备.

入新课

)2=________；(^0)2=________.

【探究新知】

1.(y[a)2=a(a》0)

皿是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，y[4是一个平方等

于4的非负数，因此有(小尸=4.

活动二：实(1)请同学们按照这种方法说出其他几道题的做法.

践探究、交(2)观察上面几个式子有什么共同点？能够用含字母的式子归纳出来

流新知吗？

师生活动：组织学生小组讨论思考作答，教师再予以评价与补充，最

后一起归纳出二次根式的性质L

归纳：一般地，

=a(a，0)

2.y[^=a(a2O)

问题1巾=________;y/0.012=________；

N52=--------;价=---------

通过问题串带领学

问题2请学生计算出上面各式的答案，类比性质1的探究过程，尝生进入数学的思考

试用字母a写出你的猜想.中，引导学生自主探

22

活动二：实问题3N(-4)=________；q(―y)=________.究，小组合作，类比

践探究、交归纳，发现二次根式

问题4a的取值范围有什么要求？

流新知的性质，锻炼学生自

师生活动：学生独立思考，教师引导学生类比思考，得出二次根式的性质2.

主学习的能力，培养

总结：当a2O时，=a；当a〈O时，=­a.

其数学思维的严谨

根据绝对值的意义可知：

性.

当a》O时，a=a；当a〈O时，|a|=—a.由此可知：A/P=a.

由于6(a》O)表示非负数a的算术平方根，根据平方根的意义

的平方等于a,因此我们就得到一个结论：

(^/a)2=a(a20)

3.代数式

代数式的定义：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘

方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式.

【典型例题】1.典型例题是对新

例1(教材第3页例2)计算：(l)(Vn)2；(2)(2^5)2.知的运用，提高学生

解：(1)原式=1.5.(2)原式=20.对性质的运用能力，

例2(教材第4页例3)化简：⑴班；(2)7(-5)2.强化对两条性质的

解：(1)原式=4.(2)原式=5.理解与区分.

师生活动：学生先独立完成作答，教师对二次根式的两条性质之间的

活动三：开区别作出强调.

放训练、体【变式训练】

现应用说出下列各式的值：

(1)(―^/o.2)2:(2)—yj(一”)2；(3)^(―1)2；

2.变式训练提高难

⑷弋(m—1)2.

度，拓展思维，进一

7

解：(1)0.2.⑵一兀.⑶鼻.(4)|m-l|.

o步加深学生对二次

师生活动：学生独立思考并作答，并说出运用的是哪一条性质，教师根式两条性质的理

及时对回答正确的同学给予肯定.解与运用.

【课堂检测】

I.下列式子中，计算正确的是(C)

A.7一5=一4B.一、JT6=-0.6

C.yj(—13)2=13D.(—小y=36当堂检测，巩固新

2.已知必是整数，则正整数n的最小值企1(B)知，灵活运用所学知

活动四：课

A.4B.2C.3D.0识解决问题，及时反

堂检测

3.若实数a,b,c在数轴上的位置如图，见化简：qp—b—c=馈学习效果，做到

—a+b-c.“堂堂清”.

।।।।___

ab0c.

4.若yj(X—3)2=3—x,则x的取值范围强xW3.

5.已知一个圆柱体的体积为V,高为h,求它:的底面半径r(用含有V

和h的代数式表示)；当V=80“，h=5时，求底面半径r的值.

解：圆柱体的体积v=兀ih,所以

把V=80兀，h=5代入上式，得r=4.

师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.

1.课堂小结：小结环节的设置能

(1)本节课有哪些收获？够让学生养成自主

课堂小结(2)学习本节课后，还有哪些困惑？归纳课堂重点的习

2.布置作业：惯，提高学生的学习

教材第4页练习第1,2题；第5页习题16.1第2,4题.能力.

反思，更进一步提

教学反思

升.

经典导学设计

详见电子资源

16.2二次根式的乘除

第1课时二次根式的乘法

教材分析

本节课是在学生己经学习了二次根式的概念、性质的基础上进一步学习二次根式的乘法，同时也为后面学习二

次根式的除法、加减法等运算做准备，具有承上启下的作用，在教材中处于重要的地位.对于学生，之前学习了二

次根式的性质、化简，现在所学的乘法是对性质的应用和实践.学生在观察讨论交流的过程中，能主动探索，勇于

发现，培养学生知识的迁移和联系能力以及转化的数学思想.

