绵阳市2024届高三第三次诊断性考试数学试题(理)含答案

绵阳市中学2024级第三次诊断性考试

数学(理工类)

第I卷(共60分)

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

L已知全集。=火，A={^x2-2x<0},B={^x>l},则AU(C03)=()

A.(0,+oo)B.(-00,1)C.(-00,2)D.(0,1)

2.已知，是虚数单位，则白-=()

1+z

A.1B.272C.2D.V2

3.某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任

何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，望见不星黄灯的概率是()

14“1八3r1

AA.—B—.C.-D.一

151552

4.等比数列{氏}的各项均为正数，且%+2%=4,a；=4G3O7,则%=()

A.—B.-C.20D.40

168

5.已知正方形ABCD的边长为6,M在边上且5c=35M,N为ES

.

「0=二16

。。的中点，则赤•丽=()

1^a)

A.-6B.12C.6).-12._±—,

1呻b)

logi(r)(x<0),*

6.在如图所示的程序框图中，若函数了(X)，2则输出的

r(x>o),

/输出q/

结果是()—k

结束

A.16B.8C.216D.28

7.己知函数/(x)=4cos@r+e)(<9>0,0V0V»)为奇函数，A(〃,0),6(a0)是其图

像上两点，若卜―的最小值是则

41,/(，)二()

V3n百

A.2B.-2C.一D.-------

22

8.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中

有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角

形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部

分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的

体积是()

A.50B.75

C.25.5D.37.5

9.已知函数/(x)=gmcos2x+(»1-2)sinx,其中1W机W2.若函数/(x)的最大值记

为g(m),则g(m)的最小值为()

A.--B.1C.3-V3D.V3-1

4

22

10.已知产是双曲线C：「―鼻=1(。〉0］〉0)的右焦点，A,5分别为C的左、右顶

ab-

点.。为坐标原点，。为C上一点，DPLx轴.过点A的直线/与线段交于点E,与

y轴交于点"，直线3石与y轴交于点N,若3|QM=2|C>N，则双曲线C的离心率为

C）

A.3B.4C.5D.6

11.三棱锥尸—ABC中，PA,PB,PC相互垂直，PA=PB=1,〃是线段上一

动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是‘？，则三棱锥尸-ABC的外接

2

球表面积是（）

A.2乃B.4»C.87rD.16%

12.已知函数/(%)=21n%一a/+3,若存在实数w£工5］满意〃一加22时,

/（m）=f（n）成立，则实数a的最大值为（）

In5-ln3In3In5+ln3In4

A.---------B.——C.---------D.——

8483

第II卷（共90分）

二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)

y>0,

13.若实数满意<x-2yN0,,则x+2y的最小值是.

x+y<5,

14.过定点M的直线：入—y+1—2左=。与圆：（x+l）2+（y—5）2=9相切于点N,则

\MN\=.

15.已知（2/+X—的绽开式中各项系数的和为32,则绽开式中x5y2的系数

为.（用数字作答）

16.设公差不为。的等差数列｛为｝的前几项和为5“，若出，牝，为1成等比数列，且

%1=2（Sm-S=）n>O,tn,〃cN*）,则m+〃的值是.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.）

17.在AA5c中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且（a+。产=6?+3ac.

（I）求角8的大小；

（II）若b=2,且sin3+sin（C—A）=2sin2A,求AABC的面积.

18.共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2024年该市共享单车用

户年龄登记分布如图1所示，一周内市民运用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享

单车用户依据年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及

以上）两类，将一周内运用的次数为6次或6次以上的称为“常常运用单车用户”，运用次

数为5次或不足5次的称为“不常运用单车用户”.已知在“常常运用单车用户”中有1■是

“年轻人”.

图1共享单车用户年龄等级分布

50.0%------------------4575%-------------------

19岁及以下20-29岁30-39岁40-49岁50岁及以上

（I）现对该市市民进行“常常运用共享单车与年龄关系”的调查，采纳随机抽样的方法,

抽取一个容量为200的样本，请你依据图表中的数据，补全下列2x2列联表，并依据列联

表的独立性检验，推断能有多大把握可以认为常常运用共享单车与年龄有关?