备课素材

GL新课里人设比

【情景导入】

张大爷有一块长方形菜地，长为标m,宽为乖m,你能求出菜地的面积吗？

J6m

J]~5m

【说明与建议】说明：利用实际问题引入新课，感受二次根式与实际生活的紧密联系，激发学生学习的积极

性.建议：让学生相互讨论，使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流的学习习惯，通过解决所设置的

问题，使学生充分理解二次根式乘法法则学习的必要性.

【置疑导入】

1.填空：

(1)^4Xm=6,74X9=6^

(2)716X#=20,，16X25=20;

(3)y[T6dXy/36=60,100X36=60.

2.提出问题：你能用字母表示你发现的规律吗？

【说明与建议】说明：引导学生在计算、观察的基础上，让学生自主发现问题、探索问题、解决问题.建议:

教师要使学生主动地去发现问题，并积极发言，让学生充分体会数学知识之间的内在联系，以此激发学生的学习兴

趣，通过教师的点拨引导，学生积极开展小组合作学习，交流探索新知.

◎命题热点〕

命题角度1二次根式的乘法

1.下列各等式成立的是(D)

A.4#X24=8#B.5-73X4y12=20书

C.4小X3y[2=7乖D.X4巾=20m

2.计算：⑴/Xy[16；(2)雄X乖;(3)诉E;(4)-573X6-

b

解：(1)原式=8.(2)原式=2.(3)原式=£.(4)原式=-10.

命题角度2逆用二次根式乘法法则进行二次根式的化简

3.化简：⑴[9X16；(2)^18；(3)麻孑；(4)754.

解:(1)原式=12.(2)原式=34.(3)原式=3|xy|.(4)原式=3季.

命题角度3二次根式的大小比较

4.比较大小：3小＞475.

教学设计

课题16.2第1课时二次根式的乘法授课人

1.理解4,y/b=4m(a'O,b»0),并运用它进行计算.

2.利用逆向思维，得出=y/a•y/b(a20,b20),并运用它

进行解题和化简.

素养目标

3.经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程.

4.通过合作探究，激发学生积极参与数学学习的兴趣，培养合作交

流能力.

教学重点二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.

教学难点能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质化简二次根式.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

二次根式有哪些性质？回顾旧知，为学习新

回顾

二次根式的性质有哪些用法？知做铺垫.

【课堂引入】

计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？

活动一：创设(1)^/1Xy/9=________,74X9=________.培养学生的观察能力

情境、导入新(2)716X^/25=________,^16X25=________.以及合作解决问题的

课(3)725X^/36=________,^25X36=________.好习惯.

利用多媒体出示问题，请学生观察运算结果，并分小组讨论，共同发

现并总结式子有什么规律.

【探究新知】

1.二次根式的乘法法则

(1)参考上面的结果，用“>”或“="填空，并通过计算加以验

证.

A/100X标_______-^100X36.

弧Xyf0.01A/81X0.01.

(2)你找出二次根式乘法运算的规律了吗？尝试写出含字母的二次根

式等式？

师生活动：学生独立思考后再小组内交流想法，最后全班分享，教师通过观察、归纳、总

帮助完善和补充，得出法则.结等过程，让学生发

结论：一般地，二次根式的乘法法则是现二次根式的乘法法

活动二：实践

y[a,y[b=y[ab(a>0,b20)贝！1.探究法则的正用、

探究、交流新

2.积的算术平方根的性质逆用，可以培养学生

知

把6.乖=相反过来，可以得到积的算术平方根的性质：灵活运用代数法则解

•\/ab=,•4(a20,b20).决问题，对于提高运

问题1a,b的取值有什么特点？算能力有帮助.

问题2为什么要满足这样的关系？

问题3积的算术平方根的性质和二次根式的乘法法则在用法上有什

么区别和联系？

总结：积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简.

注意：(1)公式中的非负数的条件；

(2)在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解(或因数分解)；

⑶,.乖可推广为：y[a,-\[b,yjc=#abc(a20,b

20,c20).

1.通过典型例题和变

【典型例题】

式训练帮助学生掌握

例1(1)(教材第6页例1)计算：X#；②X^27.

活动三：开放解题过程及书写格

解：①原式.②原式=3.

训练、体现应式，同时培养学生良

⑵(教材第7页例2)化简：6/16X81；©y/4aV.

用好的学习习惯.

解：①原式=36.②原式=2|ab|福.

2.学生到黑板演练，

例2(教材第7页例3)计算：

可促进学生之间取长

⑴/X木；(2)375X2^/10；⑶江-^y|xy.补短，相互借鉴，共

同进步.

解：(1)原式=7s.(2)原式=30斓.(3)原式=x/.

师生活动：教师引导、点拨，指定不同学生到黑板做题，完成后师生

共同评价.

【变式训练】

1.化简4(-2)'X8X3的结果是(D)

A.2724B.-2^/24

C.一4mD.4乖

2.填空：(1)(qi赤=^/5_;(2):2xy2•^/8xy=4xy\/y.

师生活动：学生独立思考并作答，教师进行提问并及时对回答正确的

同学给予肯定.

【课堂检测】

1.下列各等式成立的是(D)

A.4小X2乖=8#B.5小X4y/2=20^5

C.4-J3X3/=7乖D.5事X4取=2哪当堂检测，及时获知

2.计算：(1)^/2Xy/5；(2)A/3X^12；(3)2y[xy..学生所学知识的掌握

活动四：课堂解：(1)原式.(2)原式=6.(3)原式=2而.情况，明确哪些学生

检测3.化简：(1)弁X^12l；(2)^225；(3)匹；(4)^/16ab2c3.需要在课后加强辅

解：(1)原式=77.(2)原式=15.(3)原式=2、1.(4)原式=导，达到全面提高的

4be\y[dic.目的.

4.一个长方形的长和宽分别是，而cm和2/cm,则这个长方形

的面积为生匠cm)

师生活动：学生完成当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.

1.课堂小结：通过课堂小结的形

(1)本节课你学到了什么？有哪些收获？式，引导学生对本节

课堂小结(2)在计算过程中，你认为应该注意哪些问题？课所学知识进行整

2.布置作业：理，同时明确学习重

教材第7页练习第1,2题，教材第10页习题16.2第1题.点.

教学反思反思，更进一步提升.

经典导学设计

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第2课时二次根式的除法

教材分析

本节内容是在二次根式的乘法性质的基础上学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，

让学生结合具体实例，类比二次根式乘法的性质，归纳得到二次根式的除法性质.结合二次根式的除法性质的正用

和逆用进行二次根式的化简与运算，是本节的主线.从化简与运算引出分母有理化，这是将二次根式化为最简二次

根式的必要方法.

备课素材

⑥新课导入设比

【情景导入】

小明家里有一块长方形地毯，已知面积为用1U2,长为m,宽为多少呢？

【说明与建议】说明：利用实际问题引入新课，感受二次根式与实际生活的紧密联系，激发学生学习的积极

性.建议：让学生相互讨论，使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流的学习习惯，通过解决所设置的

问题，使学生充分理解二次根式除法法则学习的必要性.

【置疑导入】

1.填空：

2.提出问题：你能用字母表示你发现的规律吗？

【说明与建议】说明：引导学生在计算、观察的基础上，让学生自主发现问题、探索问题、解决问题.建议:

教师要使学生主动地去发现问题，并积极发言，让学生充分体会数学知识之间的内在联系，以此激发学生的学习兴

趣，通过教师的点拨引导，学生积极开展小组合作学习，交流探索新知.

◎命题热点〕

命题角度1二次根式的除法

1.计算:;⑵

解：(1)原式=2.(2)原式=2.

命题角度2最简二次根式

2.下列二次根式中，是最简二次根式的是(B)

A.取B.y/13C.y/27D.y[12

3.把下列二次根式化简为最简二次根式：

；(2)^32；；(4)^40.

解：⑴'=噂.(2)V^16X2=4镜.⑶=2x^3x.=^/4X10=

2^（10.

命题角度3二次根式的乘除混合运算

⑵原式=<1+耒Y=,汨=钝=1-

]3__________

(3)原式=5X4X-X^/6X124-2=3标=3X6=18.

教学设计

课题16.2第2课时二次根式的除法授课人

1.理解意=yjl（aNO,b〉0）,并能利用它进行计算和化简.

2.利用逆向思维，得出—宗（aNO,b〉0）,并运用它进行

素养目标

解题和化简.

3.掌握用从特殊到一般的方法，解决数学问题.

4.通过合作探究，激发求知欲，了解类比思想.

教学重点二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.

能利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质化简二次根

教学难点

式.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

复习二次根式的乘

回顾计算:(1)^14X^2；(2)3^/6；(3)^/3x•.