运用共享单车状况与年龄列联表

年轻人非年轻人合计

常常运用单车用户120

不常运用单车用户80

合计16040200

(II)将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中常常运用共享单车的“非年

轻人”人数为随机变量X,求X的分布与期望.

(参考数据：

独立性检验界值表

P(K?»院)0.150.100.0500.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

k0

廿4n(ad-bcf

其中，K=-----------------------------------,n=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

19.已知矩形ADE尸和菱形ABCD所在平面相互垂直，

7T

如图，其中A尸=1,AD=2,NADC=^，点N是线

3

段AO的中点.

(I)试问在线段5石上是否存在点使得直线Ab〃平

面MNC?若存在，请证明〃平面"NC,并求出典的值；若不存在，请说明理由;

ME

(II)求二面角N—CE—。的正弦值.

20.己知点E(—2,0),点P是圆斤：(x—2产+/=36上随意一点，线段EP的垂直平分

线交尸产于点点以的轨迹记为曲线C.

(I)求曲线。的方程；

(II)过户的直线交曲线。于不同的A,5两点，交y轴于点N,已知丽=相而，

NB=nBF,求相+〃的值.

21.函数夕(x)=lnx+x-4,q(x)=axex(tzG7?).

(I)若。=e,设/(x)=p(x)-q(x)，试证明f'(x)存在唯一零点x0e(0,—)，并求/(x)

e

的最大值；

(ID若关于x的不等式|p(x)|<q(x)的解集中有且只有两个整数，求实数。的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

一—1C

在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程是=可O'(a为参数).以原点

[y=j3sina

。为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为夕=L

(I)分别写出G的极坐标方程和g的直角坐标方程；

(II)若射线I的极坐标方程9=20),且/分别交曲线G、。2于A、B两点，求4

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数/(x)=|3x-a|+|3x-6|,g(x)=|x-2|+1.

(I)a=l时，解不等式/(x)28；

(II)若对随意再eR都有4€尺，使得了(Xi)=g(X2)成立，求实数。的取值范围.

绵阳市高2024级第三次诊断性考试

数学（理工类）参考解答及评分标准

一、选择题

1-5:CDABA6-10:ABDDC11、12：BB

二、填空题

13.014.415.12016.9

三、解答题

17.解：（I）把(a+c)2=+3ac整理得，a2+c~—Z?2=ac,

2.2，2,

由余弦定理有cosB=-~————=二-=—

2aclac2

：.B=-.

3

(II)AABC中，A+B+C^7i,即3=乃一(A+C),故sin5=sin(A+C),

由已知sinB+sin(C—A)=2$抽271可得55111(24+。)+sin(C—A)=2sin2A,

sinAcosC+cosAsinC+sinCcosA-cosCsinA=4sinAcosA,

整理得cosAsinC=2sinAcosA.

7T

若cosA=0,则A=—

2

于是由6=2,可得c=°-=2叵

tanB3

此时AA5C的面积为S=—bc=工.

23

若cosAwO,贝UsinC=2sinA,

由正弦定理可知，c=2a,

2nAn

代入6?+/—人2=〃。整理可得3〃2=4,解得。=」，进而。=上,

33

12Fi

此时AABC的面积S=—acsinB=------.

23

・・・综上所述，AA5c的面为

3

18.解：（I）补全的歹U联表如下：

年轻人非年轻人合计

常常运用共享单车10020120

不常运用共享单车602080

合计16040200

于是a=100,b=20,c=60,d=20,

K?=200x(100x2。-亚四产三⑻虫.072,

120x80x160x40

即有85%的把握可以认为常常运用共享单车与年龄有关.

（II）由（I）的列联表可知，常常运用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为

20

—X100%=10%,即在抽取的用户中出现常常运用单车的“非年轻人”的概率为0.1,

200

〜3(3,0.1),X=0,1,2,3,

...尸(X=0)=(1—0.1)3=0.729,尸(X=3)=O.r=0.001,

/.X的分布列为

X0123

p0.7290.2430.0270.001

X的数学期望E(X)=3x0.1=0.3.

19.解：（I）作FE的中点P,连接CP交3E于点M,M点即为所求的点.

证明：连接PN,

是AD的中点，P是尸石的中点，

PN//AF,

又PNu平面跖VC,AFa平面跖VC,

直线Ab〃平面MNC.

VPE//AD,AD//BC,

：.PE//BC,

,BMBC_

••-------Z.

MEPE

(II)由(I)知PNJ_AD,

又面ADE尸，面ABC。，面面A5CD=AD,PNu面ADEF,

所以PN上面A6CD.

故PN_LAD,PN±NC.

以N为空间原点，ND,NC,NP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系N—孙z,

TT

-：ZADC=-,AD=DC=2,

3

...AADC为正三角形，NCf,

N(0,0,0),C(V3,0,0),0(0,1,0),E(0,l,l),

/.NE=(0,1,1),7VC=(V3,O,O),DE=(0,0,1)»5c=(V3,-l,0)，

设平面NEC的一个法向量/=(x,y,z),则由々•血=0,々•双=0可得

令尸1'则”=(°，1)・

设平面CDE的一个法向量%=(匹，%，4),则由々•丽=0,%•皮=0可得

令王=1,则〃2=(LV3,0).

f=0,

贝|J=

2V24

Vw

设二面角N—CE—。的平面角为氏贝Usin6=

V10

二面角N—CE—。的正弦值为

4

20.解：(I)由题意知，M目+|上用=|上"+|"耳=厂=6>|即=4,

故由椭圆定义知，点M的轨迹是以点E,尸为焦点，长轴为6,焦距为4的椭圆，从而长

半轴长为。=3,短半轴长为b='32—2?=亚,

22

.••曲线。的方程为：—+^=1.

95

(II)由题意知F(2,0),

若直线A5恰好过原点，则A(—3,0),3(3,0),N(0,0),

：.NA=(-3,O),AF=(5,0),则〃2=—

A®=(3,0),而=(-1,0)，则〃=-3,

•一第

・・+〃=----.

5

若直线AB不过原点，设直线AB：x=ty+2,

2

A(9i+2,%),B(ty2+2,为)，N(0,—).

则NA=(ty1+2,H+7)，AF={-tyx-y{)，

NB=(/y2+2,%+：)，BF=—(Zy2，—%)，

—*—*22

由NA=MAF,得以+—二机(一必)，从而加=一1----；

t以

—*—22

由NB=nBF,得为+一=〃(一为)，从而〃=一1----；

tty?

,122、_2II、_2y,+y

故z加+〃=-1-----1-(—1----)=-2(z---1---)=­2—x—-----9.

91ty2tyxy2tyry2

x=ty+2.

联立方程组得：\x2y2i整理得(5『+9)y2+20)—25=0,

[95

.20t25

125产+9125产+9

.。2%+为。220%c818

・・m-\-n——2—x-------=—2—x----=—2—=----.

tyry2t2555

1Q

综上所述，m+n=-—.

5

21.(I)证明：由题意知/(%)=ln九+%一4-e九e",

十曰，,，、I1八1x+1/1、%(x+l)(l-exex)

于TH/(%)二—bl—c(zx+l)e=-----+l)e=-----------------

xxx

令//(x)=1一exex,令(％)=-e(x+l)ex<0(x>0),

4(%)在(0+oo)上单调递减.

又〃(0)=1>0,〃(2)=1—/<0,

e

所以存在％ow(0」)，使得4(%)=。，

e

综上/(X)存在唯一零点X。G(0,-).

e

解：当工£(0,10),〃(x)>0,于是-0)>0,/(%)在(0,%)单调递增;

当无£(%0,+00),于是/(%)<0,/(%)在(%0，+8)单调递减;

故/Wmax=于Go)=lnX0+X0-4-*°，

—

又)—1—0,二——,XQ—In————1—Inx。，

故/(X)max=lnxo+(T—Mxo)—4—**—=-5-l=-6.

%

(II)解：|p(刈>q(x)等价于|lnx+x-4|.

kJ%|tax+x-4|tax+x-4

lnx+x-4>axea<------------=----------,

11xexe

人7/、lnx+x-4mi,,/、(x+l)(lnx+x-5)

令/z(x)=----------，贝=——-------"

xexe

令0(%)=